Beugung und Interferenz

Beugung und Interferenz PH / Gl Als Beugung bezeichnet man das Phänomen, dass ein Lichtbündel z.b. beim Durchgang durch einen (engen) Spalt teilweise aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt wird und in den geometrischen Schattenraum hinter der Öffnung eindringt. Dies ist im Rahmen der Strahlenoptik natürlich völlig unerklärlich, und kann nur mit Hilfe des Wellenmodells des Lichts verstanden werden. Wir werden zeigen, dass die Beugung sich als Interferenzerscheinung erklären lässt. Du kannst die Beugung ganz leicht selbst beobachten. Betrachte eine möglichst punktförmige Lichtquelle wie z.b. eine Standby-LED oder eine weit entfernte Kerze (beides im Dunkeln), oder noch besser einen Sonnenreflex z.b. auf einem Autodach. Kneife dann die Augen ganz eng zusammen. Siehst du, wie der Lichtpunkt plötzlich verschwimmt und viel breiter wird? Deine Wimpern (und Lider) wirken hierbei als Beugungsgitter. Bei genauerer Betrachtung wirst du sogar abwechselnd helle und dunkle Streifen erkennen: Interferenzmaxima und -minima! Einen noch eindrucksvolleren Effekt siehst du, wenn du durch einen sehr engmaschigen Stoff (Gardine, Nylonstrumpf, etc.) bei Nacht eine weit entfernte Laterne oder ein Autorücklicht anschaust. Hierbei wird der Lichtfleck sogar zweidimensional verzerrt. 1. Das Huygens sche Prinzip in der Wellenoptik Um das Aussehen der Wasseroberfläche hinter einem Doppelspalt in der Wellenwanne zu erklären, war das Huygens sche Prinzip äußerst hilfreich. Zudem ist es hier auch sehr anschaulich, da ja die Wasserteilchen in den Spalten tatsächlich schwingen und dabei (Elementar-) Wellen aussenden. Wie ist das aber nun in der Optik? Sind hier vielleicht die Luftmoleküle in den Spalten die Zentren der Lichtwellen? Dann wäre es jedenfalls ziemlich unerklärlich, dass auch im Vakuum Interferenzmuster hinter einem Doppelspalt entstehen. Hören wir, was der Nobelpreisträger Melvin Schwartz dazu zu sagen hat: We are all qualitatively familiar with the fact that a plane wave of light passing through a small hole in a wall exhibits a remarkable interference pattern on the far side. This pattern is generally explained in terms of the so-called Huygens principle, which tells us to consider each point on a wavefront as a new source of radiation and add the radiation from all of the new sources together. Physically this makes no sense at all. Light does not emit light; only accelerated charges emit light. Thus we will begin by throwing out Huygens principle completely; later we will see that it actually does give the right answer for the wrong reasons. (Aus: Principles of Electrodynamics ; einem Juwel der Physik-Literatur, aber kein easy reading.) Tatsächlich regt das Licht die Elektronen der Atome in der Blende vor allem an den Rändern der Spalte zu erzwungenen Schwingungen an, wodurch diese zu neuen Lichtquellen werden. Da uns leider komplett die nötige Mathematik fehlt, um die Beugung auf diese Weise richtig zu behandeln (mit der sogenannten Fresnel-Kirchhoff-Integralformel), müssen wir uns auf das Ende des Zitats berufen. Man kann die Huygens-Konstruktion nämlich folgendermaßen für die Optik retten: Man verschließt in Gedanken den Spalt durch einen Stöpsel aus dem selben Material wie die Blende, und bestimmt das vom Stöpsel emittierte Lichtwellenfeld. Es stellt sich heraus, dass dieses (bis auf das Vorzeichen) genau dem gesuchten Interferenzfeld hinter der Blende entspricht. Den Stöpsel betrachtet man dabei als Schicht, die aus nur einer Lage regelmäßig angeordneter Oszillatoren besteht, die in Phase schwingen. Diese senden Elementar-Lichtwellen aus, die wir dann wie gewohnt überlagern. Diese Stöpselnäherung erweist sich als gut, wenn man sich weit genug von der Blendenöffnung entfernt befindet, und die Blende viele Wellenlängen breit ist (was bei uns immer der Fall ist). In der Nähe der 1

Öffnung ist die Näherung schlecht; dort ist allerdings das Feldmuster meist auch sehr kompliziert, und nur für wenige Öffnungstypen bisher exakt gelöst. Außerdem macht diese Näherung keinerlei Aussage über die an der Blende reflektierte Rückwärtsstrahlung, da Phasen- und Amplitudenänderungen zwischen Vorder- und Hinterfläche des Stöpsels vernachlässigt werden; diese hängen außerdem noch davon ab, ob die Blende glänzend oder schwarz ist. Tja, die Realität ist oft eben sehr kompliziert; trotzdem werden wir mit dieser physikalisch unsinnigen aber rechnerisch hilfreichen Abwandlung des Huygens schen Prinzips einen Intensitätsverlauf für Spalt und Gitter erhalten, der verblüffend gut mit dem Experiment übereinstimmt!. Beugung am Einzelspalt Ein kohärentes, paralleles Lichtbündel, z.b. von einem Laser, beleuchte in x -Richtung einen Spalt der Breite b. Nach dem erweiterten Huygens-Prinzip denken wir uns den Spalt als Huygens- Stöpsel, der aus n Oszillatoren im Abstand g voneinander besteht. Das elektrische Feld der einfallenden ebenen Lichtwelle regt diese zu erzwungenen Schwingungen an, so dass sie selbst zu phasengleichen Strahlungszentren werden, die in der Papierebene halbkreisförmige Elementarwellen nach rechts aussenden. (Man denke sich die Oszillatoren als Dipole, die in x 1 -Richtung senkrecht zum Papier schwingen und erinnere sich an deren Abstrahlungsverhalten.) Wir fragen uns nun, wie groß die Intensität in einem Punkt P ist, der nicht in der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung des Lichtbündels liegt, sondern unter einem Winkel φ dazu. Wie immer sei P dabei so weit entfernt (oder es befinde sich eine Sammellinse hinter dem Spalt), dass wir die Fraunhofer-Näherung anwenden können, d.h. wir gehen von parallelen Wellenstrahlen aus. Um die Gesamtamplitude des in P ankommenden elektrischen Feldes zu bestimmen, bedienen wir uns der guten alten Zeigerdarstellung. Die vom k-ten Oszillator in P erzeugte elektrische Feldstärke wird durch einen rotierenden Zeiger, d.h. eine komplexe Zahl der Gestalt z k = Ê e i (ωt+ϕ k) beschrieben. Ihr Realteil, Re z k = Ê cos(ωt+ϕ k), gibt dabei die k-te Feldstärke in P wieder. Alle Zeiger haben denselben Betrag z k = Ê, welcher der Amplitude des von Teilchen k ausgehenden E-Feldes entspricht (von einer Abnahme der Amplitude mit der Entfernung wird vereinfachend abgesehen), und sie rotieren mit ω = πf. Der Winkel ϕ k beschreibt die Phasenverschiebung der Zeiger untereinander, die hier durch die unterschiedlich langen Wege zu P entsteht. Der Gangunterschied zweier benachbarter Teilwellen ist δ = g sin φ (siehe Bild), was zu einem Phasenunterschied von ϕ = π λ δ = π λ g sin φ

in P führt. Setzen wir die Phase der ersten Teilwelle ϕ 1 = 0, dann ist z 1 = Ê e i ωt, z = Ê e i (ωt+ ϕ), z 3 = Ê e i (ωt+ ϕ),..., z n = Ê e i (ωt+(n 1) ϕ). Um den resultierenden Zeiger in P zu erhalten, muss man lediglich die Summe dieser n komplexen Zahlen bilden. (Erinnere: Die Addition komplexer Zahlen entspricht geometrisch der Parallelogrammregel der Vektoraddition). z res = z 1 + z + z 3 +... + z n = (e Ê i ωt + e i (ωt+ ϕ) + e i (ωt+ ϕ) +... + e i (ωt+(n 1) ϕ)) ( = Ê e i ωt 1 + e i ϕ + e i ϕ +... + e i (n 1) ϕ) = Ê e i ωt ( 1 + e i ϕ + (e i ϕ ) +... + (e i ϕ ) n 1) Um die Summe in der Klammer zu vereinfachen, wenden wir die geometrische Reihe an, welche besagt, dass für jedes z 1 1 + z + z +... + z n 1 = zn 1 z 1 gilt. Beweisen kann man dies ganz leicht durch Multiplikation mit z 1 und Ausrechnen der dabei entstehenden linken Seite (Übung). Mit z = e i ϕ folgt 1 + e i ϕ + (e i ϕ ) +... + (e i ϕ ) n 1 = (e i ϕ ) n 1 e i ϕ 1 = e i n ϕ 1 e i ϕ 1 = e i n ϕ (e i n ϕ e i n ϕ) e i ϕ ) = e (e i n 1 i ϕ e i ϕ ϕ sin( n ϕ) ), wobei im letzten Schritt e i x e i x = i sin x eingeht, und das i gekürzt wurde. Auf den miesen Trick mit dem Ausklammern muss man natürlich erst mal kommen, ansonsten erkennt man die Sinus-Ausdrücke nicht. Insgesamt gilt also für den Summenzeiger z res = Ê e i ωt e i n 1 ϕ sin( n ϕ) ) = Ê ew sin( n ϕ) ), wobei zur Abkürzung w = i (ωt + n 1 ϕ) gesetzt wurde. Uns interessiert allerdings nicht z res selbst, sondern nur sein Betrag(squadrat), da wir die Intensität in P bestimmen wollen. Es ist Êres = z res = z res z res = Ê sin( n ew ϕ) ) Ê sin( n e w ϕ) ) = sin n ( Ê ϕ) sin ( ϕ ), denn e w e w = e 0 = 1. Aus der Theorie der elektromagnetischen Wellen wissen wir, dass für die Intensität I (oder mittlere Bestrahlungsstärke) gilt I = c ε 0 Ê res. Wir setzen obiges Ergebnis gepaart mit ϕ = π λ g sin φ ein; zudem fassen wir die irrelevanten Konstanten c ε 0 Ê zu I 0 zusammen (uns interessiert nur der qualitative Verlauf der Intensität), und erhalten sin (nπ g λ I(φ) = I 0 sin (π g. λ 3

Sieht komisch aus, is aber so. Rechts ist der Intensitätsverlauf für n = 00 Streuzentren im Abstand von g = λ dargestellt. Für rotes Laserlicht z.b. wären dies ca. 0,3 µm, und der gesamte Spalt wäre ca. b = 63 µm breit. Beachte: Obwohl jeder der n Oszillatoren halbkreisförmige Wellen aussendet (φ [ π; π]), führt deren Interferenz dazu, dass die resultierende Welle im wesentlichen geradeaus weiterläuft! Für Beugungswinkel φ über 1 sinkt die Intensität rapide ab. Diese Kurve entspricht allerdings noch nicht dem beobachteten Intensitätsverlauf beim Einzelspalt. Tatsächlich muss man den Grenzübergang zu unendlich vielen Oszillatoren vollziehen, d.h. die Anzahl der interferierenden Strahlen beliebig erhöhen, um das korrekte Ergebnis für den Spalt zu erhalten! Lassen wir also n gehen, und damit gleichzeitig g = b n 0 (tatsächlich ist (n 1)g = b, aber für große n ist (n 1)g ng). Weil mit g = b n auch π g λ sin φ beliebig klein wird, darf im Nenner der Intensitätsformel die Näherung sin(x) x angewendet werden: sin (nπ g λ I(φ) = I 0 sin (π g λ I sin (π b λ 0 ( π b nλ = sin (π b n λ I 0 ( π b λ. Dabei geht n I 0 gegen I max, die Intensität des Spalt-Hauptmaximums 1. Insgesamt gilt für den Intensitätsverlauf beim Einzelspalt der Breite b: sin (x) I(φ) = I max x mit x = π b λ sin φ. In der folgenden Grafik ist der Verlauf einiger Intensitätskurven für verschiedene Spaltbreiten in Abhängigkeit von der Wellenlänge λ des verwendeten Lichts dargestellt. (Die einfallende Intensität wird dabei so variiert, dass alle Kurven dasselbe I max aufweisen.) Es gibt im Wesentlichen drei Fälle. Ist die Spaltbreite b sehr viel größer als die Wellenlänge λ (graue Kurve mit b = 50λ), so wird die Beugungskurve sehr schmal, und das Licht geht fast ungebeugt geradeaus durch den Spalt (Grenzfall der Strahlenoptik). 1 Auf den ersten Blick scheint n I 0 zu divergieren. Dabei darf man jedoch nicht übersehen, dass I 0 in folgendem Sinne von 1 abhängt: Es ist I n 0 Ê, wobei Ê = Ê(n) die Amplitude eines der n gedachten Oszillatoren ist. Erhöht man nun die Anzahl n, so muss man Ê(n) proportional zu 1 absenken, denn die von uns gewählte Anzahl n n darf natürlich keinen Einfluss auf die vom Spalt insgesamt ausgestrahlte Energie haben! Zudem ist tatsächlich I(0) = I max, denn es gilt lim (x) = 1 x x 0 sin 4

Liegt jedoch b im Bereich von wenigen λ, so werden die Beugungseffekte immer deutlicher. Für b = 4λ sieht man den Verlauf, der zu einem gut erkennbaren Interferenzmuster mit hellen und dunklen Streifen (Intensitätsmaxima und -minima) gehört. Wird schließlich b λ, so besitzt I(φ) keine Minima mehr, d.h. man sieht auch kein Interferenzmuster mehr. Für einen unendlich schmalen Spalt, d.h. b 0, wird die Intensität gleichmäßig über den gesamten Winkelbereich von 90 bis +90 verschmiert, d.h. der Spalt kann als Quelle einer Elementarwelle betrachtet werden (halbkreisförmige Wellenfronten). Das folgende Ergebnis ist von besonderer Wichtigkeit, wenn es um die Bestimmung der Spaltbreite von Mehrfachspalten oder Gitter geht (vergleiche Abiaufgaben). Die Intensitätsminima des Einzelspaltes liegen dort, wo der Zähler von I(φ) Null wird, d.h. wo das Argument x = π b λ sin φ des Sinus ein ganzzahliges Vielfaches von π ist: π b λ sin φ k = kπ, bzw. b sin φ k = kλ, mit n Z\{0}. Dabei entfällt n = 0 weil hier auch der Nenner x von I(φ) Null wird, und wie oben bereits erwähnt sin (x) für x 0 gegen Eins strebt. x Insbesondere tritt das erste Minimum des Einzelspaltes für den Beugungswinkel φ 1 auf, der b sin φ 1 = λ erfüllt. Dieses Ergebnis lässt sich auch anschaulich begründen (mit Vorsicht zu genießen!). 3. Der Doppelspalt Man teilt das unter dem Winkel φ 1 gebeugte Lichtbündel in zwei gleich große Teilbündel auf. Dann paart man immer jeweils einen blauen und einen roten Strahl im Abstand von b. Deren Gangunterschied beträgt δ = b sin φ 1, d.h. für b sin φ 1 = λ wird δ = λ, und alle Strahlen der beiden Teilbündel löschen sich durch destruktive Interferenz gegenseitig aus. Die genaue Lage der Nebenmaxima lässt sich auf diese Weise jedoch nicht ermitteln. Aber auch mit Hilfe der I(φ)-Formel findet man keinen einfachen Ausdruck für die Winkel der Nebenmaxima. Nach diesem Stück harter Arbeit, fallen uns alle weiteren Ergebnisse wie von selbst in den Schoß. Betrachten wir zunächst einen idealen Doppelspalt, d.h. zwei unendlich dünne Spalte (b 0), die im Abstand g voneinander angebracht sind. Wir können diese Spalte als zwei Oszillatoren betrachten, die Elementarwellen aussenden. Um den Intensitätsverlauf auf einem (weit entfernten) Schirm hinter dem Doppelspalt zu erhalten, brauchen wir also bloß in der oben für n Oszillatoren hergeleiteten Formel n = setzen, und uns an die trigonometrische Identität sin(x) = sin x cos x zu erinnern: I(φ) = I 0 sin ( ϕ ) sin ( ϕ ) = I 4 sin ( ϕ ) cos ( ϕ ) 0 sin ( ϕ ) = 4I 0 cos ( ϕ ) = 4I 0 cos (π g λ, 5

also genau das Ergebnis, das wir bereits von früher kennen. Die Grafik zeigt den Verlauf der I(φ)-Kurve für einen Doppelspalt mit einem Spaltabstand von g = 4λ. Die Lage der Maxima und Minima wurde bereits früher mit Hilfe der Zeigerdarstellung bestimmt. Mit obiger Formel findet man sie ebenso schnell: Damit der cos maximal (also Eins) wird, muss sein Argument kπ mit k Z betragen, was auf π g λ sin α k = kπ führt, d.h. die Maxima beim Doppelspalt treten auf für g sin α k = kλ. Analog findet man das k-te Minimum für einen Winkel β k mit g sin β k = (k 1) λ. (Wir benennen die Maximal- und Minimalwinkel des Doppelspaltes wie gewohnt mit α k und β k, auch um sie von den Minimalwinkeln φ k des Einzelspaltes abzuheben.) Nun entspricht der Kurvenverlauf aber nicht der Realität, denn die beobachtbare Helligkeit der Interferenzmaxima ist keinesfalls immer dieselbe, sondern nimmt nach außen hin rapide ab. Das liegt daran, dass wir von einem idealen Doppelspalt ausgegangen sind; beim realen Doppelspalt muss der Einfluss der beiden Einzelspalte der Breite b berücksichtigt werden. Diese strahlen nämlich nicht mit konstanter Intensität in alle Winkelrichtungen, sondern eben gemäß der Intensitätskurve I einzel (φ), die wir weiter oben hergeleitet haben. Um den Intensitätsverlauf des realen Doppelspaltes (mit endlicher Spaltbreite) zu erhalten, muss I ideal (φ) mit I einzel (φ) moduliert werden, d.h. wir multiplizieren: I real (φ) = I ideal (φ) I einzel (φ) = I max cos (π g λ sin (π b λ ( π b λ. (Dabei wurden alle Vorfaktoren zu I max, der Intensität des zentralen Interferenzmaximums, zusammengefasst.) Nochmal in Worten: Der erste Faktor beschreibt die Interferenz der beiden Spalte, während der zweite Faktor die Beugungseffekte am Einzelspalt beinhaltet. Und so sieht dann theoretisch der Intensitätsverlauf beim realen Doppelspalt aus (für g = 4λ und b = λ): Die blau gestrichelte Einhüllende ist die Beugungskurve I einzel (φ) des Einzelspaltes. Die graue Kurve gehört zum idealen Doppelspalt mit unendlich dünnen Spalten. Und die rote Kurve stimmt verblüffend genau mit dem experimentell bestimmten Intensitätsverlauf des realen Doppelspaltes überein (Abtasten des Interferenzbildes mit einer Fotodiode)! Wichtig: Bei einem Minimum des Einzelspaltes herrscht im Interferenzbild immer Dunkelheit, egal ob der Doppelspalt dort ein Maximum hätte oder nicht! Ist nämlich I einzel (φ) = 0, so verschwindet auch das Produkt I real (φ) = I ideal (φ) I einzel (φ). 6

Übung: Die rote Kurve wurde für einen Doppelspalt mit g = 0 µm aufgenommen. Wie groß ist die Breite b seiner beiden Spalte? Lösung: Offenbar fehlt das Interferenzmaximum. Ordnung, d.h. der zugehörige Winkel α fällt mit dem Winkel φ 1 des ersten Einzelspaltminimums zusammen. Aus g sin α = λ (Doppelspaltmaximum. Ordnung) und b sin φ 1 = λ (erstes Einzelspaltminimum) folgt nach Division beider Bedingungen wegen α = φ 1 b sin φ 1 = λ g sin α λ, d.h. b = g = 10 µm. 4. Der Dreifachspalt Der Intensitätsverlauf eines realen Dreifachspaltes ist gegeben durch sin (3π g λ I(φ) = I max sin (π g λ sin (π b λ ( π b λ. Der erste Faktor beschreibt die Interferenz der drei Spalte untereinander, während der zweite Faktor wieder den Beugungseffekten am Einzelspalt Rechnung trägt. Und so sieht die Kurve aus (wieder für g = 4λ und b = λ). Zwischen je zwei Hauptmaximis liegt jeweils ein weniger stark ausgeprägtes Nebenmaximum. Von der Lagebestimmung Letzterer lassen wir schön die Finger weg; sie z.b. durch eine Kurvendiskussion des Bruches mit den Sinus-Quadraten finden zu wollen, ist nur was für Mathe- Masochisten. Man sollte sich jedoch merken, dass die Hauptmaxima bei denselben Winkeln wie beim Doppelspalt auftreten (für gleichen Spaltabstand g versteht sich), was wir bereits mit Hilfe der Zeigerdarstellung im Unterricht begründet haben (siehe auch Seite 8 unten). 5. Beugung am Gitter Im Folgenden ist der Intensitätsverlauf bei einem Gitter mit n = 8 Spalten dargestellt. Zwischen den immer schmaler werdenden Hauptmaximis befinden sich allgemein n Nebenmaxima (hier also 6), deren Ausprägung mit steigendem n aber immer schwächer wird, so dass man sie vernachlässigen kann. Bei den von uns verwendeten optischen Gittern ist n mindestens im dreistelligen Bereich, so dass man sagen kann, dass beim Gitter nur die Hauptmaxima übrig bleiben und dazwischen Dunkelheit herrscht. 7

Zur Abwechslung wurde hier eine Spaltbreite von b = g gewählt, so dass das Hauptmaximum zweiter Ordnung vom Einzelspaltminimum verschluckt wird (vgl. mit der Übung oben). Es ist wieder g = 4λ, also b = λ, und die Gleichung der geplotteten Kurve lautet explizit I(φ) = I max sin (3π sin (4π sin (π (π. Abschließend soll noch ein direkter Vergleich von Doppelspalt (grau), Dreifachspalt (blau) und Gitter (rot) erfolgen. Der Einzelspalt-Einfluss wird hierbei ignoriert. Die Hauptmaxima treten jeweils für dieselben Winkel auf. Dies ist klar, da benachbarte Spalte (unabhängig von n) immer die gleiche Bedingung für konstruktive Interferenz, nämlich g sin α k = kλ, erfüllen müssen. Je größer n, desto heller sind die Hauptmaxima. Auch das leuchtet ein, denn wenn n Teilbündel konstruktiv interferieren, wird es eben heller als bei nur zwei oder dreien 3. Die Schmalheit der Hauptmaxima und die zunehmende Dunkelheit dazwischen lässt sich anschaulich so verstehen, dass es mit steigendem n immer mehr Möglichkeiten für destruktive Interferenz gibt, sobald der Beugungswinkel von einem der φ k abweicht. In einem Satz: Beim Gitter wird das Beugungsmuster schärfer und heller. Hier nur für n = 6 gezeichnet; für große n werden die Nebenmaxima noch deutlich kleiner. 3 Dieser Vergleich setzt allerdings voraus, dass die Einzelspaltbreiten jeweils gleich sind. Werden die Spalte mit steigendem n dünner, so liefert jeder Spalt für sich natürlich weniger Intensität. 8