Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1

1997 An jeder Kante eines Drahtwürfels wird ein Zettel mit einer der Zahlen +1 oder 1 angebracht. Danach werden für jede der acht Ecken die Zahlen an den drei Kanten multipliziert, die zu dieser Ecke gehören. Die acht Produkte werden addiert. Begründe: Die Summe der acht Produkte kann nur fünf Werte annehmen. In der Figur ist M der Mittelpunkt des Halbkreises und P der Mittelpunkt der Strecke MQ. Bestimme a. Q P α In einem Viereck, bei dem alle Winkel kleiner als 180 sind, werden die vier Seiten in je drei gleich lange Stücke geteilt. Die acht Teilungspunkte bilden ein Achteck. Welchen Anteil vom Flächeninhalt des Vierecks nimmt der Flächeninhalt des Achtecks ein? M Starte mit einer natürlichen Zahl, verdopple sie und addiere 1. Verdopple anschließend diese neue Zahl um addiere wieder 1. Setze dieses Verfahren fort. Wie viele Quadratzahlen kann eine solche Zahlenfolge enthalten? D C In einer Raute ABCD sind die Winkelvierteilenden der Innenwinkel eingezeichnet. Diese schneiden sich, wie in der Abbildung gezeigt, in den Punkten S, T, U und V. Von welcher Art ist das Viereck STUV? V U T Gegeben ist eine natürliche Zahl n > 0 und das Dreieck ABC mit A(0/0), B(2n/0) und C(n/n). x y Wie viele Punkte mit den Koordinaten / (x, y natürliche Zahlen) liegen innerhalb des Dreiecks n n ABC? A S B Aufgaben 1997 2006 Seite 1 von 19

1997 Runde 2 Zwei Kreise und k mit gleichem Radius schneiden sich in den Punkten A und B. Der Kreis um A k1 2 k 1 durch B schneidet zum zweiten Mal in einem Punkt C. Zeige, dass die Gerade (BC) Tangente an den Kreis k 2 ist. Zwei natürliche Zahlen a und b (a, b > 0) haben die gleiche Anzahl von Stellen. Zeige: 10a 2 + 10b 2 < 101a b Vielecke können in spitzwinklige Dreiecke zerlegt werden. So ist beispielsweise bekannt, dass sich jedes spitzwinklige Dreieck in vier und jedes nichtspitzwinklige Dreieck in sieben spitzwinklige Dreiecke zerlegen lässt (Bild links und Mitte). Ein Quadrat lässt sich in neun spitzwinklige Dreiecke zerlegen (Abbildung rechts). eine Zerlegung des Quadrats in n spitzwinklige Drei- Begründe, dass es für alle natürlichen Zahlen n 8 ecke gibt. Beweise: Eine natürliche Zahl n ( 1) n > ist genau dann keine Primzahl, wenn es vier natürliche Zahlen a, b, c, d > 0 gibt, so dass n = a + b + c + d mit a b = c d gilt. Aufgaben 1997 2006 Seite 2 von 19

1998 Helena möchte für Weihnachten Strohsterne aus gleich langen Strohhalmen basteln. Dazu will sie zunächst Elemente aus fünf gleich langen Strohhalmen wie in der Skizze anfertigen und diese um den Punkt M herum Seite an Seite aneinanderkleben. Begründe, dass Helena auf diese Weise einen Strohstern basteln kann. M In ein Quadrat mit 100 Feldern werden die Zahlen 1 bis 100 der Reihe nach von links nach rechts, zeilenweise von oben nach unten eingetragen. Danach wird bei 50 Zahlen ein Minuszeichen so davor gesetzt, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils fünf positive und fünf negative Zahlen stehen. Diese 100 Zahlen werden addiert. Welches ist die kleinste Summe, die man bei diesem Verfahren erhalten kann? Die Eckpunkte eines Dreiecks liegen auf den Seiten eines Quadrats. Welches ist der größtmögliche Flächeninhalt, den ein solches Dreieck haben kann? Das Produkt aller Teiler einer natürlichen Zahl n > 1 ist n 3. Wie viele Primfaktoren kann n haben und wie oft kann jeder Primfaktor vorkommen? Bei welchen Dreiecken liegen die Mittelpunkte der drei Höhen auf einer Geraden? Beginnend mit einer natürlichen Zahl werden fortlaufend neue Zahlen dadurch gebildet, dass die Einerziffer abgetrennt und dann deren Vierfaches zur verbleibenden Zahl addiert wird. Beispiel: 393 51 ( = 39 + 4 3 ) 9 ( = 5 + 4 1 ) 36 ( = 0 + 4 9 )... Zeige: Wenn in einer solchen Zahlenfolge die Zahl 1001 vorkommt, dann gibt es in ihr keine Primzahl. Aufgaben 1997 2006 Seite 3 von 19

1998 Runde 2 Beweise: Das Quadrat einer Primzahl lässt sich nicht als Summe der Quadrate von drei Primzahlen darstellen. Ein 60 -Winkel hat die Schenkel g und h. Wir betrachten alle gleichseitigen Dreiecke, bei denen ein Eckpunkt auf g und ein Eckpunkt auf h liegen. Welche Punkte können dritte Eckpunkte solcher gleichseitigen Dreiecke sein? Anfang Januar 1999 wurde eine geheimnisvolle Inschrift entdeckt, die offensichtlich von Außerirdischen bei einem Besuch auf der Erde hinterlassen wurde. Sie konnte entschlüsselt werden: "Wir landen am letzten Tag des Jahres n wieder auf der Erde. Die Zahl n ist das Produkt zweier natürlicher Zahlen. Das Produkt aus der Summe dieser beiden Zahlen und der Anzahl der Tage des Monats unserer Rückkehr ist um 3 größer als das Doppelte von n." Wann ist mit der Rückkehr der Außerirdischen zu rechnen? Von einem Fünfeck sind nur die fünf Seitenmittelpunkte gegeben. Konstruiere dieses Fünfeck und begründe die Konstruktion. Aufgaben 1997 2006 Seite 4 von 19

1999 In einem regelmäßigen Sechseck werden wie abgebildet Diagonalen eingezeichnet. Dadurch entsteht ein kleines Sechseck. Welchen Anteil an der Gesamtfläche hat das kleine Sechseck? Mehrere Reihen aus roten, gelben bzw. blauen Spielsteinen sind in Form eines Dreiecks gelegt. Die nebenstehende Anordnung erfüllt die ersten drei der vier folgenden Bedingungen: 1. Oben liegt ein Spielstein; in der nächsten Reihe liegen zwei Steine, darunter drei usw. 2. Alle Spielsteine einer Reihe haben die gleiche Farbe. 3. In benachbarten Reihen sind die Farben verschieden. 4. Von jeder Farbe sind gleich viele Spielsteine vorhanden. Wie viele Reihen hat eine solche Anordnung mindestens, wenn sie alle vier Bedingungen erfüllt? Drei Kreise mit gleichem Radius und den Mittelpunkten M1, M 2 und M 3 schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt P. Außerdem schneiden sich jeweils zwei Kreise in den Punkten A, B und C. Begründe, weshalb die beiden Dreiecke M M 1 2M 3 und ABC kongruent sind. Gesucht sind mindestens vier aufeinander folgende ganze Zahlen, so dass die Summe der drei größten Zahlen gleich der Summe der restlichen Zahlen ist. Bestimme alle Möglichkeiten. Die beiden Strecken zerlegen das gleichseitige Dreieck so, dass die schraffierten Teile flächengleich sind. Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen diesen beiden Strecken? Gibt es unter den Zahlen 19, 199, 1999, 19999,... unendlich viele, die keine Primzahlen sind? Aufgaben 1997 2006 Seite 5 von 19

1999 Runde 2 Ein Würfel wird durch je einen Schnitt parallel zur Vorder-, Seiten und Deckfläche in acht Quader zerlegt. (siehe Skizze). Können sich die Rauminhalte dieser Quader wie 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 verhalten? Einem rechtwinkligen Dreieck wird auf zwei Arten ein Quadrat einbeschrieben. Beweise: Das Quadrat, bei dem zwei Seiten auf den Katheten liegen, hat immer einen größeren Flächeninhalt als das Quadrat, bei dem eine Seite auf der Hypotenuse liegt. Beginnend mit einer geraden Zahl a ( a 1 > 2) wird durch die Vorschrift a = a 1 von Zahlen definiert. Zeige, dass a n 1 durch mindestens n verschiedene Primzahlen teilbar ist. 2 n+ 1 n ( ) n eine Folge Gegeben sind zwei Primzahlen p und q mit p < q. Bestimme für x,y und x y alle Lösungspaare (x / y) der Gleichung 1 x 1 1 + =. y p q Aufgaben 1997 2006 Seite 6 von 19

2000 In fünf Schalen liegen jeweils drei Kugeln. Anna und Bernd ziehen abwechselnd. Bei einem Zug müssen aus einer Schale eine, zwei oder drei Kugeln entnommen werden. Wer die letzte Kugel wegnimmt, gewinnt. Wenn Anna anfängt, gewinnt sie immer. Wie erklärst du das? Mit gleich großen schwarzen und weißen quadratischen Platten soll ein rechteckiges Muster gelegt werden. Die Platten am Rand sowie zusätzlich eine waagerechte und eine senkrechte Reihe sollen schwarz sein, alle übrigen Platten sind weiß (siehe Abbildung). Aus wie vielen Platten kann ein solches Muster bestehen, wenn gleich viele schwarze und weiße Platten verwendet werden sollen? Das Innere eines Vierecks ABCD wird durch die Diagonalen in vier Teildreiecke zerlegt. Die Umkreismittelpunkte dieser Teildreiecke bilden das Viereck STUV. Welche Eigenschaften muss das Viereck ABCD haben, damit das Viereck STUV ein Quadrat ist? Setzt man vor eine beliebige natürliche Zahl ihr Achtfaches, ergibt sich eine neue Zahl. So entsteht beispielsweise aus 12 die Zahl 9612. Gibt es unter den so gebildeten Zahlen unendlich viele Quadratzahlen? Aus den drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt A kann ein neues Dreieck konstruiert werden. Zeige, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks 3 A 4 ist. Bestimme alle natürlichen Zahlen k, m und n, welche die Gleichung 2 k + 2 m = n! erfüllen. Dabei bedeutet n! = 1 2 3... (n 1) n. Aufgaben 1997 2006 Seite 7 von 19

2000 Runde 2 Auf einer Tafel stehen 40 positive, ganze Zahlen in acht Zeilen und fünf Spalten angeordnet. Die Zahlen dürfen nur auf folgende zwei Arten abgeändert werden: (Z) Alle Zahlen einer Zeile werden verdoppelt. (S) Alle Zahlen einer Spalte werden um 1 vermindert. Kann man so erreichen, dass 40-mal die Zahl Null auf der Tafel steht? In einem Dreieck ABC wird durch den Mittelpunkt M der Seite AB die Senkrechte zur Winkelhalbierenden w γ gezeichnet. Sie schneidet die Gerade AC im Punkt X und die Gerade BC im Punkt Y. Beweise: AX = BY. Eine Azteken-Pyramide hat die Form eines Pyramidenstumpfes mit quadratischer Grund- und Deckfläche. Die Grundfläche besitzt eine Kantenlänge von 81 m, die Deckfläche eine Kantenlänge von 16 m. Die Seitenkanten sind 65 m lang. Eine Außentreppe für Touristen führt zur Deckfläche des Pyramidenstumpfs. Sie beginnt an einer Ecke der Grundfläche und überquert jede Seitenfläche genau einmal, bevor sie an einer Ecke der Deckfläche endet. Dabei ist ihre Steigung überall gleich. Welche Entfernungen haben die Punkte, an denen die Treppe die Kanten trifft, von den zugehörigen Eckpunkten der Grundfläche? Zeige: Eine Primzahl p ist genau dann die Differenz von zwei dritten Potenzen ganzer Zahlen, wenn p 1 p = 2 ist oder wenn als Summe 1 + 2 + 3 +... + n ( n ) geschrieben werden kann. 6 Aufgaben 1997 2006 Seite 8 von 19

2001 Yannick besitzt gleichseitige Dreiecke, Quadrate sowie regelmäßige Sechs- und Achtecke, die alle dieselbe Seitenlänge haben. Er legt damit ohne Lücken und Überlappungen regelmäßige Muster. Dabei treffen Ecken immer auf Ecken und an jeder Ecke dürfen zwar verschiedenartige Vielecke zusammentreffen, aber sie müssen an allen Ecken in jeweils gleicher Reihenfolge angeordnet sein. Finde alle möglichen Muster und zeige, dass es keine weiteren gibt. Die Felder eines Schachbretts sind in beliebiger Reihenfolge mit den Zahlen 1 bis 64 belegt. Man darf zwei Felder auswählen und bildet die Summe und das Produkt ihrer Zahlen. Danach wird die Zahl des einen Feldes durch die Einerziffer dieser Summe und die Zahl des anderen Feldes durch die Einerziffer dieses Produktes ersetzt. Kann man durch mehrfache Anwendung dieses Verfahrens erreichen, dass das Schachbrett mit lauter gleichen Zahlen belegt ist? In einem Dreieck ABC werden die Winkelhalbierenden von α und β, sowie die Winkelhalbierenden der Außenwinkel von α und β gezeichnet. Von C aus werden die Lote auf diese vier Winkelhalbierenden gefällt. Zeige, dass die vier Lotfußpunkte auf einer Parallelen zu AB liegen. Eine natürliche Zahl soll aufteilbar heißen, wenn die Summe einiger Ziffern dieser Zahl gleich der Summe ihrer restlichen Ziffern ist. Beispielsweise sind die Zahlen 25371 und 2851 aufteilbar, weil 2 + 7 = 5 + 3 + 1 bzw. 2 + 5 + 1 = 8 gilt. Weise nach, dass es zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Zahlen gibt, die aufteilbar sind. Auf dem Durchmesser AB eines Halbkreises wird ein beliebiger Punkt P (P A, P B) gewählt. Von P aus werden zwei Halbgeraden gezeichnet, so dass bei P drei Winkel der Weite 60 entstehen (siehe Skizze). Diese Halbgeraden schneiden den Halbkreis in den Punkten C und D. Wie lang ist die Strecke CD? D C A P B Drei natürliche Zahlen a, b und c mit a < b < c werden Jahrtausendtrio genannt, wenn die größte und die kleinste Zahl die Differenz 2001 haben und die Summe von je zwei der drei Zahlen eine Quadratzahl ist. Wie viele Jahrtausendtrios gibt es? Aufgaben 1997 2006 Seite 9 von 19

2001 Runde 2 In einem Viereck ABCD sind die Seiten AB, BC und CD gleich lang. Die Seite DA hat die gleiche Länge wie die Diagonale DB. Diese Diagonale halbiert den Winkel ADC. Wie groß können die Innenwinkel eines solchen Vierecks sein? Zeige: Ist eine Zahl n die Summe zweier verschiedener positiver Quadratzahlen, so hat auch jede k Potenz k,k> 0 diese Eigenschaft. n ( ) Gegeben sind drei verschiedene Punkte M, P und Q, die nicht auf einer Geraden liegen. Es soll ein Quadrat mit dem Mittelpunkt M konstruiert werden, so dass P und Q auf zwei benachbarten Seiten des Quadrats oder deren Verlängerungen liegen. Wie viele verschiedene Quadrate gibt es in Abhängigkeit von der gegenseitigen Lage der Punkte M, P und Q? Für natürliche Zahlen werden die beiden folgenden Operationen definiert: (A) An die Zahl kann eine der Ziffern 0, 4 oder 8 angehängt werden. (B) Die Zahl kann halbiert werden, wenn sie gerade ist. Zeige, dass von 4 ausgehend jede positive natürliche Zahl durch eine endliche Anzahl dieser Operationen erreicht werden kann. Zum Beispiel kann die Zahl 51 erreicht werden durch: ( A) ( B) ( A) ( B) ( B) 4 40 20 204 102 51. Aufgaben 1997 2006 Seite 10 von 19

2002 Schreibe jede der Zahlen 1, 2, 3,, 15 auf je eine Karteikarte. Lege diese Karten so in eine Reihe, dass die Summe der Zahlen auf zwei benachbarten Karten immer eine Quadratzahl ist. Wie viele solcher Anordnungen sind möglich? M' In der nebenstehenden Figur sind M und M' die Kreismittelpunkte. Die beiden Winkel CAD und MM'B haben das gleiche Winkelmaß ϕ. D ϕ Bestimme ϕ. ϕ C Die Grundfläche eines Prismas ist ein regelmäßiges n-eck. Addiert man die Anzahl der Flächen- und Raumdiagonalen, so erhält man das Hundertfache der Anzahl der Kanten. Bestimme n. A M B E Zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke unterschiedlicher Größe werden wie im Bild gezeigt aneinander gelegt. Die Punkte P, Q, R und S sind die Mittelpunkte der Strecken AC, CD, DE und EA. Weise nach, dass das Viereck PQRS ein Quadrat ist. R S D Q A P B C In einem Quadrat mit der Seitenlänge a sind die Seitenmitten mit den gegenüber liegenden Eckpunkten verbunden. Dadurch entsteht der gekennzeichnete Stern. Wie groß ist sein Flächeninhalt in Abhängigkeit von a? 101 Kugeln sind fortlaufend von 1 bis 101 nummeriert. Sie werden auf zwei Schalen A und B verteilt. Die Kugel mit der Nummer 40 liegt in A. Sie wird nun in Schale B gelegt. Dadurch erhöht sich in beiden Schalen der Mittelwert der Kugelnummern um 0,25. Wie viele Kugeln sind anfangs in Schale A gewesen? Aufgaben 1997 2006 Seite 11 von 19

2002 Runde 2 Welche natürlichen Zahlen lassen sich nicht als Summe aufeinander folgender natürlicher Zahlen schreiben? In einer Ebene sind drei verschiedene Geraden, die nicht alle parallel sind, und eine Strecke der Länge s gegeben. Welche Kreise schneiden auf jeder der drei Geraden eine Strecke der Länge s aus? Eine Folge natürlicher Zahlen beginnt mit einer zweistelligen Zahl. Sie wird nach folgender Vorschrift fortgesetzt: Man subtrahiert eine einstellige natürliche Zahl ungleich 0 und setzt diese vor die Differenz, usw. Beispiel: 17 5 = 12, die nächste Zahl heißt 512; 512 8 = 504, die dritte Zahl heißt 8504; usw. Für welche Startzahlen kann in einer solchen Folge eine neunstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern ungleich 0 vorkommen? In einem Dreieck ABC gilt für das Verhältnis der Seitenlängen a : b : c = 3 : 4 : 5. Zeige, dass der Punkt B, der Umkreismittelpunkt U und der Inkreismittelpunkt I ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Aufgaben 1997 2006 Seite 12 von 19

2003 Florian schreibt unter die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dieselben Zahlen nochmals in irgend einer anderen Reihenfolge. Nun subtrahiert er jeweils die untenstehenden Zahlen von den darüber stehenden und multipliziert die neun entstandenen Differenzen miteinander. Florian behauptet, dass dieses Produkt immer gerade ist. Hat er recht? Die Geraden g und h sind parallel. Wie verändert sich γ, wenn α um ε vergrößert wird? Bestimme alle natürlichen Zahlen a, b, c mit a b c, für die gilt: 1 + 1 + 1 = 1. a b c h g A α β B β C γ γ D α + ε < 180 Die Eckpunkte A und B eines Geodreiecks gleiten entlang zweier benachbarter Kanten eines rechteckigen Blatt Papiers (siehe Abbildung). Welche Bahn beschreibt dabei die Ecke C des Geodreiecks? A C In der Zeichenebene ist ein Kreis k mit einem Durchmesser AB vorgegeben. Ein beliebiger Punkt P wird in der Ebene so gewählt, dass er nicht auf k und nicht auf der Geraden (AB) liegt. Kann man nur mit einem Lineal das Lot von P auf (AB) konstruieren? B Für welche natürlichen Zahlen n ist 1+ 2 + 3+ + n ein Teiler von 1 2 3 n? Aufgaben 1997 2006 Seite 13 von 19

2003 Runde 2 Die Seite AB eines Dreiecks ABC wird über B hinaus bis zum Punkt D so verlängert, dass AD n AB n n> 1. Die Gerade durch D und den Mittelpunkt M von BC schneidet AC = gilt ( ) im Punkt E. In welchem Verhältnis teilt E die Strecke AC? Auf einem Platz soll aus lauter gleichen Würfeln ein Denkmal gebaut werden. Es ist ein massiver quaderförmiger Block geplant, der auf seiner quadratischen Grundfläche steht. Die Anzahl der Würfel, die der Luft ausgesetzt sind, ist halb so groß wie die Anzahl aller Würfel. Aus wie vielen Würfeln kann das Denkmal bestehen? Von einem Viereck ABCD ist bekannt, dass es sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis besitzt. Wie kann man aus den drei Eckpunkten A, B und C eines solchen Vierecks das vollständige Viereck konstruieren? Das Produkt der ersten n Primzahlen geschrieben. Die auf 235...p n p n folgende nächst größere Primzahl sei p n + 1. wird als Produkt von zwei natürlichen Zahlen a und b Zeige: Wenn a + b kleiner als 2 p n + 1 ist, so ist a + b eine Primzahl. Aufgaben 1997 2006 Seite 14 von 19

2004 Die Billardkugeln mit den Nummern 1, 2, 3, 4, 5, 6 werden wie in der Abbildung zusammengelegt. Zunächst addiert man die Nummern von je drei sich berührenden Kugeln. Danach werden die entstandenen Summen addiert. Zeige, dass das Ergebnis für jede Kugelverteilung in dieser Form ungerade ist. Ein gleichseitiges Dreieck soll mit Trapezen lückenlos und ohne Überdeckung ausgelegt werden. Jedes Trapez hat die Seitenlängen 1 cm, 1 cm, 1 cm, 2 cm. Welche Seitenlängen sind für das Dreieck möglich? Gegeben ist ein spitzwinkliges Dreieck ABC. Konstruiere einen Punkt P im Inneren der Strecke AC und einen Punkt Q auf der Geraden (BC) so, dass gilt: AP = PQ = QC. Von einer n-stelligen Zahl wird die Einerziffer weggelassen. Von der entstandenen Zahl wird wiederum die Einerziffer weggelassen. Das Verfahren wird fortgeführt, bis eine einstellige Zahl erreicht ist. Dabei entstehen n-1 neue Zahlen. Das Neunfache ihrer Summe wird von der ursprünglichen Zahl subtrahiert. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem entstehenden Differenzwert und der ursprünglichen Zahl? Lässt sich jede positive ganze Zahl in der Form (a² + b²) (c² + d²) darstellen, wobei a, b, c und d ebenfalls positive ganze Zahlen sind? In einem Dreieck ABC schneidet der Thaleskreis über der Strecke AB die Gerade (AC) in A und Q und die Gerade (BC) in B und P. Welche Bedingung müssen die Innenwinkel des Dreiecks ABC erfüllen, damit sein Flächeninhalt viermal so groß ist wie der Inhalt des Dreiecks QPC? Aufgaben 1997 2006 Seite 15 von 19

2004 Runde 2 Die zwölf natürlichen Zahlen 1, 2,..., 11, n (n > 11) werden an die Kanten eines Oktaeders geschrieben. An jede Ecke schreibt man die Summe der vier Zahlen, die an den dort stehenden Kanten stehen. Für welche Werte von n kann man an allen Ecken denselben Summenwert erhalten? Auf der Seite AB eines Dreiecks ABC liegt ein von A und B verschiedener Punkt P. Zwei Geraden durch P zerlegen die Dreiecksfläche in drei Teile. Konstruiere die Geraden so, dass die drei Flächenstücke den gleichen Inhalt haben. Die drei gekennzeichneten Winkel sind jeweils 45 -Winkel. Bestimme den Anteil der markierten Fläche an der Kreisfläche. Welche Stammbrüche lassen sich auf genau eine Weise als arithmetisches Mittel von zwei verschiedenen Stammbrüchen darstellen? Bemerkung: Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler 1 und einer natürlichen Zahl als Nenner. Aufgaben 1997 2006 Seite 16 von 19

2005 Ein Stück Papier wird in 7 oder 10 Stücke zerschnitten. Nun wird eines der vorhandenen Stücke wieder wahlweise in 7 oder 10 Stücke zerschnitten; dieser Vorgang wird mehrmals wiederholt. Kann man auf diese Weise 2006 Papierstücke erhalten? Wie kann man α berechnen, wenn γ gegeben ist? A B? Ein Quader mit quadratischer Grundfläche ist aus Würfeln der Kantenlänge 1 cm aufgebaut. Die Anzahl dieser Würfel ist so groß, wie die Anzahl der außen liegenden Würfelflächen. Welche Kantenlängen kann der Quader haben?? M Die Punkte P, Q, R, S sind die Seitenmittelpunkte eines Parallelogramms. S Q Bestimme den Anteil der markierten Fläche an der Gesamtfläche des Parallelogramms. Von vier verschiedenen Primzahlen, die alle größer als 5 sind, unterscheiden sich die größte und die kleinste um weniger als 10. Zeige, dass die Summe dieser vier Primzahlen durch 60 teilbar ist. P R Die Geraden a und b sind parallele Tangenten an einen Kreis mit Mittelpunkt M. Der Punkt A liegt auf der Tangente a, der Punkt B auf der Tangente b. Beweise: Die Gerade (AB) ist genau dann Tangente an den Kreis, wenn AM senkrecht zu BM ist. B M b A a Aufgaben 1997 2006 Seite 17 von 19

2005 Runde 2 Eine natürliche Zahl besteht aus paarweise verschiedenen Ziffern, von denen keine Null ist. Streicht man in dieser Zahl eine beliebige Ziffer k, so ist die neu entstandene Zahl durch k teilbar. Bestimme die größte Zahl mit dieser Eigenschaft. In den Mittelpunkten der Seiten eines Dreiecks ABC werden die Lote auf die Seiten nach außen errichtet. Diese schneiden den Umkreis des Dreiecks ABC in den Punkten A *, B * und C *. Zeige, dass der Höhenschnittpunkt des Dreiecks A * B * C * zugleich der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist. Nach folgendem Verfahren werden Zahlenketten gebildet: (V1) Die erste Zahl ist eine natürliche Zahl größer als 1. (V2) Ist eine Zahl gerade, so ist die nächste Zahl halb so groß. (V3) Ist eine Zahl ungerade und größer als 1, so ist die nächste Zahl um 1 kleiner. (V4) Die Kette endet mit dem Erreichen der Zahl 1. (Beispiele: 20 / 10 / 5 / 4 / 2 / 1 oder 19 / 18 / 9 / 8 / 4 / 2 / 1) Bestimme zu gegebenem n > 1 die größte und die kleinste Anfangszahl, die zu einer Kette mit n Gliedern führt. Auf einem Kreis liegen die Punkte A, B und C mit BAC < 90 Es gibt Kreispunkte P, für die der Thaleskreis über AP die von A ausgehenden Halbgeraden durch B bzw. C in A und in je einem weiteren Punkt schneidet. Diese Schnittpunkte werden mit S bzw. T bezeichnet. Für welchen dieser Kreispunkte P hat die Strecke ST maximale Länge? o. Aufgaben 1997 2006 Seite 18 von 19

2006 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die ein Produkt zweier einstelliger Zahlen ist. Bestimme alle möglichen Anordnungen. Zum Beispiel ist 43251 keine mögliche Anordnung. Es gilt zwar 32 = 4 8 und 25 = 5 5, aber 43 und 51 lassen sich nicht als Produkt von zwei einstelligen Zahlen schreiben. Heinz addiert die Größen der Innenwinkel eines ebenen Vielecks und erhält den Wert 2006. Er hat dabei einen Winkel übersehen. Wie groß kann dieser fehlende Winkel sein? ohne Rest tei- Für welche natürlichen Zahlen n gibt es genau zwei verschiedene Primzahlen, die len? 3 n n D Gegeben ist ein Kreis mit zwei gleich langen Sehnen AB und CD. P ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Sehnenmittelpunkte. Die Sehne CD gleitet am Kreis, die Sehne AB bleibt fest. Welche Bahn beschreibt dabei P? C P Zocker-Detlef besucht ein Spielcasino. Er setzt bei jedem Spiel den gleichen Anteil des Geldes, das er im Moment hat. Gewinnt er, dann erhält er seinen Einsatz zurück und zusätzlich den gleichen Betrag noch einmal. Verliert er, so hat er seinen Einsatz verspielt. Als Zocker-Detlef wieder aus dem Spielcasino kommt, hat er gleich viele Spiele gewonnen wie verloren. Über die Reihenfolge von Gewinn und Verlust ist nichts bekannt. Hat er insgesamt Gewinn oder Verlust gemacht? A B Drei Kreisbögen bilden ein Dreibogeneck ABC, wenn sie auf Kreisen liegen, die sich in den Punkten A, B bzw. C berühren. Dabei sind nur Kreisbögen zugelassen, die in der Zeichenebene liegen und deren Mittelpunktswinkel kleiner als 180 sind. Gegeben sind nun die Eckpunkte A, B und C eines Dreiecks, das nicht rechtwinklig ist. Konstruiere das zugehörige Dreibogeneck ABC. C A B Aufgaben 1997 2006 Seite 19 von 19