Seminar für Wirtschaftstheorie Prof. Thorsten Chmura Bachelorprüfung für Volkswirte Mikroökonomie II Die Klausur besteht aus drei Aufgaben auf insgesamt 16 Seiten. Alle drei Aufgaben müssen bearbeitet werden. Für jede Aufgabe gibt es maximal 30 Punkte. Die jeweiligen Punkte sind für jede Teilaufgabe in Klammern angegeben. Sie haben 90 Minuten Zeit. Notieren Sie auf jedem Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Bei Rechenaufgaben zählen nur die Ergebnisse. Tragen Sie diese bitte in die dafür vorgesehenen Felder ein. Nebenrechnungen werden nicht gewertet, Folgefehler werden nicht berücksichtigt. Tragen Sie jegliche Antworten in die dafür vorgesehenen Felder ein. Ausführungen außerhalb der Felder werden nicht berücksichtigt. Soweit zur Bearbeitung einer Aufgabe die Lösung eines Maximierungsproblems erforderlich ist, können Sie davon ausgehen, dass die Bedingungen zweiter Ordnung für ein Maximum erfüllt sind. Als Hilfsmittel ist ein nichtprogrammierbarer Taschenrechner zugelassen. Weitere Hilfsmittel sind nicht erlaubt. Achten Sie darauf, deutlich und leserlich zu schreiben. Viel Erfolg! Name: Matrikelnummer: Unterschrift: Aufgabe 1 3 Gesamt Punkte
AUFGABE 1: Allgemeine Gleichgewichtstheorie Betrachten Sie eine reine Tauschwirtschaft mit zwei Gütern x 1 und x und zwei Konsumenten Anna (A) und Bernd (B). Ihre Nutzenfunktionen sind: A u ( x und u A A A A 1, x ) x1 ( x ) B ( + B B B B x1, x ) ln x1 ln x Die Anfangsausstattung von Anna ist 4 Einheiten von Gut 1 und 1 Einheit von Gut. Die Anfangsausstattung von Bernd ist Einheiten von Gut 1 und 5 Einheiten von Gut. a) Angenommen, es gelten die Preise p 1 und p. Welches Budget steht den beiden Konsumenten (in Abhängigkeit von p 1 und p ) für Konsumausgaben zur Verfügung? (1 Punkt) m A ( p 1, p ) m B ( p 1, p ) Berechnen Sie für beide Konsumenten die Marshall schen Nachfragefunktionen in A B Abhängigkeit von m,, und p. (8 Punkte) m p1
A A x 1 x B B x 1 x 3
Clara (C) und Daniel (D) haben andere Nutzenfunktionen als Anna und Bernd. Ihre Marshall schen Nachfragefunktionen nach Gut 1 lauten: C D 3m m x C 1 und x D 1 4 p1 4 p1 Claras Anfangsausstattung beträgt 4 Einheiten von Gut 1 und 1 Einheit von Gut. Daniels Anfangsausstattung beträgt Einheiten von Gut 1 und 5 Einheiten von Gut. p1 b) Berechnen Sie das relative Preisverhältnis und die nachgefragten Mengen nach Gut p 1, die sich im Walrasianischen Gleichgewicht ergeben, wenn sich beide Konsumenten als Mengenanpasser verhalten. Runden Sie die nachgefragten Mengen auf ganze Zahlen. (7 Punkte) p 1 p C D x 1 x 1 Berechnen Sie außerdem die nachgefragten Mengen nach Gut im Walrasianischen Gleichgewicht. Beachten Sie hierbei, dass Clara und Daniel Cobb-Douglas-Präferenzen besitzen. Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. (6 Punkte) C D x x 4
Betrachten Sie wiederum eine reine Tauschwirtschaft mit zwei Gütern x 1 und x und zwei Konsumenten Eva (E) und Franz (F). Ihre Nutzenfunktionen sind: E E E E E u ( x1, x ) x1 + x F F F F F und u x, x ) min{ x, x } ( 1 1 Die Anfangsausstattung von Eva ist 4 Einheiten von Gut 1 und 1 Einheit von Gut. Die Anfangsausstattung von Franz ist Einheiten von Gut 1 und 5 Einheiten von Gut. c) Zeichnen Sie die Anfangsausstattung (A) und die durch die Anfangsausstattung verlaufenden Indifferenzkurven der beiden Konsumenten in untenstehende Edgeworth- Box ein. (3 Punkte) 6 6 5 4 3 1 F 5 1 4 Gut 3 3 4 1 5 E 1 3 4 5 Gut 1 6 6 Zeichnen Sie die Kontraktkurve in obige Edgeworth-Box ein und beschriften Sie diese deutlich. (1 Punkt) 5
p1 Geben Sie das relative Preisverhältnis und die Mengen an, die sich im p Walrasianischen Gleichgewicht ergeben, wenn sich beide Konsumenten als Mengenanpasser verhalten. (Tipp: Die Lösung findet sich leichter durch Nachdenken und Analyse der obigen Zeichnung (falls diese richtig ist), statt durch Rechnung.) Markieren Sie außerdem den Gleichgewichtspunkt in Ihrer Zeichnung! (4 Punkte) p p 1 E E x 1 x F F x 1 x 6
AUFGABE : Moralisches Risiko Die Grundbesitzerin Anna hat ein Vermögen von 1'700. Anna ist von einer Überschwemmung bedroht, die einen Schaden von 1'100 anrichten würde. Anna hat jedoch die Möglichkeit einen Deich anzulegen. Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann, d.h., h ist die Höhe des Deichs, die zunächst jeden beliebigen h [ 0;1]. Die Wahrscheinlichkeit, dass Annas Grundstück überschwemmt wird, hängt von h ab und ist gegeben durch p( h ) 0,75 0,5h folglich p( h 0) 0,75 0,5 0 0,75 Wahrscheinlichkeit p( h 1) 0, 75 0,5 1 0,5.. Wenn Anna keinen Deich baut, ist die Wahrscheinlichkeit. Baut sie den höchstmöglichen Deich, beträgt die Der Deichbau verursacht Anna Kosten. Diese hängen von h ab und sind gegeben durch c( h) 116h u( w) w. Annas vnm-nutzenfunktion in Abhängigkeit ihres Vermögens w lautet. Anna maximiert ihren Erwartungsnutzen. Anna hat Zugang zu einem Markt für Versicherung gegen Überschwemmung und kann dort eine Versicherung mit einer frei wählbaren Versicherungssumme X 0 abschließen. X ist der Geldbetrag, der ihr im Fall einer Überschwemmung ausgezahlt wird. Auf dem Markt herrscht vollkommener Wettbewerb, so dass alle Anbieter von Versicherung faire Prämien verlangen. Demnach gilt: Wählt Anna die Versicherungssumme X und ist p das Risiko einer Überschwemmung, zahlt sie hierfür eine Prämie in Höhe von px. 7
a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass Anna bereits einen Deich gebaut hat und das hieraus resultierende, den Versicherungsanbietern bekannte Risiko einer Überschwemmung q ist, wobei 0, 5 q 0,75. Bestimmen Sie die Versicherungssumme X *, die Annas Erwartungsnutzen maximiert. (6 Punkte) * X 8
b) Nehmen Sie jetzt an, dass Anna den Deich noch nicht gebaut hat und überlegt, wie hoch sie ihn bauen soll. Gehen Sie davon aus, dass Anna sich, egal wie hoch sie baut, vollständig versichert, d.h., X 1'100 wählt. Zudem gebe es kein Moralisches Risiko, da alle Versicherungsanbieter die Höhe des Deichs genau überprüfen können. Die von Anna zu zahlende Versicherungsprämie beträgt deshalb ( h) 0,75 0,5 1'100. Annas Kosten sind c( h) 116h. Bestimmen Sie zunächst das von h abhängige sichere Vermögen wh, ( ) das * Anna in dieser Situation erhält. Bestimmen Sie dann, welche Deichhöhe h [ 0;1] Annas Erwartungsnutzen EU h ( ) w( h) maximiert. (8 Punkte) wh ( ) * h 9
c) Nehmen Sie an, dass Anna weiterhin Vollversicherung erwirbt, aber kein Versicherungsanbieter mehr die Höhe des Deichs überprüfen kann, d.h., es herrscht nun Moralisches Risiko. Annas Prämie hängt folglich nicht mehr von h ab, sondern beträgt konstant y. Ihre Kosten betragen wie zuvor ( ) c h ** 116h. Welche Deichhöhe h [ 0;1] wird Anna nun wählen? Welche Prämie y zahlt sie im Gleichgewicht? (5 Punkte) ** h y 10
d) Welche Paretoverbesserung wäre gegenüber der Gleichgewichtsallokation in c) möglich, wenn es dort kein Moralisches Risiko gäbe? Geben Sie ohne Nennung von Zahlen an, welche Vertragspartei strikt besser gestellt wäre und welche gleich gut. (3 Punkte). 11
e) Nehmen Sie nun an, die maximale Versicherungssumme betrage bei allen Anbietern 400. Gehen Sie davon aus, dass Anna sich so weit wie möglich versichert, also Nehmen Sie zudem an, Anna könne nur noch zwischen zwei möglichen Deichhöhen und wählt. h 1 wählen. Wie zuvor kann kein Versicherungsanbieter die Höhe des Deichs direkt überprüfen, d.h., es herrscht weiterhin Moralisches Risiko. Zeigen Sie, dass wenn die Versicherungsanbieter erwarten, dass Anna X 400 h 0 h 1 wählt, und Annas Prämie entsprechend anpassen, Anna tatsächlich einen Anreiz zur Wahl von h 1 hat. Berechnen Sie hierzu Annas Erwartungsnutzen EU ( h 0) und ( 1) wiederum c( h ) (8 Punkte) EU h in diesem Fall. Annas Kosten betragen 116h. Sie können zudem annehmen, dass 1484 38 und 784 8. EU ( h 0) EU ( h 1) 1
AUFGABE 3: Adverse Selektion Die risikoneutrale Familie Sauber will eine neue risikoneutrale Putzfrau einstellen. Wenn die Putzfrau s Stunden pro Woche arbeitet, erhält die Familie daraus einen Nutzen von U ( s) 3s. Die Putzfrau hat eine Kostenfunktion c(s, θ ) θ s, wobei der Parameter 1 1 θ, nur der Putzfrau selbst bekannt ist. Die Familie weiß nur, dass die 4 1 Wahrscheinlichkeit, dass die Putzfrau niedrige Kosten θ θ l hat, p ist, und dass die 4 1 Wahrscheinlichkeit, dass die Putzfrau hohe Kosten θ θ h hat, ( 1 p) ist. Die Familie kann der Putzfrau ein nicht nachverhandelbares, sogenanntes Take-it-or-leaveit Angebot machen. Das Angebot besteht aus zwei Verträgen, aus denen die Putzfrau einen auswählen kann. Jeder Vertrag i { l, h} enthält eine Anzahl an wöchentlichen Putzstunden s i und einen wöchentlichen Lohn w i. Die Familie maximiert ihren erwarteten Nutzen abzüglich dem erwarteten Lohn, d.h., sie maximiert E[ 3s w]. Nimmt die Putzfrau keinen der Verträge an, so hat sie einen Nutzen von V 0. a) Was ist die effiziente Stundenanzahl s h ( s l ), falls die Putzfrau hohe (niedrige) Kosten hat? (4 Punkte) s h s l 13
b) Stellen Sie das Maximierungsproblem der Familie auf. Geben Sie hierbei die Funktion Π an, welche die Familie durch optimale Wahl der Verträge maximieren will. Geben Sie weiterhin die 4 Nebenbedingungen (NB 1-4) an, die sie bei der Maximierung berücksichtigen muss. (6 Punkte) Kreuzen Sie die hintere Box an, falls die entsprechende Nebenbedingung im Optimum bindet, d.h. mit Gleichheit erfüllt sein muss. ( Punkte) Π NB1: Bindet im Optimum? NB: NB 3: NB 4: Zeigen Sie formal, dass die eine Teilnahmebedingung im Optimum nicht bindet, d.h. dass sie ignoriert werden kann. (3 Punkte) 14
1 c) Nehmen Sie nun an, dass p. Berechnen Sie die optimalen Verträge ( w l, sl ) und ( w h, sh ), welche die Familie der Putzfrau anbieten wird. (Setzen Sie hierbei die Werte für p, θ h und θ l ein, so dass Sie als Ergebnis Zahlen und keine Formeln erhalten.) (8 Punkte) w s l l w s h h 15
d) Bei welchem Typ von Putzfrau würde die Familie den angenommenen Vertrag nachverhandeln wollen, so dass beide Parteien durch die Nachverhandlung mindestens gleich gut gestellt sind? Begründen Sie Ihre Antwort kurz (1- Sätze)! (3 Punkte) Wie lautet der neue Vertrag, den die Familie diesem Typ von Putzfrau gerne anbieten würde, nachdem die Putzfrau ihren Typ enthüllt hat? ( Punkte) w s Warum bietet die Familie diesen Vertrag der Putzfrau nicht gleich zu Beginn zur Auswahl an? (1- Sätze) ( Punkte) 16