1 Ringe 1. 2 Der Ring Z[i] = Z Zi 8. 3 Noethersche Ringe Ganze Zahlen Dedekindringe Projektive und Injektive Moduln 37

Inhaltsverzeichnis 1 Ringe 1 2 Der Ring Z[i] = Z Zi 8 3 Noethersche Ringe 10 4 Ganze Zahlen 12 5 Dedekindringe 17 6 Längenendliche Moduln 23 7 Idealklassen und exakte Sequenzen 29 8 Projektive und Injektive Moduln 37 9 Gitter über Dedekindringen 42 10 Algebraische Zahlkörper 49 11 Verzweigung von Idealen 55 12 Separabilität und Differente 62 13 Norm und Diskriminante 67 14 Lokalisation 72 15 Projektive, injektive und flache Moduln 78 16 Vervollständigung diskreter Bewertungen 82 17 Algebraische Kongruenzen 87 18 Das Henselsche Lemma 90 19 Fortsetzung diskreter Bewertungen 95 20 Das Gaußsche theorema aureum 99

Algebraische Zahlentheorie WS 2006/07 Wolfgang Rump 1 Ringe Sei R ein Ring (mit 1). Ein Element a R heißt eine Einheit, wenn es eine Inverse besitzt, d. i. ein Element a 1 R, für welches aa 1 = a 1 a = 1 (1) gilt. Wegen der Assoziativität ist die Inverse stets eindeutig bestimmt. Es gilt: Satz 1. Die Einheiten eines Ringes R bilden bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe R. Beweis. R hat 1 R als neutrales Element, welches zu sich selbst invers ist. Für a,b R ist offenbar b 1 a 1 eine Inverse zu ab, also ab R. Außerdem besitzt a 1 die Inverse a. Die Gruppe R heißt Einheitengruppe von R. Beispiele. 1. Für die ganzen Zahlen gilt Z = {±1}. 2. Ein Ring K ist genau dann ein Körper, wenn K = K {0}. Somit ist 0 := {0} kein Körper, da hier sogar 0 invertierbar ist, was bei einem Körper nicht sein darf. 3. Für Polynomringe über einem Körper K gilt K[x] = K. Dies folgt aus der Gradformel deg(fg) = degf + degg für Polynome f,g 0. Eine Abbildung f : R S zwischen zwei Ringen R und S heißt Ringhomomorphismus, wenn für a,b R gilt: f(a + b) = f(a) + f(b) f(a b) = f(a) f(b) (2) f(1) = 1. 1

Satz 2. Zu jedem Ring R gibt es genau einen Ringhomomorphismus c: Z R. Beweis. Wir nehmen zunächst an, es gäbe einen solchen Homomorphismus c. Dann ist also c(0) = 0, c(1) = 1, und für n N ergibt sich induktiv c(n) = c(1 + + 1) = c(1) + + c(1) = 1 }{{} R + + 1 R, (3) }{{} n-mal n-mal wenn 1 R das 1-Element von R bezeichnet. Wegen c( n) = c(n) ist somit c eindeutig festgelegt. Man überlegt sich nun leicht, daß die Gleichungen, welche c festgelegen, einen Ringhomomorphismus definieren. Definition 1. Sei R ein kommutativer Ring. Ein Ring A mit einer äußeren Multiplikation R A A heißt eine Algebra über R oder kurz R-Algebra, wenn A ein R-Modul ist, d. h. wenn die Gleichungen r(a + b) = ra + rb (r + s)a = ra + sa (4) (rs)a = r(sa) 1 a = a für r,s R und a,b A erfüllt sind, und außerdem für r R und a,b A gilt. r(ab) = (ra)b = a(rb) (5) Für einen Ring R heißt das Zentrum von R. Z(R) := {c R a R: ca = ac} (6) Satz 3. Das Zentrum eines Rings R ist ein Teilring, und R ist eine Z(R)-Algebra. Beweis. Z(R) ist ein Teilring, denn für c,d Z(R) ist (c ± d)a = ca ± da = ac ± ad = a(c ± d) und cda = cad = acd sowie 1a = a1 = a für alle a R. Ferner prüft man leicht nach, daß die Regeln (4) und (5) in Definition 1 erfüllt sind. Allgemeiner gilt: Satz 4. Eine R-Algebra A ist gleichbedeutend mit einem Ringhomomorphismus c: R Z(A). (7) 2

Beweis. Jeder Ringhomomorphismus c: R Z(A) definiert eine äußere Multiplikation R A A, indem (r,a) R A auf c(r)a abgebildet wird. Man prüft leicht nach, daß hierdurch A zu einem R-Modul wird. Da das Bild von c in Z(A) liegt, gilt sogar Gl. (5). Damit wird A eine R-Algebra. Umgekehrt definiert eine R-Algebra A eine Abbildung (7) mit c(r) := r 1 A, und diese ist, wie man leicht nachrechnet, ein Ringhomomorphismus. Z. B. gilt c(rs) = (rs) 1 A = r(s1 A ) = r(1 A s1 A ) = (r1 A )(s1 A ) = c(r)c(s), und c(1) = 1 R 1 A = 1 A. Die Eigenschaft (5) bewirkt hierbei, daß c(r) Z(A) für alle r R. Schließlich muß man noch nachprüfen, daß die beiden Zuordnungen zwischen Ringhomomorphismen c: R Z(A) und R-Algebren A invers zueinander sind: Ist c gegeben, so gilt in der zugehörigen R-Algebra c(r) := r 1 A = c(r)1 A = c(r); ist die R-Algebra A gegeben, so liefert das zugehörige c die äußere Multiplikation ra := c(r)a = (r1 A )a = r(1 A a) = ra. Korollar 1. Eine kommutative R-Algebra A ist gleichwertig mit einem Ringhomomorphismus c: R A. Korollar 2. Jeder Ring R ist eine Z-Algebra. Beweis. Nach Satz 2 gibt es genau einen Ringhomomorphismus c: Z Z(R). Dieser macht also R zu einer Z-Algebra. Im folgenden sei K ein Körper. Eine K-Algebra A ist nach Definition 1 nichts anderes als ein K-Vektorraum mit der Zusatzbedingung λ(ab) = (λa)b = a(λb) für λ K und a,b A. Ist A 0, so ist 1 A 0 (sonst wäre ja a = a 1 A = 0 für alle a A), und dann ist der Ringhomomorphismus (7) injektiv. (Aus c(λ) = 0 folgt nämlich λ 1 A = 0, also λ = 0.) Für A 0 können wir daher o. B. d. A. den Ringhomomorphismus (7) als Einbettung (=Inklusion) annehmen: c: K Z(A). Dann ist also K ein Teilkörper von Z(A). Die Dimension dim K A wird auch als Grad (A : K) von A über K bezeichnet. Beispiele. 1. R ist eine Q-Algebra mit (R : Q) =, und C ist eine R-Algebra mit (C : R) = 2. 2. Für einen Körper K ist K[x] eine K-Algebra mit (K[x] : K) = (Basis 1,x,x 2,...). Der Matrizenring M n (K) ist eine K-Algebra mit (M n (K) : K) = n 2. Definition 2. Eine additive Untergruppe eines Rings R heißt ein Ideal (kurz: I R), wenn die Implikation a I = ab,ba I für alle b R erfüllt ist. Gilt nur ba I, so spricht man auch von einem Linksideal. 3

Wie bei Moduln gilt auch für Ringe der Homomorphiesatz, d. h. für jeden Ringhomomorphismus f : R S ist Ker f := {a R f(a) = 0} ein Ideal, und es gibt eine natürliche Zerlegung f : R R/Ker f = Im f S. (8) Für a R ist z. B. Ra := {ba b R} ein Linksideal. Faßt man den Ring R als R- Modul auf (indem man die Ringmultiplikation als äußere Multiplikation nimmt), so ist ein Linksideal nichts anderes als ein Untermodul von R. Die Rechtsmultiplikation mit a (also x x a) ist R-linear und surjektiv: ρ A : R Ra. (9) Sei nun R kommutativ. Wir schreiben dann einfach (a) := Ra und nennen (a) ein Hauptideal. Ein Element a R heißt Nullteiler, wenn die Gleichung ba = 0 für ein Element b 0 erfüllbar ist, d. h. wenn die lineare Abbildung (9) nicht injektiv ist. Ist a kein Nullteiler, so ist also Ra = R. Ist 0 der einzige Nullteiler, so heißt R ein Integritätsbereich. Man beachte: Der Nullring 0 ist kein Integritätsbereich, denn hier ist ja 0 kein Nullteiler. Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn er einen Quotientenkörper hat. (Der Nullring ist zwar Teilmenge, aber nicht Teilring eines Körpers, da die Einselemente nicht übereinstimmen können!) Ein Integritätsbereich heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal Hauptideal ist. Beispiele. 1. Z ist ein Hauptidealring: Sei nämlich I 0 ein Ideal von Z. Dann gibt es eine kleinste Zahl m > 0 in I. Für n I liefert die Division mit Rest eine Gleichung n = qm + r mit 0 r < m. Also ist r = n qm I. Wegen der Minimalität von m folgt hieraus r = 0. Somit ist n = qm, und daher I = (m). Die Zuordnung m (m) liefert eine Bijektion N {Ideale von Z}. (10) (Dies ist ein Grund, warum wir 0 zur Menge N der natürlichen Zahlen rechnen.) 2. In ähnlicher Weise zeigt man, daß der Polynomring K[x] über einem Körper K ein Hauptidealring ist. Hier haben wir eine Bijektion {normierte Polynome} {Ideale von K[x]}, (11) wenn wir 0 als normiertes Polynom zulassen. Normiert heißt also präzise: Der Leitkoeffizient (falls vorhanden!) ist 1. 3. Ein Körper K hat genau zwei Ideale: (0) und (1) = K. (Für a K ist nämlich bereits (a) = K.) Definition 3. Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K. Wir sagen, a K teilt b K (in Zeichen: a b), wenn ein c R existiert, so daß ac = b. Gilt a b a, so heißen a und b assoziiert (in Zeichen: a b). 4

Ein Element p R R heißt prim (irreduzibel), wenn die erste (zweite) der folgenden Implikationen für alle a,b R gilt. p ab = p a oder p b (12) a p = a p oder a R (13) Bemerkung. Man beachte, daß die Definition von prim und irreduzibel bzgl. der Relation invariant ist, d. h. wenn p prim und q zu p assoziiert ist, so ist q ebenfalls prim. Das gleiche gilt für irreduzible Elemente. Während Primelemente und irreduzible Elemente in R liegen müssen, hindert uns nichts daran, Teilbarkeit gemäß Definition 3 auch für Elemente im Quotientenkörper K von R zu betrachten. Offenbar gilt für a,b K: a b (a) (b) (14) a b (a) = (b). (15) Satz 5. Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K, und sei a,b K. Dann gilt: (a) a b e R : ae = b. (b) Jedes Primelement p 0 in R ist irreduzibel. Beweis. a) Sei a b. Dann existieren c,d R mit ac = b und bd = a. Folglich ist acd = a, und daher a(cd 1) = 0. Ist nun a = 0, so folgt b = ac = 0, so daß e := 1 gewählt werden kann. Für a 0 dagegen ergibt sich cd 1 = 0, also wählen wir e := c R. Umgekehrt sei ae = b mit e R. Dann ist be 1 = a, also a b a. b) Sei p 0 prim und p = ab. Dann ist a,b 0. Wegen p ab ist entweder p a, und daher a p, oder p b und somit p b. Im letzteren Fall ist be = p für eine Einheit e R. Wegen b 0 und be = ab erhalten wir dann a = e R. Beispiele. 1. Das Element 0 R ist stets prim, da R als Integritätsbereich vorausgesetzt ist. 2. Primelemente in Z sind 0, die Primzahlen, und natürlich, gemäß obiger Bemerkung, die Negativen der Primzahlen (da diese zu Primzahlen assoziiert sind). Irreduzible Elemente sind nur ±p für Primzahlen p. 3. Irreduzible Elemente im Polynomring K[x] über einem Körper K sind genau die irreduziblen Polynome. Bei den Primelementen kommt (wie im Fall Z) noch die Null hinzu. Für Ideale I α R, α A, ist der Durchschnitt α A I α wieder ein Ideal, und zwar das größte unter den in allen I α enthaltenen Idealen. Es gibt auch stets ein Supremum zu den I α, nämlich die Summe I α := {a α1 + + a αn a αi I αi }, (16) α A 5

d. i. das von den I α erzeugte Ideal. Insbesondere ist also für A = {1,...,n} Für Hauptideale (R kommutativ) ist: I 1 + + I n = {a 1 + + a n a i I i }. (a 1 ) + + (a n ) = (a 1,...,a n ) = {b 1 a 1 + + b n a n b i R} das von den a 1,...,a n R erzeugte Ideal. Ist R ein Hauptidealring, so haben wir für a,b R stets (a,b) = (d), wobei d bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig ist und folgenden Bedingungen genügt: (a) (d), (b) (d), (d) (a,b), d. h. d a d. h. d b d. h. x,y R: d = ax + by. Ein solches d heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b. Analog ist (a) (b) = (c), und c heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b. Für R = Z kann man c und d eindeutig machen, indem man c,d N vereinbart. Ebenso verfährt man für Polynomringe K[x] über einem Körper K, indem man c und d normiert. Man kann also in diesen Fällen mit vollem Recht von dem größten gemeinsamen Teiler bzw. dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen sprechen. Definition 4. Ein Integritätsbereich R heißt faktoriell, wenn jedes Element a R eine Darstellung a p n 1 1 p nr r (17) mit n i N und Primelementen p 1,...,p r besitzt, so daß p i p j für i j gilt. Satz 6. Sei R faktoriell. Für 0 a R sind die p i in (17) bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig. Außerdem sind die zugehörigen Exponenten n i eindeutig bestimmt. Beweis. Sei p 1 p n q 1 q m mit Primelementen p i,q j 0. Dann teilt p n das Produkt q 1 q m, also mindestens eines der q i. Wir numerieren die q i nachträglich so, daß p n q m. Nach Satz 5 ist aber q m irreduzibel, also p n q m. Somit erhalten wir p 1 p n 1 q 1 q m 1 und können nun so fortfahren, bis entweder die linke oder rechte Seite keine Primelemente mehr enthält. Da ein Produkt p 1 p i nur dann zu 1 assoziiert sein kann, wenn i = 0 ist, sind am Ende die Primelemente auf beiden Seiten aufgebraucht. Damit ist die Behauptung bewiesen. Wir kommen nun zum ersten Ergebnis der Vorlesung. Satz 7. Jeder Hauptidealring ist faktoriell. 6

Beweis. Wir wollen ein Element a 0 R in Primfaktoren zerlegen. Da 0 prim ist, können wir a 0 0 voraussetzen. Wir zeigen zunächst, daß R den Teilerkettensatz erfüllt: Jede Kette a 2 a 1 a 0 echter Teiler (d. h. a i a i+1 ) bricht nach endlich vielen Schritten ab. Für die zugehörigen Hauptideale bedeutet das nach (14), daß jede aufsteigende Idealkette (a 0 ) (a 1 ) (a 2 ) (18) nach endlich vielen Schritten abbrechen muß. Wir bilden die Idealsumme I := i N (a i). Nach Voraussetzung ist I ein Hauptideal: I = (c). Also gibt es ein n N mit c (a n ). Dann liegt aber schon ganz I in (a n ), d. h. die Idealkette bricht an der Stelle n ab. Falls (a 0 ) R, können wir insbesondere die Kette solange fortsetzen, bis kein größeres Ideal R mehr existiert. Das letzte Ideal (a n ) R ist wird dann von einem irreduziblen Element a n a 0 erzeugt. Als nächstes zeigen wir, daß jedes irreduzible Element p R prim ist. Sei dazu p ab, aber p a,b. Wir wollen diese Annahme auf einen Widerspruch führen. Aus a,b / (p) folgt, daß die Ideale (p,a) und (p,b) echt größer als (p) sind, also (p,a) = (p,b) = R. Somit läßt sich 1 schreiben als 1 = px + ay = pu + bv mit x,y,u,v R. Das liefert die Gleichung 1 = (px + ay)(pu + bv) = p 2 xu + pxbv + payu + abyv, aus welcher 1 (p, ab) = (p) folgt, Widerspruch! Wir haben damit zu jedem Element a 0 R 0 ein Primelement p gefunden, welches a 0 teilt. Wir setzen p 1 := p und erhalten somit ein Element a 1 := a 0 /p 1 R 0, welches entweder eine Einheit oder wiederum von der Form a 1 = p 2 a 2 mit einem Primelement p 2 ist. Das Verfahren liefert also eine Teilerkette a 2 a 1 a 0, die nach endlich vielen Schritten mit einer Einheit a n enden muß. Damit haben wir die gewünschte Zerlegung a 0 = p 1 p n a n p 1 p n. Wir wollen dieses schöne Ergebnis, nachdem es gefunden ist, noch etwas angemessener formulieren. Dazu erinnern wir uns, daß wir die Teilbarkeit vorsorglich schon für Elemente aus dem Quotientenkörper K von R definiert hatten. Ist nun R faktoriell, so hat jedes Element c = a b K eine eindeutige Darstellung c p n 1 1 p nr r (19) mit paarweise nicht assoziierten Primelementen p i und Exponenten n i Z. Die Eindeutigkeit dieser Darstellung folgt hierbei durch Multiplikation mit einem geeigneten Hauptnenner unmittelbar aus Satz 6. Wir können daher Satz 7 auch wie folgt aussprechen: Satz 8. Ein Integritätsbereich R mit Quotientenkörper K ist genau dann faktoriell, wenn K /R eine freie abelsche Gruppe ist. Man beachte hierbei: Die Elemente der Gruppe K /R sind nach Satz 5 nichts anderes als die Klassen zueinander assoziierter Elemente. Für R = Z hat die freie abelsche Gruppe Q /Z die Menge P der Primzahlen als Basis, also Q /Z = Z (P) = Z Z Z, 7

wobei jedes Element von Q /Z = Q /{±1} durch eine positive rationale Zahl r = 2 n1 3 n2 5 n3 7 n4 repräsentiert werden kann. Diese entspricht in Z (P) der Folge (n 1,n 2,n 3,...). 2 Der Ring Z[i] = Z Zi Der Ring Z[i] der ganzen Gaußschen Zahlen, wobei i = 1 ist, kann als Gitter in der Gaußschen Zahlenebene C vorgestellt werden. Sei α = a + bi ein Element von Z[i]. Dann erfüllt die konjugiert komplexe Zahl α = a bi die Gleichung αα = N(α), (20) wobei die Norm N(α) := a 2 +b 2 = α 2 stets 0 ist und nur dann verschwindet, wenn α = 0 ist. Aus der bekannten Gleichung αβ = α β ersehen wir ohne Rechnung, daß N(αβ) = N(α)N(β) (21) für alle α,β Z[i] gilt. Aus dieser wichtigen Gleichung erhalten wir sofort Satz 9. Ein Element α Z[i] ist genau dann eine Einheit, wenn N(α) = 1. Beweis. Sei α Z[i], etwa αβ = 1. Dann ist N(αβ) = N(α)N(β) = N(1) = 1, also N(α) Z = {±1}. Wegen N(α) 0 kommt aber nur N(α) = 1 in Frage. Umgekehrt folgt aus N(α) = 1 und Gl. (20), daß α invertierbar ist. Mit Hilfe von Satz 9 können wir die Einheitengruppe von Z[i] berechnen. Die Gleichung N(α) = a 2 + b 2 = 1 läßt nämlich nur vier Möglichkeiten mit a,b Z zu. Somit ergibt sich, daß Z[i] eine zyklische Gruppe der Ordnung vier ist: Z[i] = {1,i, 1, i}. (22) Satz 10. Z[i] ist ein Hauptidealring. Beweis. Wir wenden das gleiche Verfahren wie bei Z an: Sei I 0 ein Ideal von Z[i]. Dann enthält I ein Element µ 0 kleinster Norm. Wir zeigen, daß I = (µ). Sei dazu α I. Dann ist α eine komplexe Zahl, deren Abstand von mindestens einem µ Element β Z[i] kleiner als 1 (genauer: 2 1 2) sein muß. Aus α β < 1 folgt µ α βµ < µ, also N(α βµ) < N(µ). Wegen α βµ I bleibt nach Wahl von µ nur α βµ = 0, also α (µ). Als nächstes wollen wir die Primelemente von Z[i] bestimmen. Dazu benötigen wir folgenden Hilfssatz, der auch für sich selbst interessant sein dürfte. 8

Satz 11. Sei p eine ungerade Primzahl. Dann gilt die Äquivalenz: a,b Z: p = a 2 + b 2 p 1 (4) m Z: p m 2 + 1. (23) Beweis. Sei zunächst p = a 2 + b 2. Modulo 4 ist dann a 2 0 oder a 2 1, und ebenso für b. Für die ungerade Primzahl p bleibt also nur p 1 (4). Sei nun p = 4n + 1 mit n N. Wir gehen in den Körper F p := Z/pZ, dessen Einheitengruppe die Elemente 1,...,p 1 (Restklassen) besitzt. Aufgrund der Zerlegung x 2 1 = (x + 1)(x 1) hat die Gleichung x 2 = 1 in F p die beiden Lösungen x = ±1, und diese sind wegen p 2 sogar verschieden. In F p sind daher nur die Elemente ±1 zu sich selbst invers. Die übrigen Elemente a F p treten in Paaren {a,a 1 } auf. Daher gilt in F p Andererseits ist 1 2 p 1 = 1. 1 2n 2n + 1 p 1 = 1 2n 2n 1 = (1 2n) 2. Also ist die Kongruenz x 2 1 (p) lösbar, d. h. es gibt ein m N mit p (m 2 + 1). In Z[i] folgt hieraus p (m + i)(m i), wobei natürlich p (m ± i), da der Koeffizient von i keinen Primteiler zuläßt. Mithin kann p kein Primelement in Z[i] sein. Sei deshalb p = αβ mit α,β Z[i] Z[i]. Dann ergibt sich p 2 = N(p) = N(α)N(β), also N(α) = N(β) = p nach Satz 9. Mit α = a + bi liefert das die Gleichung p = a 2 + b 2 mit a,b Z. Man beachte, daß wir außer Z drei weitere Ringe bemüht haben, um diesen Satz über ganze Zahlen zu beweisen: Z/4Z, Z/pZ und Z[i]! Nun sind wir in der Lage, die Primelemente von Z[i] zu bestimmen: Satz 12. Die Primelemente π von Z[i] sind (bis auf Assoziierte): (0) π = 0, (1) π = 1 + i, (2) π = α oder π = α, wobei αα eine Primzahl p 1 (4) ist, (3) π = p Primzahl mit p 3 (4). Beweis. Wir beginnen mit einer Vorüberlegung. Ist für ein π Z[i] die Norm N(π) eine Primzahl, so ist π ein Primelement, denn aus π = αβ folgt N(π) = N(α)N(β), so daß also entweder α oder β die Norm 1 hat und damit nach Satz 9 eine Einheit sein muß. Als nächsten Schritt überlegen wir, daß die aufgeführten Fälle wirklich Primelemente vorstellen. Für π = 0 ist dies klar. Im Fall (1) ist N(1 ± i) = 2 und 1 + i 1 i, da (1 i) i = 1 + i. Im Fall (2) ist N(α) = N(α) = p, wobei α und α nicht assoziiert sind. Nach der Vorüberlegung sind α und α prim. Im letzten 9

Fall kann p in Z[i] nicht zerlegbar sein, denn aus π = αβ und α,β Z[i] Z[i] würde p 2 = N(p) = N(α)N(β) folgen. Dann wäre aber N(α) = p, was nach Satz 11 p 1 (4) nach sich zöge. Es bleibt noch zu zeigen, daß mit den genannten Fällen alle Primelemente aufgezählt sind. Sei also π 0 ein Primelement von Z[i]. Dann ist ππ = N(π) = p 1 p n mit Primzahlen p i. Wegen π p 1 p n gilt somit bereits π p für eine Primzahl p := p i. Das ergibt N(π) N(p) = p 2, also entweder N(π) = p oder N(π) = p 2. Im ersten Fall muß zunächst p = 2 untersucht werden. Wegen 2 = (1 + i)(1 i) ist π 1+i, und wir sind in Fall (1). Ist p ungerade und N(π) = p, so ist nach Satz 11 p 1 (4). Somit ist π p = αα. Das führt in Fall (2). Ist schließlich N(π) = p 2, so folgt π p, so daß wegen N(π) = p 2 nur π p übrig bleibt. Da p in Z[i] nicht zerfällt, ist nach Satz 11 dann p 3 (4). Gl. (20) gilt offenbar auch für α Q Qi. Folglich hat jedes α 0 in Q Qi eine Inverse, d. h. Q Qi ist der Quotientenkörper von Z[i]. Man schreibt auch Q(i) := Q Qi, um auszudrücken, daß es sich um den von Q und i erzeugten Teilkörper von C handelt. Die Situation läßt sich am besten anhand eines Inklusionsdiagramms veranschaulichen: Q(i) Q Z[i] Z 3 Noethersche Ringe Ersetzt man bei einem Vektorraum den Körper K durch einen Ring R, so erhält man einen R-Modul. Die Gesamtheit der R-Moduln wird mit R-Mod bezeichnet. Beispiel (R kommutativ). Jedes Ideal von R ist ein R-Modul. Ursprünglich verstand man unter Moduln nichts anderes als Ideale, was noch in der Sprechweise modulo n zum Ausdruck kommt. (Hieran erkennt man zugleich, daß die Sprache der Wissenschaft einmal Latein gewesen ist!) Insbesondere ist, wie wir schon im Anschluß an Gl. (8) gesehen hatten, R selbst ein R-Modul. Definition 5. Sei R ein Ring. Ein R-Modul M heißt endlich erzeugt, wenn er sich in der Form M = Rx 1 + +Rx n := {a 1 x 1 + +a n x n a i R} mit x 1,...,x n M darstellen läßt. Der Modul M heißt noethersch, wenn jede Kette von Untermoduln M i M endlich ist. M 0 M 1 M 2 10

Noethersche Moduln lassen sich auch wie folgt charakterisieren: Satz 13. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Folgende Aussagen sind äquivalent: (a) M ist noethersch. (b) Jeder Untermodul von M ist endlich erzeugt. Beweis. (a) (b): Sei N ein Untermodul von M. Ist N 0, so existiert ein Element x 1 0 in N. Ist N Rx 1, so gibt es ein Element x 2 N Rx 1. Ist N Rx 1 + Rx 2, so finden wir ein Element x 3 N (Rx 1 + Rx 2 ). Wenn wir so fortfahren, erhalten wir eine aufsteigende Kette von Untermoduln 0 Rx 1 Rx 1 + Rx 2 Rx 1 + Rx 2 + Rx 3 in N, die natürlich abbrechen muß. Also ist N endlich erzeugt. (b) (a): Sei M 0 M 1 M 2 eine Kette von Untermoduln. Nun verfahren wir wie im Beweis von Satz 7: Wir bilden die Modulsumme i N M i, die wie die Idealsumme (16) definiert ist: M i := {y j1 + + y jk y ji M ji }. (24) i N Die x 1,...,x n liegen also schon in einer endlichen Teilsumme. Da es sich um eine Kette von Untermoduln handelt, liegen die x i sogar schon in einem M m, das heißt aber, die Kette bricht ab. Die noethersche Eigenschaft verträgt sich gut mit Unter- und Faktormoduln. Satz 14. Sei R ein Ring und M ein R-Modul mit einem Untermodul N. Dann gilt: M ist genau dann noethersch, wenn N und M/N noethersch sind. Beweis. Sei zunächst M noethersch. Dann ist trivialerweise auch N noethersch. Jeder Untermodul von M/N hat die Form U/N mit einem Untermodul U N von M. Nach Voraussetzung ist U endlich erzeugt, etwa U = Rx 1 + + Rx n. Somit wird U/N von den Restklassen x 1 + N,...,x n + N erzeugt. Seien nun N und M/N noethersch. Wir betrachten einen Untermodul U von M. Dann ist der Untermodul (U + N)/N von M/N endlich erzeugt, etwa (U + N)/N = R(x 1 + N) + + R(x n + N), wobei wir außerdem x i U annehmen können. Also ist U (Rx 1 + +Rx n )+N. Durch schneiden mit U ergibt sich U = Rx 1 + + Rx n + (U N). Da nach Voraussetzung auch (U N) endlich erzeugt ist, ist somit U endlich erzeugt. Korollar. Sei R ein Ring, und seien M 1,...,M n noethersche R-Moduln. Dann ist auch M 1 M n noethersch. 11

Beweis. Für n = 2 brauchen wir uns nur zu überlegen, daß (M 1 M 2 )/M 1 = M2. (25) (Man bilde für x 1 + x 2 M 1 M 2 die Restklasse x 1 + x 2 + M 1 in x 2 ab!) Also ist M 1 M 2 noethersch. Nun folgt die Aussage durch Induktion. Definition 6. Ein kommutativer Ring R heißt noethersch, wenn R als R-Modul noethersch ist, d. h. wenn jedes Ideal endlich erzeugt ist. Beispiele. 1. Jeder Hauptidealring R ist noethersch, da jedes Ideal in R von einem Element erzeugt wird. Somit sind die Ringe Z, K[x] für einen Körper K, und Z[i] noethersch. 2. Jeder Faktorring R/I eines noetherschen Rings R ist noethersch (Satz 14). Insbesondere sind also die Restklassenringe Z/nZ mit n N noethersch. Satz 15. Ein Ring R ist genau dann noethersch, wenn jeder endlich erzeugte R- Modul noethersch ist. Beweis. Sei M ein endlich erzeugter R-Modul, M = Rx 1 + + Rx n. Dann haben wir eine R-lineare Abbildung R n M, welche ein n-tupel (a 1,...,a n ) in die Linearkombination a 1 x 1 + + a n x n abbildet. Ist nun R noethersch, so folgt nach dem Korollar zu Satz 14, daß auch M noethersch ist. Die Umkehrung ist trivial. 4 Ganze Zahlen In diesem Abschnitt wollen wir darüber nachdenken, was an einer ganzen Zahl ganz ist, oder mit anderen Worten, was den Begriff der Ganzheit ausmacht. Sei A ein Ring und R ein Teilring des Zentrums Z(A). Damit ist A eine R- Algebra. Für ein Polynom f = r 0 + r 1 x + + r n x n R[x] und a A definieren wir f(a) := r 0 + r 1 a + r 2 a 2 + + r n a n. (26) Diese Elemente bilden einen kommutativen Teilring R[a] := {f(a) f R[x]} (27) von A, nämlich den kleinsten Teilring, welcher R und a enthält. Definition 7. Ein Element a A heißt ganz über R, wenn ein normiertes Polynom f 0 in R[x] mit f(a) = 0 existiert. Die R-Algebra A heißt ganz, wenn alle ihre Elemente ganz über R sind. 12

Beispiel. Der Ring Z[i] ist ganz über Z, denn für α = a + bi Z[i] gilt die Gleichung α 2 2aα + (a 2 + b 2 ) = 0, wie man leicht nachrechnet. Das Element α ist also eine Nullstelle des normierten Polynoms x 2 2ax + (a 2 + b 2 ) Z[x]. Satz 16. Sei A ein Ring und R ein Teilring des Zentrums Z(A). Ein Element a A ist genau dann ganz über R, wenn R[a] als R-Modul endlich erzeugt ist. Beweis. Sei a A ganz über R. Dann gilt also eine Gleichung r 0 + r 1 a + + r n 1 a n 1 + a n = 0 mit r i R. Wir haben daher a n = r 0 r 1 a r n 1 a n 1 R + Ra + + Ra n 1. Damit lassen sich aber alle Potenzen von a durch kleinere Potenzen von a ausdrücken, d. h. R[a] = R + Ra + + Ra n 1. Also ist R[a] endlich erzeugt. Umgekehrt sei R[a] R-Mod endlich erzeugt, mit Erzeugenden f 1 (a),...,f r (a). Es gibt dann ein n N derart, daß all diese Polynome in R + Ra + + Ra n 1 liegen. Insbesondere ist a n R + Ra + + Ra n 1, d. h. es gibt eine Gleichung a n = r 0 + r 1 a + + r n 1 a n 1 mit Koeffizienten r i R, aus welcher die Ganzheit von a über R folgt. Satz 17. Sei S ein kommutativer Ring mit einem noetherschen Teilring R. Die über R ganzen Elemente in S bilden einen Teilring von S. Beweis. Seien a,b S ganz über R. Dann sind R[a] und R[b] nach Satz 16 endlich erzeugte R-Moduln, etwa R[a] = Rx 1 + +Rx n und R[b] = Ry 1 + +Ry m. Folglich ist auch R[a,b] := R[a][b] = R[a]y 1 + +R[a]y m = i,j Rx iy j endlich erzeugt über R. Nun sind R[a±b] und R[ab] Untermoduln von R[a,b], welche nach Satz 15 endlich erzeugt sind. Also sind a ± b und ab nach Satz 16 ganz über R. Korollar. Sind a 1,...,a n S ganz über R, so ist R[a 1,...,a n ] ein endlich erzeugter R-Modul. Beweis. Zunächst ist R[a n ] als R-Modul, also R[a 1,...,a n ] = R[a 1,...,a n 1 ][a n ] als R[a 1,...,a n 1 ]-Modul endlich erzeugt. Induktiv dürfen wir hierbei R[a 1,...,a n 1 ] als endlich erzeugt über R annehmen. Also ist auch R[a 1,...,a n ] R-Mod endlich erzeugt. Bemerkung. Satz 17 gilt auch ohne die Voraussetzung, daß R noethersch ist. Der Beweis wird dann etwas umständlicher. Der nächste Satz besagt die Transitivität der Ganzheit über Teilringen. 13

Satz 18. Sei A ein Ring mit Teilringen R S Z(A), und R sei noethersch. Ist a A ganz über S und S ganz über R, so ist a ganz über R. Beweis. Da a ganz über S ist, gilt eine Gleichung s 0 +s 1 a+ +s n 1 a n 1 +a n = 0 mit Koeffizienten s i S. Nach dem vorstehenden Korollar folgt nun, daß R := R[s 0,...,s n 1 ] als R-Modul endlich erzeugt ist. Ferner ist a ganz über R. Nach Satz 16 ist also R[a] endlich erzeugt über R. Folglich ist R[a] endlich erzeugt über R. Da R als noethersch vorausgesetzt ist, ist somit auch R[a] R[a] ein endlich erzeugter R-Modul. Nach Satz 16 ist daher a ganz über R. Definition 8. Sei A ein kommutativer Ring und R ein noetherscher Teilring. Der Ring der über R ganzen Elemente von A heißt der ganze Abschluss von R in A. Ist R ein Integritätsbereich, so heißt der ganze Abschluß von R in seinem Quotientenkörper K schlechthin der ganze Abschluss von R und wird mit R bezeichnet. Ist R = R, so heißt R ganz abgeschlossen. Satz 19. Jeder faktorielle Ring R ist ganz abgeschlossen. Beweis. Sei K der Quotientenkörper von R und a b R mit a,b R. Da R faktoriell ist, nehmen wir o. B. d. A. an, daß a und b teilerfremd sind. Dann haben wir zunächst eine Gleichung a 0 +a 1 a b + +a n 1( a b )n 1 +( a b )n = 0 mit Koeffizienten a i R. Durch Multiplikation mit b n ergibt sich a 0 b n +a 1 ab n 1 + +a n 1 a n 1 b+a n = 0. Hieraus folgt b a n. Wäre b keine Einheit, so gäbe es ein Primelement p mit p b a n, also p a. Das steht aber im Widerspruch zur Annahme, daß a und b teilerfremd sind. Folglich ist b R und damit a R. b Als unmittelbare Folgerung erhalten wir nach Satz 7: Korollar. Jeder Hauptidealring ist ganz abgeschlossen. Wir überlegen uns nun, was Ganzheit über einem Körper K = R bedeutet. Sei also A eine K-Algebra. Da wir nicht die Nullalgebra A = 0 studieren wollen, dürfen wir K als Teilkörper des Zentrums Z(A) annehmen. Man nennt ein Element a A algebraisch über K, wenn a Nullstelle eines Polynoms f 0 in K[x] ist. Im Gegensatz zur Ganzheit entfällt also hier die Voraussetzung, daß f normiert sein muß. Da K ein Körper ist, kann man aber jedes Polynom f normieren, ohne daß die Gleichung f(a) = 0 ihre Gültigkeit verliert. Mit anderen Worten: Über einem Körper K besteht kein Unterschied zwischen Algebraizität und Ganzheit. Nun gibt es für jedes a A einen Ringhomomorphismus K[x] ev K[a], (28) 14

der f in f(a) abbildet, also f an der Stelle a auswertet (=evaluiert). Da K[x] ein Haupidealring ist, ist dabei Ker(ev) ein Hauptideal: Ker(ev) = (g), wobei wir g als normiert annehmen können. Es gilt also für alle f K[x]: f(a) = 0 g f. Man nennt daher g das Minimalpolynom von a. (Es ist sinnvoll, diesen Begriff auf den Fall g = 0 auszudehnen, indem wir ja auch das Nullpolynom als normiert anerkennen.) Der Auswertungshomomorphismus (28) liefert uns die Äquivalenz a algebraisch Ker(ev) 0 dim K[a] <. (29) Nach Satz 16 ist nämlich K[a] K-Mod endlich-dimensional, wenn a über K algebraisch ist. Andernfalls ist Ker(ev) = 0, also K[a] = K[x], und somit unendlichdimensional. Ein solches Element a (mit Minimalpolynom g = 0) nennt man transzendent über K. Nach dem Homomorphiesatz liefert (28) den Isomorphismus K[a] = K[x]/(g). (30) Die K-Algebra K[a] ist also bis auf Isomorphie durch das Minimalpolynom g von a eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist auch jeder Faktorring K[x]/(g) von der Form K[a]: Man nehme für a die Restklasse x + (g). Da K[x]/(g) als Ring von dieser Restklasse erzeugt wird, und da (g) der Kern des Epimorphismus K[x] K[x]/(g) ist, muß also wieder g das Minimalpolynom von a = x + (g) sein. Satz 20. Der Integritätsbereich S sei ganz über dem Teilring R. Dann gilt: S ist genau dann ein Körper, wenn R ein Körper ist. Beweis. Sei S ein Körper und r R 0. Dann hat r eine Inverse r 1 in S. Da S ganz über R ist, erfüllt r 1 eine Gleichung r 0 + r 1 r 1 + + r n 1 r (n 1) + r n = 0 mit Koeffizienten r i R. Durch Multiplikation mit r n 1 erhalten wir r 1 = r 0 r n 1 r 1 r n 2 r n 1 R. Sei umgekehrt R = K ein Körper und a S 0. Nach (29) ist dann dimk[a] <, und a definiert einen Endomorphismus K[a] λ a K[a] mit λ a (b) := ab. Ist b Ker λ a, also ab = 0, so folgt b = 0, da S ein Integritätsbereich ist. Also ist λ a injektiv. Wegen dimk[a] < ist daher λ a auch surjektiv. Es existiert somit ein b K[a] mit ab = 1, d. h. a K[a] S. 15

Korollar. Sei L ein Körper und K ein Teilkörper. Sind a 1,...,a n L algebraisch über K, so ist K[a 1,...,a n ] ein Körper mit endlichem Grad über K. Beweis. Induktion: Sei K[a 1,...,a i ] ein Körper mit endlichem Grad über K. Nach Voraussetzung ist a i+1 algebraisch über K i. Also ist K[a 1,...,a i+1 ] = K i [a i+1 ] nach Satz 20 ein Körper, und sein Grad ist nach (29) endlich über K i. Also ist auch (K i+1 : K) <. Ein Körper L mit einem Teilkörper K heißt auch Erweiterungskörper von K. Ist (L : K) <, so spricht man von einem endlichen Erweiterungskörper. Ist insbesondere L = K[a] mit a algebraisch über K, so nennt man K(a) := K[a] eine einfache Körpererweiterung. Satz 21. Sei K ein Körper und f 0 ein normiertes Polynom in K[x]. Dann existiert ein endlicher Erweiterungskörper L von K derart, daß f über L in Linearfaktoren zerfällt. Beweis. Sei p f ein irreduzibler Teiler von f. Da K[x] ein Hauptidealring ist, bedeutet das also, daß zwischen (p) und K[x] keine weiteren Ideale liegen. Folglich hat K[x]/(p) genau zwei Ideale und ist daher ein Körper, der von der Restklasse a = x + (p) erzeugt wird. Ferner ist p das Minimalpolynom von a. Wegen p f gilt somit f(a) = 0. Also ist f = (x a)g mit einem Polynom g ( K(a) ) [x]. Indem wir K durch den endlichen Erweiterungskörper K(a) ersetzen und per Induktion fortfahren, erhalten wir schließlich eine vollständige Zerlegung von f. Als Anwendung von Satz 21 ergibt sich folgender Satz von Gauß, mit welchem man die Ganzheit anhand des Minimalpolynoms testen kann. Satz 22. Sei R ganz abgeschlossen mit Quotientenkörper K, und sei f R[x] ein normiertes Polynom, welches von einem normierten Polynom g K[x] geteilt wird. Dann ist g R[x]. Beweis. Nach Satz 21 finden wir einen Erweiterungskörper L K, über welchem f in Linearfaktoren zerfällt: f = (x a 1 ) (x a n ) mit a i L. Sei S der ganze Abschluß von R in L. Trivialerweise hat dann f die Nullstelle a i L. Da f normiert ist, sind die a i ganz über R, also a 1,...,a n S. Nun ist auch g f normiert. Wir können also nach evtl. Umnumerierung der a i annehmen, daß g = (x a 1 ) (x a m ) mit einem m n ist. Also ist g K[x] S[x] = (K S)[x]. Da aber R ganz abgeschlossen ist, haben wir K S = R. Also ist g R[x]. Korollar. Sei R ganz abgeschlossen mit Quotientenkörper K, und sei A eine K- Algebra mit K Z(A). Ein Element a A ist genau dann ganz über R, wenn sein Minimalpolynom g K[x] Koeffizienten in R hat. 16

Beweis. Sei a A ganz über R, d.h. es existiert ein normiertes Polynom f 0 in R[x] mit f(a) = 0. Sei g das Minimalpolynom von a. Nach Satz 22 folgt dann g R[x]. Die Umkehrung ist trivial. 5 Dedekindringe Sei ϑ C eine Zahl mit ϑ 2 = 5. Wir betrachten den Ring R = Z[ϑ] = Z Zϑ. Für α = a + bϑ Q(ϑ) ist αα = a 2 + 5b 2 = α 2, und man nennt auch hier N(α) := α 2 die Norm von α. Wie in 2 gilt wieder N(α) > 0 und für alle α,β Q(ϑ) sowie N(αβ) = N(α)N(β) (31) α Z[ϑ] N(α) = 1. (32) Die Gleichung N(α) = a 2 + 5b 2 = 1 hat jetzt für α Z[ϑ] nur zwei Lösungen. Die Einheitengruppe von Z[ϑ] ist daher Z[ϑ] = {±1}. (33) Nun passiert etwas Neues: (1 + 2ϑ)(1 2ϑ) = 1 + 4 5 = 21. Also: (1 + 2ϑ)(1 2ϑ) = 3 7. (34) Wir werden gleich sehen, daß die Faktoren auf beiden Seiten dieser Gleichung irreduzibel sind, weshalb (34) zwei inkompatible Zerlegungen der Zahl 21 liefert. Wir bemerken zunächst, daß die Gleichungen a 2 + 5b 2 = 3 und a 2 + 5b 2 = 7 keine Lösung mit a,b Z gestatten, wie man sofort einsieht. Somit gibt es in Z[ϑ] keine Elemente der Norm 3 oder 7. Aus α 3 oder α 7 mit α Z[ϑ] folgt nun aber N(α) 9 bzw. N(α) 49, was die Irreduzibilität von 3 und 7 nach sich zieht. Ebenso folgt aus α 1 ± 2ϑ, daß N(α) 3 7, weshalb auch 1 ± 2ϑ irreduzibel ist. Die Zerlegung (34) kann also nicht mehr verfeinert werden: Der Ring Z[ϑ] ist nicht faktoriell! Eduard Kummer (1810-1893) schloß hieraus, daß es ideale Faktoren der Zahlen 3, 7, 1 ± 2ϑ geben müsse, welche die Mehrdeutigkeit beseitigen: 3 = p 1 p 2, 7 = p 3 p 4, 1 + 2ϑ = p 1 p 3, 1 2ϑ = p 2 p 4. Richard Dedekind (1831-1916) hat gezeigt, daß die p i als Ideale realisiert werden können. Definition 9. Sei R ein Ring. Für ein Ideal I von R und einen R-Modul M sei IM := { n a i x i a i I, x i M }. (35) i=1 17

Das ist offenbar ein Untermodul von M. Für Ideale I,J R ist insbesondere IJ das von den Produkten ab mit a I und b J erzeugte Ideal. Sei nun R kommutativ. Für Hauptideale (a), (b) R gilt dann (a)(b) = (ab), (36) da jedes Produkt ra sb mit r,s R in (ab) liegt. Die folgende Definition ist analog zu Definition 3. Definition 10. Sei R ein kommutativer Ring. Ein Ideal P heißt prim (maximal), wenn P R und die erste (zweite) der folgenden Implikationen für alle I,J R gilt. P IJ = P I oder P J (37) I P = I = P oder I = R (38) P ist also genau dann maximal, wenn es unter den Idealen I R maximal ist. Satz 23. Sei R ein kommutativer Ring und P ein Ideal von R. Dann gilt: (a) P prim R/P Integritätsbereich. (b) P maximal R/P Körper. Beweis. Wir beachten zuerst, daß P R genau dann gilt, wenn R/P 0. a) Sei P prim und (a+p)(b+p) = 0+P in R/P. Dann ist ab P, also (a)(b) P. Da P prim ist, heißt das, daß (a) P oder (b) P gilt. Also ist (a+p) = 0+P oder (b + P) = 0 + P. Sei umgekehrt R/P ein Integritätsbereich. Angenommen, es gäbe Ideale I,J in R mit IJ P, aber I,J P. Dann gibt es Elemente a I P und b J P mit ab IJ P. Somit wäre (a + P)(b + P) = 0 + P, und R/P wäre kein Integritätsbereich. Also ist P ein Primideal. b) Sei P maximal und a + P P. Dann ist a / P, also (a) + P = R. Somit existieren b R und p P mit 1 = ab + p, d. h. (a + P)(b + P) = 1 + P. Mithin ist jedes a + P P invertierbar und somit R/P ein Körper. Schließlich sei R/P ein Körper und I ein Ideal von R mit P I. Wir wählen ein Element a I P. Dann ist a + P R/P invertierbar, d. h. es gilt (a + P)(b + P) = 1 + P für ein b R. Hieraus folgt ab 1 P, also R = (1) (a) + P I, womit die Maximalität von P gezeigt ist. Korollar. Sei R ein kommutativer Ring. (a) Jedes maximale Ideal ist prim. (b) P R ist genau dann prim, wenn P R und die Implikation für alle a,b R gilt. ab P = a P oder b P 18

Sei R ein noetherscher (Integritäts-)Bereich mit Quotientenkörper K. (Da wir keine anderen Bereiche außer Integritätsbereichen kennen, sprechen wir im folgenden einfach von einem Bereich.) Der Idealbegriff soll nun auf gebrochene Ideale I von R ausgedehnt werden, wobei die Voraussetzung I R entfällt. Ideale im bisherigen Sinne heißen daher auch ganze Ideale. (Für Elemente anstelle von Idealen vgl. hierzu Satz 8.) Wir definieren ein gebrochenes Ideal (kurz: Bruchideal) von R als einen endlich erzeugten R-Untermodul I 0 von K. Die Menge der Bruchideale sei mit A(R) bezeichnet. ( A steht für Arithmetik.) Beispiele. 1. Die Ideale I 0 von R gehören zu A(R). Sie heißen, wie schon angedeutet, auch ganze Ideale. 2. Für a K ist (a) := {ab b R} A(R), und es gilt Gl. (36) für a,b K. Insbesondere ist (a)(a 1 ) = R. (39) Für Bruchideale I,J A(R) sei IJ := { n a i b i a i I,b i J } (I : J) := {x K xj I}. (40) i=1 Das sind offenbar R-Untermoduln von K. Die Bruchideale lassen sich wie folgt charakterisieren: Satz 24. Sei R ein noetherscher Bereich mit Quotientenkörper K. Ein R-Untermodul I von K ist genau dann ein Bruchideal, wenn a,b K existieren, so daß (a) I (b). (41) Mit I,J A(R) sind auch I + J, I J, IJ und (I : J) Bruchideale von R. Beweis. Sei I A(R). Wegen I 0 existiert ein a I K, also (a) I. Da I endlich erzeugt ist, gibt es Elemente a 1,...,a n,b R mit b 0, so daß I = R( a 1 b ) + + R( an) b (b 1 ). Damit ist (41) gezeigt. Für I,J A(R) ist I + J endlich erzeugt, also I + J A(R). Wegen I R 0 und J R 0 gibt es Elemente a,c R 0 mit a I und c J. Also ist 0 ac I J I, und damit I J A(R). Sei b,d K mit I (b) und J (d). Dann ist (ac) IJ (bd), also IJ A(R). Schließlich ist c(i : J) J(I : J) I (b), also (I : J) (bc 1 ). Aus d 1 J R folgt ad 1 J IR I, und daher (ad 1 ) (I : J) (bc 1 ), d. h. (I : J) A(R). Für I,J,L A(R) gelten die Regeln: (IJ)L = I(JL) ; IJ = JI (42) (I + J)L = IL + JL ; IR = I. (43) 19

Hierbei ist (I : I) ein Teilring des Quotientenkörpers K, der Multiplikator von I, und es gilt stets R (I : I). (44) Nach Definition ist (I : I) die größte Teilmenge S K mit SI I, also der größte Teilring, für welchen I ein S-Modul ist. Mit Hilfe von A(R) läßt sich die ganze Abgeschlossenheit sehr leicht ausdrücken: Satz 25. Ein noetherscher Bereich R ist genau dann ganz abgeschlossen, wenn (I : I) = R für alle I A(R) gilt. Beweis. Sei R ganz abgeschlossen und I A(R). Dann ist (I : I) endlich erzeugt über R, also nach Satz 16 ganz über R. Folglich ist (I : I) = R. Umgekehrt gelte (I : I) = R für alle I A(R). Für jedes a R ist dann R[a] A(R), also R[a] (R[a] : R[a]) = R. Das nächste Ziel wird nun sein, den Fundamentalsatz der Zahlentheorie, d. i. die eindeutige Zerlegbarkeit in Primelemente, auf Ideale zu verallgemeinern. Anhand des nicht-faktoriellen Rings Z[ 5 ] wurde bereits angedeutet, daß Dedekinds Idealtheorie die Rettung des Fundamentalsatzes für solche Ringe tatsächlich bringt. Nach Gl. (36) multiplizieren sich Ideale wie Zahlen. Die Teilbarkeit geht nach Gl. (14) in die Inklusion über, und auf Einheiten kann man nach Gl. (15) schon ganz verzichten, da sich die Assoziiertheit zweier Elemente in der Gleichheit von Idealen widerspiegelt. Ideale haben insoweit gegenüber den Elementen bereits einen Startvorteil. Für beliebige Ringe kann man freilich von Idealen keine Wunder erwarten. Von der für Zahlen selbstverständlichen Gleichung a : a = 1 bleibt in A(R) zunächst nur die Inklusion (44). Diese geht nach Satz 25 genau dann in eine Gleichheit über, wenn R ganz abgeschlossen ist. Was jetzt zum Fundamentalsatz noch fehlt, ist eine Eigenschaft des Rings R, die sich in folgendem Satz ausdrückt. Satz 26. Sei R ein noetherscher Bereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) Jedes Primideal P 0 ist maximal. (b) Für jedes Ideal I 0 von R existieren maximale Ideale M 1,...,M n 0 mit M 1 M n I. Beweis. (a) (b): Angenommen, (b) gelte nicht für ein Ideal I 0. Da R noethersch ist, finden wir dann ein maximales J R unter diesen Idealen I, welche (b) nicht erfüllen. Dieses J kann kein Primideal sein. Sonst wäre es nämlich nach (a) maximal, und dann wäre (b) mit n = 1 erfüllt. Also existieren Ideale I 1,I 2 von R mit I 1 I 2 J, aber I 1,I 2 J. Hieraus folgt (I 1 +J)(I 2 +J) I 1 I 2 +I 1 J +JI 2 +J 2 J und I i + J J. Folglich gilt (b) für I 1 + J und I 2 + J, d. h. es gibt maximale Ideale M 1,...,M n 0 mit M 1 M n (I 1 + J)(I 2 + J) J, im Widerspruch zur Annahme. 20

(b) (a): Sei P 0 ein Primideal, und sei M 1 M n P mit maximalen Idealen M 1,...,M n 0. Dann muß nach (37) M i P für ein i {1,...,n} gelten, d. h. P ist maximal. Im Gegensatz zu Zahlen gilt für I A(R) stets (R : I)I R, (45) aber nicht ohne weiteres die Umkehrung. Wir nennen I A(R) invertierbar, wenn ein J A(R) mit IJ = R existiert. Wegen (45) ist dann automatisch J (R : I) = (R : I)IJ RJ = J, also J = (R : I). Wir schreiben daher auch I 1 := (R : I), falls I invertierbar ist. Nun sind wir in der Lage, den allgemeinen Fundamentalsatz zu formulieren. Definition 11. Ein ganz abgeschlossener noetherscher Bereich R, in welchem jedes Primideal P 0 maximal ist, heißt ein Dedekindring. Satz 27. Für einen noetherschen Bereich R mit Quotientenkörper K sind folgende Aussagen äquivalent: (a) R ist ein Dedekindring. (b) Jedes maximale Ideal M 0 ist invertierbar. (c) A(R) ist eine freie abelsche Gruppe mit den maximalen Idealen M 0 als Basis. Beweis. (a) (b): Sei M 0 ein maximales Ideal. Dann gibt es ein a M K, und nach Satz 26 gibt es maximale Ideale M 1,...,M n 0 mit M 1 M n (a) M. Wir wählen hierbei n minimal. Da M ein Primideal ist, folgt M i M für ein i {1,...,n}, also M i = M. Sei o. B. d. A. i = n. Wir setzen M := M 1 M n 1. Dann ist also M M (a), und somit M M(a 1 ) R. Angenommen, wir hätten sogar M M(a 1 ) M. Nach Satz 25 ergäbe dies M (a 1 ) (M : M) = R, und damit M (a). Das widerspricht aber unserer Annahme, daß n minimal gewählt ist. Folglich ist M M(a 1 ) M, d. h. M M M(a 1 )+M R. Wegen der Maximalität von M erhalten wir sonach M M(a 1 )+M = R, d. h. M(M (a 1 )+R) = R, womit die Invertierbarkeit von M gezeigt ist. (b) (c): Wir zeigen zunächst: Jedes Ideal I 0 von R ist ein endliches Produkt maximaler Ideale. Für I = R ist dies trivial (0 Faktoren). Wir nehmen daher an, daß I R. Dann gibt es ein maximales Ideal M mit I M. Wegen R (R : M) = M 1 ist I IM 1 R. Angenommen, I = IM 1. Dann ist auch I = IM i für beliebige i N. Wegen I 0 finden wir ein a I K, und dann ist (a) (a)m 1 (a)m 2 I. Es existiert also ein n N mit (a)m n = (a)m n 1. Nun ist nach Voraussetzung M invertierbar, und nach Gl. (39) ist auch (a) invertierbar. Also ergibt sich M = R, 21

Widerspruch! Somit ist I IM 1 R. Ist IM 1 R, so können wir mit diesem Ideal ebenso verfahren und erhalten mit M 1 := M schließlich eine aufsteigende Kette I IM 1 1 IM 1 1 M 1 2 von Idealen in R, wobei die M i maximal sind. Da diese Kette nach endlich vielen Schritten mit R enden muß, ergibt sich die gewünschte Darstellung I = M 1 M 2 M n. Sei nun I A(R). Nach Satz 24 gibt es dann ein Element b c K mit b,c R, so daß I ( b), also I c (c 1 ). Hieraus folgt I(c) R, und nach dem eben Gezeigten existieren maximale Ideale M i,n j 0 in R, so daß I(c) = M 1 M m und (c) = N 1 N n. Folglich ist I = M 1 M m N1 1 Nn 1. Insbesondere ist damit jedes Bruchideal I A(R) invertierbar, und die Gruppe A(R) wird von den maximalen Idealen M 0 in R erzeugt. Es bleibt noch die Eindeutigkeit einer Darstellung von I A(R) als Produkt maximaler Ideale M 0 zu zeigen. Sei zunächst M 1 M m = N 1 N n mit maximalen Idealen M i,n j 0. Wir wollen zeigen, daß auf beiden Seiten die gleichen maximalen Ideale stehen und verfahren dazu genau wie im Beweis zu Satz 6. Zunächst ist M 1 M m N n, also M i N n für ein i, da N n Primideal ist. Da M i maximal ist, folgt M i = N n. Wir können die Numerierung so voraussetzen, daß i = m, also M m = N n. Somit erhalten wir M 1 M m 1 = N 1 N n 1 und können so fortfahren, bis entweder die linke oder rechte Seite = R wird. Da ein Produkt M 1 M i nur dann = R sein kann, wenn i = 0 ist, bleiben am Ende keine M i oder N j mehr übrig. Jedes ganze Ideal I 0 hat somit eine eindeutige Zerlegung in maximale Ideale. Hieraus folgt auch sofort die Eindeutigkeit für Bruchideale. Ist nämlich M m 1 1 Mr mr = M n 1 1 Mr nr mit verschiedenen maximalen Idealen M i 0 und m i,n i Z, so können wir durch Multiplikation mit (M 1 M r ) n für ein geeignetes n N erreichen, daß m i + n N und n i +n N für alle i wird. Nach obiger Überlegung ergibt sich dann, daß m i = n i für i {1,...,r} gilt. (c) (a): Sei I A(R). Dann ist S := (I : I) ein Teilring von K, also S S S. Da S A(R) invertierbar ist, folgt hieraus S R, also S = R. Nach Satz 25 ist daher R ganz abgeschlossen. Ferner ist nach Satz 26 jedes Primideal P 0 maximal, und damit ist R ein Dedekindring. Wir werden bald sehen, daß Z[ 5 ] ein Dedekindring ist. Darüber hinaus gilt: Satz 28. Jeder Hauptidealring R ist ein Dedekindring. Beweis. Nach Definition 3 und Definition 10 gilt für p R: (p) Primideal p prim (p) maximal p irreduzibel. Nach Satz 5 ist also jedes Primideal P 0 maximal. Vermöge Satz 7 ist R faktoriell, und nach Satz 19 ist daher R ganz abgeschlossen. 22

6 Längenendliche Moduln Neben der ganzen Abgeschlossenheit hat ein Dedekindring vor allem die Eigenschaft, daß jedes Primideal P 0 maximal ist. Um diese wesentliche Eigenschaft besser zu verstehen, benötigen wir noch etwas mehr Modultheorie. Analog zur Definition einer Primzahl heißt ein Modul einfach, wenn er genau zwei Untermoduln besitzt. Der Nullmodul hat nur einen Untermodul. Er ist also nicht einfach, er ist einfach Null. Wie sehen die nächst einfachen Moduln aus? Definition 12. Sei R ein Ring. Eine Kette 0 = M 0 M 1 M 2 M n = M (46) von Untermoduln eines R-Moduls M heißt Kompositionsreihe von M, wenn die Faktormoduln M i /M i 1 einfach sind. Die (Isomorphieklassen der) M i /M i 1 heißen Kompositionsfaktoren von M. Ein R-Moduls M heißt längenendlich, wenn er eine Kompositionsreihe besitzt. Beispiele. 1. Ein kommutativer Ring R ist nach Satz 23 genau dann einfach (als R-Modul), wenn er ein Körper ist. 2. Eine abelsche Gruppe A, d. i. ein Z-Modul, ist genau dann einfach, wenn A eine Primzahl ist. Ist nämlich A einfach, so wird A von jedem Element a 0 in A erzeugt. A ist also eine zyklische Gruppe mit nur zwei Untergruppen, woraus die Behauptung unmittelbar folgt. 3. Die additive Gruppe von Z/nZ mit n N wird auch kurz mit C n bezeichnet. Für n > 0 ist dies eine zyklische Gruppe der Ordnung n, für n = 0 die unendliche zyklische Gruppe. Die zyklische Gruppe C n hat offenbar zu jedem Teiler m n genau eine Untergruppe mc n. Somit hat C 8 C 9 z. B. die Kompositionsreihe 0 4C 8 0 2C 8 0 C 8 0 C 8 3C 9 C 8 C 9. Der folgende Satz ist als 1. Isomorphiesatz bekannt: Satz 29. Sei R ein Ring, und M ein R-Modul mit Untermoduln U und V. Dann gilt: U/(U V ) = (U + V )/V. (47) Beweis. Wir betrachten den Homomorphismus f : U U + V (U + V )/V, welcher x U in die Restklasse x + V abbildet. Dann ist f surjektiv, und Ker f = U V. Die Isomorphie (47) folgt sonach aus dem Homomorphiesatz. 23

Man veranschaulicht sich (47) am besten an einem Inklusionsdiagramm: U + V U V (48) U V Satz 30. Sei R ein Ring. Ein R-Modul M mit einem Untermodul N ist genau dann längenendlich, wenn N und M/N längenendlich sind. Beweis. Sind N und M/N längenendlich, so können zwei Kompositionsreihen von N bzw. M/N zu einer Kompositionsreihe von M zusammengesetzt werden. Sei umgekehrt M längenendlich mit einer Kompositionsreihe (46), wobei wir n 2 voraussetzen. Zum Beweis, daß N und M/N längenendlich sind, gehen wir induktiv vor. Ist N M n 1, so kann n durch n 1 ersetzt werden. Sei also N M n 1. Dann ist M n 1 M n 1 + N M, also M n 1 + N = M. Nach Induktionsvoraussetzung dürfen wir M n 1 N und M n 1 /(M n 1 N) als längenendlich voraussetzen. Nach Satz 29 sind also auch N und M/N = M n 1 /(M n 1 N) längenendlich. Satz 31 (Jordan-Hölder). Sei R ein Ring und M ein längenendlicher R-Modul. Dann läßt sich jede Kette 0 M 1 M 2 M m = M von Untermoduln zu einer Kompositionsreihe verfeinern, und die Kompositionsfaktoren einschließlich ihrer Vielfachheiten hängen bis auf die Reihenfolge nur von M ab. Beweis. Die erste Aussage folgt aus Satz 30 durch Induktion. Es seien daher 0 M 1 M 2 M m = M und 0 N 1 N 2 N n = M Kompositionsreihen von M, und hierbei sei m minimal. Wir zeigen, daß m = n ist und die Kompositionsfaktoren beider Kompositionsreihen bis auf die Reihenfolge einander entsprechen. Hierzu wenden wir Induktion über n an. Ist M m 1 = N n 1, so greift die Induktionsvoraussetzung. Sei daher M m 1 N n 1. Für D := M m 1 N n 1 gilt dann nach Satz 29 S := M/M m 1 = Nn 1 /D und T := M/N n 1 = Mm 1 /D: S M T M m 1 N n 1 T Nach Satz 30 und der Induktionsvoraussetzung existiert eine Kompositionsreihe 0 D 1 D m 2 = D, deren Kompositionsfaktoren zusammen mit T genau den Kompositionsfaktoren in 0 M 1 M 2 M m 1 entsprechen. Ebenso erhalten wir aus der Induktionsvoraussetzung, daß die Kompositionsreihe von D D S 24

zusammen mit S die gleichen Kompositionsfaktoren wie 0 N 1 N 2 N n 1 besitzt. Damit ist alles bewiesen. Besitzt M eine Kompositionsreihe (46), so heißt die eindeutig bestimmte Zahl l(m) = l R (M) := n die Länge von M. Andernfalls schreibt man l(m) :=. Bemerkung. Ist M ein längenendlicher Modul mit einem Untermodul N, so ergeben die Kompositionsfaktoren von N zusammen mit den Kompositionsfaktoren von M/N die Gesamtheit der Kompositionsfaktoren von M. Ist insbesondere M = M 1 M 2, so erhält man die Kompositionsfaktoren von M durch Zusammenlegung der Kompositionsfaktoren von M 1 und M 2. Definition 13. Sei R ein Ring. Zwei Ideale I,J von R heißen teilerfremd, wenn I + J = R. Beispiel. Für m,n Z ist (m) + (n) = Z genau dann, wenn m und n den größten gemeinsamen Teiler 1 haben, also im gewöhnlichen Sinne teilerfremd sind. Für den nächsten Satz benötigen wir das kartesische Produkt R 1 R n = n i=1 R i von Ringen R 1,...,R n. Addition und Multiplikation sind hierbei gliedweise definiert: (a 1,...,a n ) + (b 1,...,b n ) := (a 1 + b 1,...,a n + b n ) (49) (a 1,...,a n ) (b 1,...,b n ) := (a 1 b 1,...,a n b n ). (50) Satz 32 (Chinesischer Restsatz). Sei R ein Ring mit paarweise teilerfremden Idealen I 1,...,I n. Dann ist R/(I 1 I n ) = n R/I i. (51) Beweis. Wir betrachten den durch f(a) := (a + I 1,...,a + I n ) gegebenen Ringhomomorphismus f : R n i=1 R/I i. Wegen Ker f = I 1 I n genügt es nach dem Homomorphiesatz, zu zeigen, daß f surjektiv ist. Wir zeigen dies zunächst für n = 2. Sei also (a 1 + I 1,a 2 + I 2 ) 2 i=1 R/I i. Dann ist a 2 a 1 R = I 1 + I 2. Somit existieren c 1 I 1 und c 2 I 2 mit a 2 a 1 = c 1 + c 2. Das ergibt f(a 1 + c 1 ) = f(a 2 c 2 ) = (a 1 + I 1,a 2 + I 2 ). i=1 Sei nun n > 2. Wir zeigen mittels Induktion, daß I n + k I i = R (52) i=1 für 1 k < n gilt. Sei also I n + I = R mit I := k 1 i=1 I i schon gezeigt. Aus R = (I n + I)(I n + I k ) = I 2 n + I n I k + II n + II k I n + (I I k ) folgt dann (52). Zum Beweis der Surjektivität von f ist nun zu zeigen, daß zu jedem Element (a 1 + I 1,...,a n + I n ) n i=1 R/I i ein a R mit a a i I i für i {1,...,n} 25