Vortrag 11: Der Satz von Mordell-Weil

Vortrag 11: Der Satz von Mordell-Weil Max Daniel 30. Januar 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Höhenfunktionen auf elliptischen Kurven 2 2 Ausblick 7 Einleitung Sei E/K eine über einem Zahlkörper K definierte elliptische Kurve. Wir hatten gesehen, dass die K-rationalen Punkte E(K) eine Untergruppe von E bilden. Wir wollen nun den Satz von Mordell-Weil beweisen, der besagt, dass E(K) endlich erzeugt ist. Der Beweis verläuft über die Abstiegsmethode, ist also eine Anwendung des folgenden Satzes [Sil, S. 218, Thm. VIII.3.1], den wir in Vortrag 9 bewiesen hatten. Satz 0.1. Sei A eine abelsche Gruppe und h: A R eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften: (i) Q A C 1 R P A : h(p + Q) 2h(P ) + C 1 (ii) m {2, 3, 4,... }, C 2 R P A : h(mp ) m 2 h(p ) C 2 (iii) C 3 R : {P A h(p ) C 3 } ist endlich Zusätzlich gebe es ein m, für das Bedingung (ii) erfüllt und A/mA endlich ist. Dann ist A endlich erzeugt. Mit etwas Gruppenkohomologie und algebraischer Zahlentheorie hatten wir in Vortrag 9 bereits den sog. schwachen Satz von Mordell-Weil [Sil, S. 208, Thm. VIII.1.1] gezeigt: Satz 0.2. Für alle m {2, 3, 4,... } ist E(K)/mE(K) endlich. Zu zeigen bleibt also nur noch die Existenz einer Abbildung h: E(K) R, die die Bedingungen aus Satz 0.1 erfüllt. Wir folgen hierbei Abschnitt VIII.6 von [Sil]. 1

1 Höhenfunktionen auf elliptischen Kurven Wir erinnern an die absolute Höhenfunktion H : N N PN (Q) R aus Vortrag 10. Für unsere Zwecke ist die absolute logarithmische Höhenfunktion h = log H besser geeignet. Satz 1.1 (Eigenschaften der logarithmischen Höhe). (i) P P N (Q) : h(p ) 0 (ii) Sei F : P N (Q) P M (Q) ein Morphismus von Grad d. Dann gibt es positive reelle Zahlen C, C mit P P N (Q) : Cdh(P ) h(f (P )) C dh(p ). (iii) Für ein Polynom f(t ) = d i=0 a it i = a d d i=j (T α j) Q[T ] gilt d log 2 + d h([α j, 1]) h([a d,..., a 0 ]) (d 1) log 2 + j=1 (iv) C R : {P P N (K) h(p ) C} ist endlich d h([α j, 1]). Beweis. Vortrag 10 bzw. [Sil, S. 226, Prop. VIII.5.4(b)], [Sil, S. 227, Thm. VIII.5.6], [Sil, S. 230, Prop. VIII.5.9]. Man beachte, dass der Logarithmus bijektiv und monoton wachsend ist. Wir benutzen nun rationale Funktionen f Q(E), um die logarithmische Höhe auf die elliptische Kurve E zurückzuziehen. Dazu betrachten wir solche f als Abbildungen { f : E(Q) P 1 [f(p ), 1] f definiert in P (Q), P. [1, 0] P Pol von f Da E nicht-singulär ist, ist dies sogar ein Morphismus, vgl. [Sil, S. 20, Ex. II.2.2]. Definition 1.2 (Höhe auf E). Sei f Q(E). Dann heißt Höhenfunktion auf E bzgl. f. h f : E(Q) R, P h(f(p )) Bedingung (iii) aus Satz 0.1 bekommen wir leicht. Satz 1.3. Sei f K(E) nichtkonstant. Dann ist für alle C 3 R die Menge endlich. {P E(K) h f (P ) C 3 } j=1 2

Beweis. f K(E) bildet E(K) in P 1 (K) ab. Für C 3 R ist M = {P P 1 (K) h(p ) C 3 } endlich nach 1.1(iv). Da eine nichtkonstante rationale Funktion nur endlich viele Nullund Polstellen hat, ist damit auch {P E(K) h f (P ) C 3 } = f 1 ({P }) endlich. Die Diskussion der ersten beiden Bedingungen aus 0.1 wird einige explizite Rechnungen nötig machen. Wir wählen also Weierstraß-Koordinaten x, y K(E), d. h. (vgl. [Sil, S. 59, Prop. III.3.1]) [x, y, 1]: E P 2 liefert einen Isomorphismus von E auf eine durch eine Weierstraß-Gleichung y 2 = x 3 + Ax + B (beachte char K = 0), A, B K, gegebene Kurve, wobei der ausgezeichnete Punkt O E der einzige Pol von x ist und auf [0, 1, 0] abgebildet wird. Wir erinnern außerdem an P M [K(E) : K(x)] = [K(x, y) : K(x)] = 2 [Sil, S. 61, Cor. III.3.1.1] und das folgende Resultat. Lemma 1.4. Für f K(E) sind äquivalent: (a) f ist gerade, d. h. P E(K) : f(p ) = f( P ). (b) f K(x) Beweis. Mithilfe von expliziten Formeln für das Gruppengesetz, vgl. [Sil, S. 54, Kor. III.2.3.1]. Wir zeigen nun, dass die Höhe h x bzgl. der Weierstraß-Koordinate x bis auf eine Konstante die Parallelogramm-Gleichung erfüllt. Damit verstehen wir den Zusammenhang zwischen der Höhe und dem Gruppengesetz der elliptischen Kurve hinreichend gut, um die Bedingungen (i) und (ii) einsehen zu können. Definition 1.5. Seien f, g : S R auf einer beliebigen Menge definierte Abbildungen. Wir führen folgende Notation ein: f = g + O(1) : C, C R P S : C f(p ) g(p ) C Dies definiert offenbar eine Äquivalenzrelation, insbesondere folgt aus f = g + O(1) und g = h + O(1), dass f = h + O(1). 3

Lemma 1.6. h x (P + Q) + h x (P Q) = 2h x (P ) + 2h x (Q) + O(1) Hierbei sind beide Seiten als Abbildungen auf E(Q) E(Q) zu betrachten, d. h. die zu O(1) gehörigen Konstanten sind unabhängig von P, Q. Beweis. Sei G: E E E E, (P, Q) (P + Q, P Q). Wir werden werden die Existenz eines kommutativen Diagramms E E σ G E E σ g P 2 P 2 zeigen, wobei (1) h(σ(p, Q)) = h x (P )+h x (Q)+O(1), beide Seiten als auf E E definierte Abbildungen zu verstehen. (2) g ist ein Morphismus von Grad 2. Hieraus folgt dann die Behauptung, denn: h x (P + Q) + h x (P Q) = h(σ(g(p, Q))) + O(1) (1) = h(g(σ(p, Q))) + O(1) Diagramm kommutiert = 2h(σ(P, Q)) + O(1) (2), 1.1(ii) = 2h x (P ) + 2h x (Q) + O(1) (1) Beweis von (1): σ sei die Abbildung, die das Diagramm σ E E P 1 P 1 P 2 (x, x) mit P 1 P 1 P 2, ([α 1, β 1 ], [α 2, β 2 ]) [β 1 β 2, α 1 β 2 + α 2 β 1, α 1 α 2 ] kommutativ macht. Falls P = O oder Q = O kann man (1) direkt nachrechnen. Seien also P und Q von O verschieden und daher x(p ) = [α 1, 1], x(q) = [α 2, 1]. Dann ist weshalb (1) aus 1.1(iii) für das Polynom folgt. σ(p, Q) = [1, α 1 + α 2, α 1 α 2 ], T 2 + (α 1 + α 2 )T + α 1 α 2 = (T + α 1 )(T + α 2 ) 4

Beweis von (2): Setze g([t, u, v]) = [u 2 4tv, 2u(At + v) + 4Bt 2, (v At) 2 4Btu] = [g 1, g 2, g 3 ]. Da die g i homogene Polynome in t, u, v von Grad 2 sind, definiert dies einen Morphismus von Grad 2, sofern g wohldefiniert ist; die Kommutativität des obigen Diagramms kann man dann unter Verwendung der expliziten Formeln für das Gruppengesetz auf Weierstraß-Kurven direkt nachrechnen. Es bleibt also nur noch zu zeigen: g 1 = g 2 = g 3 = 0 t = u = v = 0 Falls t = 0, so folgt u = 0 aus g 1 = 0 und dann v = 0 aus g 3 = 0. Falls t 0, setze x = u 2t. Dann gilt: g 1 = 0 x 2 = v t g 2 = 0 ψ(x) = 4x 3 + 4Ax + 4B = 0 g 3 = 0 φ(x) = x 4 2Ax 2 8Bx + A 2 = 0 Die Polynome ψ(x), φ(x) haben aber keine gemeinsamen Nullstellen, denn (12X 2 + 16A)φ(X) (3X 3 5AX 27B)ψ(X) = 4(4A 3 + 27B 2 ) = 4 und die Diskriminante ist nicht Null, da elliptische Kurven nicht-singulär sind. Da wir nur eine Höhenfunktion auf E(K) mit den passenden Eigenschaften benötigen, reicht Lemma 1.6 für den Beweis des Satzes von Mordell-Weil bereits aus. Wir zeigen aber noch mehr. Satz 1.7. Seien f, g K(E) gerade. Dann gilt: (i) Lemma 1.6 gilt auch mit h f statt h x. (ii) (deg g)h f = (deg f)h g + O(1) Beweis. Nach 1.4 gibt es r(x) K(X) = K(P 1 ) mit f = r(x); in Termen von Morphismen kommutiert also das Diagramm E x f r P 1 P 1 Also gilt h f = h r x 1.1(ii) = (deg r)h x + O(1) und aus der Multiplikativität des Grads erhalten wir deg f = (deg x)(deg r) = 2 deg r. Insgesamt folgt also. ( ) h f = 1 2 (deg f)h x + O(1), 5

weshalb sich (i) durch Multiplikation der Gleichung aus 1.6 mit 1 2 (deg f) ergibt. Ferner: (deg g)h f ( ) = 1 2 (deg f)(deg g)h x + O(1) ( ) = (deg f)h g + O(1) Korollar 1.8. Sei f K(E) gerade. Dann gilt: (i) Q E(Q) C 1 R P E(Q) : h f (P + Q) 2h f (P ) + C 1 (ii) m Z : h f [m] = m 2 h f + O(1) Beweis. (i) folgt unmittelbar aus 1.7(i) und 1.1(i). (ii) muss nur für m 0 gezeigt werden, da f gerade ist; dies geschieht per Induktion. Für m = 0 folgt die behauptete Gleichung aus h f (O) = h([1, 0]) = 0, für m = 1 ist sie trivial. Wir folgern nun die Gültigkeit für m + 1 aus der für m und m 1: h f ([m + 1]P ) = h f ([m]p + P ) 1.7(i) = h f ([m]p P ) + 2h f ([m]p ) + 2h f (P ) + O(1) = (m 1) 2 h f (P ) + 2m 2 h f (P ) + 2h f (P ) + O(1) = (m + 1) 2 h f (P ) + O(1) Satz 1.9 (Mordell-Weil). E(K) ist endlich erzeugt. Beweis. Nach dem Satz über die Abstiegsmethode 0.1 und dem schwachen Satz von Mordell-Weil 0.2 genügt es, ein f Q(E) zu finden, für das die Höhenfunktion folgende Eigenschaften hat: h f : E(K) R (i) Q E(K) C 1 R P E(K) : h f (P + Q) 2h f (P ) + C 1 (ii) m {2, 3, 4,... }, C 2 R P E(K) : h f ([m]p ) m 2 h f (P ) C 2 (iii) C 3 R : {P E(K) h f (P ) C 3 } ist endlich Wir haben bereits gesehen, dass dies für f = x der Fall ist, sogar für alle nichtkonstanten geraden f K(E). Im Einzelnen folgt (i) aus 1.8(i), (ii) aus 1.8(ii) und (iii) aus 1.3. 6

2 Ausblick Nach dem Satz von Mordell-Weil und dem Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen ist E(K) = Z r E(K) tors mit endlicher Torsions-Untergruppe E(K) tors. Die Bestimmung der K-rationalen Torsionspunkte für eine feste elliptische Kurve E/K ist häufig vergleichsweise einfach möglich. Ist nämlich v eine nicht-archimedische Bewertung von K, für die E gute Reduktion hat, K v die Komplettierung von K bzgl. v mit Restklassenkörper k v, dann hat man für zu char k v teilerfremde m Z eine Injektion E(K v )[m] Ẽ(k v). [Sil, S. 192, Prop. VII.3.1] Schwieriger ist die Frage, welche Torsionsgruppen für variierende elliptische Kurven auftreten können. Hierzu erwähnt [Sil, S. 242] die folgenden Resultate: Satz 2.1 (Mazur). Sei E/Q eine über den rationalen Zahlen definierte elliptische Kurve. Dann ist E(Q) tors isomorph zu einer der folgenden 15 Gruppen: Alle diese Gruppen kommen vor. Z/NZ, 1 N 10 oder N = 12, Z/2Z Z/2NZ, 1 N 4 Satz 2.2 (Merel). Sei d 1. Dann gibt es N(d) N, sodass für alle Zahlkörper K von Grad höchstens d über Q und alle über solchen K definierten elliptischen Kurven E/K gilt: E(K) tors N(d) Abschließend noch eine Bemerkung zu Satz 1.7. Teil (i) besagt, dass für gerade f K(E) die Höhe h f bis auf eine Konstante eine quadratische Form ist. Tatsächlich gibt es eine quadratische Form ĥ auf E(Q) mit (deg f)ĥ = h f + O(1) für alle nichtkonstanten, geraden f K(E). ĥ heißt kanonische Höhe und kann zum Beispiel durch den Limes ĥ(p ) = 1 deg f lim N 4 N h f ([2 N ]P ) definiert werden, wobei f K(E) eine beliebige nichtkonstante gerade Funktion ist. Die Konvergenz sieht man mithilfe von 1.8(ii), die Unabhängigkeit von f mithilfe von 1.7(ii). Mehr zur kanonischen Höhe in [Sil, VIII.9]. Literatur [Sil] J. H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves: Second Edition. Springer, 2009. 7