Schule Station USA ein Land unbegrenzter Möglichkeiten? Teil 1 Arbeitsheft Klasse Tischnummer Teilnehmercode
Liebe Schülerinnen und Schüler! Mathematik-Labor Station USA - ein Land der In Ihrem bisherigen Gang durch die Analysis haben Sie viele Möglichkeiten kennengelernt den Verlauf eines Graphen zu bestimmen und Anwendungsaufgaben lösen zu können. Dabei spielten Begriffe wie Ableitung, Extremstelle, Nullstelle und Wendestelle eine zentrale Rolle. In dieser Station werden Sie nun zunächst in die Rolle eines Landvermessers aus dem frühen 20. Jahrhundert schlüpfen. Wie das genau funktioniert und warum die Landvermesser schon damals von den Errungenschaften der Mathematik profitierten, erfahren Sie ab Aufgabe 1. Wichtig: Bearbeitet bitte alle Aufgaben der Reihe nach! Zu dieser Aufgabe gibt es Hilfen im Hilfeheft. Diskutiert hier eure wichtigsten Ergebnisse und fasst sie zusammen. Zu dieser Aufgabe gibt es eine Simulation oder ein Video. Zu dieser Aufgabe gibt es Material auf eurem Tisch. Wir wünschen Euch viel Spaß beim Experimentieren und Entdecken! Das Mathematik-Labor-Team 1
Aufgabe 1:Hinführung zur Integralrechnung Abraham Lincoln wurde 1861 zum 16. Präsident der USA gewählt. Was viele nicht wissen: Vorher war er Landvermesser! Den Landvermessern standen damals natürlich noch keine Satellitenbilder für ihre Vermessungen zur Verfügung. Deshalb war es unter anderem wichtig, die Größe und Form eines Landstückes möglichst exakt abschätzen zu können. Zur Bearbeitung von Aufgabe 1 stehen Ihnen eine Landkarte (DIN A2) der USA aus dem Jahre 1913 zur Verfügung. Die USA bestanden damals aus 48 Staaten (noch ohne Alaska und Hawaii). Zur Bearbeitung der Aufgaben benötigen Sie außerdem blaue und rote Rechtecke in verschiedenen Größen, sowie eine Stoppuhr. Material Landkarte USA (A2) Rechtecke blau/rot Stoppuhr 2
Aufgabe 1:Hinführung zur Integralrechnung 1.1 Zwei Landvermesser wetten miteinander: Landvermesser A meint: Die Fläche der USA liegt zwischen 7 und 8 Millionen km². Der Landvermesser B hingegen: Blödsinn! Sie liegt zwischen 8 und 9 Millionen km². Wer liegt richtig? Versuchen Sie in maximal fünf Minuten eine Aussage darüber zu tätigen, ob Landvermesser a oder b die Wette gewinnt. (Tipp: Hierzu bietet es sich an, die blauen Quadrate zu verwenden.) 1.2 Jetzt wollen wir es genauer wissen: Können Sie die Fläche der USA von 1913 genauer eingrenzen? ( neben den blauen Quadraten können Ihnen auch die roten Rechtecke hilfreich sein.) 3
1.3. Überlegt gemeinsam: Station USA - ein Land der Aufgabe 1:Hinführung zur Integralrechnung Was müsste man tun, um die Fläche immer exakter eingrenzen zu können? Schreiben Sie Ihre Lösungsvorschläge in kurzen Sätzen in den Kasten. Hinweis: Das Flächenproblem ein alter Hut?! Schon Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Gottfried Wilhelm Leibniz, Flächen, deren Seiten zum Teil unregelmäßig und nicht geradlinig verlaufen, näherungsweise zu bestimmen. Er nutzte hierzu dieselbe Technik wie unsere beiden Landvermesser aus dem 20. Jahrhundert und verwendete die Kurvendiskussion als Hilfsmittel. Wie Sie mit Hilfe von mathematischen Funktionen, die zum Teil schon Jahrhunderte vor der Geburt von Leibniz bekannt waren, Flächen näherungsweise berechnen können, erfahren Sie in Aufgabe 2. 4
Aufgabe 2:Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten Die beiden Landvermesser aus Aufgabe 1 haben sich nun konkret vorgenommen ihre Heimat, den US-Bundesstaat Idaho, zu vermessen. Anders als zuvor bei der Landkarte der USA, verlaufen diesmal nicht alle Grenzseiten des Bundesstaates Idaho unregelmäßig. Um eine möglichst exakte Messung der Fläche zu bekommen, bietet es sich deshalb nun an, die Fläche mit bekannten mathematischen Figuren näherungsweise zu beschreiben. Für die nächsten Aufgaben stehen Ihnen eine Landkarte (A3) sowie ein Raster eines Koordinatensystems (A2) zur Verfügung. Material Landkarte Bundesstaat Idaho (A3) transparentes Koordinatensystem 2.1 Um den Bundesstaat Idaho zunächst grob in ein Raster einordnen zu können, müssen Sie nun entscheiden, an welchen Grenzen sich ein Koordinatensystem sinnvoll anlegen lässt. Probieren Sie das Koordinatensystem (A2) sinnvoll über die Landkarte des Bundesstaats Idaho (A3) an zu legen. 5
Aufgabe 2:Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten 2.2 Skizzieren Sie Ihr Koordinatensystem mit dem Staat Idaho. Wählen Sie eine sinnvolle Beschriftung des Koordinatensystems. 2.3 In der nachfolgenden Simulation 1 werden verschiedene Funktionen dargestellt. Mit welcher Funktion lässt sich die unregelmäßig verlaufende (Nord-östliche) Grenze von Idaho näherungsweise ausdrücken? Schreiben Sie die Funktion in den Kasten. 6
Aufgabe 2:Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten 2.4 Bestimmen Sie nun näherungsweise den Flächeninhalt von Idaho in km². Schauen Sie sich hierzu Simulation 2 an. Füllen Sie die Flächen von Idaho mit den Rechtecken so aus, dass diese nicht über die Grenzen hinausragen. Bemerkung: Runden Sie immer auf die zweite Nachkommastelle ab oder auf. Hinweis: Die Summe der Rechtecke unterhalb des Graphen nennt man Untersumme. 7
Aufgabe 2:Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten 2.5 Berechnen Sie nun mithilfe von Simulation 2 erneut den Flächeninhalt von Idaho in km². Füllen Sie die Fläche von Idaho mit den Rechtecken so aus, dass diese über die Grenzen hinausragen. Bemerkung: Runden Sie immer auf die zweite Nachkommastelle ab oder auf. Hinweis: Die Summe der Rechtecke die über den Graphen hinausgehen, nennt man Obersumme. 8
Aufgabe 2:Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten 2.6 Skizzieren Sie nun Ihre Ideen mithilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 2.4 und 2.5 in ein Koordinatensystem. 9
Aufgabe 2:Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten Fast zeitgleich zu seinem Kollegen Leibniz entwickelte der britische Mathematiker Isaac Newton ein Verfahren um Flächen unterhalb eines Graphen mithilfe der Ober - und Untersumme näherungsweise zu bestimmen. 2.7 Diskutieren Sie in Ihrer Gruppe, wie man das Verfahren von Unter- und Obersumme optimieren könnte, damit die Fläche von Idaho noch genauer bestimmt werden kann. Halten Sie Ihre Ideen im unteren Kastenfeld fest. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit! 10
Mathematik-Labor Mathe-ist-mehr Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen) Institut für Mathematik Universität Koblenz-Landau Fortstraße 7 76829 Landau www.mathe-ist-mehr.de www.mathe-labor.de Zusammengestellt von: Richard Grimminger, Maximilian König, Pascal Clossmann, Benjamin Krauß Betreut von: Herr Oechsler Veröffentlicht am: 18.01.2016