Grundlagen des Lichts

Grundlagen des Lichts 2. Vorlesung Photorealistische Computergrafik Thorsten Grosch

Was ist Licht? Einfache Beschreibung Helligkeit oder Energie Sehr ungenau, tatsächlich gibt es mind. 5 verschiede Größen zur Beschreibung von Licht Jede dieser Grundgrößen kann bezogen auf die jeweilige Anwendung sinnvoll sein In dieser Vorlesung Vorstellung aller Grundgrößen und deren Zusammenhänge Diese einfachen Zusammenhänge werden in der Vorlesung immer wieder benötigt

Was sieht das Auge? Licht = elektromagnetische Welle Lichtquelle versendet permanent kleine Wellenzüge (Photonen) Die Photonen werden (mehrfach) auf den Oberflächen der Objekte reflektiert und nehmen dabei die Objektfarbe an Gelangt ein Photon ins Auge, so wird ein Rezeptor auf der Netzhaut aktiviert Dieses Signal wird ans Gehirn weitergeleitet Das Bild entsteht

Physik Licht hat Eigenschaften von Wellen und von Teilchen Kein perfektes Modell Welle Beugung Interferenz Maxwell-Gleichungen Teilchen Quantisierungseffekte Diese Vorlesung Praktisch keine Wellen (ausser heute ), da diese Effekte in der Praxis nur selten auftreten Licht wird beschrieben in Form von Teilchen, Strahlen, diffuser Strahlung,

Strahlung Aus dem gesamten Strahlungsspektrum ist nur ein kleiner Teil für das menschliche Auge sichtbar (380 780 nm) Innerhalb dieses Bereichs wird jede Wellenlänge als eine andere Farbe wahrgenommen Nicht sichtbar ist z.b. UV-Licht (λ < 380 nm) Infrarot-Licht (λ > 780 nm) Ultravio lett Gamma St rahlen Kosmische Str. c 380 780 = λ c : Lichtgeschwindigkeit (3 10 λ : Wellenlänge f : Frequenz (Schwingungen / sek.) f Wechsels strom Rundfu nk Mikrowe elle Infraro ot 8 m / s) λ[nm] λ

Gewichtungsfunktion des Auges V-Lambda Kurve Genormte Kurve des 10 1.0 menschlichen Auges 0.8 Mittelwert über viele 06 0.6 Testpersonen Spektraler Hellempfindlichkeitsgrad von Testpersonen, 1924: internationaler Standard- Beobachter, Deutschland: DIN 5031 Jede sichtbare Wellenlänge wird mit unterschiedlicher Helligkeit wahrgenommen, z.b. Gelb, Grün : Hell Blau, Rot : Dunkel Normierung Maximalwert = 1 0.4 0.2 0 400 V (λ) 500 600 700 800 λ[nm] violett blau grün gelb orangerot infra-rot

Gewichtungsfunktion des Auges ist unterschiedlich für: V (λ) V eq (λ) 500 600 700 800 V(λ): Tagessehen 10 1.0 (photopischer Bereich, nur Zapfen werden angeregt), 0.8 L > 10 cd m -2 06 0.6 (Computerbildschirme sind in 0.4 diesem Bereich) 0.2 V eq (λ): Dämmerungssehen (mesopischer Bereich), 0 400 λ[nm] L 10 cd m -2 violett blau grün gelb orangerot infra-rot V (λ): Nachtsehen (skotopischer Bereich, nur farbuntüchtige Stäbchen werden angeregt), L <10-5 cd m -2 V (λ)

Strahlungsspektrum In der Realität gibt es nur selten monochromatisches 10 1.0 Licht 0.8 Ausnahme: Laser Eine Lichtquelle hat ein (Emissions-)Spektrum L(λ) Für die jetzt wahrgenommene Helligkeit gilt Das Auge integriert Jeder Wellenlängenbereich L(λ) wird mit V(λ) gewichtet und aufsummiert Gesamthelligkeit 06 0.6 0.4 0.2 0 V (λ) L(λ) 400 500 600 700 800 λ[nm] violett blau grün gelb orangerot infra-rot

Photometrie und Radiometrie Im Auge passiert folgendes Die spektrale Größe L(λ) wird V(λ)-gewichtet integriert zu einer wellenlängen-unabhängigen nm nm Größe L L = K L ( λ ) V ( λ ) d λ Photometrie (Lichttechnik) Einheiten: Lumen, Candela,Lux 780 m 380 Im Gegensatz dazu gibt es die Radiometrie (Strahlungsphysik) Hier wird L berechnet aus der gesamten Strahlung, auch nichtsichtbare Bereiche, ohne V(λ)- Gewichtung Einheiten: Watt, Joule, + L = L λ d ( ) λ

Umrechnung Radiometrie - Photometrie Festlegen des Einheitensystems war komplexer Standardisierungsprozeß di i Seit 1967 ist die standardisierte Größe die Candela Seit Oktober 1979 orientiert sich ihre Definition an dem Licht von erstarrendem Platin Photometrisches es Strahlungsäquivalent a t (für (ü Tagessehen): K m = 683 lm W 1 Km = Wieviel Lumen ist ein Watt Km = Maximale Lichtausbeute für einen Laser mit 555 nm Lichtquellen haben oft kleinere Werte, z.b. Glühbirne ~ 15 lm / W

Farbe Zwei Arten von Rezeptoren auf der Netzhaut Stäbchen nur Helligkeitswahrnehmung, aktiv in dunkler Umgebung Zapfen Farbwahrnehmung Nur im hellen aktiv 3 verschiedene Typen von Zapfen (LMS), jeder mit eigener spektraler [Wyszecki & Stiles 1982] Hellempfindlichkeit L: long (rot) M: medium (grün) S: short (blau)

CIE XYZ-Farbsystem Regelung der rgb-werte, um eine beliebige, spektrale Farbe F nachzubilden 645 nm 526 nm 444 nm r g b F Jede sichtbare Farbe kann aus 3 Komponenten zusammengesetzt werden, aber evtl. negative Anteile Normspektralkurven Dies führte (nach Umformung) zu den xyz- Basisfunktionen. [Wyszecki & Stiles 1982]

CIE XYZ-Farbsystem ( ) y( λ) V λ = X Y Z = = = 780nm 380nm 780 L nm L 380nm 780 nm L 380nm ( λ) x( λ) dλ ( λ) y( λ) dλ ( λ) z( λ) dλ Normspektralkurven Die Farbe trägt die photometrische Information (Y Helligkeit) (bis auf Skalierung mit K m ) Die Kurven haben keine negativen Werte

Trennung Farbort und Helligkeit (xyy) X x = X + Y + Z Y y = X + Y + Z z =1 x y Angabe einer Farbe möglich als Farbort xy und Helligkeit Y [Wyszecki & Stiles 1982] Im weiteren Verlauf der Vorlesung: Licht wird als skalare Größe L betrachtet, obwohl es eigentlich ein Spektrum L(λ) ist bzw. als 3-komponentige Farbe LRGB beschrieben werden müsste.

Photometrische Grundgrößen Zunächst anschauliche Definitionen der fünf wichtigsten Größen nicht immer 100% korrekt Für jede der Größen gibt es Eine radiometrische und eine photometrische Bezeichnung In dieser Vorlesung werden die photometrischen Bezeichnungen verwendet Recht verwirrend, da in der Literatur auch oft die englischen Begriffe verwendet werden 4x5= 20 versch. Bezeichnungen, teilweise mit unterschiedlicher Notation

Strahlungsmenge Q(λ), Lichtmenge Q So eine Definition sieht man häufig Die Lichtmenge Q ist die V(λ)-bewertete Strahlungs-menge Q(λ); Q(λ) bezeichnet den gesamten Energie-verlust, den die Quelle durch die Strahlung erleidet Die Einheit der Strahlungsmenge ist das Joule (J) Lichtmenge ist Lumen Sekunde (lm s) Q = 780nm K m Q 380nm ( λ) V( λ) dλ ( das, was man bezahlt ) Nicht intuitiv zu verstehen, daher erstmal eine anschauliche Beschreibung

Lichtmenge Q Vorstellung Eine Lichtquelle sendet E p = h f = λ permanent Photonen in alle Richtungen aus Jedes Photon hat die Energie Ep h: Planck Konstante c: Lichtgeschwindigkeit Die Lichtmenge Q ist die Summe aller Photonen- Energien Selten verwendete (zeitabhängige) Größe Wird aber zur Definition wichtigerer Größen benötigt h = 6.626 10 34 Js Einheit der Lichtmenge ist Lumen Sekunde (lm s) h c

Lichtstrom φ Interessanter ist, wieviele Photonen pro Zeit von der Lichtquelle emittiert werden ΔQ φ = ΔQ Δtt Diese Größe wird als Lichtstrom bezeichnet Lichtstrom = Lichtmenge pro Zeit Δt Summe der Photonen- Energien, die pro Zeitraum Δt emittiert werden Die Einheit des Lichtstroms ist das Lumen (lm) Radiometrische Einheit: Watt

Raumwinkel ω Der Raumwinkel ω ist eine räumliche Erweiterung des zweidimensionalen Winkels im Bogenmaß. Er ist definiert durch das Verhältnis der bedeckten Kugeloberfläche (Kugelkalotte) zum Quadrat des Kugelradius. Größe der Tüte ω = A k 2 r Hilfsgröße zur Definition iti richtungsabhängiger Lichtverteilungen Die Einheit des Raumwinkels ist Steradiant (sr)

Winkel, Raumwinkel Radiant Steradiant Winkel: Bogenlänge auf Einheitskreis Raumwinkel: Fläche auf Einheitskugel Beispiel: Winkel Halbkreis = π, voller Kreis = 2π Beispiel: Raumwinkel Halbkugel = 2π sr, volle Kugel = 4π sr

Lichtstärke I Lichtquellen geben den Lichtstrom typischerweise nicht gleichmäßig in alle Richtungen ab z.b. Spotlicht Um festzulegen, wieviel Lichtstrom in eine Richtung fliegt, wird die Lichtstärke als Lichtstrom pro Raumwinkel definiert Vorstellung = 0 Wieviele Photonen sind in der Die Einheit der Lichtstärke ist die Tüte Candela (cd) I Δω Δφ 1 cd = 1 lm / sr I = Δφ Δω

Beleuchtungsstärke E Wieviel Licht kommt beim Empfänger an Definition: Beleuchtungsstärke = Ankommender Lichtstrom φ pro Empfängerfläche ΔA Δφ in E Δ in = φ ΔA Der Lichtstrom kommt dabei aus allen Richtungen ΔA E ist unabhängig vom Empfängermaterial Vorstellung Wieviele Photonen kommen (pro Zeit) auf der Fläche an Die Einheit der Beleuchtungsstärke ist das Lux (lx) 1 lx = 1 lm / m²

Radiosity B Wieviel Licht sendet eine Fläche ab Definition: Radiosity = Versendeter Lichtstrom φ pro Senderfläche ΔA Δφ out B Δ = φ ΔA out Der Lichtstrom geht dabei in alle Richtungen ΔA Gleiche Definition wie E, aber B ist eine Sendergröße Die Einheit der Radiosity ist lm / m² Vorstellung Wieviele Photonen werden (pro Zeit) von der Fläche versendet

Leuchtdichte L Alle bisherigen Größen sind unsichtbar und sagen i.a. nichts über die Helligkeit von Fläche bzw. Lichtquelle aus L = Δφ Δ A cosθθ Δω Δω Definition der Leuchtdichte Versendeter Lichtstrom Δφ pro (sichtbarer) Empfängerfläche flä ΔAcosθ und Raumwinkel Δω entspricht der gesehenen Helligkeit Lichtstrom dabei nur in Richtung Auge schwierigste i Größe Vorstellung Wieviele Photonen fliegen ins Auge (pro Zeit und pro gesehener Fläche) ΔA cosθ θ ΔA Δφ out : Gesehene Fläche Die Einheit der Leuchtdichte ist cd / m²

Zusammenfassung Photometrische t h Radiometrische i Vereinfachter Einheit Einheit Bezeichnung Bezeichnung Zusammenhang Q Lichtmenge (luminous energy) Strahlungsmenge g (radiant energy) φ I E Lichtstrom Strahlungsfluß lm (luminous flux) (radiant flux) Lichtstärke (luminous intensity) Beleuchtungsstärke (illuminance) cd lx Strahlstärke (radiant intensity) Bestrahlungsstärke (irradiance) W W / sr W / m² B Radiosity lm /m² Radiosity W/m² L Leuchtdichte (luminance) cd / m² Strahldichte (radiance) W / m²sr L = φ = ΔQ Δtt Δφ I = Δω Δ E = φ Δ A e Δ B = φ ΔA s Δφ ΔA cosθ Δω

Beispiele (Größenordnungen) Lichtstrom Glühlampe 1000 lm Leuchtstofflampen 2000 lm Leuchtdichte Nachthimmel 10-11 cd/m 2 Bildschirm Leuchtstoffröhre 200 cd/m 2 1.000 cd/m 2 Sonne 10 9 cd/m 2 Beleuchtungsstärke Vollmondnacht 02lx 0,2 Schreibtisch Supermarkt 400 lx 1000 lx Im Freien Bei Sonnenschein 10.000 lx 100.000 lx S. Müller - 26 -

Lambert Emitter Ist eine Fläche aus jeder Betrachterrichtung gleich hell ( L(θ) = const. ), so spricht man von einem Lambert Emitter Johann Heinrich Lambert 1728-1777 Für eine konstante Leuchtdichte muß die Lichtstärke mit cos(θ) abfallen (genauso wie die gesehene Fläche) θ ΔA ΔAcosθ I θ ) = I cosθ ( 0 Dann gilt Δ φ I ( θ ) I 0 cos θ I 0 L ( θ ) = = = = = const. ΔA cosθ Δω ΔA cosθ ΔA cosθ ΔA

Lambert Emitter Lichtstärke Photonenverteilung e te Δφ out ΔA Leuchtdichte Die Leuchtdichte ist die Lichtstärke pro gesehener Fläche L( θ ) I( θ ) = Δ A cosθ

Invarianz der Leuchtdichte Bewegt man eine Lichtquelle von einer weißen Wand weg, so nimmt die Leuchtdichte (Helligkeit) der Wand quadratisch mit dem Abstand ab Bewegt sich der Betrachter von der Wand weg, so bleibt die Leuchtdichte konstant I i d L htdi ht Di L htdi ht tl d Invarianz der Leuchtdichte: Die Leuchtdichte entlang des Sichtstrahls ist konstant (im Vakuum)

Zusammenhänge Zwischen den Grundgrößen gibt es einige Zusammenhänge Diese beschreiben eine einfache Form der Lichtübertragung und kommen in ähnlicher Form immer wieder vor Im folgenden betrachten wir zwei Flächen mit der Lambert Eigenschaft

Anordnung Δ A s θ s d θ e ΔA e Die Flächen befinden sich im Abstand d und sind um die Winkel θs und θe zur Verbindungsachse gedreht

Photometrisches Grundgesetz Andere Interpretation der Leuchtdichte Für den Lichtstrom Δφse der von s nach e gelangt, gilt Prop. zu beiden Flächen Umgekehrt prop. zum Quadrat des Abstands Die Leuchtdichte ist der Propotionalitätsfaktor ΔA s θ s θ e ΔA s d cosθ s Δφ Δφ L = se se ΔA = L s ΔA s Δ A cosθs ΔA 2 d s Δφse cosθs ΔA 2 d ΔA e ΔA e cos θs Δ A 2 d e cosθ e = ΔA e cosθ s e cosθ e cos θ s e Δφse cosθ Δω e s

Photometrisches Entfernungsgesetz Δω s ΔAe cosθe 2 d ΔA s s θ s Für dielichtstärke gilt I ( θ ) = s Δω s d Einsetzen des Raumwinkels liefert Mit der Beleuchtungsstärke Die Beleuchtungsstärke lässt sich also auch so schreiben E s θ e Δφse Δωs I( θ ) Δ Δ A ΔA e e Δφse cos θ e ΔA d se = φ gilt somit s Δ A e I( θs ) cosθe E 2 d = 2 I( θ ) I 0 e cosθ e 2 E d cosθθ cosθs cosθe 2 d e

Δω ΔAs cosθs d Andere Variante e 2 ΔA s s θ s Δω e d θ e ΔA e Ausgehend von der Leuchtdichte wird Δωe und die Beleuchtungsstärke Die Beleuchtungsstärke lässt sich also auch schreiben als E Δφ se L ΔAs cosθs ΔAe cosθe 2 d = Δ φ se E eingesetzt: L ΔAA e cosθθ e Δω e E L Δω cosθ e e

Vergleich Beleuchtungsstärke I cosθe E 2 d Photometrisches Entfernungsgesetz Quadratische Abnahme der Beleuchtungsstärke mit der Entfernung E L Δω cosθ e Die Beleuchtungsstärke ergibt sich aus der Leuchtdichte des Senders mal dem Raumwinkel, unter dem der Sender gesehen wird (Die quadratische Abnahme mit der Entfernung ist hier nicht so offensichtlich ) h )

Korrekte Definitionen Die bisherige Beschreibung der Grundgrößen ist vereinfacht, da sie auf endlichen Größen basiert Die mathematisch korrekte Beschreibung benötigt infinitesimal kleine Größen So gilt z.b. für den Lichtstrom φ = dq ΔQ Q dt Δt Die unendlich kleine Lichtmenge dq pro unendlich kleinem Zeitintervall dt ist somit Die gesamte Lichtmenge Q ergibt sich dann als Integration Q = dq = φ dt dq = φ dt i φ Δt i

Warum infinitesimal infinitesimal? Falls der Lichtstrom über die Zeit konstant ist, so kann die einfache Formel verwendet werden, hier gilt einfach Q = φ t Q(t) φ = ΔQ dq const Δ Q = dt Δt = φ Δt Die Lichtmenge Q ist praktisch die Rechteckfläche im φ-t Diagramm Die Lichtmenge Q wächst linear mit der Zeit an φ(t) ) φ t Δt t

Warum infinitesimal infinitesimal? Wenn sich der Lichtstrom zeitlich ändert, dann gilt die einfache Formel nicht mehr Q(t) Q = φ ( t) dt i φ Δt i Allgemein gilt: Die Lichtmenge Q(t) ist die Fläche unter der Kurve von φ(t) Vorstellung φ(t) ) Summe von Rechteckflächen N i= 1 Annahme, daß φ innerhalb eines kleinen Zeitraums Δt konstant ist φ 2 φ Δt φ( t) dt i N, Δt 0 t max 0 φ 1 Δt φ t t

Lichtstärke Die Lichtstärke I ist der infinitesimale Lichtstrom dφ pro infinitesimalem Raumwinkel dω I φ Δφ = d dω Δω Für den Lichtstrom dφ gilt somit dφ = I dω Oder: Der Lichtstrom ergibt sich als Integral der Lichtstärke über alle aerichtungen ctuge φ = dφ = I 4π sr 4π sr dω

Lichtstärke Gegeben ist eine nicht-uniforme Verteilung der Lichtstärke Zur Berechnung des gesamten Lichtstroms müssen wir alle Teil- Lichtströme aufsummieren v ω ( ω dωω N N, Δ ω 0 I i Δ I( ω ) i= 1 4π sr Wie integriert man über alle Richtungen, also über die Kugel? Wie integriert man über eine Fläche? φ Δφ 1 I 1 I 2 N i= 1 Δφ 2 Δ φ i N i= 1 Δ φ = I Δω I i i Δω = 4π N i Δ ω

Integration über Fläche Vorstellung: Bewege ein kleines Flächenelement da über die gesamte Fläche und summiere die Anteile Schreibweise Bsp.: Flächenberechnung A y 2 A dy f ( x, y) da dx i ΔA i = i Δx Δy x 3 i i A 2 3 2 3 2 2 2 = da = dx dy = dx dy = 0 A 0 0 0 0 0 0 0 ([]) 3 x dy = 3dy = 3 dy = 3 [ y] ( ) 2 = 3 2 = 6 0 Bewege dich von 0 bis 2 in y-richtung, dabei jeweils von 0 bis 3 in x-richtung und summiere alle da s

Polarkoordinaten in 2D y P y P ( 0 ) ( 0 ) θ 0, 2π r, 0 x θ r x P Kart. = x y P polar θ = r Z I t ti üb di K l b öti i i Zur Integration über die Kugel benötigen wir eine Parametrisierung der Kugeloberfläche. Dies geschieht über Polarkoordinaten.

Polarkoordinaten in 3D y y P P z θ r 0 0 x ϕ x P Kart. x = y z z P polar θ = ϕ r ϕ 0, 2π ( 0 π ) ( ) r ( 0, ) θ, θ : Winkel zur y-achse (Breitengrad) ϕ: Rotation um y-achse (Längengrad) (ganze Kugel )

Polarkoordinaten in 3D y y ϕ θ r θ ϕ x x z Festes ϕ, bewege θ z Festes θ, bewege ϕ

Flächenelement auf einer Kugel dϕ r sinθ dϕ r sinθ da r θ r θ ϕ r dθ 2 da= r sinθ dθ dϕ da dω = = sinθ dθ dϕ r 2 r θ dθ

Beispiel Integration über Kugel Berechne den Raumwinkel ωk der Kugelkappe mit Öffnungswinkel θ0 ω K = dω K 2π θ 0 = = 0 0 2π 0 2π 0 sinθ dθ dϕ θ0 [ cosθ ] dϕ = (1 cosθ 0) d ϕ 0 2π dω = sinθ dθ dϕ 1 θ 0 ( 1 cos ) 2 = ( 1 cosθ0) d ϕ = ( 1 cosθ0) [ ϕ] π = 2π θ 0 0 0 0

Umrechnung y r sinθ θ Gegeben: ϕ r y P r cosθ θ 0 r P x r sinθ sinϕ z 0 ϕ r sinθ cosϕ x z x r sinθ cosϕ = r cosθ y z r sinθ sinϕ

Photometrische Größen Definition von Radiosity B = d φ da out Δφ ΔA out Beleuchtungsstärke Leuchtdichte L = da s d φin E = da 2 d φse cosθ dω s s Δφ in ΔA ΔA s Δ φse cosθ s Δω s

Beleuchtungsstärke Für einen endlich großen Sender gilt E L( ( v ω ) cosθ Δω Für eine unendlich kleine Senderfläche gilt de = L ( v ω ) cos θ dω Die gesamte Beleuchtungsstärke erhält man durch Integration ti über den Halbraum E = L ( v ω ) cosθ dω 2π sr L 2 Δω L 1 Δω L(ω v ) E

Rendering Equation Globale Beleuchtung L o v ( x, ω ) o Eigenemssion (nur Lichtquelle) v v v v = L ( x, ω ) + f ( x, ω, ω ) cosθ L ( x, ω ) dω e o 2 π sr r i o L (xx, v ω ) i ( i i de i i L o( o (x x, v ω ) x θ f r : Reflexion an der Oberfläche, genaueres in der nächsten Vorlesung Gute Übersicht: Global Illumination Compendium www.cs.kuleuven.be/~phil/gi