Helmut Igl Der Sudoku-Knacker Inhaltsverzeichnis: Vorwort 3 Allgemeine Sudoku-Regeln. 4 Das Duplex-Verfahren..... Das Zwillings-Duplexpaar... 1 Das versteckte Zwillings-Duplexpaar.. 18 Der Drilling.. 33 Der versteckte Drilling. 3 Der Kandidaten-Eintrag... 38 Das Ausschluss-Rechteck 40 Die Duplex-Kettenstrategie.... 42 Die Einzelfeld-Ketten...... 47 Beispiele 1 20... 3
Lösungsstrategie: Beginnend mit der Zahl 1 versuchen wir, durch Scannen (= überprüfen oder durchsuchen) der vorhandenen Einsen zunächst die fehlenden Einsen in den restlichen Quadranten zu ermitteln (soweit das möglich ist). 8 2 1 4 x 8 7 1 3 2 7 1 8 3 2 7 7 8 1 2 3 Aus der Position der markierten Einsen ergibt sich, dass die fehlende 1 im zweiten Quadranten nur noch in dem übrig gebliebenen freien Feld (x) stehen kann, da sich im Bereich der Markierung keine Einsen mehr befinden dürfen. Die Eins wird somit als echte, d.h. sichere Zahl in das mit x gekennzeichnete Feld mit Kugelschreiber o.ä. eingetragen. Diese Vorgehensweise würde nach herkömmlicher Art und Weise nun auch mit allen anderen Zahlen solange durchgeführt werden, bis das Sudoku komplett ausgefüllt ist. Bei leichten Sudokus wird man mit dieser Methode sicherlich Erfolg haben. Bei schwierigeren Rätseln kommt man jedoch irgendwann an einen Punkt, an dem es einfach nicht mehr weiter geht. An dieser Stelle kommt das Duplex-Verfahren zum Einsatz:
So sollte das Beispiel-Sudoku nach dem Eintrag aller Duplex-Zahlen aussehen: 2 8 4 3 1 7 2 1 8 34 1 1 7 28 8 34 1 7 3 4 3 3 48 3 4 8 4 7 2 4 2 8 2 2 7 4 (Wenn Sie wollen, können Sie alles wieder ausradieren und zur Übung noch einmal diesen Scan-Durchgang durchführen, weil das Aufspüren der Duplex-Zahlen die Grundlage für dieses System ist.) Welche Besonderheiten sich in Zusammenhang mit den Duplex-Zahlen ergeben können, wird in den nächsten Beispielen aufgezeigt. Für die Beschreibung des Lösungsweges für alle Beispiel-Sudokus werden folgende Abkürzungen verwendet: Z8 = Zeile 8 S = Spalte Q2 = 2. Quadrant Q4+ = 4. und. Quadrant D4 = Duplexzahl 4 D = Duplexpaar D = Duplexpaar - Z14 = Zwillings-Duplexpaar 14 14 VZ7 = verstecktes Zwillings-Duplexpaar 47-78 o.ä. o. E. = ohne Ergebnis (d.h. es konnte weder eine echte Zahl noch ein Duplexpaar ermittelt werden) = das hat zur Folge Bitte entnehmen Sie nun das im Anhang bereitgestellte Sudoku (Beispiel 1) und tragen nacheinander parallel zur Beschreibung alle gefundenen echten und alle Duplex-Zahlen ein. Überprüfen Sie nach jedem einzelnen Zahlenscan, ob Ihr Ergebnis mit der Vorlage übereinstimmt.
Die beiden eben gewonnenen Achten ergeben noch eine 8 in Q2. Diese wiederum löscht die D8 darunter in Q, sodass eine echte 7 und eine echte 8 entstehen. Die beiden neuen Achten ergeben in Q8 eine 8, eine und eine 3. Die neue 7 in Q erzeugt zusammen mit der 7 in Q2+ ein D7 in Q8. Ergänzen von Q2 mit und in Q1 in Q3 in Q1 D in Q7 Ergänzen von Q mit 3 und 4 3 + 7 + 1 + in Q7 4 und 1 in Q4 Ergänzen von Q7 mit 4 4 + + 7 in Q8 Ergänzen von Q1+3 mit 3 und 4 1 3 7 2 8 7 8 2 1 2 1 4 8 7 3 8 7 1 4 2 2 7 8 1 4 3 14 14 3 2 8 7 1 17 7 3 2 8 2 8 1 7 8 7 7 2 1 1 3 7 2 8 4 7 8 4 2 3 1 3 2 1 4 8 7 3 8 7 1 4 2 2 7 8 1 4 3 4 1 3 2 8 7 1 7 3 4 2 8 2 4 8 3 1 7 8 4 3 7 2 1
Lösen Sie nun folgende Aufgaben selbständig und vergleichen Sie nach jedem einzelnen Zahlenscan die Zwischenergebnisse mit Ihrer Lösung. Beispiel 2: Scan 1: 2 x E + 2 x D 1 in Q2+7 D in Q+ Scan 2: o. E. Scan 3: 4 x D D in Q3++7+ Scan 4: 2 x D D in Q1+ 8 4 1 3 1 3 4 4 4 7 1 3 1 7 3 4 7 1 3 14 8 4 1 3 1 7 1 3 3 7 3 3 8 1 1 3 2 Scan : 1 x D D in Q7 Scan : 1 x E + 1 x D in Q8 D in Q Scan 7: 1 x E + 2 x D 7 in Q8 D in Q1+ 8 7 4 1 3 1 7 3 4 4 4 7 1 3 1 7 3 4 7 1 3 14 8 4 1 3 1 7 1 7 3 3 7 3 3 8 1 1 3 7 7 2 An dieser Stelle kommt es zu einer weiteren Besonderheit der Duplex-Methode: Sie haben sich vielleicht gewundert, weshalb plötzlich die Duplex-Zahlen 7 7 unterstrichen sind! Es handelt sich hierbei um ein sog. Zwillings-Duplexpaar.
Beispiel : Scan 1 - : Regel 2: Die kann sich in Q1 nur noch in dem freien Feld befinden (x)! Das gleiche Schema lässt sich später auch mit der Zahl (xx) und der Zahl 7 (xxx) verwirklichen. 3 2 8 2 3 x xxx 1 3 2 4 4 4 3 2 1 3 4 8 7 2 8 2 xx 4 4 3 7 2 3 8 4 4 3 4 7 2 2 2 4 4 3 Scan : 4 3 78 2 4 8 7 2 3 7 2 1 8 3 4 7 4 3 8 8 2 1 3 4 8 7 2 8 2 7 4 4 3 7 2 3 8 4 4 3 8 4 7 2 2 8 4 4 7 3 7 1 3 7 4 2 8 4 8 2 3 1 7 7 2 1 8 3 4 7 4 3 8 1 2 1 3 4 8 7 2 8 2 7 1 4 3 7 2 3 8 4 1 3 4 7 1 2 8 2 8 1 4 7 3
Nach weiterem Ergänzen kommen wir mit der herkömmlichen Methode nun nicht mehr weiter. Wir brauchen neue Informationen und müssen suchen: Q7 8 3 2 4 14 8 1 7 In Q7 sind alle Zahlen bereits vollständig enthalten (sowohl echte als auch Duplex-Zahlen). Bei näherer Betrachtung (Sie erinnern sich an Beispiel 7) fällt auf, dass die 8 alleine in ihrem Feld steht und damit zur Echten wird. Nach Überwindung dieses Knackpunktes ist der Rest schnell erledigt 2 3 8 1 4 7 1 8 4 7 2 3 7 3 4 1 2 8 4 8 3 7 2 1 3 7 1 2 8 4 2 1 4 7 8 3 8 3 2 4 7 1 4 1 3 8 7 2 1 7 8 2 3 4 Beispiel 12: Scan 1 und nach Ergänzen: 7 8 1 4 3 2 4 8 2 3 7 2 7 1 3 3 8 4 2 4 4 8 2 4 2 1 3 2 8 4 7 7 8 7 4 3 1 2 1 3 7 2 4 8 8 37
Beispiel 13: Scan 1 : Regel 2 für 1 in Q4+ (Zeile +) D1 in Q (Zeile 4) 1 4 7 4 8 8 8 4 2 4 1 1 3 8 1 7 4 4 8 3 4 7 1 1 8 18 37 37 4 4 7 7 4 7 3 1 8 2 8 4 7 1 78 8 3 7 7 1 4 1 4 7 3 Der (nackte) Drilling: Die drei grau hinterlegten Felder in Q2 sind ausschließlich mit den drei Zahlen 4, und belegt. Wenn sich so eine Konstellation ergibt, nennt man dies einen (nackten) Drilling. Das hat zur Folge - analog zum Zwilling - dass in einem solchen Fall die drei markierten Felder für alle anderen Zahlen tabu sind. (Im weiteren Lösungsverlauf werden ja diese 3 Zahlen schließlich zu einer echten 4, bzw. ) In unserem Beispiel steht der Drilling senkrecht. Im Folgeschluss bedeutet dies, dass im Rest der Spalte, in der der Drilling steht, diese Zahlen ebenso nicht mehr vorkommen können. Der Drilling hat selbstverständlich noch andere Erscheinungsformen, z.b.: a) 23 2 3 b) 8 8 2 3 b) 8 8 8 3 2 b) b) c) 8 8 8 8 8 4 7 7 4 7 a) 2+3+ können in den restlichen Feldern der Zeile nicht mehr vorkommen b) +8+ können im Rest der Zeile bzw. Spalte nicht weiter vorkommen c) 4++7 können innerhalb ihres Quadranten nicht mehr vorkommen
In Q3 hat sich ein lupenreiner Drilling (Markierung) 1-1 entwickelt. Allerdings zusammen mit einem Fremdkörper, der Zahl 3. Bei dieser Zahlenkonstellation haben wir es mit einem sog. Versteckten Drilling zu tun! Der versteckte Drilling: Wie schon beim nackten Drilling erwähnt, dürfen in einem Drilling keine anderslautenden Zahlen vorkommen. Im vorliegenden Fall hat sich eine 3 eingeschlichen - und das ist nicht zulässig! Deswegen können wir bedenkenlos diese fremde 3 entfernen, wodurch die andere 3 zur Echten wird! (Das Gleiche ließe sich übrigens auch in Q anwenden ) Damit ist das Sudoku geknackt und der Rest nur noch Formsache. 7 8 4 3 1 2 3 8 2 1 4 7 1 2 7 4 3 8 3 2 7 1 8 4 4 7 1 8 2 3 8 1 4 3 2 7 4 3 7 8 2 1 2 1 8 3 7 4 7 2 1 4 8 3 Beispiel 1: Scan 1 : 2 34 1 7 8 3 1 8 7 4 2 4 7 2 8 3 7 2 3 3 8 4 1 1 3 7 1 4 8 2 18 8 4 2 1 3 7 7 8 8 4 4 2 3 3 2 8 7 4 4 1 2 7 3 8
Wenn die vorherige Annahme richtig wäre, gäbe es zwei Lösungen. Und das kann und darf nicht sein! Denn ein Sudoku hat immer nur eine eindeutige Lösung! Diese Konstellation nennt man das vermeidbare, das verbotene Rechteck oder auch das Ausschlussrechteck. Wenn die oben abgebildete Zahlenkombination nicht erlaubt ist und die die einzige Alternative dazu ist, diese Konstellation zu verhindern, muss sie letztlich die Echte sein! Eine andere Möglichkeit gibt es nicht! Tragen Sie nun die als echte Zahl ein und verfolgen Sie die damit verbundenen Auswirkungen... Die Quadranten 2 + 3 sehen danach so aus: 8 7 4 7 3 4 2 1 8 2 2 1 3 Hier handelt es sich erneut um ein Ausschlussrechteck. Warum? Nun, nehmen wir an, die unten links sei die Richtige. Dann ergäbe sich daraus folgendes Bild: -------------- -------------- Lösung 1: Was soll daran ungewöhnlich sein? Schauen wir uns die Alternative dazu an. Sie würde wie folgt aussehen: -------------- -------------- Lösung 2: Sie werden sich vielleicht fragen: Aber diese Kombination haben wir doch gar nicht ermittelt?! Das ist richtig - und trotzdem wäre diese Konstellation möglich. Am Sudoku würde sich dadurch nichts verändern. D.h. wir haben auch in diesem Fall wieder zwei mögliche Lösungen - und das ist nicht erlaubt! Dementsprechend muss die falsch sein und es bleibt nur noch eine Zahl in diesem Feld als Ausweichmöglichkeit übrig: Die 2, die damit zur Echten wird! Tragen Sie nun die 2 ein und vollenden das Sudoku
2 3 1 8 7 4 7 3 4 2 1 8 8 7 4 2 1 3 7 1 8 3 4 2 3 1 4 2 8 7 4 2 8 3 7 1 8 7 1 3 4 2 1 4 2 8 7 3 3 4 2 7 1 8 Beispiel 18: Scan 1 : (Regel 2 für in Q2+3 D in Q1) Danach ergänzen: Z23 in Q4 D2 in Q1 (aus Mini-2 wird Duplex-2) In S3 fehlen noch +7+ in Q2 4 3 1 2 1 2 2 8 8 4 8 7 3 3 2 24 2 2 8 3 7 3 8 8 14 4 3 7 1 8 8 1 4 7 3 4 38 3 8 3 8 7 1 3 38 8 Es geht nun nicht mehr weiter und wir müssen unter Berücksichtigung der bereits vorhandenen Zahlen das Sudoku mit allen möglichen Kandidaten (als Minis) komplett auffüllen. Bevor wir weitermachen, überprüfen Sie bitte Ihre Eintragungen und vergleichen Sie sie mit der Vorlage. In Spalte 7 hat sich ein Zwilling ergeben, der alle Zahlen 2+4 in seiner Region löscht. Radieren Sie alle 2er und 4er ausserhalb des Zwillings in Spalte 7 vorsichtig aus. Alle Minis, die jetzt nur noch zweimal in den Quadranten (+) vorkommen, werden zu Duplex-Zahlen. In Spalte 7 bzw. in Q steht jetzt eine Zahl einzeln im Feld und wird damit zur Echten (1). 47 3 1 24 1 24 24 14 8 7 4 2 147 2 1 8 8 47 47 3 3 14 14 2 7 8 3 14 147 7 23 8 8 1234 1234 24 14 2 4 23 1 123 7 2 8 4 8 1 24 2 7 3 7 12 12 4 38 3 8 127 12 17 3 8 24 7 1 24 12 7 3 24 38 24 8 24 1247 147
Verfolgen Sie die Auswirkungen der neuen 1 (alle Einsen in S7 und Z werden gelöscht und ev. entstandene Doppel-Minis zu Duplexzahlen). In S7 (respektive in Q) gibt es wieder einen Einzelgänger, der natürlich zur echten Zahl wird (7). Gleiches Spiel wie vorher: Auswirkungen verfolgen etc. 4 3 12 12 8 7 1 8 7 4 3 2 2 7 8 3 14 14 7 23 1 18 8 234 234 2 24 4 23 23 7 1 8 8 1 24 24 7 3 7 12 4 3 12 8 3 8 24 7 1 24 12 3 24 38 24 8 2 7 14 Um weiterzukommen, brauchen wir eine neue Verfahrensweise: Die Duplex-Kettenstrategie: Durch Verkettung geeigneter Zahlen können sich Resultate ergeben wie: 1. das Ermitteln einer echten Zahl, 2. das Entfernen von Kandidaten oder 3. das Ausschließen einer falschen Zahl. Die Bezeichnung Duplex soll wieder darauf hindeuten, dass auch bei diesem Verfahren nur diejenigen Zahlen, die innerhalb einer Zeile bzw. einer Spalte noch genau zweimal vorkommen, als Startpunkte für die Verkettung verwendet werden. Allgemeine Vorgehensweise: Beginnend mit der 1. Zeile versucht man, zwei gleiche Zahlen (innerhalb der Zeile) ausfindig zu machen. Und zwar in der Kombination Mini Mini oder Mini - Duplexzahl, Zum Beispiel: 1-1 oder 2-2 Ist die Suche in der 1. Zeile ergebnislos, geht man zur nächsten usw. Lässt sich in den Zeilen keine geeignetes Zahlenpaar finden, scannt man die Spalten in gleicher Weise. Hat man 2 brauchbare Kandidaten gefunden, kann man mit der Kettenstrategie beginnen.
4 3 12 12 8 7 1 8 7 4 3 2 14 14 2 7 8 3 1 18 28 7 3 4 4 24 4 2 3 7 1 8 2 8 1 4 24 7 3 7 12 4 3 12 8 3 8 24 7 1 24 12 3 48 28 7 14 Ergebnis: Wenn diese Mini-4 (= Ursprungszahl) angeblich die richtige Zahl sein soll und wir anschließend feststellen, dass die darunter liegende D4 in Q8 ebenfalls die Richtige sein müsste, dann kann das nicht sein! Das ist ein sog. Widerspruch, denn es dürfen keine 2 gleichen Zahlen in einer Region (hier: S) vorkommen! Also war die Annahme, die Mini-4 sei die Richtige, falsch, und dementsprechend muss die andere 4 (= Doppelgänger der Ursprungszahl) in der gleichen Zeile (24 in Q) die echte 4 sein. Regel 7: Wenn sich vermeintlich richtige Zahlen widersprechen, können sie nur als falsch interpretiert werden. Demnach muss der Doppelgänger der angenommenen Ursprungszahl die Echte sein. Tragen Sie nun in der Zeile die echte 4 ein und verfolgen Sie deren Auswirkungen Damit ist die Kettenstrategie abgeschlossen. Mit diesem Verfahren werden Sie auch extrem schwierige Rätsel lösen können. 4 3 2 1 8 7 1 8 7 4 3 2 2 7 8 3 4 1 7 3 1 4 8 2 4 2 3 7 1 8 8 1 2 4 7 3 7 2 4 3 1 8 3 8 4 7 1 2 1 3 8 2 7 4
In anderen, noch schwierigeren Sudokus, können die Ketten auch länger sein. Aber irgendwann wird sich irgendwo ein Doppeltreffer oder ein Widerspruch ergeben. Tragen Sie nun die neu gewonnene echte 1 in Ihr Sudoku ein und verfolgen Sie deren Auswirkungen 8 2 1 3 7 4 4 3 2 7 8 1 1 7 8 4 3 2 2 4 7 3 1 8 7 1 8 4 2 3 8 3 1 2 4 7 3 4 7 8 1 2 2 4 8 3 1 7 7 1 2 8 4 3 Beispiel 20: Scan 1 : (Regel 2 für in Q1+7 D in Q4) (Regel 2 für in Q+ D in Q4) Danach ergänzen 7 2 1 4 3 1 8 8 1 7 4 4 1 8 1 7 1 8 4 7 2 7 3 2 1 8 4 2 4 2 8 7 1 8 1 7 3 4 4 7 1 8 8 4 1 7 und Eintrag aller Mini-Kandidaten unter Berücksichtigung bereits vorhandener Zahlen. Untersuchen Sie danach, ob sich irgendwelche Zwillinge oder Drillinge gebildet haben. Wenn nicht (wie in diesem Fall), suchen wir nach geeigneten Kandidaten zur Durchführung einer Duplex-Kette: In der 1. Zeile bieten sich zwei Mini-er an. Wir gehen beide mögliche Ketten zunächst gedanklich durch und stellen fest, dass mit den bisher erworbenen Erkenntnissen keine Ergebnisse erzielt werden können. - Und trotzdem geht s! - Lesen Sie bitte weiter