Essaypreis des Zentrums für Wissenschaftstheorie, Münster im Wintersemester 2010/11 1. Platz Jan Küpper Wieso mathematische Sätze synthetisch a priori sind: Eine Einführung in die Philosophie der Mathematik Kants verfasst im Rahmen der Veranstaltung Einführung in die Philosophie der Mathematik (Leitung: Johannes Korbmacher)
Inhaltsverzeichnis I. Einleitung 1 II. Hauptteil 2 1. Vorbereitung auf das Hauptthema 2 1.1 Der Unterschied von a priori und a posteriori 2 1.2 Der Unterschied von analytischen und synthetischen Urteilen 3 1.3 Der Unterschied von diskursiv und intuitiv 5 2. Über die Mathematik und ihre Merkmale 5 2.1 Die Möglichkeit der reinen Anschauung 6 2.2 Die kopernikanische Wende 7 2.3 Das Beispiel 7 + 5 = 12 8 2.4 Die Zahl und das Zählen bei Kant 10 III. Schlussreflexion 11 Literaturverzeichnis 13
Küpper 1 I. Einleitung In seinem ersten Hauptwerk, der Kritik der reinen Vernunft 1, geht Immanuel Kant um die Grenzen der menschlichen Erkenntnis zu bestimmen auf die Frage ein: Was kann ich wissen? Indem er in seiner Theorie eine Revolution der Denkart 2 vollzieht, hinterlässt er mit seiner sogenannten kopernikanischen Wende einen gewaltigen und bedeutenden Einschnitt in der Geschichte der Philosophie. Nicht umsonst gilt er als einer der bedeutendsten Philosophen. In der Kritik der reinen Vernunft und auch in seinen später verfassten Prolegomena 3, welche als Erläuterung dienen und zum besseren Verständnis der Kritik der reinen Vernunft beitragen sollen, kommt Kant auch auf die Mathematik zu sprechen und entlarvt ihren eigentümlichen Charakter als synthetisch a priori. Mit der Antwort auf die Frage, wie reine Anschauung und somit auch synthetische Urteile 4 a priori möglich seien, begründet er seine These über die Mathematik. Da dieses Thema für viel Diskussionsstoff und viel Kritik an Kants Philosophie der Mathematik sorgte und eine Einführung in Kants Ansichten über die Mathematik als ein angemessenes Thema für eine Hausarbeit angesehen werden kann, hielt ich es für naheliegend über die Frage nach dem synthetischen Charakter a priori in der Mathematik zu schreiben. Das Hauptziel in dieser Arbeit ist es, zu zeigen, weshalb Kant die Auffassung vertritt, dass alle mathematischen Sätze synthetisch a priori sind. Meiner Meinung nach ist es dafür notwendig, auf einige Begriffe, die er benutzt und die gerade in der Philosophie Kants eine zentrale und wichtige Rolle spielen, einzugehen, damit man einerseits seine Fragestellung verstehen und andererseits seiner Argumentation vollständig folgen kann. Nachdem ich den Leser also am Anfang in die kantische Terminologie einführe, liegt es mir im weiteren Verlauf daran, Kants Begründung für seine Annahme, dass alle mathematischen Sätze synthetisch a priori sind, verständlich darzulegen. Im darauf folgenden Teil werde ich auf ein eigens von Kant gegebenes Beispiel eingehen und dieses seinem Sinne nach analysieren. Am Ende soll eine kurze Schlussreflexion zum überschaubaren Abschluss dieser Arbeit dienen, in der ich neben einer Zusammenfassung auch mögliche Kritikpunkte aufzeigen werde. 1 Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft. Philosophische Bibliothek Band 505, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1998. 2 Vgl. a.a.o. S. 17ff. 3 Immanuel Kant: Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können. Hrsg. Rudolf Malter, Philipp Reclam jun. GmbH & Co., Stuttgart 2009. 4 Mit Urteile sind hier Aussagen und Sätze gemeint. Deshalb findet sich an manchen Stellen in dieser Arbeit auch der Begriff Sätze.
Küpper 2 II. Hauptteil 1. Vorbereitung auf das Hauptthema Um Kants Philosophie der Mathematik vollständig verstehen zu können, müssen vorab einige Begriffe und deren Bedeutungen geklärt werden, die für das Verständnis des Themas unabdingbar sind. Daher werde ich im folgenden Abschnitt zuerst auf den Unterschied von Erkenntnissen a priori und empirischen Erkenntnissen a posteriori zu sprechen kommen, nachfolgend Kants Unterscheidung der Urteile in analytische und synthetische erläutern sowie abschließend die Begriffe diskursiv und intuitiv in Bezug auf die Mathematik erklären. 1.1 Der Unterschied von a priori und a posteriori Kant unterscheidet Erkenntnis a priori, das ist Erkenntnis die vor aller Erfahrung und ohne diese auf dem bloßen Verstand beruht, von empirischer Erkenntnis a posteriori, welche allein auf Erfahrung gegründet ist: Wir werden also im Verlauf unter Erkenntnissen a priori nicht solche verstehen, die von dieser oder jener, sondern die schlechterdings von aller Erfahrung unabhängig stattfinden. Ihnen sind empirische Erkenntnisse, oder solche, die nur a posteriori, d. i. durch Erfahrung, möglich sind, entgegengesetzt. 5 Des Weiteren erklärt Kant, dass Notwendigkeit und Allgemeingültigkeit 6 stets Anzeichen für Urteile a priori sind, da allein diese zwei Merkmale niemals aus der Erfahrung abgeleitet werden können. Denn die Erfahrung, so Kant, kann niemals allgemeingültig sein, da ihre Regeln immer wieder empirisch, mithin zufällig 7 sind. In der Einleitung der zweiten Ausgabe der Kritik der reinen Vernunft heißt es: Notwendigkeit und strenge Allgemeinheit sind also sichere Kennzeichen einer Erkenntnis a priori, und gehören auch unzertrennlich zu einander 8. Demnach wäre zum Beispiel der Satz eine Kugel ist rund a priori, da ich hier für eine Erkenntnis keinerlei Erfahrung oder Empirie brauche und der Begriff der Kugel notwendig schon das Adjektiv rund mit sich führt und somit auch allgemeingültig ist. 5 A.a.O. S. 45. 6 Allgemeingültigkeit steht in dieser Arbeit für Kants Ausdruck strenge Allgemeinheit (a.a.o. S. 47). 7 A.a.O. S. 49. 8 A.a.O. S. 47.
Küpper 3 1.2 Der Unterschied von analytischen und synthetischen Urteilen Auf Grundlage der eben genannten Unterscheidung zwischen a priori und a posteriori fügt Kant eine weitere wichtige Unterscheidung hinzu. Diese betrifft den Inhalt eines Urteils, des Verhältnisses also, in dem ein Subjekt zu einem Prädikat steht, was laut Kant auf zweierlei Arten möglich ist. 9 So erklärt er, dass bei der ersten Möglichkeit das Prädikat bereits in dem Subjekt enthalten ist und es zum Subjekt dazugehört. Die zweite Möglichkeit ist die, dass das Prädikat außerhalb des Subjekts liegt und eben nicht in diesem enthalten ist. Die erste Möglichkeit nennt Kant analytisch, die zweite hingegen synthetisch. Analytische Urteile sind nach Kant diejenigen Urteile, die einen Begriff lediglich analysieren, das heißt zergliedern und ihn inhaltlich erläutern. Man erfährt nichts Neues, sondern nur das, was schon in jenem Begriff steckt. Synthetische Urteile hingegen erweitern die Erkenntnis, indem etwas Neues zu einem Begriff hinzukommt, was man durch bloße Zergliederung oder Analyse des Begriffs nicht erhalten könnte. Aus diesem Grund werden analytische auch erläuternde und synthetische auch erweiternde Urteile genannt. 10 Ein analytisches Urteil wäre nach Kant zum Beispiel folgender Satz: Alle Körper sind ausgedehnt 11. Hier werde bloß der Begriff Körper analysiert bzw. zergliedert, sodass man aus ihm den Begriff ausgedehnt erhalte. 12 Das Subjekt Körper enthalte also lediglich das erläuternde Prädikat ausgedehnt, da ein Körper immer nur als etwas Ausgedehntes gedacht werden kann. Solche Urteile bringen demnach keinen neuen Erkenntnisgewinn. Ein Beispielsatz für ein synthetisches Urteil dagegen wäre: Alle Körper sind schwer 13. Hier findet laut Kant eine Erweiterung des Subjekts Körper statt, da das Prädikat schwer gar nicht in jenem Subjekt enthalten ist. Man kann durch bloße Zergliederung und Analyse des Begriffs des Körpers gar nicht auf das Prädikat (hier: schwer ) schließen; sondern das Prädikat wird als neuer, erweiternder Begriff hinzugefügt. Auf Grund der zwei vorhergegangenen Unterscheidungen gibt es nun vier verschiedene Möglichkeiten für Urteile: (1) analytische Urteile a posteriori (2) synthetische Urteile a posteriori (3) analytische Urteile a priori (4) synthetische Urteile a priori 9 Vgl. a.a.o. S. 57. 10 Vgl. a.a.o. S. 57, 59. 11 A.a.O. S. 59. 12 Vgl. ebd. 13 Ebd.
Küpper 4 Erfahrungsurteile, das sind Urteile a posteriori, sind immer synthetisch. Denn ein (1) analytisches Urteil a posteriori würde keinen Sinn ergeben, da ein analytisches Urteil keine Erfahrung benötigt. Alles, was man für ein analytisches Urteil wissen muss, ist bereits in dem jeweiligen Begriff enthalten und man braucht ihn bloß zu zergliedern. Die Erfahrung bringt einen hier nicht weiter und wird somit nicht benötigt. Aus diesem Grund existieren (1) analytische Urteile a posteriori für Kant nicht. Ein (2) synthetisches Urteil a posteriori erhalte ich dann, wenn ich einem Begriff ein neues Prädikat, welches ich aus der Erfahrung gewonnen habe, hinzufüge und diese Begriffe miteinander verknüpfe. 14 Urteile a priori hingegen können sowohl analytisch als auch synthetisch sein. Ein (3) analytisches Urteil a priori wäre wie bereits oben erwähnt der Satz alle Körper sind ausgedehnt. Es wird lediglich der Begriff zergliedert, wofür keine Erfahrung gebraucht wird, da der Begriff bereits alles, was man über ihn analytisch a priori aussagen kann, enthält. Es bleibt also noch zu klären, was (4) synthetische Urteile a priori sind. Diese Urteile zergliedern nicht einen Begriff, sondern fügen ein neues, nicht in dem Begriff gedachtes oder vorkommendes Prädikat hinzu und erweitern ihn somit. Das Problem hierbei ist, dass die Urteile frei von jeglicher Erfahrung sein müssen, das heißt ohne sich der Erfahrung zu bedienen, muss ein neues Prädikat einem Subjekt hinzugefügt werden, allein mit Hilfe der reinen Vernunft. Solche synthetischen Urteile a priori in Bezug auf die Mathematik und deren Möglichkeit stellen das Hauptthema dieser Arbeit dar. Kant ist sich sicher, dass solche synthetischen Urteile a priori existieren. Als Beispiel, sagt er, können alle mathematischen Sätze dienen 15, womit er eine These aufstellt, die er in seiner Abhandlung begründet. Das eigentliche Problem ist für Kant nun die Frage, wie solche synthetischen Urteile a priori möglich sind. Diese Frage versucht er im weiteren Verlauf - dies ist einer der Hauptpunkte der Kritik der reinen Vernunft - zu klären. Der Gegenstand meiner Arbeit soll jedoch Kants Auffassung über die Mathematik sein. Aus diesem Grund werde ich auf die eigentliche Hauptfrage der Kritik der reinen Vernunft nur soweit eingehen, wie sie die Mathematik betrifft. 16 Ich gehe an dieser Stelle, Kant folgend, davon aus, dass synthetische Sätze a priori definitiv 14 Ein Beispiel wäre der schon erwähnte Satz Alle Körper sind schwer. 15 Vgl. a.a.o. S. 47. 16 Es sei an dieser Stelle ausdrücklich auf die Kritik der reinen Vernunft sowie die Prolegomena hingewiesen, in denen Kant auf diese Frage ausführlich eingeht und sie beantwortet.
Küpper 5 existieren und möglich sind. Dieses werde ich im weiteren Verlauf an einem Beispiel Kants aus der Mathematik erläutern. 1.3 Der Unterschied von diskursiv und intuitiv Bevor ich auf die Mathematik zu sprechen komme, möchte ich noch eine weitere Begrifflichkeit erklären. Es geht um die beiden Begriffe diskursiv und intuitiv. Mit diskursiv meint Kant die Erkenntnis durch Begriffe; intuitiv dagegen bezeichnet die Konstruktion der Begriffe. Kant gebraucht diese Unterscheidung im Zusammenhang mit synthetischen Urteilen a priori: Nun enthält ein Begriff a priori (ein nicht empirischer Begriff) entweder schon eine reine Anschauung in sich, und alsdenn kann er konstruiert werden; oder nichts als die Synthesis möglicher Anschauungen, die a priori nicht gegeben sind, und alsdenn kann man wohl durch ihn synthetisch und a priori urteilen, aber nur diskursiv nach Begriffen, und niemals intuitiv durch die Konstruktion des Begriffes. 17 2. Über die Mathematik und ihre Merkmale Nachdem nun die wichtigsten Begriffe erklärt wurden, können wir uns der kantischen Auffassung der Mathematik widmen. Kant stellt in der Kritik der reinen Vernunft die These auf, dass die Mathematik 18 diejenige Wissenschaft sei, deren Sätze (reine) synthetische Urteile a priori, das heißt notwendig und allgemeingültig sind. Mathematische Urteile sind insgesamt synthetisch 19. Und Kant fährt fort: Zuvörderst muß bemerkt werden: daß eigentliche mathematische Sätze jederzeit Urteile a priori und nicht empirisch sein, weil sie Notwendigkeit bei sich führen, welche aus der Erfahrung nicht abgenommen werden kann 20. Das erste Merkmal ist daher die Notwendigkeit und Allgemeingültigkeit der Mathematik, was durch ihren synthetischen Charakter a priori bestimmt ist. Ein weiteres Merkmal der reinen mathematischen Erkenntnis gegenüber allen anderen apriorischen Erkenntnissen ist, daß sie durchaus nicht aus Begriffen, sondern jederzeit nur durch die Konstruktion der Begriffe (Kritik S. 713) vor sich gehen muß 21. Folglich sei die mathematische Erkenntnis nicht nur synthetisch a priori, sondern auch stets intuitiv. 22 Doch was genau soll man sich unter der Konstruktion von 17 A.a.O. S. 769. 18 Damit ist hier die reine Mathematik nach Kant gemeint. Vgl. a.a.o. S. 65. 19 A.a.O. S. 63. 20 A.a.O. S. 65. 21 Immanuel Kant: Prolegomena, S. 23. 22 Vgl. A.a.O. S. 37.
Küpper 6 Begriffen überhaupt vorstellen? Kant meint damit das Darstellen eines Begriffs a priori in der Anschauung. 23 Es wird also eine nicht empirische Anschauung erfordert 24, das heißt eine reine Anschauung, in der ein Begriff angeschaut bzw. konstruiert werden kann, was Kant als die Bedingung der Möglichkeit der Mathematik bezeichnet. 25 Demzufolge macht die reine Anschauung es in der Mathematik möglich, synthetische Sätze a priori zu bilden. Als Beispiel hierzu erwähnt er das Konstruieren eines Dreiecks: Man stelle sich diesen Begriff (Dreieck) als einen Gegenstand entweder durch bloße Einbildung, in der reinen, oder nach derselben auch auf dem Papiere, in der empirischen Anschauung, beidemal aber völlig a priori, ohne das Muster dazu aus irgend einer Erfahrung geborgt zu haben 26 vor. Hier lasse sich auch ein Unterschied zur Philosophie erkennen, denn die Philosophie gehe erstens diskursiv und zweitens deduktiv vor, das heißt vom Allgemeinen zum Besonderen. 27 Die Mathematik hingegen konstruiere intuitiv etwas Besonderes (oder auch Einzelnes), wie zum Beispiel ein Dreieck, zeige aber anhand von diesem als eine Art Vorzeigeobjekt (oder dem Beispiel folgend als Vorzeige-Dreieck ) das Allgemeine, was dann für alle Konstruktionen dieser Art (z.b. Dreiecke) gilt. Dieses Allgemeine, auf das mit Hilfe des Besonderen a priori geschlossen wird, sei dabei immer allgemeingültig. 28 2.1 Die Möglichkeit der reinen Anschauung Wie kommt man jedoch zu einer nicht empirischen, sondern reinen Anschauung? Kant erklärt, dass die Antwort auf die Frage nach der Möglichkeit reiner Anschauung auch Aufschluss über die Frage gibt, wie synthetische Sätze a priori in der reinen Mathematik, und mithin auch, wie diese Wissenschaft selbst möglich sei 29. Diese bedeutende Frage formuliert Kant folgendermaßen: wie ist es möglich, etwas a priori anzuschauen? 30. Eine andere Formulierung, die das Problem, welches diese Frage mit sich bringt, deutlich macht, wird wenige Zeilen später gegeben: Allein wie kann Anschauung des Gegenstandes vor dem Gegenstande selbst vorhergehen? 31 Spätestens hier wird deutlich, dass es durchaus paradox erscheint, etwas anzuschauen, obwohl man gegenwärtig keinen Gegenstand hat, auf den man sich beziehen kann. Die 23 Vgl. Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft, S. 765. 24 A.a.O. S. 764. 25 Vgl. Immanuel Kant: Prolegomena, S. 38. 26 Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft, S. 764. 27 Ebd. 28 Vgl. ebd. 29 Immanuel Kant: Prolegomena, S. 38. 30 Ebd. 31 A.a.O. S. 39.
Küpper 7 Antwort auf die oben gestellt Frage findet Kant in den beiden (reinen) Anschauungsformen Raum und Zeit. Denn diese sind beide in dem Subjekt, dem Menschen, a priori vorhanden und bilden die Bedingung der Möglichkeit von Anschauung überhaupt, so seine These. Demnach bilden sie die Form jeder Anschauung, wobei der Raum die Form der äußeren Anschauung und die Zeit die Form der inneren Anschauung ist. 32 Mit Hilfe von Raum und Zeit erkennen wir also erst Gegenstände, aber da diese beiden Anschauungsformen a priori in uns liegen, ermöglichen sie es zudem, eine reine Anschauung a priori zu konstruieren. Diese These, dass Raum und Zeit reine Anschauungsformen in uns sind, stützt Kant mit dem Argument, dass beide nicht aus der Erfahrung stammen, da sie jeder äußeren und inneren Anschauung schon zu Grunde liegen. 33 Sie seien notwendige Vorstellung[en] 34, die man sich nicht wegdenken könne. 2.2 Die kopernikanische Wende Der Sachverhalt der reinen Formen der Anschauungen wird verständlicher, wenn man sich die Erkenntnistheorie Kants vergegenwärtigt. Dabei erkenne der Mensch nicht die Dinge, wie sie an sich sind, sondern nur ihre Erscheinung. Denn durch die reinen Anschauungsformen von Raum und Zeit, die jeder Anschauung zu Grunde liegen, können wir die Dinge nur, wie sie uns erscheinen, niemals aber ihr wahres Wesen 35 erkennen. 36 Demnach richtet sich der Mensch, so Kant, nicht nach den Dingen, wie sie wirklich sind, sondern die Dinge richten sich nach uns bzw. unserem Erkenntnisvermögen. Das heißt, wir weisen den Dingen ihre Eigenschaften zu. Und genau dies ist der zentrale Punkt in der kantischen Erkenntnistheorie, der als kopernikanische Wende gilt. Man glaubte bis dahin, dass wir die Dinge so erkennen, wie sie an sich sind; doch Kant dreht diese Auffassung herum, indem die Dinge nur Erscheinungen in der menschlichen Erkenntnis sind und wir diesen selbst die Eigenschaften zuordnen, die wir an ihnen wahrnehmen. Aus diesem Grund seien auch allgemeingültige Sätze a priori möglich. Dabei geht Kant davon aus, dass allem Denken 37 notwendigerweise eine Wahrnehmung voraus geht, weil wir aus ihr die Inhalte unseres Denkens entnehmen. Damit das Denken dennoch rein a priori sein 32 Vgl. Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft, S. 109. 33 Vgl. a.a.o. S. 98, 106. 34 Ebd. 35 Das ist bei Kant das Ding an sich. 36 Vgl. Immanuel Kant: Prolegomena, S. 41. 37 Im Sinne von Urteilen.
Küpper 8 kann, muss notwendig eine Wahrnehmung existieren, welche unabhängig von aller Erfahrung ist. 38 Am Anfang von 10 der Prolegomena heißt es: Also ist es nur die Form der sinnlichen Anschauung, dadurch wir a priori Dinge anschauen können, wodurch wir aber auch die Objekte nur erkennen, wie sie uns (unsern Sinnen) erscheinen können, nicht wie sie an sich sein mögen, und diese Voraussetzung ist schlechterdings notwendig, wenn synthetische Sätze a priori als möglich eingeräumt, oder im Falle sie wirklich angetroffen werden, ihre Möglichkeit begriffen und zum voraus bestimmt werden soll. 39 Dies löst das Problem, wie wir etwas a priori anschauen können, auf, denn Raum und Zeit als die reinen a priori in uns liegenden Anschauungsformen machen die [wirkliche] Erscheinung der Gegenstände 40 erst möglich. Sie sind nicht etwas außerhalb von uns, in der realen Welt liegendes, sondern sind in dem Subjekt selbst, die bloße Form der Sinnlichkeit 41, wodurch es möglich wird, daß meine Anschauung vor der Wirklichkeit des Gegenstandes vorhergehe, und als Erkenntnis a priori stattfinde 42. Es sind also die reinen Anschauungsformen Raum und Zeit, die in uns a priori vorhanden sind, welche erst die empirische, aber vor allem auch die reine Anschauung, auf die es hier besonders ankommt, möglich machen. Die reine Anschauung wiederum lässt uns, indem wir etwas a priori, das heißt vor aller Erfahrung, anschauen bzw. konstruieren, synthetische Sätze a priori formulieren. 2.3 Das Beispiel 7 + 5 = 12 Kant gibt zwei Beispiele aus der Mathematik, eins aus der Geometrie, das andere aus der Arithmetik, an denen er den synthetischen Charakter a priori verdeutlicht. Im nun folgenden Abschnitt werde ich auf das Beispiel aus der Arithmetik eingehen. Als Beispiel dient der Satz 7 + 5 = 12 43. An diesem Beispiel und der Behauptung Kants, dass dieser Satz synthetisch a priori ist, wurde in der Philosophie der Mathematik häufig Kritik geübt (und wird es auch heute noch), sodass ich es für das Beste halte, 38 Vgl. Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft, S. 188f. 39 Immanuel Kant: Prolegomena, S. 40. 40 A.a.O. S. 41. 41 Ebd. 42 A.a.O. S. 39. Siehe hierzu auch S. 41, wo es heißt: Reine Mathematik ist, als synthetische Erkenntnis a priori, nur dadurch möglich, daß sie auf keine andere als bloße Gegenstände der Sinne geht, deren empirischer Anschauung eine reine Anschauung (des Raums und der Zeit) und zwar a priori zum Grunde liegt, und darum zum Grunde liegen kann, weil diese nichts anders als die bloße Form der Sinnlichkeit ist, welche vor der wirklichen Erscheinung der Gegenstände vorhergeht, indem sie dieselbe in der Tat allererst möglich macht. 43 Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft, S. 65.
Küpper 9 dieses Beispiel hier zu analysieren, um in der Schlussreflexion einen Ausblick auf mögliche Kritikpunkte und Probleme geben zu können. In der Einleitung zur zweiten Auflage der Kritik der reinen Vernunft räumt Kant ein, dass man anfangs zwar denke, dass der Satz 7 + 5 = 12 analytisch sei, da er aus dem Begriffe einer Summe von Sieben und Fünf nach dem Satze des Widerspruches erfolge 44, doch bei genauerer Betrachtung und Überlegung man darauf komme, dass er doch synthetisch sein muss. Er erklärt, dass 7 + 5 = 12 nicht analytisch sein kann, da man weder durch Zergliederung der Sieben, noch durch Zergliederung der Fünf an die Zwölf gelangt. 45 Kant geht noch einen Schritt weiter und sagt, dass selbst die Summe von Sieben und Fünf lediglich die Vereinigung beider Zahlen in eine einzige 46 darstellt, aber man nicht weiß, in welche. Dazu erklärt er: [D]aß ich diese [die Zahl 12] in der Addition beider denken solle, davon ist hier nicht die Rede 47. Woher wissen wir aber dann, dass Sieben und Fünf summiert Zwölf ergibt? Kant antwortet, dass dieser Satz synthetisch a priori sei. Man muss demnach, so Kant, über die Begriffe der Sieben und der Fünf hinausgehen, um den Begriff der Zwölf zu finden. Dies geschehe mit Hilfe der reinen Anschauung. So könne man sich fünf Punkte in Gedanken vorstellen oder seine fünf Finger zur Hilfe nehmen und diese zur Sieben hinzutun. 48 Das heißt, zur Anzahl der Sieben kommt nach und nach das hinzu, was als die Anzahl der Fünf gilt und eben diese ausmacht. Erst dann erkenne ich, dass sich daraus die Zahl Zwölf ergibt, was durch die bloße Vereinigung der beiden Zahlen jedoch noch gar nicht gedacht war. Aus diesem Grund ist [d]er arithmetische Satz [ ] jederzeit synthetisch 49. Wem dies nicht einleuchte oder wer noch daran zweifle, der solle doch zwei größere Zahlen nehmen, denn dann werde klar, dass man durch bloße Analyse und Zergliederung der Zahlen nicht auf das Ergebnis kommen wird. 50 [W]ir möchten unsere Begriffe drehen und wenden, wie wir wollen, wir [könnten], ohne die Anschauung zu Hülfe zu nehmen, vermittels der bloßen Zergliederung unserer Begriffe die Summe niemals finden 51. 44 Ebd. 45 Vgl. a.a.o. S. 67. 46 A.a.O. S. 65. 47 A.a.O. S. 263. 48 Vgl. a.a.o. S. 65. 49 A.a.O. S. 67. 50 Vgl. ebd. 51 Ebd.
Küpper 10 2.4 Die Zahl und das Zählen bei Kant Damit das im vorherigen Abschnitt behandelte Beispiel nicht missverstanden wird, werde ich im Folgenden kurz auf die Begriffe der Zahl und des Zählens bei Kant eingehen, welches als eine Hilfestellung für das (nachträgliche) Verständnis angesehen werden kann. Unter einer Zahl versteht Kant die Einheit der Synthesis des Mannigfaltigen einer gleichartigen Anschauung überhaupt 52. Die Synthesis kann als eine Zusammenfassung verschiedener Vorstellungen zu einer Einzigen verstanden werden, das ist das Begreifen ihre[r] Mannigfaltigkeit in einer Erkenntnis 53. Die Zahl ist dabei eine reine Vorstellung und bildet [d]as reine Schema der Größe [ ] (quantitatis), als [ein Begriff] des Verstandes 54. Dies bedeutet, dass ich die Zahl durch die sukzessive Addition 55 von mehreren gleichartigen Anschauungen, das heißt durch das Zusammenfassen nacheinander, bilde bzw. konstruiere. Dieser Vorgang entspricht dem Zählen, was Kant als eine Synthesis nach Begriffen 56 versteht. Otfried Höffe 57 drückt dies wie folgt aus: Deshalb wird beim Zählen unabhängig von dem, was gezählt wird, die Quantität als reines Nacheinander angeschaut: zuerst eins, dann noch eines, das mit dem vorigen zusammen zwei ergibt, dann noch eines, das zusammen drei ist, usw. 58 52 A.a.O. S. 244. 53 A.a.O. S. 154. 54 A.a.O. S. 243. 55 A.a.O. S. 243 f. 56 A.a.O. S. 155. 57 Professor für Philosophie an der Universität Tübingen. 58 Otfried Höffe: Immanuel Kant. Beck sche Reihe Denker 506, 7. überarb. Auflage, C. H. Beck, München 2007, S. 118.
Küpper 11 III. Schlussreflexion Abschließen möchte ich meine Arbeit mit einer Zusammenfassung, gefolgt von einem kleinen Ausblick auf mögliche Kritikpunkte und Probleme, die sich in Bezug auf den synthetischen Charakter der Mathematik bei Kant ergeben. Kant versteht die Mathematik als eine Wissenschaft, die stets notwendig und allgemeingültig sein muss. Da Notwendigkeit und Allgemeingültigkeit niemals aus der Erfahrung abgeleitet werden können, schließt Kant, dass mathematische Sätze a priori sein müssen. Hinzu kommt der synthetische Charakter in der Mathematik, den er für die Arithmetik durch das Beispiel 7 + 5 = 12 erklärt. Die Antwort auf die Frage, wie solche synthetischen Urteile a priori überhaupt möglich seien, findet Kant in der Eigenart des menschlichen Erkenntnisvermögens und seiner kopernikanischen Wende. Durch die reinen, a priori in uns liegenden Anschauungsformen von Raum und Zeit sei es möglich, etwas a priori anzuschauen bzw. zu konstruieren. Das heißt, dass mit Hilfe der reinen Anschauung synthetische Sätze a priori formuliert werden können. Indem der Mensch die Gegenstände nur so wahrnimmt, wie sie ihm erscheinen (da wir ihnen mittels unseren Verstandes die Eigenschaften zuschreiben), kann man in der Mathematik einen Gegenstandsbezug zur empirischen Welt herstellen, wodurch sie anwendbar wird. Dass jedoch nicht alles so eindeutig und klar verständlich ist und manches offene Fragen aufwirft, zeigt, dass Kant nicht an allen Stellen seiner Ausführung präzise genug war. So bleibt zum Beispiel unklar, wie Kant das Symbol + interpretiert. Wir würden es heutzutage als Addition interpretieren, aus der das Ergebnis (die Summe) folgt. Es scheint aber so, dass Kant das + lediglich als Summe zweier Zahlen, das heißt als ihre Vereinigung auffasst, wie es unter Punkt 2.3 dargelegt ist. Daher ist es auch nicht verwunderlich, dass an der Behauptung, die Arithmetik sei synthetisch, viel Kritik geübt wurde und noch wird. So hat beispielsweise Friedrich Ludwig Gottlob Frege mit allein logischen Mitteln die Definition des Begriffs der Anzahl, und dadurch die Grundbegriffe der Arithmetik als analytisch nachgewiesen. 59 Man kann durchaus meinen, dass in dem Beispielsatz 7 + 5 = 12 das + als Symbol für die Addition steht und in Verbindung mit den Zahlen 7 und 5 bereits das Ergebnis, die Zahl 12, enthält. Dann wäre der Satz nämlich analytisch. 59 Vgl. Otfried Höffe: Immanuel Kant, S. 64.
Küpper 12 Ein weiterer Kritikpunkt, den auch Frege explizit in seiner Schrift die Grundlagen der Arithmetik anspricht, ist, dass man sich größere Zahlen gar nicht veranschaulichen kann. Dabei sagt Kant doch, dass gerade bei größeren Zahlen deutlich werde, dass die Arithmetik nicht analytisch sei. 60 Aber wie sollte man sich denn zum Beispiel eine Zahl wie 234907 oder gar eine Summe von 432394 + 23434 allein in der Anschauung vorstellen? Ich denke, dass spätestens jetzt deutlich wird, dass durchaus Probleme mit der Auffassung Kants über die Mathematik als einer synthetischen Wissenschaft a priori auftreten und man ihn in vielerlei Hinsicht kritisieren kann. Ob dies nur von unpräzisen Formulierungen herrührt oder ob seine Überlegungen grundfalsch sind, darüber kann ich hier nicht urteilen. Dennoch halte ich die Kritik der reinen Vernunft für ein überaus beachtliches und inhaltlich wichtiges Werk, das meiner Meinung nach weiterhin eine sehr große Aufmerksamkeit und bedeutende Stellung in der Philosophiegeschichte verdient. 60 Siehe Punkt 2.3.
Küpper 13 Literaturverzeichnis Höffe, Otfried: Immanuel Kant. Beck sche Reihe Denker 506, 7. überarb. Auflage, C. H. Beck, München 2007. Kant, Immanuel: Kritik der reinen Vernunft. Philosophische Bibliothek Band 505, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1998. Kant, Immanuel: Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können. Hrsg. Rudolf Malter, Philipp Reclam jun. GmbH & Co., Stuttgart 2009.