Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 19.

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1 Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 19. Oktober 2016

2 Eine Annäherung Suche auf Spiegel online nach logisch Anderseits bietet der Alfa Mito etwas, das etlichen anderen Typen im [... ] Kleinwagensegment abgeht: Persönlichkeit. Vor allem, indem das Auto die Italianità-Trumpfkarte ungeniert ausspielt [... ]. Logisch, dass die Frontpartie von einem schildförmigen Kühlergrill und flachen, seitlich darunter positionierten Lufteinlässen [... ] geprägt wird [... ] Hector ist da weiter, er ist ja auch schon ein paar Jahre länger dabei. Ein verlässlicher Profi, bodenständig dazu. Dass so einer mit 26 Jahren noch beim 1. FC Köln spielt statt bei den Bayern oder in England, ist fast logisch. Die App sei die logische Konsequenz ihres Engagements gewesen, ergänzte sie am Montag.

3 In meinem Land gibt es eine steigende Nachfrage nach Halbleitern. Aixtron ist spezialisiert auf Hightech-Maschinen, die eben diese Halbleiter herstellen. Es ist logisch, diese beiden Dinge zusammenzubringen und Aixtrons Wettbewerbsfähigkeit und Wachstumschancen in China zu verbessern. Semantisches Umfeld Begriffe: logisches / korrektes / folgerichtiges Schließen Schlussfolgerung / logische Folgerung Folge: zeitlich kausal logisch koinzident... Wichtig: Logik betrifft Aussagen (Argumentationen), nicht Ereignisse

4 Mögliche Definitionen von Logik: Im weitesten Sinne die Lehre vom schlüssigen und folgerichtigen Denken und Argumentieren, insbesondere vom richtigen Schließen [... ] (Brockhaus Enzyklopädie) Logic is the systematic study of the structure of propositions and of the general conditions of valid inference by a method which abstracts from the content or matter of the propositions and deals only with their logical form. (Encyclopaedia Britannica 1967) Diese Wissenschaft von den notwendigen Gesetzen des Verstandes und der Vernunft überhaupt, oder welches einerlei ist von der bloßen Form des Denkens überhaupt, nennen wir nun Logik. (Immanuel Kant, Einleitung zur Logik ) Die Theorie der formalen Sprachen Logik liefert Modelle für das menschliche Denken.

5 Man beachte die Ambiguität der Wörter Gesetz bzw. Modell : als Naturgesetz bzw. vereinfachte Beschreibung ( Wie Dinge sind ) als positives Gesetz oder Vorbild ( Wie Dinge sein sollen ) Verschiedene Logiken bzw. Logiksysteme sind möglich!

6 Logik ist Grundlage aller Wissenschaft (Teil der Propädeutik ) (Grundlage der Funktionsweise von Computern) eine eigene Wissenschaftsdisziplin zwischen Philosophie Mathematik Informatik Linguistik bzw. Teildisziplin dieser Gebiete (Philosophische Logik, Mathematische Logik,... ) Logik betrifft gewissermaßen den maschinellen Teil des Denkens/Argumentierens. Besonders interessant sind die Erkenntnisse der Logik über die Grenzen der Berechenbarkeit ( was kann man wissen? ).

7 Philosophen argumentieren: Beispiel Kant Der transzendentalen Ästhetik Zweiter Abschnitt: Von der Zeit 6 Schlüsse aus diesen Begriffen a) Die Zeit ist nicht etwas, was für sich selbst bestünde, oder den Dingen als objektive Bestimmung anhinge, mithin übrig bliebe, wenn man von allen subjektiven Bedingungen der Anschauung derselben abstrahiert; denn im ersten Fall würde sie etwas sein, was ohne wirklichen Gegenstand dennoch wirklich wäre. Was aber das zweite betrifft, so könnte sie als eine den Dingen selbst anhängende Bestimmung oder Ordnung nicht vor den Gegenständen als ihre Bedingung vorhergehen, und a priori durch synthetische Sätze erkannt und angeschaut werden. Diese letztere findet dagegen sehr wohl statt, wenn die Zeit nichts als die subjektive Bedingung ist, unter der alle Anschauungen in uns stattfinden können. Denn da kann diese Form der inneren Anschauung vor den Gegenständen, mithin a priori, vorgestellt werden. [... ]

8 Philosophen argumentieren: Nicht alle Argumentationen sind überzeugend. Hier werden Argumentationsweisen berühmter Philosophen humorvoll karikiert Proofs that p

9 Ein paar grundlegende Unterscheidungen: Die Welt besteht aus Tatsachen / Sachverhalten ( das, was der Fall ist ). Tatsachen sind. Ein Beobachter fällt Urteile über die Welt / bildet sich Meinungen ( das, was man meint, was der Fall ist ). Urteile stimmen oder stimmen nicht (je nachdem, ob sie einer Tatsache entsprechen oder nicht). Der Beobachter äußert seine Urteile Dritten gegenüber in Behauptungen / Aussagen ( das, was man behauptet, was der Fall sei ). Aussagen sind wahr oder falsch (je nachdem, ob sie eine Tatsache wiedergeben oder nicht). Die Aussagen nehmen als Äußerung (Satz oder Rede) Gestalt an (Zeichen- oder Geräuschfolge) Äußerungen haben keine intrinsische Bedeutung, sondern sind reine Konventionen!

10 Etwas Geschichte Formale Logik beginnt bei Aristoteles (Syllogistik) Weiterentwicklung in der Spätantike und im Mittelalter (ohne großen Fortschritt von einem modernen Standpunkt aus gesehen) Neuentwicklung der formalen Logik als formalisierter Logik im 19. Jahrhundert (George Boole, Charles Sanders Peirce, Frege) Enges und fruchtbares Zusammenspiel von Mathematik und Philosophie um 1900 (Gottlob Frege, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein) Höhepunkte der formalen Logik Kurt Gödels Vollständigkeits- und Unvollständigkeitssätze ( ) Entwicklung der theoretischen informatik (vor der Konstruktion der esten Computer)

11 Formale Argumente (I) Das (intuitiv korrekte) Argument Prämisse 1: Alle Griechen sind Menschen. Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. Konklusion: Alle Griechen sind sterblich. hat die gleiche Form wie Prämisse 1: Alle Italiener sind Menschen. Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. Konklusion: Alle Italiener sind sterblich. aber auch wie Prämisse 1: Alle Engel sind Menschen. Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. Konklusion: Alle Engel sind sterblich. das ungültige Prämissen enthält.

12 Formale Argumente (II) Zugrunde liegt die Form Prämisse 1: Alle X sind Y. Prämisse 2: Alle Y sind Z. Konklusion: Alle X sind Z. Dabei wird zwischen inhaltstragenden Elementen unterscheiden, die ersetzt werden können ( kategorematische Ausdrücke ), und funktionalen Elementen, die die Art und Weise der Verbindung bechreiben ( synkategorematische Ausdrücke ). Diese funktionalen Elemente wiederum können ebenfalls symbolhaft ausgedrückt werden, z. B. Prämisse 1: XaY Prämisse 2: YaZ Konklusion: XaZ