Grundlagen Geometrie zusätzliche Zeichnungen 3 in die platonischen Körper Raumanordnung 3 Einsicht in den Tetraeder 4 Zweifache Einsicht in den Tetraeder 5 Einsicht in den Hexaeder 6 Zweifache Einsicht in den Hexaeder 7 Einsicht in den Oktaeder 8 Zweifache Einsicht in den Oktaeder 9 Einsicht in den Ikosaeder 10 Zweifache Einsicht in den Ikosaeder 11 Einsicht in den Dodekaeder 12 Zweifache Einsicht in den Dodekaeder 13 Erstellt durch: AnOA edition Andreas OttigerAmmann Feldheim 1 CH-6027 Römerswil LU www.anoae.org kontakt@anoae.org 1.Version: 07.02.2010
Literatur: Die Masse der Um-, Zwischen-, und Inkugeln sind dem Buch: Mandalas der Heiligen Geometrie von Bruce Rawles, Silberschnur 1999 entnommen. Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Adam/Wyss, Haupt 1994 Die sind eine Ergänzung zum Buch: Vom ewig beginnenden Ende von Andreas OttigerAmmann, AnOA edition 2008
Raumanordnung Eine ineinander verschachtelte Raumanordnung der platonischen Körper: B: Durchdringung von Ikosaeder (grün) und Dodekaeder (rot) C: Durchdringung von Tetraeder (blau) und Tetraeder (orange-gelb) D: Durchdringung von Oktaeder (dunkelblau) und Hexaeder (dunkelgelb) Sie sind gezeichnet mit all ihren Um-, Zwischen- und Inkugeln. D C B Inkugel Würfel r = 1 = 1 Inkugel Oktaeder r = (4/3) = 1.154 Zw-k Oktaeder/Würfel/In-k Sterntetraeder r = 2 = 1.414 Umkugel Würfel r = 3 = 1.732 Umkugel Oktaeder/Zwischenkugel Sterntetraeder r = 4 = 2 Inkugel Dodekaeder r 2.752 Inkugel Ikosaeder r 3.023 Zwischenkugel Ikosaeder/Dodekaeder r = 5+1= 3.236 Umkugel Dodekaeder/Sterntetraeder r = 12 = 3.464 Umkugel Ikosaeder r 3.804 Darstellung der : (Seiten 4-13) linke Reihe: Ansicht auf eine Kante des äusseren Körpers rechte Reihe: leicht nach rechts gedrehte Ansicht Jeder platonische Körper lässt sich in die anderen Körper einpassen. Die Ecken der eingepassten Körper treffen entweder auf eine Ecke, eine Kante oder auf die Mitte der Fläche des sie umgebenden Körpers. 3
Einsicht in den Tetraeder Nur der Tetraeder lässt sich auch in sich selbst einpassen. U Tetraeder 3.00000 Vier Dodekaeder-Ecken berühren die Tetraeder-Flächen U Tetraeder 2.3819660112 Vier Ikosaeder-Flächen berühren die Tetraeder-Flächen U Tetraeder 1.7320508076 Vier Oktaeder-Flächen berühren die Tetraeder-Flächen U Tetraeder 3.00000 Vier Hexaeder-Ecken berühren die Tetraeder-Flächen U Tetraeder 3.00000 Vier innere Tetraeder-Ecken berühren die äusseren Tetraeder-Flächen 4
Zweifache Einsicht in den Tetraeder Nur der Tetraeder lässt sich auch in sich selbst einpassen. U gr. Tetraeder 3.00000 U kl. Tetraeder 1.00000 U gr. Tetraeder 2.3819660112 U kl. Tetraeder 0.7940045502 U gr. Tetraeder 1.7320508076 U kl. Tetraeder 0.5773502692 U gr. Tetraeder 3.00000 U kl. Tetraeder 1.00000 U gr. Tetraeder 3.00000 U kl. Tetraeder 0.33333 U gr./u kl. 9.00000 27 5
Einsicht in den Hexaeder Sechs Dodekaeder-Kanten berühren die Hexaeder-Flächen U Hexaeder 1.6180339887 Der Dodekaeder ist um 1.070466 grösser als beim Oktaeder = von Umkugel zu Zw-Kugel Sechs Ikosaeder-Kanten berühren die Hexaeder-Flächen U Hexaeder 1.4733704195 Der Ikosaeder ist um 0.934172 kleiner als beim Oktaeder = von Inkugel zu Zw-Kugel Die sechs Oktaeder-Ecken berühren die Hexaeder-Flächen U Hexaeder 1.7320508076 Die vier Tetraeder-Ecken berühren die Hexaeder-Ecken U Hexaeder 1.00000 6 Die Umkugel und Zwischenkugel von Tetraeder
Zweifache Einsicht in den Hexaeder U gr. Hexaeder 1.6180339887 U kl. Hexaeder 1.00000 U gr./u kl. 1.6180339887 Phi (Goldener Schnitt) U gr. Hexaeder 1.4733704195 U kl. Hexaeder 0.7946544730 U gr./u kl. 1.8541019662 Phi 4 5 (0.8541019662 ist eine Phi-Endung) U gr. Hexaeder 1.7320508076 U kl. Hexaeder 0.7071067812 U gr./u kl. 2.4494897428 6 U gr. Hexaeder 1.00000 U kl. Hexaeder 0.3333333333 7 Die Umkugel und Zwischenkugel von Tetraeder
Einsicht in den Oktaeder U Oktaeder 1.7320508076 Acht Dodekaeder-Ecken berühren die Oktaeder-Flächen U Oktaeder 1.376462 Acht Ikosaeder-Flächen berühren die Oktaeder-Flächen U Oktaeder 1.7320508076 Die acht Hexaeder-Ecken berühren die Oktaeder-Flächen U Oktaeder 1.7320508076 Die vier Tetraeder-Ecken berühren die Oktaeder-Flächen 8
Zweifache Einsicht in den Oktaeder U gr. Oktaeder 1.7320508076 U kl. Oktaeder 0.9341723590 U gr./u kl. 1.8541019662 Phi 4 5 (0.8541019662 ist eine Phi-Endung) U gr. Oktaeder 1.376462 U kl. Oktaeder 0.8507 U gr./u kl. 1.6180339887 Phi (Goldener Schnitt) U gr. Oktaeder 1.7320508076 U kl. Oktaeder 0.5773502692 U gr. Oktaeder 1.7320508076 U kl. Oktaeder 0.5773502692 9
Einsicht in den Ikosaeder Zwanzig Dodekaeder-Ecken berühren die Ikosaeder-Flächen U Ikosaeder 1.258408572 Acht Oktaeder-Ecken berühren die Ikosaeder-Kanten U Ikosaeder 1.1755705046 Die acht Hexaeder-Ecken berühren die Ikosaeder-Flächen U Ikosaeder 1.258408572 Die vier Tetraeder-Ecken berühren die Ikosaeder-Flächen U Ikosaeder 1.258408572 10
Zweifache Einsicht in den Ikosaeder U gr. Ikosaeder 1.258408572 U kl. Ikosaeder 0.794654473 0.794 ist der Kehrwert von 1.258 U gr./u kl. 1.583592133 U gr. Ikosaeder 1.1755705046 U kl. Ikosaeder 0.726542528 U gr./u kl. 1.6180339887 Phi (Goldener Schnitt) U gr. Ikosaeder 1.258408572 U kl. Ikosaeder 0.6787159471 U gr./u kl. 1.8541019662 Phi 4 5 (0.8541019662 ist eine Phi-Endung) U gr. Ikosaeder 1.258408572 U kl. Ikosaeder 0.41946934 U gr. Ikosaeder = 1.00000 U Tetraeder 0.7946544725 U kl. Ikosaeder 0.333333333 11
Einsicht in den Dodekaeder U Dodekaeder 1.258408572 Zwölf Ikosaeder-Ecken berühren die Dodekaeder-Flächen U Dodekaeder 1.070466269 Acht Oktaeder-Ecken berühren die Dodekaeder-Kanten Die acht Hexaeder-Ecken berühren die Dodekaeder-Ecken Die vier Tetraeder-Ecken berühren die Dodekaeder-Ecken 12
Zweifache Einsicht in den Dodekaeder U gr. Dodekaeder 1.258408572 U kl. Dodekaeder 0.794654473 0.794 ist der Kehrwert von 1.258 U gr./u kl. 1.583592133 U gr. Dodekaeder 1.070466269 U kl. Dodekaeder 0.5773502692 0.577 ist der Kehrwert von 3 U gr./u kl. 1.8541019662 Phi 4 5 (0.8541019662 ist eine Phi-Endung) U gr. Dodekaeder = 1.00000 U kl. Dodekaeder 0.6180339887 0.618 ist der Kehrwert von Phi U gr./u kl. 1,6180339887 Phi (Goldener Schnitt) U gr. Dodekaeder = 1.00000 U kl. Dodekaeder 0.333333 0.333 ist 1/3 der gr. Umkugel 13