245/1 245/2 245 Transformator Verständnisfragen: Wie lautet das Induktionsgesetz? Leiten Sie die Gleichung für die Spannungstransformation eines Transformators her. Wie lautet die Formel für das Magnetfeld einer unendlich ausgedehnten Spule? Wie groß ist die Selbstinduktionsspannung in einer Spule? Wie sieht das Zeigerdiagramm für einen idealen Transformator aus? Zubehör: eine Drehtrafo/Trenntrafo-Kombination 0-60 V, 5 A ein LEYBOLD-Transformatorkern, mittlere Feldlinienlänge l = 49 cm, Eisenquerschnitt A = 15.2 cm2. eine Spule 250 Wdg, 0.6 eine Spule 120 Wdg, 0.1 zwei Amperemeter 1.2 A / 6 A, 0.5 % Genauigkeit zwei Voltmeter 15-30-60 Volt bzw. 30-60-120-240 Volt, 0.5 % ein Wattmeter 60 V / 5 A ein Stromwandler 10 A / 5 A Die genauen Werte der Innenwiderstände der Instrumente sind auf einer Tabelle beim Versuch angegeben. Ziel des Versuchs: Das Verhalten eines Transformators wird untersucht. Die charakteristischen Größen eines Transformators sowie die mittlere Permeabilität des Transformatorkerns werden gemessen. Literatur: Bergmann-Schäfer, Lehrbuch der Physik Bd. 2; Gerthsen, Physik; und fast alle Lehrbücher. Aufgaben: 1.) In Abhängigkeit von der Primärspannung ist die Sekundärspannung, der Leerlaufstrom und die Primärleistung P pl zu messen (Leerlaufversuch). 2.) Bei fester Primärspannung sind als Funktion des Sekundärstromes I s zu messen: I p, P p, U s. Daraus sind zu berechnen: Die Sekundärleistung P s, der Wirkungsgrad und der Phasenwinkel zwischen U p und I p. 3.) Als Funktion von I s sind bei kurzgeschlossenem Sekundärkreis zu messen: U p, I p, P pk. 4.) Aufgaben 1 und 2 sind teilweise für einen Transformator zu wiederholen, dessen Kern mit einem Luftspalt versehen ist. 5.) Die Induktivität der Primärspule und die mittlere Permeabilität µ des Kerns sind aus den Messungen 1 bzw. 4 zu berechnen.
Durchführung: 245/3 Vorbemerkung Bei dem Versuch werden Präzisionsinstrumente benutzt. Insbesondere das Wattmeter kann bei falscher Schaltung überlastet werden, ohne dass sich ein verdächtiger Zeigerausschlag ergibt: Es müssen stets Strom (5 A) und Spannungspfad (60 V) angeschlossen (und nicht vertauscht!) sein, damit man etwas sieht. Daher drehen Sie vor dem Einschalten den Drehtrafo auf Null. Das Einfügen eines Wattmeters in eine Schaltung ist auch erfahrenen Leuten nur nach Nachdenken möglich; daher lassen Sie sich dabei helfen. Aus den Spulen mit = 250 Windungen und n s = 120 Windungen bauen Sie einen Transformator auf. Das Joch ist - ohne Zwischenlagen - auf dem U-förmigen Unterteil festzuschrauben. (Kontrollieren, sonst passieren Unglücke!). Bauen Sie dann die untenstehende Schaltung komplett auf. Die Zahlen bei den Messinstrumenten geben die Messbereiche an. Überlegen Sie sich aus den Angaben über den Innenwiderstand bzw. den Stromverbrauch der Messinstrumente, worin die Vor- und Nachteile der gewählten Schaltung bestehen, und notieren Sie dies im Protokoll. Das Wattmeter misst die Leistungsaufnahme in seinem Spannungspfad mit; dies ist aber bei den meisten Messungen eine konstante Größe und kann den Leerlaufverlusten zugeschlagen werden. Um den Sekundärstrom zu messen, wird ein Stromwandler 10A/5A zwischengeschaltet. Bei R L ~ 3 drehen Sie den Drehtrafo zunächst auf null; dann schalten Sie ein und erhöhen die Spannung langsam, wobei Sie die Messinstrumente auf "extreme" Ausschläge beobachten! Bei U p 10 V sollten Sie überall eine deutliche Anzeige sehen. Falls nicht: Sofort abschalten und Fehler suchen! **Beim Wattmeter auf den Umrechnungsfaktor achten.** 245/4 Nach dem Vorversuch werden dann die einzelnen Aufgaben erledigt. 1.) Leerlaufversuch / Übersetzungsverhältnis Die Widerstände auf der Sekundärseite werden abgehängt. Für U p = 10 V, 20 V...60 V werden U s und - soweit ablesbar - P p gemessen. Bei 60 V werden zusätzlich P p und I p ohne das Voltmeter im Sekundärkreis gemessen: Leerlaufverlust P p und Leerlaufstrom I p. (Falls I p zu klein ist, stecken Sie für diese Messung das Amperemeter von 6 A auf 1.2 A um; bei P pl und cosstört der große Fehler nicht.) Als Funktion von U p wird das Übersetzungsverhältnis U s / U p aufgetragen. Was erwartet man? Bei 60 V sollen auch der cos und die Leerlaufinduktivität berechnet werden (siehe hierzu auch die Erläuterung auf Seite 245/13). Verbinden Sie den Triggerausgang des Drehtrafos mit dem "Sync.ext." Eingang des Oszillographen, um diesen extern, und damit in fester Phasenlage, zu triggern. Schlingen Sie um den Kern des Trafos als kleine Sekundärspule zwei, drei Windungen mit einem Kabel und schließen Sie dieses an den einen Kanal an. Bei den folgenden Messungen beobachten Sie dieses Signal, wie (bzw. ob) es sich bei konstanter Primärspannung in Größe und Phasenlage verändert. Ist die Größe kritisch von der Lage des Kabels um den Kern abhängig? Was wird damit gemessen? 2.) Verhalten bei Belastung. Für U p = 60 V (Wert durch Nachregeln konstant halten!) wird für Sekundärströme von 1 A bis 10 A in Schritten von 1 A gemessen (Faktor 2 von Wandler beachten!) U s, I p, P p Bei hohen Strömen müssen Sie die Festwiderstände parallel zum Schiebe- Widerstand schalten. Aus den Messwerten werden berechnet: Sekundärleistung P s I s P s cos P p /(U p I p ) Wirkungsgrad P s / P p Stromübersetzung Ü I I s / I p In Diagrammen werden U s, Ü I, P p, P s,, cos als Funktion von I s aufgetragen. In diese Diagramme werden später noch das erwartete sowie die Daten von Messung 4 eingetragen. Aus dem Verlauf von P s sieht man, dass diese bei hohen Strömen wieder abnimmt. Da die Leistungsabgabe bei R i = R last maximal ist (Vers. 23 I, Zusatzaufgabe), bestimme man den effektiven Innenwiderstand der Sekundär-
245/5 seite. Aus den Widerständen der Spulen und Amperemeter berechne man diesen auch. Wegen der Streuinduktivitäten ergibt sich keine Übereinstimmung. 3.) Kurzschlussmessung **** Zunächst U p auf null zurückdrehen.**** Die Sekundärseite des Trafos wird (über den Stromwandler) mit dem Amperemeter kurzgeschlossen. Durch Variation von U p werden für I s = 2, 4,... 10 A die zugehörigen U p, I p, P pk gemessen und Ü I I s / I p berechnet. U p und Ü I werden über I s, P pk über I 2 s aufgetragen. Wie kann man das Ergebnis interpretieren? Ein Stromwandler ist ein Transformator hoher Induktivität, der sekundärseitig durch das Amperemeter kurzgeschlossen wird. Er darf nie unbelastet betrieben werden. Aus dem Leerlaufversuch bei 60 V und dem Kurzschlussversuch beim jeweiligen I s sind die Verluste bei diesem I s in Versuch 2 bekannt. Man kann erw. P s(erw.) / P p P p P pl (60V) P pk (I s ) / P p berechnen und in das Diagramm mit einzeichnen. Da bei unserem Trafo die Kurzschlussspannungen recht hoch sind, hat man beim Kurzschlussversuch noch merklich Eisenverluste, d.h. man korrigiert zu stark. 4.) Transformator mit Luftspalt Spannung U p zurückdrehen. Schrauben Sie das Joch des Transformators ab, legen Sie links und rechts ein Pappstück von 0.5 mm Dicke unter und schrauben Sie das Joch wieder fest (das Wort "fest" ist wesentlich). Danach wird Versuch 2 wiederholt und die Ergebnisse in die Diagramme eingetragen. (Es genügen Werte für I s = 2, 5, 10 A) Führen Sie auch hier einen Leerlaufversuch durch (U p = 30 u. 60 V). Aus den beiden Leerlaufversuchen bestimme man jeweils die Induktivität des Transformators (d.h. der Primärwicklung). Mit (10'') berechnet man daraus das mittlere in den beiden Fällen: 1 (ohne) = (Eisen) 4 (mit) Da B = µ µo H überall längs einer Feldlinie im Kern konstant ist (quellenfreies Feld), ist H L im Luftspalt µ l mal größer als im Eisen. Dieses Feld H L trägt daher trotz der geringen Dicke des Spaltes (2 x 0,5 mm) wesentlich zu den Integralen (1) bzw. (4) bei. Feldlänge im Eisen l E = 0.49 m im Luftspalt l L = 10-3 m 245/6 Feld im Luftspalt H L = µ (Eisen) H Eisen, also (15) I pl (0.490 10 3 1 )H Eisen Da aber bei gleicher Primärspannung U p (Bemerkung nach Gl.7) der Flussdichte B und damit das Feld H Eisen gleich sein muss L( ohne) L(mit) I pl (mit) I pl (ohne) 0.49 103 1 1 0.49 4 Vergleichen Sie mit der Messung! Die Induktivität einer Spule mit Luftspalt ist allgemein wegen (mit) = (ohne), wegen Gl. (5), (9) und (15) Also L U p 1 o H E A I pl l E l L 1 H E L ~ l E l L 1 1 l E l 1 L l E Solange also das Verhältnis der Länge in Luft/Länge in Eisen groß ist gegen l/µ hängt die Induktivität nur von der Dicke des Luftspaltes ab, und nicht von µ. Das nutzt man beim Bau von Induktivitäten aus, da µ z.b. von der Feldstärke und der Temperatur abhängt. ------ Falls Sie noch Zeit haben -------- Zum Schluss simulieren Sie die Erwärmung eines Körpers mit Induktion. Drehtrafo abschalten, Spule n = 120 Wdg. ausbauen und statt dieser n = 2 Wdg. einbauen und Joch (ohne Kartonstücke) wieder fest machen. Der Stromwandler wird auf den runden Kupferstab aufgesteckt und die Manschette am oberen Ende der Spule auf dem Stab festgeklemmt. Der Wandler transformiert 600 A auf 5 A. Messen Sie für U p = 20, 40, 60 V: I p, I s und P p. Beachten Sie, dass selbst hier gut gilt I p / I s = 2/250. ACHTUNG DIE SPULE WIRD HEISS. NACH DER MESSUNG AUSSCHALTEN!
Grundlagen 245/7 Der Transformator ist eine Anwendung des Induktionsgesetzes. Er funktioniert nur mit Wechselstrom (oder mit Impulsen). Zunächst soll (1) der sog. ideale Transformator beschrieben werden, dann sollen in (2) die einzelnen Verslustquellen des realen Transformators behandelt werden. 1. Idealer Transformator 1.0 Aufbau Auf einem Kern (siehe Bild 1), der aus gegeneinander isolierten Weicheisenblechen aufgebaut ist, sind die beiden Spulen für Primärund Sekundär-Wicklung aufgebracht; die Windungszahlen seien und n s. Die beiden Wicklungen sollen vorläufig als widerstandslos angenommen werden (R p = R s = 0). Die Länge der gestrichelt eingezeichneten "mittleren Feldlinie" sei l, der Kernquerschnitt und die Spulenfläche A. Wir wollen auch annehmen, dass die relative Permeabilität µ des Eisens unabhängig von B ist (was nicht stimmt) und sehr groß gegen 1 ist (was ziemlich richtig ist). Das zweite bedeutet: Alle Induktionsflusslinien B laufen innerhalb des Kerns und keine außerhalb. 1.1 Transformator allgemein (Falls Sie mit Maxwell'schen Gleichungen nicht vertraut sind, beginnen Sie mit Formel 4.) Außer den oben genannten Größen führen wir noch ein: U p, U s Spannung an den Klemmen der Primär-, Sekundärspule I p, I s Stromstärke in Primär-, Sekundärkreis H p, H s die von Primär-, Sekundärspulen erzeugten Feldstärken (Einheit A/m) B p, B s Induktionsflussdichte (Einheit 1V s/m2 = 1 T = 10 4 Gauss) Induktionsfluss im Kern (Einheit 1 Vs = 1Wb) 0 4 10 7 V s A m 245/8 Wir wollen die Maxwell'schen Gleichungen in der Integralform ausnutzen: (1) ( H ds) ( i df F (2) U ind ( E ds ) d (3) ( B d f ) ( i Stromdichte) ( E Elektrische Feldstärke) In Gl. (1) ist F eine Fläche, die von der geschlossenen Kurve S umlaufen wird, df ein Vektor senkrecht zur Fläche, ds ein Vektor tangential zur Kurve. H ds, i df usw. sind Skalarprodukte. (Entsprechendes gilt für die Gleichungen (2) und (3).) In Worten heißt Gleichung (1): Das Linienintegral der magnetischen Feldstärke längs des Umfangs von F ist gleich der Gesamtstromstärke, die durch F fließt. F liegt in der Papierebene von Bild 1. Aus den eingangs gemachten Vereinfachungen (und der Quellenfreiheit von B!) folgt, dass die magnetische Feldstärke in Bild 1 längs der gestrichelten Linie - und auch einigermaßen über den Kernquerschnitt - konstant ist. Nehmen wir diese Linie als die Kurve S, dann hat man also (4) H p l I p ( vgl. Feld in homogener Spule H I p (n / l) ) (denn der Strom fließt ja mal durch die eingeschlossene Fläche!) (5) 0 H p A 0 A I p I l p Die Spannung, die in den n hintereinandergeschalteten Windungen der Primär- bzw. Sekundär-Spule induziert wird ist (f ist senkrecht zur Papierebene, A der Querschnitt des Eisenkerns)) d U ind, p d U ind,s n s Nun hält aber U ind,p gerade der angelegten Betriebsspannung das Gleichgewicht, also d (6) U p U ind,p und weiterhin ist die abgegebene Spannung
(7) U s U ind,s n s U p 245/9 (Spannungstransformation; U s und U p gegenphasig!) Aus (6) und (7) folgen die wesentlichen Dinge zum Verständnis des (idealen) Transformators, auch bei nichtsinusförmiger Spannung: i. d.h. I p muss sich immer so einstellen, dass (6) erfüllt wird. ii. Es gilt stets Gleichung (7), da beiden Spulen gemeinsam ist. 1.2 Transformator mit sinusförmiger Spannung Beim Versuch im Praktikum handelt es sich um einen Transformator für Wechselspannung (wie z.b. in der Energieversorgung). Man hat also U p U po sint Im Leerlauf, d.h. I s = 0 gilt dann, wie man durch Einsetzen nachrechnen kann (Formel 7 bzw. 6 bzw. 5). n (8) U s U so sint mit U so U s po (9) o cost mit o U po (10) I pl I plo cost Der Strom I p ist gegen die Spannung um 90o in der Phase zurück, d.h. im Leerlauf nimmt der - ideale - Transformator keine Leistung auf (reine Induktivität). Dabei ist (vgl. (5) ) l (10' ) I plo 0 0 n 0 A L p U po pp L pp (10' ' ) L pp 2 0 A l, (L pp Selbstinduktionskoeffizient der Primärspule.) 245/10 Im Diagramm 3 sind die Ströme und die Spannungen in ihrer Phasenlage eingezeichnet (durchgezogene Linien; komplexe Zahlenebene!). Wird an den Transformator sekundär ein Widerstand (Last) R L angeschlossen, dann fließt ein Sekundärstrom I s U s U so sint R L R L der mit U s in Phase ist und einen zusätzlichen Fluss s mit gleicher Phasenlage erzeugt (vergl. Formeln 5, 10") (12) s o A n s I s l L ss n s I s Dieser Fluss würde in der Primärspule eine Spannung induzieren (vergl. relative Lage von und U ind,p ), die in der Figur 3 nach oben gerichtet wäre. Dadurch wäre die Gleichung Up = - U ind,p gestört. Zur Kompensation fließt beim belasteten Transformator ein zusätzlicher Primärstrom I p ' in Phase mit U p, der ein ' erzeugt, so dass (entsprechend 10') (13) s ' L pp I ' p d.h. total (belastet) = total (unbelastet) = in Größe und Phasenlage. Diese überraschende und für das Verständnis fundamentale Beziehung ist sogar beim realen Transformator sehr gut erfüllt, wie Sie später experimentell nachprüfen werden. Aus (13) erhält man mit (12) n (14) I p ' I s s (Stromtransformation), wobei L ss n 2 s L pp (vergl. 10'') benutzt wurde. Das L wird für Wechselströme in der Beziehung (11) U p L pp di p analog zum Ohm'schen Gesetz definiert.
245/11 Der Leerlaufstrom I pl und I p ' addieren sich zum gesamten Primärstrom I p und es gelten die Beziehungen tg I plo I po ' ; I po 2 I plo Ipo ' 2 I po ' cos = Winkel zwischen U p und I p. Für die primärseitig aufgenommene Leistung P p und die abgegebene Leistung P s gelten P p U p I p cos U p I p ' P s U s I s P p wegen (14) und (7). Dass P s = P p sein muss, folgt natürlich auch aus dem Energiesatz! Ein Widerstand R L = U s / I s im Sekundärkreis bewirkt im Primärkreis den gleichen Strom wie ein dort eingefügter Widerstand R L ' R L ' U p n 2 p R I ' n L s (Widerstandstransformation; z.b. bei Anpassung von Lautsprechern, Antennen etc.) Da in der Regel L pp so groß ist, dass im Betrieb I pl << I p ' ist, gilt näherungsweise I p ' I p und man kann in (14) links den Strich weglassen. Beim Stromwandler wird dies ausgenutzt, um mit einem Messinstrument für kleine Ströme große Ströme zu messen. 2.0 Realer Transformator Hier müssen folgende Verlustquellen berücksichtigt werden: 1.) Ohmsche Verluste Der endliche Widerstand der beiden Spulen bewirkt, dass je ein zusätzlicher Spannungsabfall eintritt. Statt (6) bzw. (7) gelten nun für die Klemmenspannungen di U p R p I p U ind,p (L p pp im Leerlauf) U s U ind,s R s I s Der Primärstrom hat dadurch auch im Leerlauf eine Komponente in Phase mit der Spannung (siehe jedoch 2.). 245/12 2.) Sog. "Eisenverluste" a. Hysterese-Verluste (Ummagnetisierungsverluste): In jeder Periode wird die Hysteresiskurve (Kurve von B gegen H im Eisen) einmal umfahren. Das Integral BdH ~ Fläche der Kurve hat die Dimension V s/m2 A/m = J/m3 = Energie/Volumen. Dass B nicht eindeutig von H abhängt, liegt daran, dass die einzelnen vormagnetisierten Bereiche (Weiß'sche Bezirke) ihrer Umorientierung Widerstand entgegen setzen. b. Wirbelstromverluste: Die Querschnitte der Eisenbleche wirken jeweils als sekundäre Kurzschlusswindungen, wobei allerdings jedes Blech nur einen Teil des Flusses kurzschließt. Besteht der Kern aus N Blechen der Dicke d, dann ist die Spannung pro Blech ~ d ~ 1/N, der Widerstand ~ 1/d ~ N, die Leistung U 2 / R also pro Blech ~ 1/N 3 und somit die Verlustleistung im ganzen Kern ~ 1/N 2. Eine feine Unterteilung ist also wesentlich! Die Eisenverluste wirken sich so aus, als wäre parallel zur Induktivität der Primärspule ein ohmscher Widerstand R E geschaltet. Dieser Widerstand bestimmt den cos im Leerlauf und nicht der ohmsche Widerstand der Spule, d.h. tg R E / (L ). Das vollständige Ersatzschaltbild (und damit das Zeigerdiagramm) des realen Transformators ist zu verwickelt und somit jenseits eines Versuchs im Anfängerpraktikum. 3.) Weitere Verluste Hier sind vor allem zu nennen: Die Wirbelstromverluste im Kupfer der Wicklungen. Dann die sog. Streuverluste, d.h. dass nicht der ganze in der Primärspule erzeugte Fluss durch die Sekundärspule geht und umgekehrt, was sich jeweils wie eine in Serie geschaltete Drossel auswirkt. Die Verluste können einigermaßen getrennt bestimmt werden. Die Eisenverluste (+Wirbelstromverluste in den Wicklungen) hängen (etwa quadratisch) nur von der Größe von d.h. U p ) ab; sie treten also auch im Leerlauf auf. Zur Bestimmung misst man die Leistungsaufnahme bei offenen Sekundärklemmen (also kleinem I p ) und bei der normalen Betriebsspannung. Die ohmschen Verluste beider Wicklungen bei einem Strom I p ' werden in einem sog. Kurzschlussversuch bestimmt: Der Transformator wird über ein Amperemeter sekundär kurzgeschlossen, wobei die Primärspannung (und damit!) soweit reduziert ist, dass nur der Strom I p ' (bzw. I s ) fließt, bei dem man die Verluste bestimmen möchte. Die Primärspannung, bei der unter diesen Bedingungen der Nennstrom fließt, für den der Trafo konstruiert wurde, heißt Kurzschlussspannung;
245/13 bei Trafos der Energieversorgung liegt sie unter 10% der Nennspannung. Zur Berechnung der Leerlaufinduktivität (Aufgabe 1 und 4): Beim Leerlaufversuch wird ein gemessen, was deutlich von dem einer idealen Spule (90 ) abweicht. Ursache hierfür sind die Eisenverluste des Transformatorkerns. Diese wirken sich so aus, als wäre parallel zur Spule ein ohmscher Widerstand geschaltet. Dieser Effekt muss genaugenommen bei der Berechnung der Induktivität berücksichtigt werden. Dies kann gemäß folgendem Zeigerdiagramm geschehen: I L I P I R U P U L P mit I L I P sin. IL