Thermodynamik I Formeln Tobi 4. September 2006 Inhaltsverzeichnis Thermodynamische Systeme 3. Auftriebskraft........................................ 3 2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik 3 2. Systemenergie........................................ 4 2.2 Volumenänderungsarbeit W V im geschlossenem System................. 4 2.3 Druckänderungsarbeit W D im offenem System...................... 4 2.4 Reibarbeit W R....................................... 4 2.5 Innere Energie u...................................... 4 2.6 Enthalpie h......................................... 4 3 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 5 3. Entropie........................................... 5 3.2 Entropieänderung...................................... 5 3.2. ideale Gase..................................... 5 3.2.2 Wärmeübergang.................................. 5 3.2.3 inkompressibles Fluid................................ 5 3.3 Exergie eines thermodynamischen Zustands....................... 6 3.4 Exergiebilanz........................................ 6 4 Ideales Gas 6 4. Innere Energie u und Enthalpie h............................. 6 4.2 Zusammenhänge zwischen c p und c v............................ 6 4.3 Zusammenhänge thermischer Zustandsgrößen mit n................... 7 4.4 Quasistationäre Zustandsänderungen idealer Gase.................... 7 4.4. isochor........................................ 7 4.4.2 isobar........................................ 8 4.4.3 isotherm....................................... 8 4.4.4 isentrop....................................... 9 4.4.5 polytrop....................................... 0 4.5 Mischungen idealer Gase.................................. 4.5. Mischungsregel................................... 2
5 Reales Gas 2 6 Dampftafeln 3 6. Zweiphasengebiet...................................... 3 6.2 Dampfgehalt......................................... 3 6.3 Lineare Interpolation.................................... 3 7 Kreisprozesse 4 7. Isentroper Wirkungsgrad.................................. 4 7.2 Gesamtwirkungsgrad η................................... 4 7.3 Leistungsziffer ε....................................... 4 8 Konstanten 5 2
Thermodynamische Systeme offen ṁ sys 0 geschlossen ṁ sys 0 stationär durchströmt ṁ zu ṁ ab, Ė sys 0 adiabat wärmeundurchlässig: Q 0 diabat wärmeduchlässig: Q 0 isotherm Temperatur T konstant, n isobar Druck p konstant, n 0 isochor Volumen V konstant, n isentrop adiabat, reversibel, n κ polytrop beliebige Änderung, n R. Auftriebskraft p F/A; m vρ V/v F a V verdrängt ρ verdrängt g m stattdessen g 2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik Leistungsbilanz, bevorzugt für stationäre Systeme Ė sys Q + Ẇ + ṁ(h + gz + c2 2 ) ė sys q + ẇ + ṁ(h + gz + c2 2 ) Energiebilanz, bevorzugt für instationäre Systeme E sys,2 E sys, Q 2 + W 2 + m 2 (h + gz + c2 2 ) e sys,2 e sys, q 2 + w 2 + (h a h e ) + g(z a z e ) + ( c2 a 2 c2 e 2 ) 3
2. Systemenergie E sys E pot + E kin + U sys 2.2 Volumenänderungsarbeit W V im geschlossenem System dw V F d s pa ds p dv W V w V p dv p dv Nutzanteil W n W n w n (p p ) dv (p p ) dv 2.3 Druckänderungsarbeit W D im offenem System w d v dp 2.4 Reibarbeit W R W R,Rührer ϕ2 ϕ M dϕ Mω dt 2.5 Innere Energie u (Geschlossenes System) du dq + p dv + dw R 2.6 Enthalpie h (Offenes System) dh du + v dp + p dv ideales Gas c dt + v dp + p dv 4
3 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Ṡ ges Ṡ Q + ṁs + Ṡirr Adiabates System: Ṡ Q 0 Stationäres System: Ṡ ges 0 Geschlossenes System: ṁ 0 3. Entropie ds du + p dv T dh v dp T 3.2 Entropieänderung 3.2. ideale Gase s 2 s c v ln c p ln ( ) T2 T ( ) T2 T + R ln R ln ( ) v2 ( v ) p2 p 3.2.2 Wärmeübergang T : Temperatur an der Systemgrenze / Wand ṡ q T s q T q T ds 3.2.3 inkompressibles Fluid s 2 s c(t M ) ln ( ) T2 T 5
3.3 Exergie eines thermodynamischen Zustands geschlossenes System ex w max (u u ) T (s s ) + p (v v ) offenes System ex w max (h h ) T (s s ) 3.4 Exergiebilanz d Ex sys dt d Ex sys dt Ex q + ( ṁ Ex w + Ex v : Exergieverlust dq durch ersten Hauptsatz am System auflösen ( ) mit T2 κ T p2 κ p T ( v2 v ) κ Ex m Ex v ( T T )dq + w t + (ex + c dc + g dz) ex v ) 4 Ideales Gas 4. Innere Energie u und Enthalpie h du dq + p dv + dw R (allgemein) du c v dt u 2 u c v (T M ) (T 2 T ) dh du + p dv + v dp (allgemein) dh c p dt 4.2 Zusammenhänge zwischen c p und c v κ cp c v V const. / geschlossen: c v p const. / offen: c p κ zusammen: R κ R κ R c p c v 6
4.3 Zusammenhänge thermischer Zustandsgrößen mit n n siehe Kapitel, Seite 3 pv n const. T 2 T p 2 p v 2 v ( p2 p ( T2 T ( T2 T ) n n ) n n ) n ( ) v2 n v ( ) v2 n v ) n ( p2 p p < 0 κ > κ u < 0 u 0 v Abbildung : Zustandsänderungen mit verschiedenen Polytropenexponenten im p-v-diagramm 4.4 Quasistationäre Zustandsänderungen idealer Gase 4.4. isochor v v 0 const., dv 0 n p 2 p T 2 T ; pv RT ; V mr T p geschlossen dw v p dv 0 Volumenänderungsarbeit dw dw R w 2 w R2 dq du dw R T ds dw R q 2 u 2 u w R2 c v (T 2 T ) w R2 Q 2 mc v (T 2 T ) W R2 T ds w R2 7
offen dw D v 0 dp w D v 0 (p 2 p ) w t2 v 0 (p 2 p ) + w R2 + e q 2 h 2 h v 0 (p 2 p ) w R2 T ds w R2 u 2 u w R2 c v (T 2 T ) w R2 w t2,rev q 2,rev R c κ > 0 ( e 0) v 4.4.2 isobar p p 0 const., dp 0 n 0 dv v dt T, pv RT const, p 2 p v 2 v geschlossen dw v p dv 0 w v2 p 0 (V 2 v ) w 2 p 0 (V 2 v ) + w R2 dq du + p 0 dv dw R T ds dw R q 2 u 2 u + p 0 (v 2 v ) w R2 c v (T 2 T ) w R2 T ds w R2 h 2 h w R2 offen dw D vdp 0 Druckänderungsarbeit w t2 w R2 + e q 2 h 2 h w R2 T ds w R2 c v (T 2 T ) w R2 w t2,rev R c κ < 0 ( e 0) q 2,rev p κ 4.4.3 isotherm T T 0 const. n v v 2 p 2 dp + dv 0, v R p p v T p 0, v 2 v T 2 T 8
geschlossen du c v dt 0 dw p dv + dw R RT 0 dv v + dw R w 2 RT }{{ 0 } mv ln( v 2 v }{{} p p 2 ) + w R2 dq p dv dw R T 0 ds dw R q 2 RT 0 ln( v 2 ) w R2 v T 0 (s 2 s ) w R2 offen dh c p dt 0 w t2 c dp + w R2 + e RT 0 ln( p 2 ) + w R2 + e p q 2 v dp w R2 T 0 ds w R2 RT 0 ln( p 2 ) w R2 T 0 (s 2 s ) w R2 p ln( p 2 ) ln( v 2 ) p v w 2,rev ( e 0) q 2,rev 4.4.4 isentrop ds dq + dw R 0 n κ p 2 p ( ) κ ( ) κ v v 2 T2 κ T geschlossen reversibel adiabat: dq dw r 0 dw rev p dv w 2 p dv dq du + p dv 0 p dv du c v dt 9
dt p dv c v (κ ) T dv v T 2 w 2,rev u 2 u RT κ T RT κ RT κ ( p2 p ( v v 2 ) κ κ ) κ irreversibel diabat: dq dw r < 0 dw p dv + dw r w 2 p dv + w R2 w 2,rev + w 2,R offen reversibel adiabat: dq dw r 0 w t2,rev v dp + e q 2 h 2 h v dp 0 v dp h 2 h c p (T 2 T ) dt v dp (κ ) T dp c p κp ( ) κ w t2,rev κ q RT T2 + e T ) κ κ ( κ q RT p2 κ + e κw 2,rev + e p irreversibel diabat: dq dw r 0 w t2 w t2,rev κw 2,rev + e v dp + w R2 + e w t2,rev + w R2 4.4.5 polytrop Q 2 κ n κ W 2 p 2 p ( ) n ( ) n v 2 v T2 n T ; T 2 T ( ) n v v 2 0
geschlossen w 2 RT n RT n p dv + w R2 ( ) T2 + w R2 T p2 ( p q 2 u 2 u + ) n n + w R2 p dv w R2 c v (T 2 T ) R n (T 2 T ) w R2 ( ) n κ (κ )(n ) RT T2 w R2 T w 2,rev κ q 2,rev n κ w 2,rev RT n ( ) T2 T offen w t2 v dp + w R2 + e ( ) n n RT T2 + w R2 + e T ) n n ( n RT p2 n + w R2 + e q 2 h 2 h + p v dp w R2 c v (T 2 T ) nr n (T 2 T ) w R2 ( ) n κ (κ )(n ) RT T2 w R2 T w t2,rev n κ (für e 0) q 2,rev n κ w 2,rev n RT n ( ) T2 T 4.5 Mischungen idealer Gase Index M: Mischung Massenverhältnis Molenbruch ξ i m i M i R m γ i γ i m M M M R i γ i n i v i R i M M ξ i ξ i n M v M R M M i
c v,m i ξ i c v,i p i γ i p M R M i ξ i R i R M M M M M i γ i M i mi ni R m R M 4.5. Mischungsregel??? Sonst über ersten Hauptsatz. c m T + c 2 m 2 T 2 + T M c m (T T M ) c 2 m 2 (T M T 2 ) 5 Reales Gas thermisch (Van der Waals) (p + a ) (v b) RT v2 a 3p krit v 2 krit 3p krit ρ 2 krit b v krit 3 3ρ krit kalorisch für du 0: T 2 T a c v ( v 2 v ) du d v DT + a v 2 dv 2
6 Dampftafeln 6. Zweiphasengebiet T s KP p v p unterkühlt Taulinie z überkritisch T überhitzt T h s T-s Diagramm und p-v-diagramm für Nassdampfgebiet u h pv verläuft mit stärkerer Steigung als h Siedelinie z v 6.2 Dampfgehalt m D x m F l + m D für Zustandsgrößen z : h, u, v, s x z z z z z z + x(z z ) m m + m Innere Energie: u h pv, p in [bar] 00 6.3 Lineare Interpolation y y x x y y x x y y + (x x ) y y x x 3
7 Kreisprozesse rechtslaufend Wärmekraftprozesse einphasig Joule Otto Diesel Seiliger Carnot Stirling Ericsson s-p-s-p s-v-s-v s-p-s-v s-v-p-s-v s-t-s-t T-v-T-v T-p-T-p zweiphasig Rankine s-p-s-p Bei Carnot, Stirling und Ericsson-Prozess gilt: η c η th (Nur theoretisch funktionierene Prozesse) linkslaufend Kälteprozesse, Wärmepumpen 7. Isentroper Wirkungsgrad Turbine η is,t h 2 h ideales Gas h 2 h Verdichter η is,v h 2 h ideales Gas h 2 h h 2 hat die selbe Entropie s wie in Zustand h! T2 T ( ) κ p 2 κ p ( v 2 v ) κ T 2 T T2 T T2 T T 2 T 7.2 Gesamtwirkungsgrad η η ges Nutzen P el,speisepumpe Aufwand 7.3 Leistungsziffer ε ε Q P el 4
8 Konstanten allgemeine Gaskonstante R m 8, 34 J mol K spezifische Gaskonstante R Rm M spezifisches Volumen v V m Molmasse M m pv mn A n nrt N Teilchenzahl N Avogadrokonstante N A 6, 022 0 23 mol bar N/m 2 bar 0 5 m N 2 l 0 3 m 3 cm 3 0 6 m 3 0 C 273, 5K g mol 5