Zeitreihen-Ökonometrie, SS 2015 Lösungen Aufgabenblatt 11

Zeitreihen-Ökonometrie, SS 2015 Lösungen Aufgabenblatt 11 Aufgabe 21: Die Datei DAX.WF1 enthält Tagesdaten zum DAX30 im Zeitraum von November 1990 bis Juni 2015 (pro Jahr ca. 250 Handelstage). In der Zeitreihe DAX finden sich die täglichen Schlusskurse, in der Zeitreihe RETURN (= log(dax)) die Log-Renditen. i. Was besagen ADF-Tests (mit Trend + Interzept, # Lags nach SIC) bzgl. der Präsenz stochast. und/oder determinist. Trends in den logarithmierten DAX-Kursen bzw. den log-renditen? 9.5 9.0 LOGDAX.12.08 RETURN (=DLOG(DAX)) 8.5 8.0-7.5 7.0 Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LOGDAX -.08 Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on RETURN -.12 Null Hypothesis: LOGDAX has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=34) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.139402 0.5230 Test critical values: 1% level -3.959510 5% level -3.410525 10% level -3.127032 Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LOGDAX) LOGDAX(-1) -01391 00650-2.139402 024 C 00934 04931 2.217311 066 @TREND(11/26/1990) 3.37E-07 1.98E-07 1.702856 0.0886 R-squared 00747 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared 00426 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04281 Akaike info criterion -5.659312 Sum squared resid 1.269544 Schwarz criterion -5.656067 Log likelihood 17626.10 Hannan-Quinn criter. -5.658187 F-statistic 2.325875 Durbin-Watson stat 22488 Null Hypothesis: RETURN has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=33) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -79.06718 001 Test critical values: 1% level -3.959510 5% level -3.410525 10% level -3.127032 Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RETURN) Sample (adjusted): 11/28/1990 7/03/2015 Included observations: 6227 after adjustments RETURN(-1) -12063 02674-79.06718 000 C 00426 00362 1.176927 0.2393 @TREND(11/26/1990) -3.07E-08 1E-07-0.304367 0.7609 R-squared 0.501107 Mean dependent var 2.54E-06 Adjusted R-squared 0.500947 S.D. dependent var 00221 S.E. of regression 04285 Akaike info criterion -5.658734 Sum squared resid 1.270075 Schwarz criterion -5.655488 Log likelihood 17621.47 Hannan-Quinn criter. -5.657609 F-statistic 3125.810 Durbin-Watson stat 1.999964 log(dax): Stochast. Trend kann kann nicht abgelehnt werden. Ausgehend von einem stochast. Trend, ist ein determin. Trend signifikant nicht signifikant RETURN (= log(dax)): Stochast. Trend kann kann nicht abgelehnt werden. Ausgehend von keinem stochast. Trend, ist ein determin. Trend signifikant nicht signifikant

ii. Es soll zunächst überprüft werden, ob sich gewisse, bei Finanzmarktzeitreihen häufig anzutreffende Eigenschaften auch bei den DAX-Renditen finden: (a) Volatilitätsklumpung: Ist eine solche im Diagramm der DAX-Renditen zu erkennen? Ja (b) Leptokurtosis: Schauen Sie sich die empirische Verteilung der DAX-Renditen zusammen mit ihren ersten vier Momenten (Mittelwert, Standardabweichung, Schiefe und Kurtosis) an 2,400 2,000 Series: RETURN Sample 11/26/1990 7/03/2015 Observations 6228 1,600 1,200 800 400 Mean 00327 Median 00789 Maximum 0.107975 Minimum -0.098709 Std. Dev. 04284 Skewness -0.107169 Kurtosis 7.699064 Jarque-Bera 5741.993 Probability 00000 0-0.10-0 -0 0 0.10 Ist die empirische Vtlg. leptokurtisch? Ja, die Kurtosis wird auf 7.7 (> 3) geschätzt Um wieviel Prozentpunkte ist der DAX im Beobachtungszeitraum im Mittel pro Jahr gestiegen? Pro (Handels-)Tag ist er im Schnitt um 00327 = 027% gestiegen (Einheit hier 1 = 100%, da log) Bei 250 Handelstagen im Jahr macht das 250*027% = 8.175%. Also ca. 8% pro Jahr. Interpretieren Sie die Standardabweichung. Allgemein misst die Standardabweichung σ einer Zufallsvariable (hier der Eintages-DAXRendite r), wie sehr die Variablenwerte um den Erwartungswert µ streuen. Wenn die Verteilung nicht zu sehr von einer Normalverteilung abweicht, liegen im Intervall [µ σ, µ+σ] ca. 66% der beobachteten Werte, im Intervall [µ 2σ, µ+2σ] ca 95% der Beobachtungen. Voraussetzung für diese Interpretation ist allerdings nicht nur eine (angenäherte) Normalvtlg, sondern auch eine Zufallsstichprobe (als ob die DAX-Renditen jeden Tag unabhängig vom Vortag ausgewürfelt würden). Wir werden unten sehen, dass die DAX-Renditen tatsächlich kaum miteinander korrelieren, aber dennoch nicht unabhängig voneinander sind: ihre Quadrate korrelieren stark miteinander. Das adäquatere Bild ist, dass wir zwar unkorrelierte Werte r t ziehen, wobei allerdings die Standardabweichung σ t bzw. Varianz σt 2 von r t selbst streut, und zwar um die hier geschätzte unbedingte (d.h. langfristige) Std.Abw. σ. Der geschätzte Wert beträgt ˆσ = 1.4% pro Tag. Um den Wert auf ein Zeitintervall von h Tagen zu beziehen, kann man log(dax h ) log(dax 0 ) zerlegen in h ( t=1 log(daxt ) log(dax t 1 ) ) = h t=1 r t. Wenn man annimmt, dass die Tagesrenditen r t tatsächlich unkorreliert sind, gilt var [ h t=1 r h t] = t=1 var[ ] [ r t, d.h. var log(daxh ) log(dax 0 ) ] = h σ 2. Über ein Jahr (h = 250) ergibt sich eine Std.Abweichung im (logarithm. relativen) DAX-Zuwachs von 250 1.4% 22%. Das 95%-Konfid.Intervall (bei Normalvtlg.) beträgt also ˆµ ± 1.96 ˆσ ±2.8% (pro Tag!). Trotz des großen Konfid.Intervalls: Wkt. für Werte bei ±10% bei Normalvtlg. astronomisch klein. (c) Unkorreliertheit, aber keine stochast. Unabhängigkeit der Renditen: Schätzen Sie das mean model r t = µ + u t mit OLS. (Zur Abkürzung setzen wir r t := RETURN t ). C 00327 00181 1.806452 0.0709 R-squared 00000 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared 00000 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04284 Akaike info criterion -5.659207 Sum squared resid 1.270493 Schwarz criterion -5.658126 Log likelihood 17623.77 Hannan-Quinn criter. -5.658832 Durbin-Watson stat 23778 Welche Ergebnisse dieser Schätzung lassen sich bereits aus den deskript. Statistiken in (b) antizipieren? ˆµ = 027% und ˆσ = 1.4%. Auch R 2 = 0 ist klar, da nur Konstante als erklärende Variable. 2

Der Breusch-Godfrey-Test auf residuale Autokorrelation 1. Ordn. und der Test auf ARCH-Effekte 1. Ordn. involvieren die folgenden OLS-Schätzungen mit den Residuen û t dieser Schätzung (die Residuen sind hier schlicht die von ihrem empir. Mittelwert bereinigten Renditen û t = r t ˆµ): ; û t = 1.3 10 9 2.1 10 3 û t 1 (1.8 10 4 ) (1.3 10 2 ) T = 6228, R 2 = 4 10 6 û t 2 = 1.7 10 4 + 1.7 10 1 ût 1 2 (7.1 10 6 ) (1.2 10 2 ). T = 6227, R 2 = 3 10 2 Anmerkung: Die Ergebnisse sind übertragen aus: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 06173 Prob. F(1,6226) 0.8715 Obs*R-squared 06182 Prob. Chi-Square(1) 0.8715 Dependent Variable: RESID Sample: 11/27/1990 7/03/2015 Included observations: 6228 Presample missing value lagged residuals set to zero. C 1.32E-09 00181 7.32E-06 100 RESID(-1) -02050 02674-0.161781 0.8715 R-squared 00004 Mean dependent var 3.37E-19 Adjusted R-squared -00156 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04285 Akaike info criterion -5.658890 Sum squared resid 1.270488 Schwarz criterion -5.656727 Log likelihood 17623.78 Hannan-Quinn criter. -5.658141 F-statistic 06173 Durbin-Watson stat 1.999764 Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 189.5279 Prob. F(1,6225) 000 Obs*R-squared 183.9871 Prob. Chi-Square(1) 000 Dependent Variable: RESID^2 Sample (adjusted): 11/28/1990 7/03/2015 Included observations: 6227 after adjustments C 00169 7.07E-06 23.89594 000 RESID^2(-1) 0.171891 02486 13.76691 000 R-squared 09547 Mean dependent var 00204 Adjusted R-squared 09391 S.D. dependent var 00528 S.E. of regression 00520 Akaike info criterion -12.28418 Sum squared resid 01685 Schwarz criterion -12.28201 Log likelihood 38248.78 Hannan-Quinn criter. -12.28343 F-statistic 189.5279 Durbin-Watson stat 2.084244 Was ist das Ergebnis dieser Tests (5%-Niveau)? Mit t-statistiken: Keine Ablehnung Keine Autokorrelation (Test findet keine Signifikanz für residuale Autokorrelation) Ablehnung keine ARCH-Effekte (Test findet hohe Signifikanz für ARCH-Effekte) Stützen die Tests die Aussage Unkorreliertheit, aber keine stochast. Unabhängigkeit der DAX-Renditen? Ja, denn die Residuen selbst zeigen keine signifikante Autokorrelation (1. Ordn.), ihre Quadrate aber schon. Da die DAX-Renditen r t hier schlicht die um eine Konstante (ˆµ) verschobenen Residuen û t sind, überträgt sich diese Aussage auf die DAX-Renditen. Diese korrelieren also nicht (signifikant) miteinander, sind aber dennoch nicht stochast. unabhängig voneinander, weil sonst auch ihre Quadrate (wie jede Funktion von ihnen) unkorreliert wären. Wie groß ist die geschätzte Autokorrelation erster Ordnung in r t, wie groß diejenige in rt 2? (Hinweis: 4 = 2, 3 1.7). ĉor(r t, r t 1 ) = RBG T 2 est = 4 10 6 = 2 10 3 = 02 ĉor(rt 2, rt 1) 2 = + RARCH T 2 est = 3 10 2 = 1.7 10 1 = +0.17 Welcher Wert für ĉor(r t, r t 1 ) ergibt sich aus der DW-Statistik? DW-Statistik (aus der initialen Regression, d.h. r t = µ + u t!): DW = 203778 24. Damit: ĉor(r t, r t 1 ) = ĉor(u t, u t 1 ) = ˆϱ = (2 DW )/2 = 04/2 = 02 Übereinstimmung 3

iii. Führen Sie den Breusch-Godfrey-Test und den Test auf ARCH-Effekte jeweils der Ordnung 2 mit den Residuen aus ii. durch Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 1.403936 Prob. F(2,6225) 0.2457 Obs*R-squared 2.807959 Prob. Chi-Square(2) 0.2456 Dependent Variable: RESID Sample: 11/27/1990 7/03/2015 Included observations: 6228 Presample missing value lagged residuals set to zero. Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 300.0969 Prob. F(2,6223) 000 Obs*R-squared 547.6623 Prob. Chi-Square(2) 000 Dependent Variable: RESID^2 Sample (adjusted): 11/29/1990 7/03/2015 Included observations: 6226 after adjustments C 4.08E-08 00181 00226 0.9998 RESID(-1) -02094 02672-0.165264 0.8687 RESID(-2) -01135 02672-1.667840 0.0954 R-squared 00451 Mean dependent var 3.37E-19 Adjusted R-squared 00130 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04283 Akaike info criterion -5.659016 Sum squared resid 1.269920 Schwarz criterion -5.655771 Log likelihood 17625.18 Hannan-Quinn criter. -5.657891 F-statistic 1.403936 Durbin-Watson stat 21387 C 00127 7.16E-06 17.80038 000 RESID^2(-1) 0.129749 02289 10.55813 000 RESID^2(-2) 0.245329 02289 19.96330 000 R-squared 0.087964 Mean dependent var 00204 Adjusted R-squared 0.087671 S.D. dependent var 00528 S.E. of regression 00504 Akaike info criterion -12.34580 Sum squared resid 01583 Schwarz criterion -12.34255 Log likelihood 38435.47 Hannan-Quinn criter. -12.34467 F-statistic 300.0969 Durbin-Watson stat 2.092726 und interpretieren Sie die Testergebnisse. Tests zeigen bei Ordnung 2 qualitativ das gleiche Ergebnis wie bei Ordnung 1. Stützen die Tests die Aussage Unkorreliertheit, aber keine stochastische Unabhängigkeit der DAX- Renditen? Ja (wie bei Ordnung 1). iv. Führen Sie den Breusch-Godfrey-Test und den Test auf ARCH-Effekte der Ordnung 5 für das Modell aus ii. durch Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 5.654612 Prob. F(5,6222) 000 Obs*R-squared 28.17231 Prob. Chi-Square(5) 000 Dependent Variable: RESID Sample: 11/27/1990 7/03/2015 Included observations: 6228 Presample missing value lagged residuals set to zero. Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 217.2116 Prob. F(5,6217) 000 Obs*R-squared 925.4395 Prob. Chi-Square(5) 000 Dependent Variable: RESID^2 Sample (adjusted): 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 after adjustments C 1.74E-07 00181 00961 0.9992 RESID(-1) -00252 02671-09896 0.9841 RESID(-2) -01792 02663-1.720998 0.0853 RESID(-3) -00980 02657-3.237802 012 RESID(-4) 06509 02665 2.882567 040 RESID(-5) -03364 02681-2.631142 085 R-squared 04523 Mean dependent var 3.37E-19 Adjusted R-squared 03724 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04257 Akaike info criterion -5.662135 Sum squared resid 1.264746 Schwarz criterion -5.655645 Log likelihood 17637.89 Hannan-Quinn criter. -5.659886 F-statistic 5.654612 Durbin-Watson stat 21029 C 7.91E-05 7.31E-06 10.82162 000 RESID^2(-1) 08013 02549 3.826167 001 RESID^2(-2) 0.171326 02504 13.70176 000 RESID^2(-3) 0.151522 02544 12.07878 000 RESID^2(-4) 0.096415 02504 7.711031 000 RESID^2(-5) 0.145313 02554 11.57547 000 R-squared 0.148713 Mean dependent var 00204 Adjusted R-squared 0.148028 S.D. dependent var 00528 S.E. of regression 00488 Akaike info criterion -12.41331 Sum squared resid 01478 Schwarz criterion -12.40681 Log likelihood 38630 Hannan-Quinn criter. -12.41106 F-statistic 217.2116 Durbin-Watson stat 29147 und interpretieren Sie die Testergebnisse. Siehe folgende Tests zur Ordnung 10. Anmerkung: Für Ordnungen 3 finden wir eine signifikante Autokorrelation in den u t bzw. r t. Die Autokorrelation in den u t (bis zur Ordn. 28) scheint eliminiert, wenn man fünf Lags von r t einbezieht, d.h. zum Modell r t = β 0 + β 1 r t 1 + β 2 r t 2 + β 3 r t 3 + β 4 r t 4 + β 5 r t 5 + u t übergeht. Da ein solches Modell der Effizienzmarkthypothese widersprechen würde (wieso?), bleiben wir im Folgenden beim einfachen mean model (die Ergebnisse würden sich nicht qualitativ verändern). 4

Führen Sie den Breusch-Godfrey-Test und den Test auf ARCH-Effekte der Ordnung 10 für das Modell aus ii. durch Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 3.327599 Prob. F(10,6217) 003 Obs*R-squared 33.15740 Prob. Chi-Square(10) 003 Dependent Variable: RESID Sample: 11/27/1990 7/03/2015 Included observations: 6228 Presample missing value lagged residuals set to zero. Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 126.7195 Prob. F(10,6207) 000 Obs*R-squared 1054.217 Prob. Chi-Square(10) 000 Dependent Variable: RESID^2 Sample (adjusted): 12/11/1990 7/03/2015 Included observations: 6218 after adjustments C 3E-07 00181 01680 0.9987 RESID(-1) -00853 02683-0.067261 0.9464 RESID(-2) -01089 02683-1.662846 0.0964 RESID(-3) -01223 02686-3.249455 012 RESID(-4) 04817 02697 2.742132 061 RESID(-5) -02665 02709-2.570363 002 RESID(-6) -00216 02709-1.590658 0.1117 RESID(-7) -08993 02704-0.707898 0.4790 RESID(-8) 04810 02694 1.166705 0.2434 RESID(-9) -09662 02693-0.761190 0.4466 RESID(-10) -02647 02700-0.208408 0.8349 R-squared 05324 Mean dependent var 3.37E-19 Adjusted R-squared 03724 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04257 Akaike info criterion -5.661334 Sum squared resid 1.263729 Schwarz criterion -5.649436 Log likelihood 17640.39 Hannan-Quinn criter. -5.657210 F-statistic 3.327599 Durbin-Watson stat 1.999515 C 5.53E-05 7.48E-06 7.391747 000 RESID^2(-1) 07802 02678 1.404094 0.1603 RESID^2(-2) 0.138869 02645 10.98220 000 RESID^2(-3) 0.117812 02743 9.245229 000 RESID^2(-4) 06801 02803 4.436616 000 RESID^2(-5) 0.108049 02818 8.429277 000 RESID^2(-6) 09786 02820 3.103421 019 RESID^2(-7) 0.066135 02810 5.162658 000 RESID^2(-8) 0.061100 02750 4.792243 000 RESID^2(-9) 0.074770 02651 5.910364 000 RESID^2(-10) 08266 02689 3.803684 001 R-squared 0.169543 Mean dependent var 00204 Adjusted R-squared 0.168205 S.D. dependent var 00528 S.E. of regression 00482 Akaike info criterion -12.43576 Sum squared resid 01442 Schwarz criterion -12.42384 Log likelihood 38673.77 Hannan-Quinn criter. -12.43163 F-statistic 126.7195 Durbin-Watson stat 29047 und interpretieren Sie die Testergebnisse. Wir finden zwar eine signifikante Autokorrelation in den Residuen (und damit auch den Renditen selbst), allerdings ist sie wesentlich schwächer ausgeprägt als die Autokorrelation in den Quadraten (d.h. die Signifikanz der ARCH-Effekte), wie man z.b. am Vergleich der R 2 -Werte erkennt: Der BG(10)- Test (auf lineare Autokorrelation) weist nur ein R 2 von 05 auf, während der ARCH(10)-Test (auf quadratische Autokorrelation) ein R 2 von ca. 0.17 hat. 1 Entsprechend deutlich ist der Unterschied in den Werten der F -Statistik (3.3 vs. 127) oder χ 2 -Statistik. Es fällt auch auf, dass im BG-Test nur die Lags 3,4,5 individuell signifikant sind, während im ARCH- Test alle Lags (außer dem ersten) schon individuell sehr signifikant sind. Die individ. Signifikanz des Lags Nr. 5 könnte auch aus einer Wochentags-Periodizität resultieren (z.b. weil aufgrund eines Freitag-Nachmittag-Effekts die Rendite an Freitagen systematisch etwas höher ausfällt.) Man beachte dazu, dass die meisten Wochen gerade 5 Handelstage haben, einige Wochen aber auch weniger, z.b. die Weihnachts- und Osterwoche. Es könnte sein, dass die 5-Tage-Periodizität sich verschmiert und in der Signifikanz der Lags 3,4 und 5 ausdrückt. 2 Es lässt sich festhalten, dass die Autokorrelation in den (vorzeichenlosen) Rendite-Quadraten viel manifester ist als die Autokorrelation in den (vorzeichenbehafteten) Renditen selbst. Dies impliziert, dass man kaum das Vorzeichen der Rendite, aber recht gut ihren Absolutbetrag voraussagen kann. Dies wiederum bedeutet, dass sich zwar nicht die Rendite selbst, aber ihre Schwankungsbreite (Volatilität) recht gut voraussagen lässt. Da wir im ARCH-Test bei allen betrachteten Lags ein (fast immer: hochsignifikant) positives Vorzeichen haben, stabilisiert sich eine Volatiltätserhöhung in der (kurzfristigen) Vergangenheit, was konsistent zum Phänomen der Volatilitätsklumpung ist. 1 D.h. die aktuelle Rendite r t lässt sich auf Basis der 10 vorhergehenden Renditen nur ganz schlecht voraussagen (Korrelation zwischen Vorhersage und tatsächlichem Wert beträgt nur 05 = 0.07), während das Quadrat der Rendite sich mit den 10 vergangenen Renditequadraten recht gut vorhersagen lässt (Korrelation zwischen Vorhersage und tatsächlichem Wert beträgt 0.17 = 0.41 fast 6 mal so viel). 2 Dafür, dass auch eine Monats-Periodizität eine Rolle spielen könnte, spricht, dass das nächste individuell signifikante Lag im BG-Test bei Nr. 28 liegt. 5

v. Wieso erscheint eine ARCH-Modellierung für die Volatilität der DAX-Renditen adäquat? Weil wir hoch-signifikante ARCH-Effekte gefunden haben. Schätzen Sie das mean model bei unterstelltem ARCH(5)-Volatiltätsmodell per Max.Likelihood bei unterstellter Normalverteilung: r t = µ + u t, σ 2 t = δ + ϱ 1 u 2 t 1 +... + ϱ 5 u 2 t 5, u t {rt 1,r t 2,...} N (0, σ 2 t ) Convergence achieved after 20 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-2)^2 + C(5)*RESID( -3)^2 + C(6)*RESID(-4)^2 + C(7)*RESID(-5)^2 C 00701 00130 5.377195 000 C 5.59E-05 1.78E-06 31.43139 000 RESID(-1)^2 05210 00322 4.379886 000 RESID(-2)^2 0.189446 05011 12.62020 000 RESID(-3)^2 0.186149 04450 12.88220 000 RESID(-4)^2 0.159277 03218 12970 000 RESID(-5)^2 0.164069 04643 11.20454 000 R-squared -00686 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared -01651 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04296 Akaike info criterion -5.944287 Sum squared resid 1.271364 Schwarz criterion -5.936715 Log likelihood 18517.51 Hannan-Quinn criter. -5.941663 Durbin-Watson stat 22405 Sind die Positivitäts- und Stationaritätsbedingungen für die ARCH-Schätzung erfüllt? Ja: Alle Koeffizienten in der Varianz-Gleichung sind positiv und Summe der Koeffizienten der û 2 t k 0 + 0.19 + 0.19 + 0.16 + 0.16 0.75 < 1 Der Schätzwert ˆµ für die mittlere DAX-Rendite verändert sich dabei sehr stark gegenüber der OLS- Schätzung. Tatsächlich ist der mit dem ARCH-Modell geschätzte Wert, ˆµ = 0.07% pro Tag, mehr als doppelt so groß wie der OLS-Schätzwert von ca 02% pro Tag. Spricht die Richtung der Veränderung dafür, dass eine erhöhte Volatilität der DAX-Renditen eher in einer Wachstumsphase des DAX (überwiegend positive Schocks u t > 0) oder in einer Schrumpfungsphase (überwiegend negative Schocks u t < 0) auftritt? Dazu war als Hinweis gegeben: Argumentieren Sie damit, dass ARCH/GARCH-Schätzungen eine Art gewichtete OLS-Schätzung vornehmen, wobei Phasen hoher Volatilität mindergewichtet werden. Der stark vergrößerte Schätzwert (ARCH(5): 0.07% pro Tag, gegenüber OLS: ca 02% pro Tag) könnte sich dadurch erklären, dass Phasen hoher Volatilität tendentiell zusammenfallen mit Phasen, in denen der DAX einen fallenden Trend hat und somit überwiegend negative d.h. kleine Renditen aufweist. Wenn die ARCH-Schätzung diese Phasen mindergewichtet, gehen die großen (positiven) Renditen stärker ein und es kommt zu einer Vergrößerung des Schätzwerts gegenüber OLS, das jede Beobachtung gleichgewichtet. Bereits hier deutet sich an, dass der DAX volatiler ist, wenn er fällt als wenn er steigt. Oder: Die Anleger reagieren volatiler ( nervöser ) auf negative Rendite-Schocks bzw. einen fallenden DAX als auf positive Schocks bzw. einen steigenden DAX. Dies erweist sich als konsistente Erklärung für die restlichen Überlegungen (und legt bereits hier ein asymmetrisches ARCH-Modell nahe). 6

vi. Wieso erscheint eine GARCH-Modellierung für die Volatilität der DAX-Renditen adäquat? Weil wir ARCH-Effekte sehr hoher Ordnung gefunden haben. Ein GARCH-Modell kann dies i.d.r. mit weniger Parametern als ein ARCH-Modell erfassen ( parsimonity in parameters is a virtue ). Schätzen Sie das mean model mit GARCH(1,1)-Volatilitätsmodell per Max.Likelihood bei unterstellter Normalverteilung: r t = µ + u t, σ 2 t = δ + ϱ u 2 t 1 + τ σ 2 t 1, u t {rt 1,r t 2,...} N (0, σ 2 t ) Convergence achieved after 20 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-2)^2 + C(5)*RESID( -3)^2 + C(6)*RESID(-4)^2 + C(7)*RESID(-5)^2 C 00701 00130 5.377195 000 C 5.59E-05 1.78E-06 31.43139 000 RESID(-1)^2 05210 00322 4.379886 000 RESID(-2)^2 0.189446 05011 12.62020 000 RESID(-3)^2 0.186149 04450 12.88220 000 RESID(-4)^2 0.159277 03218 12970 000 RESID(-5)^2 0.164069 04643 11.20454 000 R-squared -00686 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared -01651 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04296 Akaike info criterion -5.944287 Sum squared resid 1.271364 Schwarz criterion -5.936715 Log likelihood 18517.51 Hannan-Quinn criter. -5.941663 Durbin-Watson stat 22405 zum Vgl. nochmal ARCH(5)-Schätzung GARCH(1,1)-Schätzung Convergence achieved after 27 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1) C 00661 00141 4.690111 000 C 3.21E-06 3.11E-07 10.33609 000 RESID(-1)^2 0.083175 05504 15.11294 000 GARCH(-1) 0.899449 06705 134.1484 000 R-squared -00548 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared -01030 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04291 Akaike info criterion -5.980556 Sum squared resid 1.271189 Schwarz criterion -5.976229 Log likelihood 18627.45 Hannan-Quinn criter. -5.979056 Durbin-Watson stat 22680.07.06 Conditional standard deviation ARCH(5) Conditional standard deviation (GARCH(1,1)) Anmerkung 1: Das GARCH-Modell liefert den glatteren Volatilitätsverlauf typisch Anmerkung 2: Die Volatilität σ t revertiert immer wieder auf unbedingtes σ = 1.4% Stationarität Sind die Positivitäts- und Stationaritätsbedingungen in der GARCH-Schätzung erfüllt? Ja: Alle Koeffezienten sind positiv und Summe Koeff(û 2 t 1 ) + Koeff(ˆσ2 t 1 ) = 0.083 + 0.9 = 0.983 < 1 Der Schätzwert ˆµ für die mittlere DAX-Rendite ist auch hier stark vergrößert gegenüber der OLS- Schätzung. Hier ˆµ = 0.066% vs. ˆµ OLS = 02% Legt dies eine hohe Volatilität in Phasen mit überwiegend positiven (den DAX erhöhenden) Schocks oder in Phasen mit überwiegend negativen Schocks nahe? Siehe vorne, die Überschätzung passt zu einer Volatilitätserhöhung als Reaktion auf negative Schocks. Anmerkung: Dass das GARCH(1,1)-Modell adäquater ist als das ARCH(5)-Modell, sieht man auch am erzielten Wert der Log-Likelihood: Sie ist beim GARCH-Modell, trotz weniger Parameter, größer (18627 vs. 18517). Damit wird aber i.w. nur gemessen, wie gut das Modell die Daten fitten kann und der Fit ist etwas besser beim GARCH-Modell. Auch AIC und SIC zeigen eine Verbesserung (Verkleinerung, da mit der negativen Log-Likelihood gebildet) beim GARCH-Modell (Dies ist klar aus Log-Likelihood-Betrachtung, da zusätzliche Bestrafung für mehr Parameter beim ARCH-Modell). 7

vii. Wieso erscheint für die DAX-Renditen eine GARCH-Modellierung adäquat, die zulässt, dass positive Schocks einen anderen Effekt auf die Volatilität haben als negative? Das wurde vorne schon mehrfach diskutiert. Schätzen Sie das mean model mit einem TGARCH(1,1)-Volatilitätsmodell ( threshold order 1 ) per Max.Likelihood bei unterstellter Normalverteilung. Implementierung in EViews: r t = µ + u t, σt 2 = δ + α u 2 t 1 + β u 2 t 1 1[u t 1 < 0] + τσt 1, 2 u t {rt 1,r t 2,...} N (0, σt 2 ) { Es gilt: α U 2 + β U 2 1[U < 0] = αu 2 U 0 (α + β)u 2 U < 0 zum Vgl. nochmal GARCH(1,1)-Schätzung TGARCH(1,1)-Schätzung Convergence achieved after 27 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1) Convergence achieved after 27 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) + C(5)*GARCH(-1) C 00661 00141 4.690111 000 C 3.21E-06 3.11E-07 10.33609 000 RESID(-1)^2 0.083175 05504 15.11294 000 GARCH(-1) 0.899449 06705 134.1484 000 R-squared -00548 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared -01030 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04291 Akaike info criterion -5.980556 Sum squared resid 1.271189 Schwarz criterion -5.976229 Log likelihood 18627.45 Hannan-Quinn criter. -5.979056 Durbin-Watson stat 22680 C 00365 00143 2.549777 008 C 3.39E-06 3.17E-07 10.71133 000 RESID(-1)^2 04915 04044 3.687784 002 RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) 0.107850 07862 13.71818 000 GARCH(-1) 0.910028 05504 165.3522 000 R-squared -00007 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared -00650 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04289 Akaike info criterion -60600 Sum squared resid 1.270502 Schwarz criterion -5.995191 Log likelihood 18690.87 Hannan-Quinn criter. -5.998725 Durbin-Watson stat 23764 Conditional standard deviation (GARCH(1,1)) Conditional standard deviation TGARCH(1,1) Bestätigen sich die Vermutungen bzgl. der asymmetrischen Wirkung des Vorzeichens vergangener Schocks auf die DAX-Volatilität? Koeffizient für Effekt positiver Schocks auf Volatilität: ˆα = 05 Koeffizient für Effekt negativer Schocks auf Volatilität: ˆα + ˆβ = 0.11 + 05 = 0.125 (demnach hätten negative Schocks einen fast um den Faktor 10 stärkeren Effekt auf Vola. als positive) Ist die Asymmetrie signifikant? (5%-Niveau) Teste: H 0 : α + β = α β = 0 Hochsignifikante Ablehnung Symmetrie auf Basis t-statistik. Anmerkungen dazu: Die t-statistik wird hier z-statistik genannt, (vermutlich) weil die p-werte aus der Std- Normalverteilung ermittelt werden (was bei der großen Zahl von Beobachtungen T > 6000 ohnehin keinen Unterschied macht). Tests linearer Restriktionen lassen sich ganz generell bei einer Max.Likelihood-Schätzung, wie hier, durchführen (siehe Wald-, LR- und LM-Tests im Abschnitt zur ML-Schätzung). Die zugehörigen Teststatistiken sind (asymptotisch) χ 2 -verteilt. Da eine χ 2 1-Verteilung das Quadrat einer Std-Normalverteilung ist, bekommt man für einen einfachen Signifkanztest von H 0 : β = 0 durch Wurzelziehen und Berücksichtigung des Vorzeichens auf die Std-Normalverteilung, d.h. die z-statistik. 8

viii. Schätzen Sie ein EGARCH(1,1)-Volatilitätsmodell (mit threshold order 1 ) per Max.Likelihood bei unterstellter Normalverteilung. Anmerkung: In EViews wird dazu folgendes Modell geschätzt: Mit Positivanteil X + := r t = µ + u t, log(σ 2 t ) = δ + α u t 1 σ t 1 + β u t 1 { X, X 0 0, X < 0 u. Negativanteil X := { 0, X 0 X, X < 0 σ t 1 + τ log(σ 2 t 1) α X + β X = (α + β)x + + (α β) X von X = ut 1 σ t 1 gilt: Convergence achieved after 27 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) + C(5)*GARCH(-1) C 00365 00143 2.549777 008 C 3.39E-06 3.17E-07 10.71133 000 RESID(-1)^2 04915 04044 3.687784 002 RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) 0.107850 07862 13.71818 000 GARCH(-1) 0.910028 05504 165.3522 000 R-squared -00007 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared -00650 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04289 Akaike info criterion -60600 Sum squared resid 1.270502 Schwarz criterion -5.995191 Log likelihood 18690.87 Hannan-Quinn criter. -5.998725 Durbin-Watson stat 23764 Convergence achieved after 18 iterations LOG(GARCH) = C(2) + C(3)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(4) *RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(5)*LOG(GARCH(-1)) C 00318 00141 2.251769 043 C(2) -0.271282 08561-14.61582 000 C(3) 0.120650 05173 23.32215 000 C(4) -0.079801 04451-17.92769 000 C(5) 0.979698 01810 541.3498 000 R-squared -00000 Mean dependent var 00327 Adjusted R-squared -00643 S.D. dependent var 04284 S.E. of regression 04288 Akaike info criterion -61580 Sum squared resid 1.270493 Schwarz criterion -5.996171 Log likelihood 18693.92 Hannan-Quinn criter. -5.999705 Durbin-Watson stat 23777 Conditional standard deviation TGARCH(1,1) Conditional standard deviation EGARCH(1,1) Anmerkung: Bei allen ARCH/GARCH-Modellen sehen wir starke Schwankungen in der Volatilität der DAX-Renditen. Z.B. ist σ t in der Finanzkrise 2008 drei- oder viermal so groß wie der langfristige ( unbedingte ) Wert σ = 1.4%. Mit einer solchen Std.Abweichung wird auch ein Ausreißerwert in der DAX-Rendite wie µ t = 10% (pro Tag!) nicht mehr derart unwahrscheinlich wie bei σ = 1.4% (selbst mit der unterstellten Normalvtlg.) Interpretieren Sie auch hier das Ergebnis in Bezug auf die asymmetrische Wirkung vergangener Schocks auf die Volatilität. Hier ˆα = C(3) = 0.12, ˆβ = C(4) = 0.08 Effekt negativer Schock (X ) auf Vola: ˆα ˆβ = 0.20 Effekt positiver Schock (X + ) auf Vola: ˆα + ˆβ = 0 Also auch hier: Viel stärkerer Effekt negativer als positiver Schocks auf die Volatilität (Faktor 5). Formaler Siginifikanztest auf asymmetrischen Effekt: H 0 : α β = α + β 2β = 0 β = 0. Dies kann auf Basis der t- (= z-) Statistik von C(4) hochsignifikant abgelehnt werden. Also auch formal: Hohe Signfikanz (t-statistik von 18) für asymmetrischen Effekt. Auf welchen Wert wird nun die mittlere DAX-Rendite ˆµ geschätzt? Mit ˆµ = 02% ( ˆ=8% DAX-Wachstum pro Jahr) fast genau auf den OLS-Schätzwert (= empir. Mittelwert) 9

Zum Abschluss noch die EGARCH(1,1)-Schätzung des um 5 autoregressive Terme erweiterten mean models, r t = β 0 + β 1 r t 1 +... + β 5 r t 5 + u t. (Schätzergebnis bzgl. Varianzmodell ändert sich kaum): EGARCH(1,1)-Schätzung Zum Vgl. die OLS-Schätzung dieses Modells: Sample (adjusted): 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 after adjustments Sample (adjusted): 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 after adjustments Convergence achieved after 50 iterations LOG(GARCH) = C(7) + C(8)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(9) *RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(10)*LOG(GARCH(-1)) C 00345 00181 1.904961 068 RETURN(-1) -00347 02674-07339 0.9782 RETURN(-2) -01838 02665-1.724233 0.0847 RETURN(-3) -00796 02660-3.222490 013 RETURN(-4) 06743 02668 2.900429 037 RETURN(-5) -03358 02681-2.630498 085 R-squared 04530 Mean dependent var 00325 Adjusted R-squared 03729 S.D. dependent var 04285 S.E. of regression 04258 Akaike info criterion -5.662006 Sum squared resid 1.263893 Schwarz criterion -5.655511 Log likelihood 17623.33 Hannan-Quinn criter. -5.659754 F-statistic 5.658141 Durbin-Watson stat 20935 Beachte: OLS hat das größere R 2 (weil OLS R 2 maximiert, während ML die (log-) Likelihood maximiert) C 00350 00143 2.455371 041 RETURN(-1) -01635 03779-0.118652 0.9056 RETURN(-2) -01478 02817-0.115342 0.9082 RETURN(-3) -07683 02625-0.608547 0.5428 RETURN(-4) 07602 02538 0.606296 0.5443 RETURN(-5) -04720 02067-28567 005 C(7) -0.270578 08803-14.39014 000 C(8) 0.119837 05631 21.28159 000 C(9) -0.078056 04460-17.50286 000 C(10) 0.979712 01814 540.1679 000 R-squared 02093 Mean dependent var 00325 Adjusted R-squared 00648 S.D. dependent var 04285 S.E. of regression 04280 Akaike info criterion -60953 Sum squared resid 1.266986 Schwarz criterion -5.990129 Log likelihood 18681.97 Hannan-Quinn criter. -5.997201 F-statistic 1.448206 Durbin-Watson stat 1.999109 Beim EGARCH(1,1)-Modell scheint die Autokorrelation sowohl in den Residuen selbst als auch in den Correlogram of Standardized Residuals Correlogram of Standardized Residuals Squared Residualquadraten verschwunden: (während bei OLS die Res.Quadrate nach wie vor autokorrelieren) Korrelogram Residuen EGARCH(1,1) bei AR(5)-Mean-Mod Sample: 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob 1 08 08 0.4330 0.511 2 01 01 0.4442 0.801 3-05 -05 1.7970 0.616 4 02 02 2.6899 0.611 5 01 00 2.6925 0.747 6-07 -08 4.5852 0.598 7-05 -04 4.7174 0.694 8 00 00 5.3488 0.720 9-00 -00 5.9440 0.746 10-01 -01 5.9499 0.819 11 01 01 11.851 0.375 12 06 04 12.064 0.441 13-04 -04 12.160 0.515 14 01 02 12.863 0.537 15 07 06 13.131 0.592 16 06 05 13.363 0.646 17 02 04 14.273 0.648 18-05 -05 14.436 0.700 19 05 04 14.587 0.748 20 03 04 17.864 0.596 21-09 -09 18.332 0.628 22-03 -04 19.455 0.617 23-06 -05 19.694 0.660 24-06 -07 21.313 0.620 25 02 02 22.281 0.619 26 02 03 22.316 0.671 27-08 -09 24.373 0.610 28 01 01 25.179 0.618 29 09 09 30.378 0.395 30 08 06 32.391 0.350 31-02 -03 33.271 0.357 32 01 02 33.277 0.405 33-02 -03 33.304 0.452 34-01 -01 348 0.467 35-07 -04 34.340 0.500 36-04 -04 34.419 0.544 Korrelogr. Residualquadrate EGARCH(1,1) bei AR(5)-Mean-Mod Sample: 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob 1-03 -03 169 0.313 2 06 05 1.2154 0.545 3 02 02 268 0.563 4 03 04 2.1196 0.714 5 06 06 3.6844 0.596 6-00 -00 3.6849 0.719 7 03 02 3.7290 0.810 8-04 -05 3.8406 0.871 9 05 05 462 0.911 10-04 -04 4.0829 0.944 11 04 04 4.1770 0.964 12-08 -08 4.5509 0.971 13-08 -08 4.9478 0.976 14 08 07 5.3175 0.981 15-07 -06 5.6104 0.986 16 06 06 5.8319 0.990 17-02 -02 5.8621 0.994 18-09 -09 6.4034 0.994 19-04 -05 6.5126 0.996 20 03 04 6.5864 0.998 21-07 -07 6.8917 0.998 22 05 05 722 0.999 23 09 09 7.4895 0.999 24-06 -05 7.6908 0.999 25-00 -01 7.6915 10 26-03 -03 7.7639 10 27-08 -08 8.1248 10 28 02 02 8.1500 10 29 01 01 8.1547 10 30 01 01 8.1642 10 31-03 -03 8.2313 10 32-01 -01 8.2363 10 33-01 -01 8.2395 10 34-03 -03 8.2997 10 35-09 -09 8.8329 10 36 01 01 11.711 10 10

Aufgabe 22: Gegeben ist ein Zeitreihen-Regressionsmodell y t = β 0 + β x t + u t (1) das unter den Gauß-Markov-Annahmen im Stationaritäts-Szenario betrachtet wird. i. Die Grundformen von Hypothesentests auf/von a) Autokorrelation in den Störtermen (Breusch-Godfrey), b) statische Heteroskedastie (Breusch-Pagan bzw. White) c) Instationarität in Form von Unit-Roots (Dickey-Fuller), d) ARCH-Effekte (Engle) können allesamt auf OLS-geschätzten Regressionsmodellen aufgebaut werden (teilweise sind sie der OLS-Schätzung von (1) nachgelagert sind und verwenden deren Residuen û t anstelle der Störterme u t ). Notieren Sie hinter den folgenden Angaben, welcher der obigen Tests jeweils in seiner Grundform adressiert wird (sofern überhaupt zutreffend): 1) y t = α + ϱ y t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 2) y t = α + ϱ y t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 3) y t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 4) y t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 5) û t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 6) û t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 7) û 2 t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 8) û 2 t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 9) û 2 t = α + ϱ û 2 t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 10) û 2 t = α + ϱ û 2 t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 11) û 2 t = α + ϱ x t + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 12) û t = α + ϱ x t + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 ii. Welcher der vier Tests aus Teil i. sollte als erster (und für alle beteiligten Variablen) durchgeführt werden? Warum? Was unterscheidet diesen Test (bzgl. der Nullhypothese) von den drei anderen? Welche Maßnahme empfiehlt sich bei einer Verletzung der entsprechenden Gauß-Markov-Annahme (sofern nicht ko-integrierende Zeitreihen involviert sind)? iii. Bei welchen der vier Tests aus Teil i. ist selbst bei Verletzung der entsprechenden Gauß-Markov- Annahme noch Konsistenz der OLS-Schätzung sichergestellt (die anderen Gauß-Markov-Annahmen als erfüllt vorausgesetzt)? Erläutern Sie unter Verwendung der Begriffe Effizienz und statistische Inferenz die Probleme, die man bei OLS-Schätzung eines Modells hat, wo die Stationaritäts- und Exogenitätsannahmen erfüllt sind, aber Störterm-Heteroskedastie oder -Autokorrelation auftritt. iv. Wahr oder falsch: Wenn die Störterme in einem Regressionsmodell für Zeitreihen ARCH-Effekte enthalten, müssen sie notwendigerweise autokorreliert sein? v. Gegeben ist ein Zeitreihen-Modell, in dem ARCH-Effekte auftreten. Das Modell wird einmal mit OLS geschätzt und einmal mit Maximum-Likelihood basierend auf einem GARCH(1,1)- Residualmodell. Wahr oder falsch: Das R 2 der GARCH-Schätzung ist notwendigerweise kleiner (oder gleich) dem R 2 der OLS-Schätzung? (Das R 2 der GARCH-Schätzung sei dabei definiert als die quadrierte empirische Korrelation von gefittetem und tatsächlichem Outcome.) 11