Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Marius Radermacher, M.Sc. DOOR Aufgabe 37 Versicherungstechnik Übungsblatt 11 Abgabe bis zum Dienstag, dem 10.01.2017 um 10 Uhr im Kasten 19 Ein großes deutsches Versicherungsunternehmen bietet neuerdings eine Rentenversicherung an, bei der nur garantiert wird, dass aus den eingezahlten Brutto- Beiträgen eine vorschüssig zahlbare, lebenslange Rente finanziert wird. Auf diese Weise kann mit einer Mindestrente kalkuliert werden. Die tatsächliche Rentenhöhe wird allerdings erst nach Ablauf der Ansparphase zu den dann gültigen Rechnungsgrundlagen berechnet. Die bis dahin gesammelten Überschüsse werden zur Finanzierung der Rentenzahlzungen eingesetzt. Dadurch kann sich die Rentenleistung erhöhen. Ist das bis zum Renteneintrittsalter angesparte Guthaben jedoch nicht ausreichend für die Finanzierung der Mindestrente z.b. aufgrund von ungünstigeren Rechnungsgrundlagen, so werden Teile der Überschussbeteiligung verwendet, um die Differenz auszugleichen. Für die Kalkulation werden folgende Annahmen getroffen: Es seien Zinssätze i t > 0 für t = 1,2,..., ω x gegeben. Für die Folge der mehrjährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten t p x gilt: t 1 p x > t2 p x, für t 1 < t 2. Die Beiträge werden jährlich dem Intensitätsvektor u = u 0, u 1,..., u entsprechend gezahlt. Betrachten Sie nun zunächst die Kalkulation dieser Versicherung bis zum Ende der Ansparphase. Die Ablaufleistung sei die Summe der unverzinsten eingezahlten Beiträge d.h. die Versicherung kann als eine Erlebensfallversicherung verstanden werden. a Zeigen Sie, dass bei der Netto-Betrachtung dieser Versicherung das versicherungstechnische Äquivalenzprinzip nicht erfüllt ist und interpretieren Sie dieses Ergebnis. b Stellen Sie die Gleichung nach dem versicherungstechnischen Äquivalenzprinzip auf, wenn α, β, γ und σ- Kosten berücksichtigt werden. c Im Folgenden soll untersucht werden, wie groß der Kostenanteil dieser Versicherung ist. i Bestimmen Sie dafür konkret die Höhe des Kostenbarwerts KB 0, wenn das versicherungstechnische Äquivalenzprinzip erfüllt sein soll und folgende Werte unterstellt werden: Alter der versicherten Person x = 32, Renteneintrittsalter: 67 Es liegt ein konstanter Zinssatz vor. Dieser beträgt i = 0,6%. Der konstante Jahresbeitrag beträgt B = 2 400e. Verwenden Sie die Sterbetafel, die unter http://www.wiso.tu-dortmund.de/wiso/or/medie abrufbar ist. ii Wie hoch muss der Stückkostensatz gewählt werden, damit das versicherungstechnische Äquivalenzprinzip erfüllt ist, wenn obige Annahmen gelten und zusätzlich folgende Kostensätze gegeben sind:
Zillmer-Kosten: α Z = 25 der Beitragssumme, Laufende Abschlusskosten: α γ = 15 gleichmäßig auf die ersten 5 Jahre verteilt β-kosten: β = 3% der laufenden Beiträge γ-kosten: γ = 2 der Versicherungssumme d Betrachten Sie die Rentenphase dieser Versicherung. Geben Sie eine Formel für die Höhe der Mindestrente an. Weisen Sie gegebenenfalls abweichende Rechnungsgrundlagen aus. Bemerkung: Es wird bei dieser Versicherung kein Garantiezins versprochen. Das bedeutet aber nicht, dass ohne Garantiezins kalkuliert und gerechnet wird! Diese werden bloß nicht ausgewiesen. Lösungsvorschlag: Sei n der Renteneintrittszeitpunkt, d.h. der Zeitpunkt, an dem die Beitragszahlungsdauer endet und die Rentenzahlungen beginnen Letzter zu zahlender Beitrag im ZP n 1, erste Rentenleistung im ZP n. a Der Beitragsbarwert ergibt sich aus der Summe der eingezahlten Beiträge BB 0 = tp x b u t v t. Da sich die Rentenhöhe erst im ZP n zu den dann gültigen Rechnungsgrundlagen berechnet, lässt sich der Leistungsbarwert als Summe der eingezahlten Beiträge zum ZP n beschreiben. Dies ist gerade die Garantie, aus der sich die Mindestrente berechnen lässt. Damit ist der Leistungsbarwert LB 0 = n p x Damit gilt mit den oben getroffenen Annahmen: BB 0 = tp x b u t v t > = b u t v n. b u t min { tp x v t },..., b u t np x v n = LB 0 Das Äquivalenzprinzip ist hiermit also nicht erfüllt, da BB 0 > LB 0 gilt. Für den Versicherungsnehmer bedeutet dies, das eine Wertvernichtung stattfindet und seine Beiträge nicht in voller Höhe für die Berechnung der Mindestrente zur Verfügung stehen. Woran liegt das? Das Versicherungsunternehmen kalkuliert natürlich noch Kosten in die Versicherung ein, die von den Beiträgen bzw. den Zinserträgen der Beiträge finanziert werden. b Werden im Rahmen der Bruttokalkulation die Kostenarten berücksichtigt, so ergibt das
versicherungstechnische Äquivalenzprinzip wie folgt: BB 0 = LB 0 + KB 0 z.b. = LB 0 + α Z S + β t b u t tp x v t + tp x Kt α vt + = LB 0 + α Z S + tp x Kt α + β t b u t + γ t S + σ t v t } {{ } =KB 0 tp x γ t S + σ }{{} t v t =Γ t Hierbei wird mit S = b u t die Beitragssumme bezeichnet. c Die Kosten können als zusätzliche Leistungen interpretiert werden, die durch die Beiträge des Versicherungsnehmers finanziert werden müssen. Daher ergibt sich das Äquivalenzprinzip: BB 0 = LB 0 + KB 0 i Der Kostenbarwert ergibt sich zunächst einfach aus der Differenz des Beitrags- und Leistungsbarwerts: KB 0 = BB 0 LB 0 Verwendet man die gegebenen Werte, so ergibt sich für die Höhe des Kostenbarwerts: KB 0 = BB 0 LB 0 = 2 400 tp x 1,006 t 2 400 n np x 1,006 n n=35 = 2 400 30,55263 84 000 0,70771 = 73 326,31 59 448,00 = 13 878,32
ii Zunächst lässt sich der Kostenbarwert vereinfachen zu: KB 0 = α Z S + tp x Kt α + β t b u t + γ t S + σ t v t α Z + tp x σ t v t α Z n + α Z n + u j + 4 tp x α γ u j k t + β t u t + γ t tp x α γ n k t + β + γ n v t + σ tp x α γ n 1 5 vt + α Z n + α γ n 1 5 ä x, 5 + β + γ n ä x, n 0,025 35 + 0,015 35 1 u j v t tp x v t tp x β + γ n v t + σ + σ ä x, n tp x v t = 2 400 5 ä x, 5 + 0,03 + 0,002 35 ä x, 35 + σ ä x, 35 = 2 400 0,875 + 0,105 4,93293 + 0,1 30,55263 + σ 30,55263 = 10 675,73 + σ 30,55263 Nun soll gelten, dass das versicherungstechnische Äquivalenzprinzip erfüllt ist. Nach Aufgabenteil b i ist KB 0 = 13 878,32 und damit 13 878,32 = 10 675,73 + σ 30,55263 13 878,32 10 675,73 σ = = 104,82 30,55263 Die Stückkosten sollten 104,82e betragen, damit das Äquivalenzprinzip erfüllt ist. d Wird das Renteneintrittsalter erreicht, so ist zu diesem Zeitpunkt die Summe der unverzinsten Beiträge garantiert. Wird dieser Zeitpunkt nicht erlebt, so erlischt die Versicherung. Daher kann für die Berechnung der Mindestrente eine neue Versicherung betrachtet werden, die für einen x+n-jährigen abgeschlossen wird. Die Summe der unverzinsten Beiträge lässt sich dann als Einmalbeitrag verstehen. Daher ergibt sich für den neuen Beitragsbarwert BB 0 : BB 0 = u t b. Der neue Leistungsbarwert LB 0 setzt sich aus dem Barwert der ewigen Rente, sowie dem Kostenbarwert zusammen. LB 0 = R min ä x+n, + KB 0.
Für die Höhe der Mindestrente ergibt sich damit die folgende Form: BB 0 = LB 0 u t b = R min ä x+n, + KB 0 R min = 1 u t b ä KB 0 x+n 7,5 Punkte Aufgabe 38 Das aufstrebende studentische Versicherungsunternehmen StudiVS möchte einen neuen, attraktiven Versicherungstarif für junge Hochschulabsolventen anbieten. Dabei handelt es sich um eine gemischte Kapitalversicherung mit konstanter Todesfallabsicherung, für die als Jahresbeitrag in den ersten fünf Versicherungsjahren nur µ 100% mit 0 µ 1 des ab dem sechsten Jahres gezahlten vollen Versicherungsbeitrags fällig werden. Bestimmen Sie bitte den ab dem sechsten Jahr zu zahlenden vollen Nettobeitrag P y für eine 27-jährige Studentin, wenn der Vertrag eine Laufzeit von n = 40 Jahren bei einer Versicherungssumme von 100 000e zu p = 3 % für µ = 0,25 hat. Lösungsvorschlag: Mit dem Äquivalenzprinzip folgt LB 0 = BB 0, d. h. LB 0 = A y, n 100 000 = 1 d ä y, n 100 00 = 1 1 v Ny N y+n 100 000 D y = 31679,23 BB 0 = P y ä y, n 1 µp y ä y, 5 = P y ä y, n 1 µ ä y, 5 Ny N y+n = P y 1 µ Ny N y+5 D y D y = P y 19,92107945 P y = 31679,23 = 1590,24 p = 3 % 19,92107945 1,5 Punkte