Physik Klassische Mechanik Teil 3 Walter Braun Grundlagenfach Physik Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 1 von 45
Inhaltsverzeichnis 1 Die Newtonschen Gesetze... 3 1.1 Das Trägheitsprinzip... 3 1.2 Das Aktionsprinzip... 4 1.3 Das Wechselwirkungsprinzip... 6 1.4 Weiterführende Beispiele zum Aktionsprinzip... 7 2 Kreisbewegungen... 11 2.1 Die Zentripetalkraft... 11 2.2 Gleichförmige Kreisbewegungen... 12 2.3 Looping... 13 2.4 Bodenwelle... 15 3 Gravitation... 17 3.1 Das Gravitationsgesetz... 17 3.2 Bahnen künstlicher Satelliten... 18 3.3 Gewicht und Zentripetalkraft am Erdäquator... 20 3.4 Kreisförmige Bahnen von Planeten und Monden... 21 3.5 Die Keplerschen Gesetze... 22 4 Arbeit, Energie, Leistung und Wirkungsgrad... 24 4.1 Die Definition der physikalischen Arbeit... 24 4.2 Wichtige Beispiele zum Thema "physikalischer Arbeit"... 26 4.3 Ermitteln der Arbeit aus dem Kraft-Weg-Diagramm... 28 4.4 Arbeit und Energie... 29 4.5 Der Energieerhaltungssatz der Mechanik... 31 4.6 Die Leistung... 34 4.7 Der Wirkungsgrad... 36 5 Impuls und Impulserhaltungssatz... 37 5.1 Der Impuls eines bewegten Körpers... 37 5.2 Der Impulserhaltungssatz... 38 5.3 Der vollkommen elastische Stoss... 39 5.4 Inelastische Stösse... 40 Anhang A: Änderung des Bewegungszustandes... 41 Anhang B: Inertialsysteme... 42 Anhang C: Das Prinzip von d'alembert... 43 Anhang D: Die Gezeiten... 44 Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 2 von 45
1 Die Newtonschen Gesetze 1.1 Das Trägheitsprinzip Das Phänomen der physikalische Trägheit von Körpern ist uns aus dem Alltagsleben gut bekannt. Die genauen Zusammenhänge sind uns aber nicht bewusst. Beispiele: 1. Rollbrettfahren: ein Steinchen gerät vor die Rollen. Was passiert? 2.... 3.... Ein weiteres Beispiel: Trägheit beim Liftfahren Wie erlebst du das Trägheitsgesetz beim Liftfahren? Aufwärts Abwärts Start ich gehe in die Knie Stopp Das Trägheitsprinzip Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern. Das Trägheitsprinzip wurde von Isaac Newton (1642-1727) formuliert. Man nennt es auch "das 1. Newtonsche Gesetz", "das 1. Newtonsche Axiom" oder das "Trägheitsgesetz". Wir sind ihm schon drei Mal begegnet, nämlich bei den Themen Wirkung einer Kraft (Skript Klassische Mechanik Teil 1, Seite 7) Kräftegleichgewicht (Skript Klassische Mechanik Teil 1, Seite 17) Eigenschaften der Masse (Skript Klassische Mechanik Teil 1, Seite 22). Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 3 von 45
1.2 Das Aktionsprinzip Das Aktionsprinzip (2. Newtonsches Gesetz, Kraftwirkungsgesetz) geht über das Trägheitsprinzip hinaus. Ist ein Körper nicht im Kräftegleichgewicht, so ändert der Bewegungszustand, das heisst: es tritt eine Beschleunigung auf. Die (resultierende) Kraft bewirkt dann also eine Beschleunigung. Aber: Wie lautet der genaue Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung? Und welche Rolle spielt dabei die Masse? Dazu machen wir ein einfaches Gedankenexperiment. Es beruht auf unseren Alltagserfahrungen. Gedankenexperiment Ein Leiterwagen mit Gummibereifung und gut geschmierten Rädern steht auf einer horizontalen Asphaltstrasse. Er soll in Bewegung gesetzt werden. Wir untersuchen die erste Phase, in der der Leiterwagen aus dem Stillstand in eine Bewegung kommt. Wir betrachten drei verschiedene Situationen, nehmen aber an, dass die Zugkraft überall gleich gross ist: Masse t 0 = 0.0 s t 1 = 2.0 s klein mittel gross Offenbar ist im 3. Fall (grosse Masse) die Beschleunigung am Kleinsten. Bei gegebener Kraft ist also die Beschleunigung um so grösser, je kleiner die Masse ist. Andrerseits ist bei einer bestimmten Masse die Beschleunigung um so grösser, je... die Kraft ist. Die Formel für das Aktionsprinzip ist In dieser Formel ist auch enthalten, dass der Kraftvektor und der Beschleunigungsvektor die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn haben. Diese Gleichung liefert auch die Definition der Masseinheit Newton: Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 4 von 45
Aufgabe 1.2.1 Ein 1300 kg schweres Auto soll eine Beschleunigung von 3.5 m/s 2 erfahren. Wie gross muss die Motorkraft dazu sein? Aufgabe 1.2.2 Der Motor eines 35 t schweren Lastwagens kann zur (reinen) Beschleunigung eine Kraft von 0.11 MN aufbringen. Wie gross ist dann die Beschleunigung? Aufgabe 1.2.3 Ein 100 g schwerer Schlitten wird auf der horizontalen Luftkissenschiene mit einer konstanten Kraft von 10 cn gezogen. Wie gross ist die Beschleunigung. Aufgabe 1.2.4 Ein 1200 kg schweres Auto wird in 12 Sekunden von 0 auf 108 km/h beschleunigt. Wie gross ist die beschleunigende Kraft? Weshalb ist die tatsächlich benötigte Kraft grösser? Gewicht und Masse Setzen wir im Aktionsprinzip für F die Gewichtskraft eines Körpers F G ein, so ist die Beschleunigung gleich der Schwerebeschleunigung: Das ist die Formel, die wir im Skript Klassische Mechanik Teil 1, Kapitel 4.3 kennen gelernt haben. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 5 von 45
1.3 Das Wechselwirkungsprinzip Versuch: Zwei Schiffchen mit Stabmagnet Die beiden verschieden grossen Schiffchen tragen verschieden starke Stabmagnete. Sie sind so angemacht, dass anziehende Kräfte wirken. Beobachtung: Die Kraftmesser zeigen den gleichen Kraftbetrag. Dies ist das Wechselwirkungsprinzip (3. Newtonsches Gesetz, Prinzip von Actio und Reactio, Reaktionsprinzip). Wechselwirkungsprinzip Übt ein Körper auf einen zweiten eine Kraft aus, so übt dieser auf den ersten eine gleich grosse Kraft mit entgegengesetztem Richtungssinn aus. Dieses Gesetz ist uns bereits beim Thema Gravitation begegnet (Skript Klassische Mechanik Teil 1, Kapitel 2.3). Achtung: Unterscheide das Wechselwirkungsprinzip vom Prinzip des Kräftegleichgewichts! Aufgabe 1.2.1 Eine Kugel liegt auf einer Tischplatte. Zeichne die Kraft, die der Tisch auf die Kugel ausübt und die Kraft, die die Kugel auf den Tisch ausübt. Aufgabe 1.2.2 Zeichne die zwischen Erde und Mond wirksamen Gravitationskräfte. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 6 von 45
1.4 Weiterführende Beispiele zum Aktionsprinzip In diesem Kapitel sollen ein paar weiterführende Beispiele von gleichförmig beschleunigten Bewegungen im Zusammenhang mit dem Aktionsprinzip besprochen werden. Der vertikale Wurf Wirft man einen Körper senkrecht nach oben, dann steigt er zunächst - mit abnehmender Geschwindigkeit - um dann im Umkehrpunkt in eine freie Fallbewegung über zu gehen. Die ganze Bewegung bezeichnet man als vertikalen Wurf. Im Skript Klassische Mechanik Teil 2, Kapitel 3.5 wurde schon darauf hingewiesen. Die Gewichtskraft als einzige wirkende Kraft ist stets abwärts gerichtet. Somit zeigt auch die Schwerebeschleunigung in beiden Phasen abwärts - unabhängig von der Richtung der Geschwindigkeit. z z = h Die Aufwärtsphase ist eine gleichförmig beschleunigte Bewegung mit nach oben gerichteter Anfangsgeschwindigkeit v 0. Die "Beschleunigung" wirkt also als Verzögerung. Bei der Abwärtsphase stimmen die Richtungssinne von Beschleunigung und Geschwindigkeit überein. Die Bewegung ist also im eigentlichen Sinne beschleunigt. Bei dieser Problemstellung ist es sinnvoll, die Aufwärtsrichtung als positive Richtung zu wählen. Für die Schwerebeschleunigung muss man deshalb den negativen Wert nehmen, und zwar aufwärts und abwärts: Vektoriell: auf ab z = 0 Komponente: Die abwärts zeigenden Geschwindigkeiten (Phase des freien Falls) sind ebenfalls negativ zu nehmen. Der vertikale Wurf hat einen "symmetrischen Verlauf". Dies kommt auch im v-t-diagramm zum Ausdruck. t S ist die Steigzeit. Die Fallphase dauert gleich lang. v 0 -v 0 v t S 2 t S t Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 7 von 45
Im Folgenden werden drei Aufgaben gestellt, bei denen zwei Körper mit einer Schnur verbunden sind und so ein System bilden. Es entstehen gleichförmig beschleunigte Bewegungen. Aufgabe 1.4.1 Ein reibungsfrei beweglicher Experimentierwagen der Masse m 1 befindet sich auf einer horizontalen Tischplatte. Er ist über eine dünne Schnur, welche über eine reibungsfrei bewegliche, massenlose Umlenkrolle läuft, mit einem Gewicht der Masse m 2 verbunden. Dieses kann sich vertikal bewegen. Es wirkt, wenn man das System sich selbst überlässt, als Zugkraft und bewirkt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung des Systems. Die Zugkraft entspringt allein der Gewichtskraft der Masse m 2 : Diese Zugkraft bringt aber das gesamte System "in Fahrt", wirkt also auf die Gesamtmasse m 1 + m 2. Die beschleunigende Kraft ist also gemäss Aktionsprinzip Da die Zugkraft die beschleunigende Kraft darstellt, gilt F B = F Z : Unter der Annahme, dass die Massen bekannt sind, lässt sich diese Gleichung nach der Beschleunigung a auflösen: Wir rechnen nun noch drei Zahlenbeispiele durch: m 1 / g m 2 / g a / 1 400 100 2 400 400 3 400 1600 Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 8 von 45
Aufgabe 1.4.2 m 1 Umlenkrolle reibungsfrei masselos m 2 Wir betrachten eine ähnliche Situation wie bei der letzten Aufgabe. Allerdings ersetzen wir den Wagen durch einen Klotz, der sich nicht reibungsfrei bewegen kann. Der Gleitreibungskoeffizient sei G. Die Zugkraft, welche wieder durch das Gewicht der Masse m 2 geliefert wird, muss also nicht nur die beschleunigende Kraft aufbringen, sondern auch die Gleitreibungskraft F R überwinden: oder im Detail Aufgelöst nach der Beschleunigung a: Berechne a für den Fall: m 1 = 400 g, m 2 = 200 g, G = 0.4 Gibt es Fälle, bei denen keine Bewegung stattfindet? Aufgabe 1.4.3 Atwood sche Fallmaschine Umlenkrolle reibungsfrei masselos Schnur masselos Wir nehmen an, dass die schwerere Masse links angehängt sei. Dann ist m 1 > m 2. Als Zugkraft wirkt die Differenz der Gewichte. Das beschleunigte System besteht aus beiden Massen. Also ist Daraus folgt: m 1 m 2 Auf diese Weise kann die Schwerebeschleunigung g mit einfachen Mitteln recht präzise gemessen werden. Erkläre das! Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 9 von 45
Zuletzt sollen die beim Liftfahren vorhandenen Kräfte untersucht werden. Es greifen stets zwei Kräfte mit entgegengesetztem Richtungssinn an, nämlich die Gewichtskraft F G und die Zugkraft F Z, welche vom Zugseil auf den Lift ausgeübt wird. Aufgabe 1.4.4 Lift in Aktion Wir beschränken uns auf die Aufwärtsfahrt. Entsprechendes könnte man bei der Abwärtsfahrt überlegen. Wir unterscheiden drei Phasen: Zwischenphase: Startphase - Zwischenphase - Stoppphase Wir beginnen mit dem einfachsten Teil: Es ist die Phase mit konstanter Geschwindigkeit. Es besteht ein Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft und Zugkraft: Diese Phase dauert oft am Längsten. Startphase der Aufwärtsbewegung: In der Startphase muss der Lift aufwärts beschleunigt werden, damit sich eine nach oben gerichtete Geschwindigkeit aufbauen kann. Die Zugkraft muss überwiegen und es besteht kein Kräftegleichgewicht. Die resultierende Kraft erzeugt die Aufwärtsbeschleunigung: F Z ist hier natürlich positiv. Aufgelöst nach F Z gibt: Stoppphase der Aufwärtsbewegung: Ist der Lift oben angekommen, so muss er bis zum Stillstand abgebremst werden. Die "Beschleunigung" muss also abwärts zeigen, d.h. der Geschwindigkeit entgegengesetzt. Die Zugkraft darf hier die Gewichtskraft nicht kompensieren. Es besteht kein Kräftegleichgewicht: Bedeutet a den Betrag der Beschleunigung, so ist -a die Verzögerung: F Z ist hier ebenfalls positiv. Aufgelöst danach gibt: Skizziere die Kräftesituationen für die drei Phasen und führe Rechnungsbeispiele durch mit m = 800 kg und a = 1.2 m/s 2. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 10 von 45
2 Kreisbewegungen 2.1 Die Zentripetalkraft Was illustriert das Bild 1? Aufgrund der Trägheit führt ein bewegter Körper von sich aus eine geradlinige Bewegung aus. Soll er sich auf einer Kreisbahn bewegen, muss er dazu gezwungen werden. Dazu braucht es eine Kraft, die stets zum Zentrum zeigt. Man nennt sie Zentripetalkraft. Sie wird nicht kompensiert, sondern sie erzeugt die Zentripetalbeschleunigung. Beispiele von Zentripetalkräften Rotierender Körper Zentripetalkraft Korkzapfen im Bild oben Eine Person steht auf einem Karussell Auto in einer Kurve Mond auf Kreisbahn um die Erde Elektron im Atom (Bohrsches Atommodell) Das Kraftwirkungsgesetz gilt auch zwischen Zentripetalkraft und Zentripetalbeschleunigung: oder skalar, mit den Ausdrücken für a Z : Aufgabe 2.1.1 Auto ein einer Kurve Ein 1.2 t schwerer PW befährt eine Kurven mit einem Radius von 25 m mit einer Geschwindigkeit von 45 km/h. Berechne die Zentripetalkraft. 1 Bild aus Dorn, Bader, Physik in einem Band, Schroedel 2002 Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 11 von 45
2.2 Gleichförmige Kreisbewegungen Der rotierende Korkzapfen im Kapitel 2.1 bewegt sich vor dem Durchschneiden der Schnur mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit. Solche Bewegungen nennt man gleichförmige Kreisbewegungen. Die Bahngeschwindigkeit hat einen konstanten Betrag (die Geschwindigkeit selber ändert stetig, da sich die Richtung in jedem Moment ändert). Auch bei den andern Beispielen handelt es sich (mehr oder weniger) um gleichförmige Kreisbewegungen. Die Realität ist allerdings oft komplizierter. Nehmen wir als Beispiel das Kurvenfahren eines Autos. Zwar kann sich ein Auto auf einem grossen Platz oder in einem Kreisel mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegen. Die meisten Kurven sind aber nicht kreisförmig gebaut und selbst dann wird oft beim Einfahren gebremst und beim Ausfahren beschleunigt. Eine spezielle Gruppe von ungleichförmigen Kreisbewegungen sind solche auf Kreisen, welche auf einer Vertikalebene liegen. Hier spielt die Gravitation mit hinein. - Davon handeln die folgenden Kapitel. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 12 von 45
2.3 Looping Wir betrachten einen besetzten Wagen einer Achterbahn, der einen vertikalen Kreis durchfährt (Looping). Die Hauptfrage ist natürlich, weshalb der Wagen im höchsten Punkt nicht zu Boden fällt! Erfahrungsgemäss ist dies eine Bewegung, bei der sich der Betrag der Geschwindigkeit stetig ändert: die Geschwindigkeit ist im tiefsten Punkt am grössten, im höchsten Punkt am kleinsten. Nun betrachten wir die Kräftesituation im höchsten Punkt. Die linke Figur zeigt die beiden am Fahrzeug angreifenden Kräfte. ist die Gewichtskraft, ist die Kraft, welche die Schiene auf den Wagen ausübt. Auch diese Kraft ist abwärts gerichtet. Es gibt (von Reibungskräften abgesehen) nur diese beiden Kräfte, welche eine physikalische Ursache haben. Die beiden Kräfte sind offensichtlich nicht im Kräftegleichgewicht. Ihre Resultierende (Bild rechts) wirkt als Zentripetalkraft : Tatsächlich stellt sich die Schienenkraft so ein, dass die Zentripetalkraft zur Bahngeschwindigkeit passt. Da beide ursächlichen Kräfte den gleichen Richtungssinn haben, hat die Gleichung für die Beträge der Kräfte die gleichen Operationszeichen wie bei den Vektoren: Nun aber zur Hauptfrage! Kurz gesagt ist die Trägheit dafür verantwortlich, dass der Wagen im höchsten Punkt nicht herunter fällt. Allerdings greift die Antwort doch etwas zu kurz. Tatsächlich muss die Bahngeschwindigkeit so gross sein, dass die Schiene den Wagen tatsächlich nach unten drücken muss. Andernfalls würde sich ein "horizontaler Wurf" ergeben Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 13 von 45
(Skript Klassische Mechanik Teil 2, S. 26), wobei die Parabel im Scheitelpunkt stärker gekrümmt wäre als der Kreis der Loopingbahn. Aufgabe 2.3.1 Wagen der Achterbahn im höchsten Loopingpunkt Der Wagen samt Passagiere habe eine Masse von 800 kg. Der Radius des vertikalen Kreises betrage 9.0 m. Für die Bahngeschwindigkeit im höchsten Punkt nehmen wir 10 m/s. Die Berechnung muss in der vorgegebenen Reihenfolge ausgeführt werden: Gewichtskraft: Zentripetalkraft: Schienenkraft: Nun betrachten wir noch den tiefsten Punkt. Wieder ist es so, dass die Gewichtskraft und die Schienenkraft sich nicht kompensieren. Ihre Resultierende wirkt ebenfalls als Zentripetalkraft. An der Vektorgleichung ändert sich nichts, wohl aber an der Gleichung der Beträge! In der linken Figur fehlt noch die Schienenkraft, rechts die Zentripetalkraft. Zeichne die Kräfte ein und notiere die Gleichung für die Beträge der Kräfte. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 14 von 45
2.4 Bodenwelle Fährt ein Rennwagen mit hoher Geschwindigkeit über eine lang gezogene Bodenwelle, so besteht die Gefahr, dass der Wagen kurzzeitig abhebt und die Räder den Kontakt mit dem Boden verlieren. Wir wollen annehmen, dass die Bodenwelle einen vertikalen Kreisbogen mit grossem Radius darstellt. Nun betrachten wir die Kräfte im höchsten Punkt unter der zusätzlichen Annahme, dass der Wagen in diesem Punkt die Bahngeschwindigkeit nicht verändert. Im linken Bild sind die beiden ursächlichen Kräfte eingezeichnet, nämlich die Gewichtskraft und die Kraft des Bodens auf den Wagen. Wie beim Looping sind die Kräfte nicht im Gleichgewicht und die Resultierende wirkt als Zentripetalkraft. Beschrifte im linken Bild die beiden Kräfte und zeichne im rechten Bild die Zentripetalkraft ein. Notiere die Beziehung der Kräfte in Vektorform und in Betragsform: Aufgabe 2.4.1 Rennwagen auf dem höchsten Punkt der Bodenwelle Der Rennwagen habe ein Gewicht von 820 kg. Der Radius der Bodenwelle betrage 500 m und die Geschwindigkeit des Rennwagens sei 220 km/h. Berechne die Bodenkraft. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 15 von 45
Aufgabe 2.4.2 Maximale Geschwindigkeit Mit welcher maximalen Geschwindigkeit dürfen die Rennwagen den höchsten Punkt der Bodenwelle überfahren, damit sie dort gerade nicht abheben? Aufgabe 2.4.3 Vergleich Vergleiche das Überfahren einer Bodenwelle mit dem Durchfahren eines Loopings. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 16 von 45
3 Gravitation 3.1 Das Gravitationsgesetz Die Kraft, die zwei Körper gegenseitig aufeinander ausüben, heisst Gravitationskraft. Nach dem Wechselwirkungsgesetz sind die beiden Kräfte entgegengesetzt gleich gross. Newton hat 1666 die Ursache der Planetenbewegungen und ihre Gesetze erkannt und 20 Jahre später eine umfassende Theorie r zur Gravitation ausgearbeitet. Daraus wird deutlich, dass die Planetenbewegungen und der freie Fall eines Körpers auf der Erde dem gleichen Gesetz unterworfen sind, nämlich dem Gravitationsgesetz: Die Gravitationskonstante G kann mithilfe der Gravitationsdrehwaage nach Cavendish (1798) gemessen werden: Eine grosse und eine kleine Bleikugel mit Durchmessern von 6.0 cm und 1.0 cm haben in einem bestimmten Moment einen Abstand von 5.0 cm. Die Gravitationskraft beträgt dann. Sie ist also extrem klein, verglichen zum Beispiel mit den Gewichtskräften von 13 N bzw. 0.06 N. Aufgabe 3.1.1 Gravitationskräfte zwischen Himmelskörpern Berechne die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond: m E = 5.976 10 24 kg, m M = 7.35 10 22 kg, Entfernung Erde-Mond r = 3.84 10 8 m Die Fall- oder Schwerebeschleunigung geht aus dem Gravitationsgesetz hervor. Für einen Körper mit Masse m auf der Erdoberfläche mit M als Erdmasse und R als Erdradius gilt: Aus dem Vergleich erhalten wir: Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 17 von 45
3.2 Bahnen künstlicher Satelliten Die einfachste Bahn eines künstlichen Satelliten ist ein Kreis mit dem Zentrum im Erdmittelpunkt. Die... wirkt als Zentripetalkraft. Daraus erhält man folgende Gleichung: Setzen wir die Terme dieser Kräfte ein, so erhalten wir: Trage in der Liste die Bedeutung der Variablen ein: G =... M =... m =... T =... r =... Wenn man die Formel genauer betrachtet, sieht man, dass m auf beiden Seiten als Faktor vorkommt. Man kann also die Gleichung durch m dividieren. Das bedeutet, dass die Masse des Satelliten keine Rolle spielt. Aufgabe 3.2.1 Meteorologischer Forschungssatellit Der Forschungssatellit Tiros N umrundet die Erde auf einer Bahn in 850 km Höhe. Wie lange dauert ein Umlauf? Die obige Formel muss zunächst nach T aufgelöst werden: Allerdings ist r nicht direkt gegeben, sondern die Höhe h über der Erdoberfläche. Bekannt ist auch der Erdradius R. Also lautet die fertige Formel Berechne die Umlaufzeit T dieses Satelliten: Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 18 von 45
Aufgabe 3.2.2 Geostationäre Satelliten Umkreist ein Satellit die Erde in der Äquatorebene mit einer Umlaufzeit von 24 Stunden, so scheint er von der Erde aus gesehen still zu stehen. Deshalb nennt man solche Satelliten geostationär. In welcher Höhe h über der Erdoberfläche muss sich die Umlaufbahn befinden? Aufgabe 3.2.3 Bahngeschwindigkeit eines geostationären Satelliten Berechne die Bahngeschwindigkeit v unter Zuhilfenahme des Resultates von 3.2.2. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 19 von 45
3.3 Gewicht und Zentripetalkraft am Erdäquator Könnte es sein, dass, wenn die Erde sich ein wenig schneller drehen würden, die Menschen (z.b.) am Äquator wegfliegen würden? Damit ein frei beweglicher Gegenstand auf einer rotierenden Unterlage stehen/liegen bleibt, muss eine Kraft als Zentripetalkraft wirken. Im Falle der sich um sich selbst drehenden Erde ist das die Gravitationskraft, also das Gewicht. Aufgabe 3.3.1 Kräfte am Äquator Berechne die Gewichtskraft F G und die Zentripetalkraft F Z für eine 80 kg schwere Person am Äquator und vergleiche die beiden Kraftvektoren. Man erkennt, dass die Gewichtskraft längstens ausreicht. Nur ein kleiner Anteil der Gewichtskraft wirkt als Zentripetalkraft. Anders wäre die Situation, wenn sich unser Planet sehr schnell drehen würde! Aufgabe 3.3.2 Schnell rotierende Erde Berechne die Rotationsdauer einer Erde, die so schnell rotiert, dass frei bewegliche Gegenstände am Äquator gerade noch nicht wegfliegen würden. Die Ausgangsleichung lautet: Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 20 von 45
3.4 Kreisförmige Bahnen von Planeten und Monden Manche Planeten und Monde haben nahezu kreisförmige Bahnen. Deshalb können wir mit der Formel aus Kapitel 3.2 arbeiten: Hier ist M die Masse des Zentralkörpers und m die Masse des umkreisenden Planeten oder Mondes. Offensichtlich spielt m wieder keine Rolle, man kann sie aus der Gleichung wegdividieren. r ist der Abstand der beiden Himmelskörper, von Mittelpunkt zu Mittelpunkt gerechnet. Aufgabe 3.4.1 Sonne und Erde Berechne die Masse der Sonne, indem du die ungefähren Werte verwendest. und Aufgabe 3.4.2 Erde und Mond Berechne die Entfernung des Mondes von der Erde (Mittelpunkt zu Mittelpunkt). Für die Erdmasse kannst du den ungefähren Wert von nehmen. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 21 von 45
3.5 Die Keplerschen Gesetze 1543 verkündet Nikolaus Kopernikus (1473-1543) das heliozentrische Weltbild. Weshalb wird es so genannt? Wie nennt man das vor Kopernikus anerkannte Weltbild? Worin zeigte sich den Astronomen die Problematik des alten Systems? 1619 veröffentlicht Johannes Kepler (1571 1630) die heute so genannten Keplerschen Gesetze. Er hat sie aus den sehr präzisen astronomischen Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546 1601) hergeleitet. Die Keplerschen Gesetze: 1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen. Im einen der beiden Brennpunkte steht die Sonne. 2. Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten beschreibt in gleichen Zeiten gleich grosse Flächen. 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer grossen Halbachsen: Umlaufzeiten und Bahnradien (3. Keplersches Gesetz): Für kreisförmige Bahnen folgt das 3. Keplersche Gesetz unmittelbar aus der Formel T r 2 3 2 4 GM Für den Beweis bei ausgeprägten Ellipsenformen sind weitere Überlegungen notwendig. Aufgabe 3.5.1: Erde und Mars Berechne die Umlaufszeit des Mars unter folgenden Annahmen:,. Die Ausgangsgleichung lautet: Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 22 von 45
Ellipsenbahn (1. Keplersches Gesetz): Die Ellipse entsteht aus einem Kreis durch eine geometrische Abbildung, welche man Geradenstreckung (Affinität) nennt. Die meisten Planeten unseres Sonnensystems bewegen sich auf Ellipsen, welche nahezu kreisförmig sind. Ausnahmen sind Merkur und Pluto. Andere Himmelskörper bewegen sich auf ausgeprägten Ellipsenbahnen, oder auch offenen Kurven wie Parabel oder Hyperbel. a b Eigenschaften der Ellipse: a = grosse Halbachse b = kleine Halbachse F 1, F 2 = Brennpunkte c numerische Bahnexzentrizität a F 1 a c F 2 Bahn Kreis 0 Erde 0.0167 Pluto 0.2487 Halleyscher Komet 0.967 Parabel 1 Flächensatz (2. Keplersches Gesetz): Z = Zentralgestirn (Sonne) P = Perihel = nächster Punkt A = Aphel = entferntester Punkt Das Gesetz sagt aus, dass in gleichen Zeitabschnitten t von der gedachten Linie vom Himmelskörper zum Zentralgestirn jeweils gleich grosse Flächen überstrichen werden. Das bedeutet natürlich, dass sich die Winkelgeschwindigkeit und auch der Betrag der Bahngeschwindigkeit stets ändern. P Z A 1 b 1 t gleich gross Die Bogenlängen sind nicht massstäblich gezeichnet. A 2 b 2 A Beispiel 3.5.1: Perihel Setze den Ausdruck minimal oder maximal : Im Perihel ist die Bahngeschwindigkeit.... Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 23 von 45
4 Arbeit, Energie, Leistung und Wirkungsgrad 4.1 Die Definition der physikalischen Arbeit Beispiel: Der Flaschenzug s L F L s L F K Kraftgewinn auf Kosten des Weges: 1 F 2 K F L sk 2s L Die eine Grösse wird halbiert, die andere verdoppelt. Deshalb ist das Produkt s F für die Lastseite (L) und die Kraftseite (K) gleich gross: F K s K 1 FL (2sL ) FL sl 2 Weil dieses Produkt so wichtig ist, macht man daraus eine neue Grösse: die physikalische Arbeit. Man definiert: Wird an einem Körper eine Kraft F längs eines Weges s ausgeübt, so wird dabei die physikalische Arbeit W = F s geleistet. Das Symbol W erinnert an den englische Wort work. Die Masseinheit ergibt sich zunächst aus der Rechnung als N m. Weil diese Grösse so wichtig ist, hat man das Joule (James Prescott Joule, 1818-1889) definiert: [W] = 1 N m = 1 J Aufgabe 4.1.1: Heben einer Kiste ohne und mit Flaschenzug s L s L s K Eine Kiste mit einem Gewicht von 200 N muss vom Boden auf ein Regal mit einer Höhe von 1.50 m gehoben werden. a) Wie gross ist die physikalische Arbeit, wenn die Kiste ohne Hilfsmittel aufs Regal gehoben wird? b) Nun wird als Hilfsmittel ein Flaschenzug mit einer losen Rolle verwendet. Berechne zuerst die Zugkraft, die auf das Seil ausgeübt werden muss und die Seillänge, die durch die Hand laufen muss. Berechne daraus die geleistete physikalische Arbeit. c) Vergleiche die Resultate! Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 24 von 45
Das Beispiel "Flaschenzug" zeigt, dass die Arbeit unabhängig davon ist, ob man die Kiste mit oder ohne Flaschenzug hebt! Mechanische Maschinen sind Kraftwandler. Die physikalische Arbeit bleibt dabei unverändert. Das lässt sich auch an anderen Beispielen zeigen, etwa an der schiefen Ebene: Zwar ist es einfacher, ein schweres Fass über eine schiefe Ebene (Rampe) zu transportieren, als es vertikal zu heben. Aber die Arbeit ist in beiden Fällen die gleiche! Aufgabe 4.1.2: Schiefe Ebene kontra Heben Ein Fass mit einem Gewicht von 2.50 kn soll auf eine Höhe von 1.50 m gebracht werden. Berechne zuerst die Arbeit, die beim senkrechten Heben geleistet wird. Berechne dann die Arbeit, die geleistet werden muss, wenn das Fass eine Rampe mit einem Neigungswinkel von 50 hinauf gerollt wird. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 25 von 45
4.2 Wichtige Beispiele zum Thema "physikalischer Arbeit" Aufgabe 4.2.1: Hubarbeit Eine Packung mit 6 gefüllten 1.5 Liter-Petflaschen wird vom Boden auf den 120 cm hohen Tisch gehoben. Wie gross ist die physikalische Arbeit? Allgemein können wir für die Hubarbeit eines Gegenstandes der Masse m die Formel verwenden. Aufgabe 4.2.2: Reibungsarbeit Ein 20 kg schwerer Sack wird mit einer horizontalen Zugkraft eine Strecke von 12 m über einen (horizontalen) Betonboden geschleift. Die Gleitreibungszahl ist 0.8. Berechne die Reibungsarbeit. Es ergeben sich für die Reibungsarbeit mehrere Formeln. Allgemein gilt: Darin ist F N die Normalkraft. Die Formel taugt also auch für die schiefe Ebene. - Im horizontalen Fall, kann man bei gegebener Masse die Formel benutzen. Hier wird anstelle der Gewichtskraft die Masse verwendet. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 26 von 45
Aufgabe 4.2.3: Beschleunigungsarbeit Ein 1200 kg schwerer PW wird mit 3.0 m/s 2 von 0 auf 30 m/s beschleunigt. Wie gross ist die physikalische Arbeit, die der Motor dafür leisten muss? Dieses Problem lösen wir zunächst schrittweise: a) Berechne den zurückgelegten Weg s (zeitfreie Bewegungsgleichung). b) Berechne die beschleunigende Kraft (2. Newtonsches Gesetz). c) Berechne nun die gesuchte Grösse. Eigentlich ist es nicht nötig, wie oben mit Teilschritten vorzugehen, denn: Es gibt also eine kompakte Formel für die Berechnung der Beschleunigungsarbeit: Auffällig ist, dass darin weder der zurückgelegte Weg noch die benötigte Zeit eine Rolle spielen, sondern nur die Masse und die Geschwindigkeit! Aufgabe 4.2.4: Beschleunigungsarbeit mit der Formel berechnen Ein Vierzigtönner fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Wie gross war die zu leistende Beschleunigungsarbeit? - Achte auf die korrekte Verwendung der Masseinheiten! Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 27 von 45
4.3 Ermitteln der Arbeit aus dem Kraft-Weg-Diagramm Beispiel: Hubarbeit 0 h 0.8 m [N] 20 F h h 0.8 [m] Ein volle Petflasche mit m = 1.5 kg Masse wird in einer gleichförmigen Bewegung vom Boden auf einen Tisch der Höhe h = 0.8 m gehoben. Dazu muss die Kraft F H (Hubkraft) zur Überwindung der Gewichtskraft aufgebracht werden. F H = F G = mg. Zeichne die Kräfte in der linken Figur ein. F H ist längs des Weges konstant, nämlich 15 N. Die Arbeit längs des Weges h ist: W F H h Vervollständige das F-h-Diagramm. Dieser Wert entspricht der Fläche unter dem Rechteck im F-h-Diagramm. Merkregel: Die Fläche im Kraft-Weg-Diagramm stellt die geleistete Arbeit dar. Spannungsarbeit einer Feder F x Eine Feder mit der Federkonstante D wird von 0 bis zur Auslenkung x gespannt. Die benötigte Kraft ist gleich der Rückstellkraft. Für beide gilt: F = D x Da die Kraft in diesem Fall nicht konstant ist, kann man die Definitionsgleichung W = F s nicht ohne weiteres übernehmen. Hingegen können wir uns auf das Kraft- Weg-Diagramm abstützen. Die Figur zeigt ein Dreieck: Die Spannungsarbeit einer Feder ist also: Aufgabe 4.3.1: Spannen einer Feder Die Federkonstante einer Feder beträgt. Nun wird sie um 5 cm verlängert. Wie gross ist die Spannungsarbeit? - Beachte, dass man mit N und m rechnen muss! Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 28 von 45
4.4 Arbeit und Energie Beispiel: Akrobatik im Zirkus Ein Artist ersteigt die Leiter. Dann springt er auf die Wippe herab und katapultiert einen zweiten Artisten von der Wippe in die Luft. Der erste Artist hat beim Erklettern der Leiter Hubarbeit geleistet. Diese ist offenbar nicht verloren gegangen, sondern sie wurde zunächst in seinem Körper als Arbeitsvermögen gespeichert, bis sie dann an den zweiten Artisten abgegeben worden ist. Diese Beobachtung führt zur Definition einer neuen physikalischen Grösse: der Energie. Unter Energie versteht man das Arbeitsvermögen eines Körpers. Energie hat demnach die gleiche Masseinheit wie Arbeit, nämlich: [E] = J (Joule) Wir unterscheiden verschiedene Energieformen, u.a.: Energie der Lage (potenzielle Energie): E pot Energie der Bewegung (kinetische Energie): E kin Wärmeenergie Elektrische Energie... Aufgabe 4.4.1: Kletterwand Der 45 kg schwere Max klettert zum höchsten Punkt einer 7.0 m hohen Kletterwand. Wie gross ist nun seine potenzielle Energie? Aufgabe 4.4.2: Schiefe Ebene Ein 100 kg schweres Fass wird über eine 5 m lange Rampe auf eine Höhe von 170 cm gebracht. Wie gross ist die potenzielle Energie des Fasses? Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 29 von 45
Die beiden letzten Beispiele zeigen noch einmal, dass es nicht darauf ankommt, auf was für einem Weg eine Höhendifferenz überwunden wird. Die Hubarbeit und damit die potenzielle Energie ist nur von der Masse und der überwundenen Höhendifferenz abhängig: Es gibt auch andere Arten von potenzieller Energie, z.b. die Spannungsenergie einer Feder. Damit ein Körper mit einer Geschwindigkeit v bewegt sein kann, muss er grundsätzlich vom Stillstand aus auf v beschleunigt worden sein. Die kinetische Energie ist deshalb gleich gross wie die zur Beschleunigung geleistete Arbeit, also Es gibt auch andere Arten von kinetischer Energie, z.b. die Energie bei Rotation um die eigene Achse. Aufgabe 4.4.3: Lastwagen Ein 40 t-lastwagen hat eine kinetische Energie von 8.0 MJ. Berechne seine Geschwindigkeit. Aufgabe 4.4.4: Crashtest Die kinetische Energie wird oft auf sehr zerstörerische Art und Weise abgebaut. 2 Ein 1200 kg schweres Auto fährt mit 100 km/h in eine Wand. Wie gross ist die kinetische Energie, die dabei vernichtet wird? Aus welcher Höhe müsste man das Auto abstürzen lassen, damit es vor dem Aufprall die gleich grosse kinetische Energie hätte? 2 Bild aus: Jupe et al., Mechanik Thermodynamik, Kursthemen Physik, Diesterweg, 1995 Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 30 von 45
4.5 Der Energieerhaltungssatz der Mechanik Ein Wägelchen bewegt sich reibungsfrei auf einer anfänglich horizontalen Bahn. Dann gelangt es auf eine Erhebung. Auf der andern Seite geht die Fahrt wieder abwärts. Auf dem ursprünglichen Niveau wird die Bahn horizontal. h Es stellen sich zunächst zwei praktische Fragen: 1. Wie verändert sich die Geschwindigkeit im Verlaufe der Fahrt? 2. Kommt das Wägelchen in jedem Fall "über den Berg"? Die ungefähren Antworten kennen wir aus Erfahrung. Aber wie verhält es sich genau? Dies lässt sich mit dem Energieerhaltungssatz der Mechanik beantworten. Darin geht es um die Umformung von einer Energieform in eine andere: In einem abgeschlossenen, reibungsfreien mechanischen System ist die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie stets gleich gross. Dies wollen wir zunächst anhand einfacher Rechnungen nachvollziehen: Beispiel Das Wägelchen habe eine Masse von 0.40 kg. Die Geschwindigkeit sei zunächst v 0 = 1.6 m/s. Die kinetische Energie ist Da das Wägelchen hier noch keine potenzielle Energie gewonnen hat, ist die auch schon die gesamte Energie E total. Nach Überwinden der Höhendifferenz h = 0.12 m ist die potenzielle Energie Demnach bleibt für die kinetische Energie im höchsten Punkt noch Die Geschwindigkeit beträgt dann nur noch Am Ende der Bahn hat das Wägelchen aufgrund des Energieerhaltungssatzes wieder die ursprüngliche Geschwindigkeit: v 2 = v 0 = 1.6 m/s. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 31 von 45
Aufgabe 4.5.1: Grenzhöhe der "Barriere" Bleiben wir noch beim Wägelchen von vorher. Bei welcher Höhendifferenz h Grenze kommt das Wägelchen gerade noch / gerade nicht mehr auf die andere Seite? Am Beispiel des freien Falls wollen wir sehen, dass der Energieerhaltungssatz ganz in unsere bisherige Theorie passt: Durchfällt ein Ball ohne Luftwiderstand die Höhe h, so hat er unten die Geschwindigkeit Das ist ja nichts anderes als die zeitfreie Bewegungsgleichung für den freien Fall. Jetzt kommt ein bisschen "algebraische Akrobatik": Diesen einfachen Fall konnten wir also schon ohne Energieerhaltungssatz lösen. Bei vielen anderen Problemstellungen ist er allerdings äusserst hilfreich - und deshalb in der Physik auch sehr beliebt. Aufgabe 4.5.2: Fadenpendel Der Pendelkörper eines Fadenpendels wird so ausgelenkt, dass er 10 cm an Höhe gewinnt. Nun wird das Pendel losgelassen. Wie gross ist die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt? - Löse die Aufgabe mit dem Energieerhaltungssatz. h Aufgabe 4.5.3: Looping Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Wagen in einen Looping mit einem Radius von 8.0 m mindestens einfahren, damit er im höchsten Punkt nicht herunterfällt? Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 32 von 45
Aufgabe 4.5.4: Schiefe Bahnen Wir betrachten eine Laboranordnung, bei der mehrere schiefe Bahnen von einem erhöhten Punkt aus reibungsfrei auf den Boden gleiten. Was lässt sich über die Geschwindigkeit beim Erreichen des Bodens sagen? Kommen alle Körper gleichzeitig unten an? (Beachte, dass die zweite Frage nicht mit dem Energiesatz beantwortet werden kann!) Weiterführende Aufgabe 4.5.5: Gleiten und Rollen Nun experimentieren wir mit einer einzigen schiefen Ebene, die aber genügend breit ist. Wir lassen gleichzeitig einen Klotz reibungsfrei abwärts gleiten und eine Kugel abwärts rollen. - Nur soviel sei verraten: Die beiden Körper kommen nicht gleichzeitig unten an! Die Erklärung liefert der Energieerhaltungssatz. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 33 von 45
4.6 Die Leistung Beispiel: Beschleunigung eines Personenwagens und eines Sportwagens Wir vergleichen die Beschleunigungsarbeit für beide Fahrzeuge: Personenwagen m = 800 kg beschleunigt in 20 s von 0 auf 108 km/h W Beschl = 360 kj Sportwagen m = 800 kg beschleunigt in 10 s von 0 auf 108 km/h W Beschl = 360 kj Obwohl die Beschleunigungsarbeit in beiden Fällen gleich gross ist, braucht der Sportwagen einen stärkeren Motor. Was ist der Grund dafür? Es ist zweckmässig, eine physikalische Grösse einzuführen, die diesem Phänomen Rechnung trägt: die physikalische Leistung. Sie ist das Verhältnis von Arbeit/Energie zu Zeit. Für die Leistung wird eine eigene Masseinheit eingeführt, das Watt (James Watt, 1736-1819): Andere Formen der Leistungsformel sind: Aufgabe 4.6.1: Personenwagen und Sportwagen Berechne die Leistung für die obigen Situationen. Aufgabe 4.6.2: Bergsteigen Für 300 m Höhendifferenz rechnet man eine Aufstiegszeit von 1 Stunde. Welche physikalische Leistung erbringt eine 72 kg schwere Person? Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 34 von 45
In der Praxis wird der Energieverbrauch oft mit der Masseinheit kwh (Kilowattstunden) angegeben, obwohl diese Masseinheit nicht SI-konform ist. Sie ist aus der Masseinheit Watt für die Leistung abgeleitet und hat durchaus ihre bequemen Seiten! Ein Bügeleisen mit einer elektrischen Leistung von 1 kw sei während 1 h in Betrieb. Dann bezieht es eine Energie von Der Bezug zur SI-konformen Energiemasseinheit Joule geschieht nach den üblichen Regeln für das Rechnen mit Masseinheiten: 1 kwh = 1 kw 1 h = 10 3 W 3600 s = 3.6 10 6 Ws = 3.6 10 6 J = 3.6 MJ Man muss also ein wenig aufpassen, dass man keine Verwechslung macht: Energie / Arbeit Leistung Formel E = P t P = E/t SI-Masseinheit J (Joule) W (Watt) Umrechnung 1 J = 1 W 1 s = 1 Ws 1 W = 1 J / 1 s = 1 J/s nicht SI-konforme Einheit kwh 1 kwh = 3.6 MJ Beispiel 4.6.3: Elektromotor Ein Elektromotor leistet 1.5 kw. Welche Energiemenge verbraucht er während 24 Stunden? Löse die Aufgabe zweimal, nämlich sowohl für das Schlussresultat in MJ als auch für das Schlussresultat in kwh. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 35 von 45
4.7 Der Wirkungsgrad Betreibt man eine Maschine, indem man ihr Energie zuführt, so kann nur ein Teil der aufgenommenen Energie als Nutzenergie verbraucht werden, der andere Teil geht in Wärme über. Unter dem Wirkungsgrad versteht man das Verhältnis der von der Maschine abgegebenen Nutzenergie zur aufgenommenen Energie. wird oft in % ausgedrückt. Anstelle der Energiemengen kann man auch die Leistungen einsetzen: Aufgabe 4.7.1: Benzinmotor Benzinmotoren haben typischerweise einen Wirkungsgrad von etwa 25 %. Ein 1000 kg schweres Auto wird von 0 auf 108 km/h beschleunigt. Wie viel Energie muss der Motor aufnehmen? Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 36 von 45
5 Impuls und Impulserhaltungssatz 5.1 Der Impuls eines bewegten Körpers Beispiel: Billard vor dem Stoss Stoss nach dem Stoss Stösst eine Billardkugel zentral auf eine zweite, ruhende, so kann man etwas zunächst unerwartetes beobachten. Was sagt die Skizze aus? Wir können dieses Phänomen im Moment noch nicht verstehen. Wir müssen nämlich vorerst eine neue physikalische Grösse einführen: dem Impuls p. Sie wird generell bei Stossproblemen verwendet. Der Impuls ist eine gerichtete Grösse, also ein Vektor, wie die Geschwindigkeit auch. - Sein seine Komponenten (oder sein Betrag) sind natürlich mit einer Masseinheit behaftet: Meist nimmt man aber eine andere Darstellung der Masseinheit: Aufgabe 5.1.1: Einsetzbeispiele a) Eine 70 kg schwere Person rennt mit 8.0 m/s. Berechne den Impuls. b) Eine 50 g schwere Kugel bewegt sich mit 3 m/s. Wie gross ist der Impuls? Der Impuls ist wie die Geschwindigkeit ein Vektor. Spielt sich alles auf einer Geraden ab, so können wir mit Komponenten arbeiten. Mit p ist dann nicht der Betrag, sondern eine Komponente gemeint. Sie hat ein Vorzeichen. m 1 m 2 m 1 = 3.0 kg v 1 = 2.5 m/s p 1 = m 2 = 1.5 kg v 2 = -4.0 m/s p 2 = Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 37 von 45
5.2 Der Impulserhaltungssatz Wir betrachten nun zwei oder mehrere Körper, auf die keine äusseren Kräfte wirken. Äussere Kräfte wären hier die Schwerkraft, Reibungskräfte mit der Unterlage, elektrische Kräfte, usw. Ein solches System nennen wir ein abgeschlossenes System. Man kann nun den Gesamtimpuls eines Systems zu einer beliebigen Zeit bestimmen: Der Gesamtimpuls ist die vektorielle Summe der Impulse aller Körper. Bewegen sich alle Körper auf der gleichen Geraden, so kann man auch mit den Komponenten arbeiten. Sind es z.b. nur zwei Körper, so ist der Gesamtimpuls Aufgabe 5.2.1: Einsetzbeispiel Berechne am Beispiel mit den zwei Kugeln (Seite 37) den Gesamtimpuls. Vergleicht man den Gesamtimpuls vor und nach einem Stoss, so merkt man, dass er sich nicht verändert hat. Die Erfahrung zeigt also: In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls konstant. Der Impulserhaltungssatz ist bei der Lösung von Stossproblemen unerlässlich. Der Energieerhaltungssatz gilt aber nicht in allen Fällen! Das wird in den beiden folgenden Kapiteln erklärt. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 38 von 45
5.3 Der vollkommen elastische Stoss Bei einem Stoss deformieren sich die Stosspartner kurzzeitig. Geschieht die Bildung und Rückbildung der Deformationen vollständig und ohne Energieverlust (d.h. ohne innere Reibung), dann spricht man von einem vollkommen elastischen Stoss. Dies ist beim Stoss von Billardoder Stahlkugeln recht gut erfüllt. Betrachten wir noch einmal das Einführungsbeispiel von Kapitel 5.1.: Eine Billardkugel stösst zentral mit einer zweiten, ruhenden zusammen. Das Ende der Geschichte, nämlich, dass die erste stehen bleibt und die zweite sich mit der Anfangsgeschwindigkeit der ersten weiter bewegt, ist im Einklang mit dem Impulserhaltungssatz: der Gesamtimpuls hat sich nicht verändert. Allerdings ist aus diesem allein nicht ersichtlich, dass die erste Kugel nach dem Stoss in Ruhe bleibt. Denkbar wären auch andere Lösungen, z.b. dass beide Kugeln nachher die gleiche Geschwindigkeit (etwas kleiner als die Anfangsgeschwindigkeit) hätten. Um dieses Problem ganz zu lösen müsste man noch den Energieerhaltungssatz anwenden. Das ist aber mathematisch anspruchsvoll und wird auf dieser Stufe nicht verlangt. Ersatzweise wird hier ein vollständig durchgerechnetes Beispiel präsentiert. Allerdings nicht mit Billardkugeln, sondern solchen mit verschiedenen Massen: Grösse Einheit Körper 1 Körper 2 Total m kg 1.00 2.00 - v (= Geschw. vor) m/s 1.50-1.00 - w (= Geschw. nach) m/s -1.83 0.67 - E kin,vor J 1.13 1.00 2.13 E kin,nach J 1.68 0.45 2.13 p vor Ns 1.50-2.00-0.50 p nach Ns -1.83 1.34-0.50 Beim Billard sind die Stösse meistens nicht zentral. Deshalb sind nach dem Stoss beide Kugeln in Bewegung. Eine genaue Beobachtung zeigt allerdings, dass die Bahnen nach dem Stoss einen rechten Winkel bilden, was sich natürlich auch berechnen lässt. Gute Spieler wissen das zu nutzen! (Das ist ja übrigens nicht alles, denn auch die Eigenrotation der gespielten Kugel hat einen wichtigen Einfluss.) Aufgabe 5.3.1: Ohne Anfangsgeschwindigkeit kein Stoss und Gesamtimpuls null 1 2 Zwischen zwei Wägelchen ist eine Feder (Doppelpfeil im Bild) zusammen gepresst. Zuerst verhindert ein Faden (einfache Strecke im Bild), dass die Feder die Wägelchen auseinander treibt. Nun wird der Faden mit einem Feuerzeug durchgebrannt... Die Massen sind m 1 = 3.0 kg, m 2 = 5.0 kg. Es wurde nur w 2 gemessen: w 2 = 1.2 m/s. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 39 von 45
5.4 Inelastische Stösse Bei inelastischen Stössen ist der Energieerhaltungssatz nicht erfüllt, weil Energie z.b. durch innere Reibung verloren geht. Aber: Der Impulserhaltungssatz ist auch bei inelastischen Stössen erfüllt. Aufgabe 5.4.1: Automatische Kupplung einer Strassenbahn Ein Strassenbahnwagen von 4.5 t Masse fährt mit 2.0 m/s gegen einen ruhenden Wagen von 2.5 t Masse. Die automatische Kupplung klinkt sofort ein. Mit welcher Geschwindigkeit fahren die beiden Wagen weiter und wie gross ist der prozentuale Energieverlust? Massen: Geschwindigkeiten vor dem Stoss: Geschwindigkeit nach dem Stoss: w =? m 1 = 4500 kg, m 2 = 2500 kg v 1 = 2 m/s, v 2 = 0 m/s Impulserhaltungssatz: m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )w Aufgelöst nach w: m1v w m 1 1 m2v m 2 2 Gesamtenergie vor dem Stoss: Kinetische Energie nach dem Stoss: Energieverlust: E E kin,vor kin,nach 1 m1v 2 2 1 1 (m 2 1 E E kin E,vor 1 m2v 2 m 2 kin, nach ) w 2 2 2 Prozentualer Energieverlust: E E kin,vor 100% Aufgabe 5.4.2: Messung der Geschwindigkeit eines Projektils Dazu schiesst man das Projektil in einen Holzklotz, der als Pendel an einem Stahldraht hängt. Der Klotz und das steckengebliebene Projektil werden zu einer Auslenkung gezwungen. Aus ihrer Höhe schliesst man auf die anfängliche Projektilgeschwindigkeit. h Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 40 von 45
Anhang A: Änderung des Bewegungszustandes Unter dem Begriff "Änderung des Bewegungszustandes" versteht man eine Änderung des Geschwindigkeitsvektors. Dies kann bedeuten, dass die Richtung und der Richtungssinn der Geschwindigkeit gleich bleiben, aber der Betrag zu- oder abnimmt, (geradlinige Bewegung) oder dass die Richtung stets ändert, aber der Betrag gleich bleibt (krummlinige Bewegung, z.b. Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag), oder dass alle Vektoreigenschaften des Geschwindigkeitsvektors sich verändern. Damit sich der Geschwindigkeitsvektor ändern kann, wird eine Beschleunigung (ein Beschleunigungsvektor) benötigt. Diesen Zusammenhang kennen wir aus dem Skript Klassische Mechanik Teil 2. Bei Kräftegleichgewicht ändert der Bewegungszustand des Körpers nicht. Umgekehrt gilt: Damit der Bewegungszustand eines Körpers ändert, wird eine Kraft benötigt. Das ist der Inhalt des Kapitels 1.2 in diesem Skript. Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 41 von 45
Anhang B: Inertialsysteme Versuch: Eine frei bewegliche Kugel in einem Eisenbahnwagen Ein Eisenbahnwagen sei zu Versuchszwecken umgebaut worden: Er ist fensterlos und hat einen glatten, horizontalen Boden. An der Decke hängt in der Mitte eine Videokamera. Das Wageninnere ist beleuchtet. Der Film zeigt später: Ein Experimentator setzt eine Kugel in der Mitte auf den Boden. Eine Zeit lang bleibt die Kugel in Ruhe (1. Phase). Dann, in der 2. Phase, beginnt sie plötzlich, sich seitlich weg zu bewegen (die Bahn ist gekrümmt, mehr brauchen wir nicht zu wissen). Interpretation: In der 1. Phase verhält sich alles wie gewohnt: Gemäss Trägheitsgesetz bleibt die Kugel in Ruhe liegen. In der 2. Phase ist das Trägheitsgesetz offenbar nicht mehr erfüllt, denn die Kugel beginnt ohne Grund eine Bewegung. Wird das Experiment auch von aussen gefilmt, so wird erkennbar, dass die 2. Phase durch eine Kurve ausgelöst wird (wir nehmen an, dass der Wagen horizontal bleibt). In Bezug auf die Aussenwelt ist das Trägheitsgesetz auch in der 2. Phase erfüllt. Definition Gilt in einem Bezugssystem das Trägheitsgesetz, so heisst es Inertialsystem. Offenbar sind rotierende oder beschleunigte Bezugssysteme (z.b. der Eisenbahnwagen im oben beschriebenen Versuch) keine Inertialsysteme. Ist die Erde ein Inertialsystem? Pendelversuch von Foucault Im Jahre 1851 führte Léon Foucault (1819 1868) auf ausdrücklichen Wunsch von Louis Napoleon Bonaparte (Präsident der Republik, später Kaiser Napoleon III.) den berühmten Pendelversuch im Pantheon in Paris vor. Ein 67 m langes, 28 kg schweres Pendel wird ausgelenkt und losgelassen. Die Schwingungsdauer beträgt etwa 16 Sekunden. Zuerst hat man den Eindruck, dass das Pendel einfach hin und her schwingt. Bei längerem Beobachten stellt man fest, dass sich die Schwingungsebene stets nach rechts dreht (genauer: das Pendel beschreibt eine Rosette). Nach 32 Stunden hat eine vollständige Umdrehung stattgefunden. Dies beweist: Streng genommen ist die Erde kein Inertialsystem. Diese Tatsache ist zum Beispiel beim Wetter wichtig. Deshalb drehen die Winde um ein Gebiet mit tiefem Druck (ohne Erdrotation würde die Luft aus allen Richtungen direkt ins Tiefdruckzentrum strömen). In vielen Fällen können wir aber die Erde näherungsweise als Inertialsystem betrachten (zum Beispiel beim freien Fall im Labor). Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 42 von 45
Anhang C: Das Prinzip von d'alembert Anfahren im Auto Beim Anfahren hat man das Gefühl, man werde in den Sitz gedrückt. Man spürt bei der Beschleunigung die Wirkung der Trägheit. Bei jeder Beschleunigung (z.b. auch bei der Zentripetalbeschleunigung) erleidet das Objekt eine Kraft als Folge der Trägheit. Man nennt diese Kraft Trägheitskraft oder Scheinkraft. Sie ist eine Reaktionskraft, hat keine äussere Ursache und ist ihrer Ursache entgegengesetzt. Beschleunigung auf der Luftkissenbahn F T Eine andere Betrachtungsweise Eine konstante Zugkraft F Z wird (zur Kontrolle) über einen Kraftmesser ausgeübt. Die Zugkraft ruft nach dem Kraftwirkungsprinzip F Z m a eine Beschleunigung a hervor. Aufgrund dieser Beschleunigung a bildet sich eine Trägheitskraft F T. Für sie gilt wieder nach dem Kraftwirkungsgesetz: m a Eine Kraft F und die durch die Beschleunigung hervorgerufene Trägheitskraft F T stehen in einem so genannten dynamischen Kräftegleichgewicht: F FT 0 oder F = F T. Berücksichtigt man auch dynamische Kräftegleichgewichte, so führt das zu folgender Aussage: Prinzip von d Alembert Berücksichtigt man Trägheitskräfte, so ist ein Körper jederzeit im Kräftegleichgewicht. Das Prinzip von d Alembert ist in manchen Fällen sehr nützlich. Rotation F Z Bei der Rotation verspürt der rotierte Beobachter eine nach aussen gerichtete Kraft: die Zentrifugalkraft. Es ist aber eine Trägheits- oder Scheinkraft. Von aussen her betrachtet gibt es diese Kraft nicht. Arbeitet man mit dem Prinzip von d'alembert, so benötigt man die Zentrifugalkraft. - Man kann aber alle Probleme in der uns vertrauten Art (Beobachtung von aussen) lösen, indem man mit dem Kräfteungleichgewicht arbeitet. Wettersysteme Verläuft eine Bewegung auf einem rotierten System radial, so tritt eine weitere Trägheitskraft auf: die Corioliskraft. Sie ist dafür verantwortlich, dass bei Tief- oder Hochdrucksystemen die Luftmassen um die Zentren rotieren, und nicht etwa ins Zentrum oder vom Zentrum weg fliessen, wie man zunächst annehmen könnte. F T Mechanik Teil 3 Version 06.02.13 W. Braun Seite 43 von 45