Blocksatzbildung Beispiel 3.9. [Berechnung optimaler Blockungen] egeben ist eine Folge Jeder egenstand hat eine Länge von egenständen. Die egenstände sollen in Blöcke eingeteilt werden, wobei die Idealgröße eines Blockes ist. Die esamtlänge der egenstände in einem Block darf nicht übersteigen.. Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 92 Die egenstände dürfen nicht umsortiert werden. Ein Block ergibt sich also durch einen Index mit ist das letzte Element im Block. ist das erste Element im Block und Für die Abweichung der Länge!" # $&%! "(')+*, eines Blockes von wird eine Bewertung definiert, die monoton in der röße der Abweichung ist, z.b..- +/. Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 93
1 1 I I 1 esucht ist eine Blockung, die eine möglichst kleine Bewertung hat, also eine Anzahl an Blöcken und eine Folge 1 67676 48:9; < mit 9 #.- />=@? min % unter den Bedingungen! " # $&%! "('A)+*, CB für 7 7 A 3254 4 / 4 Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 94 Beispielproblem: Länge der egenstände: D E@ FE@ Blockgröße: 1 gierige Einteilung: HD JIK E@ ELIK JIK, Bewertung: 81 andere Einteilung: HD IK FELIK E@ JIK, Bewertung: 33 Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 95
1 Modellierung des Problems als Wegeproblem: NM SR <O <OT 7 7 FQP ewichte: X VU Q4 und W 7.- W $&%! *, CB $&%! *, K / Jeder Weg von 1 nach definiert dann eine zulässige Einteilung in Blöcke, wobei die Bewertung dieser Blockung gleich der Länge des Weges ist. Also: Finde einen Weg minimaler Länge von 1 nach. Auf diesem Prinzip basiert die Formatierung in TeX. Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 96 Projektplanung mit Netzplantechnik Beispiel 3.1. [Netzplantechnik mit CPM] Bei der Durchführung umfangreicher Projekte ist es erforderlich, daß einzelne Teilaufgaben (Jobs) zeitlich genau aufeinander abgestimmt werden. Hierfür werden häufig Methoden der Netzplantechnik eingesetzt. Die bekannteste Methode der Netzplantechnik heißt CPM (Critical Path Method). Y hat eine zugeordnete Dauer ] sowie eine Menge ^ `_ Y von Vorgängern. ZY sei die Menge der Jobs eines Projekts. Jeder Job \[ Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 97
Ein Job kann erst dann gestartet werden, wenn alle Jobs aus ^ beendet wurden. Wir gehen davon aus, daß Jobs parallel bearbeitet werden können. Man möchte z.b. wissen: Ab welchem Zeitpunkt kann mit einem Job begonnen werden? Wie lange wird ein Projekt dauern? Welche Jobs sind besonders kritisch in bezug auf die esamtdauer eines Projekts? Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 98 Beispiel 3.11. Zusammenbau eines Fahrrads: Job Beschreibung Dauer Vorg. a Rahmen vorbereiten (abel, Schutzbleche, usw.) 6 b Kettenführung anbringen 2 c angschaltung anbringen 3 b d Kettenblatt an Kurbel montieren 4 b e Vorderrad montieren und anpassen 6 a f Hinterrad montieren und anpassen 6 a,c g Kurbel am Rahmen anbringen 3 d h Endmontage (Lenker, Sattel, usw.) 12 e,f j Linkel Pedal anbringen 3 c,g k Rechtes Pedal anbringen 3 c,g Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 99
Die Abhängigkeiten der Jobs untereinander können wir in Form eines DAs repräsentieren. Die Knoten stellen hierbei die Jobs dar. Die Kanten stellen Vorgängerbeziehungen zwischen den Jobs dar. e a f h c j b d g k Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 1 Die Jobs a und b können offensichtlich sofort begonnen werden. Der Job c kann begonnen werden, wenn a beendet ist und wenn d beendet ist. a ist nach einer Dauer von 6 beendet, d nach einer Dauer von 5, da d erst gestartet werden kann, wenn b beendet ist. Somit kann c zum Zeitpunkt 6 begonnen werden. Allgemein: Der frühste Starttermin eines Jobs ergibt sich durch einen Weg zu diesem Job mit maximaler esamtdauer. Hier liegen die Bewertungen nun auf den Knoten. Tafel: Frühste Starttermine für die Jobs des Beispiels. Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 11
Die Critical-Path-Method CPM stellt eine Modellierung dar, bei der die Jobs die Kanten eines DAs sind. Die Knoten können als Fertigstellungsereignisse angesehen werden. Projektbeginn a 6 b 2 c 3 d 4 feg 3h e 6 h 12 f 6 j 3 Projektende g 3 k 3 Die Kanten a stellen einen längsten Weg vom Projektbeginn zum -ende dar (kritische Pfad). Die esamtlaufzeit des Projekts ist also 24. Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 12 Für die Projektplanung sind u.a. die folgenden interessant: Projektdauer i : Länge eines längsten Weges (kritischer Pfad) vom Projektbeginn bis zum Projektende. Starttermin für Jobs : Länge eines längsten Weges bis zum Startknoten von. Zeitkritische Jobs: Alle Jobs, die auf einem kritischen Pfad liegen. Pufferzeit für Job : ij- Länge eines längsten Weges, der Kante enthält. Und warum verzögern sich Projekte trotz ausgefeilter Planungsmethoden? Siehe Übungen. Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 13
Die Routen der geringsten Videoüberwachung Aus der Rheinischen Post vom 29.11.21: New Yorker Webpage sucht kamerafreie Wege New York (rpo). Wer in einer roßstadt lebt, kann sich kaum noch bewegen, ohne von diversen Überwachungskameras aufgenommen zu werden. Da war es zwangsläufig nur eine Frage der Zeit, bis sich Widerstand regt. Ein Projekt von US-Bürgerrechtsaktivisten berechnet Usern jetzt die Route mit der geringsten Video- Überwachung durch New York. Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 14 Zusammenfassung des Kapitels Charakterisierung und Berechnung von Eulerwegen (Hierholzer- Algorithmus) Hamiltonsche Wege und Kreise (Berechnung ist schwer) Dijkstra-Algorithmus zur Ermittlung kürzester Wege Dynamische Programmierung zur Berechnung kürzester Wege in DAs Anwendungen: Blocksatzbildung und Netzplantechnik Einführung in die raphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 2/3 15