Orthografische Projektion!

Kartenprojektionen!

Immer der Nase nach! Großkreise statt Geraden! α = 15 Blick von der Seite! Steigungswinkel α { 15, 45, 75 }

Was ist denn das?!

Verzerrungsellipsen (Indikatrix von Tissot)!

Carl Friedrich Gauß! 1777-1855! Theorema egregium:!! Es gibt keine isometrische Abbildung! von der Kugel auf die Ebene.!

verzerrungsfreie! Theorema egregium:!! Es gibt keine isometrische Abbildung! von der Kugel auf die Ebene.! Carl Friedrich Gauß! 1777-1855!

Carl Friedrich Gauß! 1777-1855! Theorema egregium:!! Es gibt keine isometrische Abbildung! von der Kugel auf die Ebene.!! Hingegen gibt es:!! flächentreue Karten (equivalent)! winkeltreue Karten (conformal)!

Typische Kartenträger :!! Tangentialebene! Azimutalentwurf!! Berührender Zylinder! Zylinderentwurf!! Berührender Kegel! Kegelentwurf!

Abstandstreue (mittelstandstreue) Entwürfe:!! Meridiane längentreu!

Plattkarte: Abstandstreuer Zylinderentwurf! Meridiane und Äquator längentreu!

Plattkarte: Abstandstreuer Zylinderentwurf! Meridiane und Äquator längentreu! Aufgabe 4.2a!

Abstandstreuer Azimutalentwurf!

Abstandstreuer Azimutalentwurf! Andere Tangentialebene?!

Abstandstreuer Azimutalentwurf! Andere Tangentialebene!

Abstandstreuer Kegelentwurf!

Abgewickelter Kegelmantel!

Gnomonische Projektion! N ϑ M tan( ϑ ) P P S

Gnomonische Projektion!

Gnomonische Projektion! Würfelmodell!

Flächentreue und winkeltreue Karten!

Theorie! Flächentreue und winkeltreue Karten! Zylinderentwurf: Netzvierecke vergleichen! u ϕ ( ) =? N π 0 π λ S

Theorie! Flächentreue und winkeltreue Karten! Zylinderentwurf: Netzvierecke vergleichen! u ϕ ( ) =? N π 0 π λ S dϕ du cos( ϕ)dλ dλ

Theorie! Flächentreue Karten! Netzvierecke gleicher Flächeninhalt! dϕ du cos( ϕ)dλ dλ

Theorie! Flächentreue Karten! Netzvierecke gleicher Flächeninhalt! dϕ cos( ϕ)dλdϕ = dλdu du cos( ϕ)dλ du = cos( ϕ)dϕ u( ϕ) = du = cos ϕ ( )dϕ dλ = sin( ϕ) + C u( 0) = 0 C = 0 u( ϕ) = sin( ϕ)

Theorie! Winkeltreue Karten! Netzvierecke gleiche Form! cos( ϕ)dλ dϕ dϕ cos( ϕ)dλ = du dλ du = dϕ cos ϕ ( ) u( ϕ) = du = dϕ cos ϕ = ln tan ϕ 2 + π 4 ( ) du dλ ( ( )) + C u( 0) = 0 C = 0 ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

Theorie! Winkeltreue Karten! Netzvierecke gleiche Form! cos( ϕ)dλ dϕ dϕ cos( ϕ)dλ = du dλ du = dϕ cos ϕ ( ) u( ϕ) = du = dϕ cos ϕ = ln tan ϕ 2 + π 4 ( ) du dλ ( ( )) + C ( ) = 0 C = 0 u 0 Formelsammlung! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

Theorie! Winkeltreue Karten! Netzvierecke gleiche Form! cos( ϕ)dλ dϕ dϕ cos( ϕ)dλ = du dλ du = dϕ cos ϕ ( ) u( ϕ) = du = dϕ cos ϕ = ln tan ϕ 2 + π 4 ( ) du dλ ( ( )) + C u( 0) = 0 C = 0 ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

Theorie: Zusammenfassung! dϕ du cos( ϕ)dλ dλ Flächentreu:!!! Winkeltreu:! u ϕ u( ϕ) = sin( ϕ) ( ( )) ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4

Praxis! Flächentreue Karten! Zylinderentwurf! u( ϕ) = sin( ϕ) N P P ϕ sin( ϕ) S

Flächentreue Karten! Zylinderentwurf! u( ϕ) = sin( ϕ) Archimedes / Lambert! Aufgabe 4.2c!

Flächentreue Karten! Zylinderentwurf! u( ϕ) = sin( ϕ) Winkeltreu am Äquator! Archimedes / Lambert! Aufgabe 4.2c!

Flächentreue Karten! Zylinderentwurf! u( ϕ) = sin( ϕ) Archimedes! 287-212 BC! Johann Heinrich Lambert! 1728-1777!

Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( ))

u ϕ Vergleich mit Tangenskurve! ( ( )) u ϕ ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 ln tan ϕ 2 + π 2 ( ) = tan( ϕ) ( ( )) tan ϕ ( ) 2 2 1 1 90 45 45 ϕ 90 90 45 45 ϕ 90 1 1 2 2

Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( )) Mercator-Karte! Aufgabe 4.2b! Aufgabe 4.3!

Winkeltreue Karten! Zylinderentwurf! ( ) = ln tan ϕ 2 + π 4 u ϕ ( ( )) Gerhard Mercator! 1512-1594!

Winkeltreu (conformal), Mercator, 1569! Loxodrome:! Kurve mit konstantem Winkel α gegenüber Meridianen! Konstanter Kurs! α = 80 Aufgabe 4.4!

Quer und schief!

Querachsige Mercatorkarte!

Bezugsmeridiane! 30 -Segmente! Querachsige Mercatorkarte!

Querachsige Mercator-Karte(n)! Beispiel mit 6 Zylindern! Gauß-Krüger: Bezugsmeridiane 3 Abstand, 60 Zylinder! früher: Deutschland, Österreich! UTM (universale transversale Mercator-Karte):! Bezugsmeridiane 6 Abstand, 30 Zylinder! heute weit verbreitet!

Querachsige Mercator-Karte(n)! Beispiel mit 30 Zylindern! Gauß-Krüger: Bezugsmeridiane 3 Abstand, 60 Zylinder! früher: Deutschland, Österreich! UTM (universale transversale Mercator-Karte):! Bezugsmeridiane 6 Abstand, 30 Zylinder! heute weit verbreitet!

Sonderfall Schweiz: Schiefachsige Mercator-Karte! Bern!

Sonderfall Schweiz: Schiefachsige Mercator-Karte! Die Schweizerkarte, global erweitert!

Flächentreue Karte von Mercator / Sanson!

Plattkarte! an den Polen zu Punkt einbrutzeln!

an den Polen zu Punkt einbrutzeln!

Plattkarte! an den Polen zu Punkt einbrutzeln!

an den Polen zu Punkt einbrutzeln!

Flächentreue Karte von Mercator / Sanson! Auch als sinusoidale Projektion bezeichnet!

Erinnerung an die Schule!! Kreis und Dreieck!

Erinnerung an die Schule!! Kreis und Dreieck! Grundlinie = 2rπ Höhe = r Flächeninhalt = 2rπ r 2 = r 2 π

Erinnerung an die Schule!! Kreis und Dreieck!

Flächentreu (equivalent), Herzkarte von Stab / Werner 1514!

Flächentreu (equivalent), Herzkarte von Stab / Werner 1514! Johannes Stabius! vor1468-1522!

Flächentreu (equivalent), Herzkarte von Stab / Werner 1514! Aufgabe 4.1!

Etwas größeres Dreieck!

Etwas größeres Dreieck! Karte von Bonne!

Bildsequenz!