Lihtgeshwindigkeit Die Lihtgeshwindigkeit beträgt konstant a. 300 000 km/s = 3*0 8 m/s. Für unsere Betrahtung genügt diese Genauigkeit. Nihts kann shneller als die Lihtgeshwindigkeit sein. Der Begriff Lihtgeshwindigkeit ist in sofern irreführend, da niht nur das Liht, sondern auh Magnet- und lektrofelder sowie die Graitation sih mit der Lihtgeshwindigkeit ausbreiten. Genauer wäre offensihtlih die Aussage, dass die Zeit sih mit Lihtgeshwindigkeit ausbreitet. Würde die Sonne in einem Augenblik ershwinden, würde die rde noh 8 min um diese kreisen und dann geradeaus fliegen. Da unsere Galaxie (Milhstraße) einen adius a. 50 000 Lihtjahre hat, dauert es ebenso lange bis die Graitation des Milhstraßenzentrums bis an den and der Milhstraße, etwa da, wo unser Sonnensystem ist, gelangt. Kann man trotzdem shneller als die Lihtgeshwindigkeit sein? Man kann. s kommt auf die Betrahtung an. In einer akete, welhe permanent mit a = 0 m/s² beshleunigt, erreihen wir nah t a 6 0 t 0 8 6 0 7 s die doppelte Lihtgeshwindigkeit. Natürlih nehmen wir uns genug Verpflegung für diese lange Zeit mit. Zum Beweis haben wir in dem aumshiff ein Tahometer eingebaut. Der misst die Beshleunigung und multipliziert sie mit der Zeit. Nah s zeigt der Taho = 0 m/s, nah 000 s zeigt der Taho = 0000 m/s. Und nah 6*0 7 s zeigt der Taho eine Geshwindigkeit on 600 000 km/s = 6*0 8 m/s an. Dies ist laut Taho die doppelte Lihtgeshwindigkeit. Mit dieser Geshwindigkeit fliegen wir nun diht an der rde orbei ihtung Mond. Der ist on der rde 388 000 km entfernt. Durh Peilung messen wir genau, wann wir 88 000 km or dem Mond, d.h. 300 000 km on der rde entfernt sind. Dies ist genau die Streke, für die das Liht s benötigt. Wenn wir diht genug an der rde orbei fliegen, lassen wir einen hellen Blitz erleuhten, der auf der rde ohne Verzögerung gesehen wird. Sowohl wir, als auh die Beobahter auf der rde drüken in diesem Moment auf Stoppuhren. Wenn wir an der Marke 300 000 km on der rde entfernt sind, lösen wir erneut einen Blitz ihtung rde aus und drüken die Stoppuhr zum. Mal. Diese zeigt 0,5 s an. Wir haben also die Streke 300 000 km in einer halben Sekunde zurükgelegt. Für uns in der akete ist das Beweis genug, dass wir doppelte Lihtgeshwindigkeit geflogen sind. Wenn der zweite Blitz auf der rde gesehen wird, drükt man auh dort die Stoppuhr und liest die Zeit ab. s sind,8034 s. Wie ist das möglih? Für die rde gelten andere Zeitregeln als für uns. Die Zeiten auf der rde zwishen den beiden Blitzen und unsere Zeiten berehnen sih nah der elatiitätstheorie wie folgt.
t t C t Darin ist t die Zeit auf der rde, t C die Zeit des Lihtes und t die Zeit im aumshiff für die 300 000 km. s gilt t C = s, t = 0,5 s, also die Zeit wie sie in der akete wahrgenommen wird. ingesetzt in die Gleihung erhalten wir t =,8034 s. Das wäre die aumshiffzeit aus der Siht der rde. Dazu addieren wir die Zeit des Lihtes = s. Dies ist die Zeit, die der zweite Blitz brauhte, um zur rde zu gelangen und erhalten die Zeit der irdishen Stoppuhr t S =,8034 s. Und wie shnell war unsere akete aus der Siht der rde? Dazu nehmen wir die auf die rde bezogene aumshiffzeit t =,8034 s für die Streke on 300 000 km (,8034 s - s für die Zeit des Blitzes zurük). Daraus berehnen wir die Geshwindigkeit s t 8 30 8,68330 m/s,8034 Das sind 89% der Lihtgeshwindigkeit, also niht die doppelte Lihtgeshwindigkeit wie man sie in der akete wahrgenommen hat. Wer hat nun eht? Beide. Die Zeiten sind untershiedlih, nämlih,8 0,5 = 0,68 s. Um diese Zeitdifferenz würden die Uhren in der akete im Vergleih zu den Uhren auf der rde anders laufen. Wenn die akete wieder auf der rde landet, wird man das feststellen. Dass die Zeiten relati sind, ist die Kernaussage der elatiitätstheorie. In diesem Beispiel war die Geshwindigkeit für die akete sehr hoh gewählt, um die Wirkung deutlih zu mahen und man muss 6*0 7 s lang fliegen, um die (lokale) doppelte Lihtgeshwindigkeit zu erreihen. Das sind immerhin fast Jahre. Weitere Jahre bräuhte die akete für das Bremsmanöer, um wieder auf die rde zurükzukehren. Wie man diesen Flug tatsählih steuert, ist unklar, aber er dient uns als xperiment, um die elatiitätstheorie an einem Beispiel zu erklären. Diese elatiitätstheorie wurde on instein entwikelt, um die elatiität der Zeit abzuleiten unter der Berüksihtigung, dass die Lihtgeshwindigkeit eine Konstante ist. Bei der Ableitung ergleiht man lediglih zwei Koordinatensysteme. Dabei ergibt sih die o.g. Zeitbeziehung. Wenn man diese auf die Geshwindigkeit anwendet, erhält man aus dieser (pythagoreishen) Zeitbeziehung t t C t durh insetzen on s t und mit s =, d.h. Kürzen durh s und mit =, der Lihtgeshwindigkeit Aufgelöst nah erhalten wir
Diese Formel ist bekannt. Setzen wir darin die o.g. Werte für = 6*0 8 m/s ein, erhalten wir tatsählih die auf die rde bezogene Geshwindigkeit der akete mit =,6833 *0 8 m/s. ine analoge Beziehung besteht zwishen der uhemasse auf der rde m und der Masse m in der akete. m m Danah würde kg uhemasse m in der akete die Masse m =,36 kg haben. Von dem amerikanishen Astronom Hubble wissen wir, dass er die otershiebung on Galaxien entdekte und daraus die permanente Ausdehnung des Weltalls begründete. r fand heraus, dass die otershiebung umso größer ist, je weiter die Galaxie entfernt ist. Daraus shloss er, dass die Galaxien sih umso shneller on uns entfernen, je weiter sie entfernt sind und begründete daraus die Urknalltheorie, wonah das Weltall endlih ist. Die Beobahtung der otershiebung lässt den Shluss zu, dass die rde im Zentrum der Weltallausdehnung liegt. ine mathematishe Ableitung dazu ist niht bekannt. ine andere Betrahtung ergibt folgendes: Das Liht einer Galaxie, welhes zu uns kommt, ist umso älter, je weiter die Galaxie on uns entfernt ist. Je länger das Liht zu uns unterwegs ist, umso länger unterliegt es dem influss der Graitation im Weltall. Das Weltall ist oll on Galaxien (insgesamt 00 Milliarden). Dass die Graitation influss auf Liht hat, hat instein aus der Maxwell-Gleihung abgeleitet und lässt sih durh das Modell des Lihtes als Photon berehnen. Das Photon wird aber durh die Graitation niht langsamer, dessen Ablenkung an der Sonne jedoh berehnet und nahgewiesen. Die Berehnung ist sehr komplex. s ist zu ermuten, dass, wenn diese auf das Liht der entfernten Galaxien angewandt wird, sih damit die otershiebung erklären lässt. Vielleiht kommt instein nohmal kurz zurük auf die rde und berehnet das. Seiner Aussage nah gilt: Die Dummheit der Menshen und das Weltall sind unendlih. Bei letzterem bin ih mir niht so siher. r war sih dessen sogar sehr siher. r wollte damit sagen, so unendlih das Weltall ist, umso mehr grenzenlos ist das Unwissen der Menshen. Ist die Lihtgeshwindigkeit berehenbar? Ja, über das Gesetz des lektromagnetismus. Die magnetishe Feldkonstante μ 0 = 4 π 0-7 [ 3
Die Dielektrizitätskonstante ε 0 = 8,854 0 - Nah Maxwell (James Clerk Maxwell) gilt Daraus errehnet sih =,99796 0 8 m/s elatigeshwindigkeiten: in Fahrzeug habe die Länge s 0 = 00 m und die Geshwindigkeit 0 = 0 m/s. Am Hek wird ein Shall erzeugt, der am Bug gemessen werden soll. Die Shallgeshwindigkeit beträgt = 333 m/s. Nah welher Zeit kommt der Shall am Bug an? Wird der Shall am Bug erzeugt und am Hek empfangen lautet die Gleihung Herleitung: s sei s 0 die Streke (00 m), die der mpfänger on der Shallquelle zum Zeitpunkt t = 0 entfernt sei. 0 sei die Geshwindigkeit des mpfängers (0 m/s), t 0 sei die Zeit, die das Fahrzeug für die Streke s 0 benötigt, die Shallgeshwindigkeit (333 m/s), s ist die Streke, die der Shall in der Zeit t zurüklegt: Dieselbe Streke s legt der mpfänger zurük, allerdings mit s 0 = 00 m Vorsprung. Daher gilt Durh Gleihsetzen erhalten wir Aufgelöst nah t erhalten wir Nun diidieren wir durh und erhalten s kommt niht darauf an wie shnell die Shallquelle ist, sondern wie shnell der mpfänger ist. Auh wenn sih die Shallquelle während der rzeugung des Shalls bewegt, erbreitet sih die Shallwelle on dem Ort aus, an dem die Shallquelle zur Zeit der Shallerzeugung war. Dem Shall ist es egal wohin die Shallquelle nah rzeugung des Shalls fährt. Die Beobahtung bestätigt dies. 4
In einem fahrenden Auto ruht das Shallmedium im Auto. Die Shallausbreitung erläuft also on der Shallquelle aus und hat in Bezug auf die rde die Bezugsgeshwindigkeit des fahrenden Autos. Das Zentrum der Shallwellen ist für den Autofahrer mit dem beweglihen Zentrum der Shallquelle identish, niht jedoh für einen Beobahter außerhalb des Autos. Würde man im Auto die Shallgeshwindigkeit messen ergäbe sih 333 m/s, egal wie shnell das Auto wäre. Beispiel: In einer Stadt fahren 000 Autos kreuz und quer. Die Übertragung des Shalls on einer Shallquelle des einen Autos auf ein anderes Auto und dessen Insassen läßt sih linear berehnen. Die Lihtausbreitung im All erhält sih wie folgt. Da Liht kein Medium benötigt, erfolgt die Lihtausbreitung on der Lihtquelle so wie die Shallausbreitung im fahrenden Auto. Das Zentrum der Lihtwellen ist mit dem beweglihen Zentrum der Lihtquelle identish. Mit anderen Worten: jede Lihtquelle wird ruhend betrahtet, selbst wenn sie sih bewegt. Die Frage ob sih jemand bewegt oder ruht ist im All niht absolut sondern nur relati definierbar. Beispiel: Zwei aumshiffe sind soweit on einander entfernt, dass sie sih weder sehen noh sonst wie Kontakt haben und bewegen sih aufeinander zu. Jeder sendet Lihtsignale aus und misst die Lihtgeshwindigkeit in seinem aumshiff. Jeder erhält das bekannte rgebnis: 300000 km/s. Jeder kann sih also ruhend betrahten. Für jeden aumfahrer breitet sih das Liht ganz normal kugelförmig aus. Obwohl sih jedes aumshiff mit Fug und eht als ruhend bezeihnen darf, haben sie eine elatigeshwindigkeit zueinander. Und nur die zählt, denn eine absolute Geshwindigkeit gibt es niht im All und damit auh keine Shilder mit einer Geshwindigkeitsbegrenzung. Wann aber erreiht nun das Liht des einen aumfahrers den anderen aumfahrer? Das können wir niht wie bei den Autos in einer Stadt linear berehnen. Dazu ist die sog. Lorentz-Transformation nötig. Dabei wird jeder aumfahrer so betrahtet, dass für ihn ein Koordinatensystem gilt, dessen Koordinaten auf die Koordinaten eines anderen aumfahrers transformiert werden müssen. Die Verbindungskoordinate der beiden aumshiffe sei x. Die Koordinaten und Zeiten im aumshiff sind x und t und die im aumshiff x und t. aumshiff bewege sih relati zum aumshiff mit der Geshwindigkeit in x-ihtung. Zum Startzeitpunkt 0 gilt t = t = 0 und x = x = 0 sowie y = y = 0. D.h. es fallen die Koordinatenursprünge zum Zeitpunkt t = 0 zusammen. Für aumshiff bewegt sih aumshiff in positier ihtung und für aumshiff bewegt sih aumshiff in negatier ihtung fort. Daher gilt x = f(x + t ) bzw. x = f(x t) Dies ist die Galilei-Transformation. Darin sind t und t die Zeiten sowie f der Transformationsfaktor. Für herkömmlihe langsame Bewegungen, d.h. <<, würde f = und t = t sein. Zum Zeitpunkt t = 0 senden beide aumshiffe ein Lihtsignal aus. Die Lihtgeshwindigkeit beträgt in beiden aumshiffen =. Damit gilt für die Streke x im aumshiff 5
x = t und für aumshiff x = t. Nun brauhen wir nur diese 4 Gleihungen zusammenzufassen und erhalten: t = f(x + t ) = f(t + t ) = ft ( + ) sowie t = f (x t) = f(t t) = (ft ( ) Wir multiplizieren beide Gleihungen miteinander und erhalten ²tt = f²( + )( ) = f²(² - ²) Durh tt diidiert erhalten wir und letztlih Dies ist die Lorentz-Transformation mit f dem Lorentzfaktor. Dieses rgebnis stimmt mit den o.g. Zeittransformationen überein. Hendrik Antoon Lorentz (853 98) war ein niederländisher Mathematiker und Physiker. Auf seinen mathematishen Grundlagen konnte Albert instein 905 seine spezielle elatiitätstheorie aufbauen. 6
Die nähste Galaxie, der Andromeda Nebel ist,5*0 6 Lihtjahre on uns entfernt und hat einen Durhmesser on 40000 Lihtjahre. Sie ist also gerade mal 0 mal so weit on uns entfernt wie ihr Durhmesser beträgt, befindet sih also direkt or unser Haustür und bewegt sih auf uns zu. Am Himmel und im Planetarium ersheint ihr Durhmesser im Winkel on erstaunliherweise 86,. Die Sonne und der Mond ersheinen im Winkel on nur 3. Wolfgang Shmidt Noember 04 7