Jugend forscht - Themenideen Papierflugzeugschleuder Physik des Papierflugzeuges Bundesjugendspiele - Distanznahme usw. intelligenter Drucker - teuer? Programmierung? Lawinen? (was untersuchen und wie bauen?) alk-essig-batterie? - Nicklas Elektronik Roboterameise (vergeben) Magische Würfel Papierfaltungsfolgen periodische Dezimalzahlen Newton s nightmare A 1 Abi 13 - WT - Stochastik 1 Bei einer Lotterie sind 10 % der Lose Gewinnlose. Jemand kauft drei Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens zwei Gewinnlose? Wie viele Lose hätte man mindestens kaufen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Gewinnlose über 50 % liegt? A 2 Abi 13 - WT - Stochastik 2 Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils sechs gleich große Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie laufen dann unabhängig voneinander aus und bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein Feld im Rahmen sichtbar ist. Auf jedem Glücksrad sind je ein Sterne (S), zwei Diamanten (D) und drei leeblätter (). D D S Rahmen S D D a) Zunächst werden die Räder als ideal angenommen. Bei einem Einsatz von 0,20 e sind folgende Auszahlungen vorgesehen: Stern - Stern 2,00 e Diamant - Diamant 0,85 e leeblatt - leeblatt 0,20 e In allen anderen Fällen wird nichts ausbezahlt. Weise nach, dass das Spiel fair ist. Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen. Dazu soll nur der Auszahlungsbetrag für Diamant - Diamant geändert werden. Berechne diesen neuen Auszahlungsbetrag. b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit p für Stern - Stern geringer als 1 ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden. Formuliere die Entscheidungsregel für die Nullhypothese H 0 : p 1, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit 36 36 höchstens 5 % betragen soll.
A 3 Abi 14 - WT - Stochastik 1 In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße ugeln. In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße ugeln. a) Aus Gefäß G1 wird 20 Mal eine ugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine schwarze ugel gezogen wird. Aus Gefäß G2 wird 8 Mal eine ugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze ugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinander folgenden Zügen. b) Nun werden aus G1 zwei ugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine ugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese ugel schwarz? A 4 Abi 14 - WT - Stochastik 2 Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß 5 %. a) Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Bleistifte. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe. Berechne P (X 30). Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 10 vom Erwartungswert von X ab? b) Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2 % der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H 0 soll mithilfe eines Tests an 800 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5 % betragen soll? Lösung zu Abi 13 - WT - Stochastik 1 Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Gewinne an; X ist B 3; 0,1 -verteilt. P (X 2) = 1 P (X 1) 0, 028(GTR mit binomcdf) Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 3 Losen mindestens 2 Gewinnlose sind, beträgt 2,8 %. Im zweiten Teil ist der Parameter n gesucht. P (X 2) = 1 P (X 1) > 0, 5 also P (X 1) < 0, 5 mit dem GTR: für n = 16 ist P (X 1) 0, 51 und für n = 17 ist P (X 1) 0, 48. Man muss dasher mindestens 17 Lose kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinnlose über 50 % liegt. (Table nutzen!)
Lösung zu Abi 13 - WT - Stochastik 2 a) Sei X die Auszahlung an den Spieler, es ist E(X) = 0, 20 e, also exakt so hoch wie der Einsatz, es ist also fair. mit y als neuen Gewinn ist E(X) = 2 e 1 + y 1 1 + 0, 20 e = 0, 15 e und 36 9 4 somit y = 0, 40 e. Die Auszahlung bei D-D muss also 40 Cent betragen. b) Nullhypothese: H 0 : p 1 sowie Alternativhypothese H 36 1 : p < 1. Linksseitger 36 Test mit n = 500 und p = 1 und der Zufallsvariablen X als Anzahl S-S. Somit sind 36 (Table): P (X 7) 0, 032 P (X 8) 0, 063 Annahmebereich A = {8,..500} Ablehnungsbereich A = {0,.., 7} Wenn bei 500 Spielen höchstens siebenmal S-S erscheint, wird die Nullhypothese abgelehnt; andernfalls nicht. Lösung zu Abi 14 - WT - Stochastik 1 a) G1: Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der schwarzen ugeln und ist B 20; 0,6 - verteilt. P (X 12) = 1 P (X 11) 0, 596 (GTR). G2: Die Wahrscheinlichkeit die beiden schwarzen ugeln gleich zu beginn zu ziehen ist P (2s6w) = 0, 3 2 0, 7 6. Es gibt jedoch ingesamt 7 Möglichkeiten 2 schwarze ugeln nacheinander zu ziehen. P (genau 2 schwarze ugeln und dieser hintereinander) = 7 0, 3 2 0, 7 6 0, 074 Diese Wahrscheinlichkeit kann nicht mit der Binomialverteilung berechnet werden, da vorgegeben ist, an welchen möglichen Stellen die 2 schwarzen ugeln zu ziehen sind! b) Es müssen 3 Startfälle (G1) und deren Fortsetzungen (G2) betrachtet werden: P G1 (ss) = 1 3 P G2.1 (s) = 5 12 P G1 (sw) + P G1 (ws) = 8 15 P G2.2 (s) = 4 12 = 1 3 P G1 (ww) = 2 15 P G2.3 (s) = 3 12 = 1 4 P G2 (s) = 1 3 5 12 + 8 15 1 3 + 2 15 1 4 = 0, 35 Wahrs. für schwarze ugel aus G2
Lösung zu Abi 14 - WT - Stochastik 2 a) die Zufallsvariable X ist B 800; 0,05 -verteilt und somit P (X 30) 0, 057(GT R) E(X) = 800 0, 05 = 40 somit wird P (30 X 49) = P (X 49) P (X 30) 0, 878 (GTR) gesucht. b) Die Zufallsvariable a Y beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte und ist B 800; 0,02 - verteilt. Nullhypothese: H 0 : p 0, 02 und die Alternativhypothese H 1 : p > 0, 02. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test, es wird als das kleinste k gesucht mit P (X k) 1 0, 05 = 0, 95. Ab k + 1 sollte man dann H 0 ablehnen. P (X 22) 0, 9436 P (X 23) 0, 9649 Annahmebereich A = {0,..23} Ablehnungsbereich A = {24,.., 800} Bei mindestens 24 fehlerhaften Stiften entscheidet man sich gegen die Nullhypothese. a X wurde schon verwendet! A 5 Muster - WT - Stochastik - Mäuse Ein Labor entwickelt einen neuen Impfstoff und testet ihn in einem Tierversuch mit 900 Mäusen. Mit dem Impfstoff dürfen keine klinischen Studien an Menschen durchgeführt werden, wenn sich im Tierversuch in mindestens 2 % der Fälle unerwünschte Nebenwirkungen zeigen. Bestimme für die Nullhypothese H 0 : p 0, 02 die Entscheidungsregel für den Test mit 900 Mäusen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1 %. A 6 Muster - WT - Stochastik - Flugzeuge Für einen Flug stehen zwei Flugzeuge zur Verfügung, der zweimotorige Adler und die viermotorige Juhu. Der Adler fliegt auch noch, wenn nur ein Motor intakt ist. Die Juhu braucht mindestens zwei intakte Motoren. p ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor während des gesamten Fluges einwandfrei arbeitet. A 7 a) Welches Flugzeug ist sicherer, wenn p = 0, 95 gilt? b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass der Adler bzw. die Juhu das Ziel erreicht, jeweils als Funktion von p dar. Für welche Werte von p ist der Adler sicherer als die Juhu? Fundus - WT - Stochastik - zwei Urnen In einem Gefäß U 1 sind zwei blaue ugeln, in einem weiteren Gefäß U 2 sind acht rote ugeln. Lisa darf mit verbundenen Augen eines der beiden Gefäße wählen und daraus eine ugel ziehen. Ist die ugel rot, dann gewinnt Lisa einen Preis. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lisa einen Preis gewinnt? Lisa hat 50 weitere rote ugeln zur Verfügung und darf nun bestimmen, wie viele zusätzliche rote ugeln in U 1 gelegt werden. Allerdings werden dann genauso viele blaue ugeln in U 2 gelegt. Lisa wählt fünf zusätzliche rote ugeln. Hat sich dadurch ihre Gewinnwahrscheinlichkeit vergrößert? Wie viele von den 50 zusätzlichen roten ugeln hätte Lisa wählen müssen, um ihre Gewinnchancen zu maximieren?
A 8 Fundus - WT - Stochastik - Schulfest Eine lasse will für einen guten Zweck beim Schulfest ein Glücksrad betreiben. Dieses besteht aus drei Sektoren mit den folgenden Mittelpunktswinkeln: rot: 180, gelb: 90 und blau: 90. Bei einem Spiel dreht der unde das Glücksrad dreimal und bezahlt dafür einen Euro. Er erhält zwei Euro, wenn er dreimal dieselbe Farbe erreicht, er bekommt seinen Einsatz zurück, wenn genau zweimal dieselbe Farbe angezeigt wird, in allen anderen Fällen wird sein Einsatz einbehalten. Welchen Gewinn erzielt die lasse mit diesem Glücksrad pro Spiel durchschnittlich? Die lasse will im nächsten Jahr durch eine Veränderung der Sektorengrößen die Wahrscheinlichkeit der Fälle, in denen der Einsatz einbehalten wird, erhöhen. Dabei sollen die Spielregeln erhalten bleiben und der rote Sektor soll weiterhin doppelt so groß sein wie der gelbe. Für welche Mittelpunktswinkel der drei Sektoren ist die Wahrscheinlichkeit für den Einbehalt des Einsatzes am größten? A 9 Fundus - WT - Stochastik - Franz & Hilde a) Eine Urne enthält drei weiße und zwei schwarze ugeln. Franz und Hilde ziehen abwechselnd ohne Zurücklegen eine ugel, wobei Franz beginnt. Gewonnen hat, wer zuerst eine schwarze ugel zieht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A Franz gewinnt B Hilde gewinnt b) In einer anderen Urne sind drei weiße und n schwarze ugeln. Es werden nacheinander zwei ugeln mit Zurücklegen gezogen. Für welche Werte von n ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine schwarze ugel zu ziehen, gleich 3 8? A 10 Fundus - WT - Stochastik - Glücksrad Ein Glücksrad hat die Sektoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung: Sektor 1 2 3 Wahrs. 0,2 0,3 0,5 a) Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % wenigstens einmal die Zahl 1 zu bekommen? b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 1 größer als 0,2 ist. Daher wird die Hypothese H 0 : p 0, 2 durch 100 Versuche getestet. Wenn mehr als 28 Mal die 1 erscheint, wird die Hypothese abgelehnt. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit?
A 11 Fundus - WT - Stochastik - Taschenrechner Eine Firma stellt Solartaschenrechner her. Die Herstellungskosten eines Rechners betragen 15 e. Die Firma verkauft ihn für 25 e an den Händler. 14,5 % aller produzierten Rechner sind defekt. Jeder defekte Rechner wird vom Händler entdeckt. Die Firma erstattet den aufpreis und nimmt den defekten Rechner zurück. Bei der Rücknahme entstehen der Firma zusätzlich osten in Höhe von 5 e. a) Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn der Firma pro Rechner b) Durch eine ontrolle kann die Firma 95 % der defekten Rechner herausfinden, hält aber auch 1 % der intakten Rechner für defekt. Die beanstandeten Rechner werden dann nicht an den Händler verkauft, sondern ohne weitere osten entsorgt. Wie viel darf die ontrolle eines Rechners höchstens kosten, damit sie sich für die Firma rentiert? A 12 Fundus - WT - Stochastik - Handys Eine Firma, die Handys herstellt, behauptet, dass höchstens 4 % der Geräte defekt seien. Die Behauptung soll mit einer Stichprobe von 250 Stück getestet werden. Man erhält 10 defekte Handys. ann man daraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 % schließen, dass die Firmenangabe nicht zutrifft? A 13 Fundus - WT - Stochastik - Speicherchips Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips. Erfahrungsgemäß sind 95 % der Chips einwandfrei. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips mehr als 26 einwandfrei, mindestens zwei defekt? b) Der Computerhersteller überprüft die Hypothese, dass mindestens 95 % der Chips einwandfrei sind, mit einer Stichprobe vom Umfang 100. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 10 % betragen. Ermittel den Ablehnungsbereich. A 14 Fundus - WT - Stochastik - Speicherchips 2 Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips. a) Erfahrungsgemäß sind 80 % der Chips einwandfrei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips 20 einwandfrei? b) Wie groß dürfte die Defektwahrscheinlichkeit eines Chips höchstens sein, damit von 10 Chips mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit alle einwandfrei sind? c) Die Chips, die zu 80 % einwandfrei sind, werden in Viererpackungen geliefert. Ab welcher Anzahl Viererpackungen muss mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit damit gerechnet werden, dass in mindestens einer Packung alle Chips defekt sind?
A 15 Fundus - WT - Stochastik - multiple choice Bei einem Test gibt es 10 Fragen mit jeweils 4 Antworten, von denen nur eine richtig ist. a) Ein andidat kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er A genau 3 richtige Antworten B mindestens 3 richtige Antworten C mehr als 3, aber weniger als 8 richtige Antworten b) Es soll nun festgelegt werden, wie viele richtige Antworten zum Bestehen des Tests ausreichen sollen. Bei zufälligem Ankreuzen der Antworten soll die Wahrscheinlichkeit für ein Bestehen des Testes höchstens 5 % betragen. Wie viele richtige Antworten müssen dazu mindestens verlangt werden? A 16 Sonstiges - WT - Stochastik - Hotel Ein Hotel hat 150 Zimmer. Für sein beliebtes Wochenendangebot liegen immer deutlich mehr als 150 Anfragen für Reservierungen vor. Da die Hotelleitung im vergangenen Jahr die Erfahrung gemacht hat, dass im Mittel nur 90 % der Reservierungen in Anspruch genommen werden, entschließt sie sich nun, immer 160 Reservierungen anzunehmen. Die Anzahl der Reservierungen, die tatsächlich in Anspruch genommen werden, wird durch eine Zufallsvariable X beschrieben. Diese wird als binomialverteilt angenommen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: E 1 E 2 E 3 Genau 150 Reservierungen werden in Anspruch genommen Es müssen Gäste, die reserviert haben, abgewiesen werden Alle Gäste, die ihre Reservierung in Anspruch nehmen wollen, bekommen ihr Zimmer b) Falls Gäste, die reserviert haben, wegen Überbuchung kein Zimmer bekommen, müssen sie auf osten des Hotels in einem teureren Hotel in der Nähe untergebracht werden. Die Hotelleitung will daher erreichen, dass die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall unter 1 % liegt. Wie viele Reservierungen darf sie dann höchstens annehmen? Die Hotelleitung überlegt, ob sie das Hotel mit einer Sauna ausstatten soll. Das Vorhaben soll aber nur dann umgesetzt werden, wenn mindestens 20 % der Gäste dieses kostenpflichtige Angebot auch nutzen würden. Die Nullhypothese H 0 : Höchstens 20 % der Gäste würden die Sauna nutzen soll auf der Basis einer Umfrage bei 300 Gästen auf einem Siginifikanzniveau von 5 % getestet werden. c) Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel d) Vor der onzeption des Tests stellte die Hotelleitung folgende Überlegungen an: I Wenn die Sauna nicht gebaut wird, obwohl sie mindestens 20 % der Gäste nutzen würden, entgehen dem Hotel zusätzliche Einnahmen. II Wenn die Sauna gebaut wird, obwohl sie höchstens 20 % der Gäste nutzen, entstehen dem Hotel finanzielle Verluste. Für einen dieser beiden Fälle kann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mit obigem Test auf 5 % begrenzt werden. Entscheiden Sie, welcher der beiden Fälle dies ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Lösung zu Muster - WT - Stochastik - Mäuse Falls bei einem Versuch mit 900 Mäusen höchstens 8 Tiere Nebenwirkung zeigen, dürfen klinische Tests durchgeführt werden. Lösung zu Muster - WT - Stochastik - Flugzeug a) Der Adler kommt mit der Wahrscheinlichkeit 0, 9975 an, die Juhu mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 9995 und ist somit sicherer! b) Adler f(p) = 1 (1 p) 2 ( ) 4 Juhu g(p) = p 4 + p 1 3 (1 p) + ( 4 2 ) p 2 (1 p) 2 Graphen zeichnen und Schnittstelle für 0 p 1 bestimmen p 0, 67, ab diesem Wert ist die Juhu sicherer Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - zwei Urnen In 50 % der Fälle wählt Lisa zu Beginn die richtige Urne und gewinnt. Nachdem sie jeweils 5 ugeln ergänzt hat steigen ihre Gewinnchancen auf 121. Das Maximum der Funktion 182 p(n) = 1 n + 1 8 liegt bei n = 4, also wäre die Gewinnchance bei jeweils 4 zusätzlichen 2 n+2 2 n+8 ugeln maximal. Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Schulfest Ein Baumdiagramm hilft! Pro Spiel werden etwa 3 Cent Gewinn erzielt (E(X) = 0, 03125). Es gibt am neuen Glücksrad weiterhin 6 Pfade für alle drei Farben, sei der Mittelpunktswinkel von gelb α, so ist der von rot 2α und der von blau 360 3α, die Wahrscheinlichkeiten erhält man indem man jeweils durch den Vollwinkel teilt. Die Funktion α p(α) = 6 360 2α 360 3α hat bei α = 80 mit 16 ihren höchsten Punkt erreicht. Für 81 360 360 80 gelb, 160 rot und 120 blau ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit 16 maximal. 81 Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Franz & Hilde a) P (A) = 3 5 und somit P (B) = 2 5 3 b) P (genau eine schwarze) = 2 n = 3 Also ist für eine bzw. neun schwarze ugeln 3+n n+3 8 ist die Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze ugel zu ziehen gleich 3 8 Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Glücksrad a) X = #1er; P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 0, 85 n also n 14 b) Gilt H 0, dann ist X im Extremfall B 100; 0,2 -verteilt. P (X > 28) 0, 02, also ist die Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 2 %.
Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Taschenrechner a) 5,65 e (E(X)) b) neuen Erwartungswert bestimmen - die ontrolle darf maximal 47,5 Cent kosten Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Handys Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Handys an. Gilt H 0 : p 0, 04, so ist X im Extremfall B 250; 0,04 -verteilt. P (X 10) = 1 P (X 9) 0, 545 - Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist also deutlich höher als 5 %, wenn man ablehnen würde. Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Speicherchips a) X gibt die Anzahl der funktionierenden Chips an und ist B 30; 0,95 -verteilt 0, 939 0, 446 b) Gilt H 0 : p 0, 95, dann ist X im Extremfall B 100; 0,95 -verteilt und der Ablehnungsbereich A = {0; 1;..; 91} Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - Speicherchips 2 a) X ist B 30; 0,8 -verteilt undp (X > 20) = 0, 939 b) Sei p die Defektwahrscheinlichkeit, also (1 p) 1 0 0, 9 also p 0, 0105 c) Die Wahrscheinlichkiet, dass in einem Viererpack alle kaputt sind beträgt 0,0016 mit n Packungen gilt also 1 0, 9984 n > 0, 5 und somit n 433. Ab 433 Packungen muss also mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit mit mindestens einer Packung gerechnet werden, in der alle Chips defekt sind. Lösung zu Fundus - WT - Stochastik - multiple choice Die Anzahl X der richtigen Antworten ist B 10; 0,25 -verteilt a) P (A) 0, 25, P (B) 0, 474 und P (C) 0, 224 b) Es müssen mindestens 6 richtige Antworten verlangt werden
Lösung zu Sonstiges - WT - Stochastik - Hotel a) P (E 1 ) 0, 0311, P (E 2 ) 0, 0359 und P (E 3 ) 0, 964 b) gesucht ist ein neues n - für eine B n; 0,9 -verteilte Zufallsvariable muss gelten P (X 150) 0, 99, dies ist für n = 159 erstmalig nicht mehr der Fall, also sollten maximal 158 Anmeldungen angenommen werden c) H 0 : p 0, 2 Die Zufallsvariable ist also im Extremfall B 300; 0,2 -verteilt. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Ab 73 Saunagängern von 300 kann man die Nullhypothese verwerfen und mit höchstens 5 %igem Risiko zum Bau der Sauna raten d) Fall II - siehe c) (Fehler 1. Art, ein Fehler 2. Art (Fall I) lässt sich nur berechnen, wenn man für die Alternativhypothese eine andere Wahrscheinlichkeit, als für H 0 annimmt