Der GTR ist erlaubt, wird mitunter wirklich benötigt. Bitte lest die Lösungen in Ruhe durch. Ich hoffe sie sind so ausführlich, dass jeder alle Zwischenschritte versteht. Wenn nicht, meldet Euch bitte. Merkt Euch: Das war hier abgefragt wurde, wird noch bis zum Schulende benötigt. Wirklich. Aufgabe 1: Bestimme die Ableitungen folgender Funktionen und vereinfache die Funktionsterme, schreibe sie auf übliche Weise. Vorsicht: Vor dem Ableiten Terme umwandeln! a) [2P] f ( ) 7 5 b) [2P] f ( ) 5 Lösungsvorschlag Aufgabe 1: Bitte merkt Euch, die Terme der Funktion vor dem Ableiten 5 1 7 2 2 auf die Form zu bringen, etwa / / 7 5 5 7 7 7 Außerdem ist es wichtig, die Terme danach wieder in die übliche Form umzuwandeln. Zu a) Hier müssen wir vor dem Ableiten nicht umformen. n 2 '( ) 0 2 ' n ab- f 5 5 Zu b) Vor dem Ableiten müssen wir die Potenzen in die Form 1 2 f ( ) 5 5 leiten und danach formen wir wieder um. 1 1 1 1 1 2 5 9 5 2 f '( ) 5 9 2 2 2 n umschreiben n n 1 Jetzt können wir mit der Regel Aufgabe 2: [P] Welche Bedeutung hat ( 6 ) schreibe als Bruch und berechne. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Urne mit 10 nummerierten Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen und sie in geordneter Reihenfolge anzuordnen? 12 7 5 Welche Bedeutung hat 0,6 0,? Beschreibe die Bedeutung in Worten und 7 berechne den Term. Schreibe auf, wie du den Term am einfachsten mit dem GTR bestimmen kannst. Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung. Seite 1
Lösungsvorschlag Aufgabe 2: 6 65 Es ist 5 15 12 10 1098 Es gibt 15 8 120 Möglichkeiten 12 12 7 5 Der Ausdruck 0,6 0, beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 7 einer Bernoullikette (= Bernoulliprozess, oder n-stufiges Bernoullieperiment, oft auch einfach Bernoullieperiment) mit n = 12 und p = 0,6 genau 7 Treffer P X 7 B 7 erzielt. Man schreibt diesen Term oft auch als 12;0.6 Der GTR liefert hierfür Bpd 7,12,0,6 0, 2270 22,7% Aufgabe : Ein Hobbygärtner kauft im Sonderangebot 120 Blumenzwiebeln. Auf der Packung steht, dass im Durchschnitt von Zwiebeln austreiben. Er stellt fest, dass nur 79 Zwiebeln keimen. Er will nun überprüfen, ob er den Blumenhändler verklagen kann, weil er falsche Angaben gemacht hat. a) [2P] Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zwiebel keimt? Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl der keimenden Zwiebeln pro Packung? Wie groß ist die Abweichung vom Erwartungswert bei der untersuchten Packung? b) [P] Der Gärtner nimmt nun an, dass die Aussage des Händlers richtig ist. Er will die zugehörige Bernoulliverteilung skizzieren. Beschreibe mit Worten die Bedeutung dieser Verteilung. Skizziere grob eine solche Verteilung (nur qualitativ! Wo ist das Maimum). Was bezeichnet man mit n, mit k, was mit p (beschreibe mit Worten und gib die Zahlen für die Aufgabe an). c) [P] Berechne die Werte der Verteilung für folgende Trefferzahlen: Es keimen genau 95, 90, 85, 80, 75. Bezeichne die Werte mit P(X= ) = B ( ) = (Punkte ausfüllen, Formeln ins Heft schreibe) und berechne die Ergebnisse aller Werte mit dem GTR. (Ergebnisse auf drei Stellen angeben) d) [P] Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 79 Zwiebeln keimen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 97 Zwiebeln keimen? Bestimme das größte k so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens k Zwiebeln keimen, weniger als 5% beträgt, d.h. maimales k mit P(X k)<5% Lösungsvorschlag Aufgabe : Zu a) p 0,75 Der Erwartungswert ist E X n p 120 0,75 90 Die Abweichung ist 90 79 11, d.h. es treiben 11 Zwiebeln weniger als zu erwarten war. Zu b) Verteilung, Ma bei k = 90, dem Erwartungswert. Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung. Seite 2
Die Verteilung (die Binomialverteilung, binomial distribution) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau k Zwiebeln keimen, wenn man 120 Zwiebeln in den Boden steckt und wenn die Wahrscheinlichkeit p = 0,75 = 75% ist, dass eine Zwiebel keimt. n = Anzahl der Wiederholungen =120 k = Anzahl der Treffer = Anzahl der treibenden Zwiebeln, hier z.b. 79 p = Wahrscheinlichkeit für einen Treffer = 0,75 = 75% Zu c) MERKE: Wenn eine Zahl auf drie Ziffern angeben werden soll, dann bedeutet das, dass man von der Zahl drei von Null verschiedene Ziffern angeben muss (genauer: die erste Ziffer ist die erste von Null verschiedene Ziffer Beispiel: 0,0012 (Zahl auf drei Ziffern gerundet) 0,0012 (Zahl auf zwei Ziffern genau) 120 95 25 P X 95 B120;0.75 95 0, 75 0, 25 Bpd 95,120, 0.75 5, 01% 95 120 90 0 P X 90 B120;0.75 90 0, 75 0, 25 Bpd 90,120, 0.75 8,9% 90 120 85 5 P X 85 B120;0.75 85 0, 75 0, 25 Bpd 85,120, 0.75, 67% 85 Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung. Seite
120 80 0 P X 80 B120;0.75 80 0, 75 0, 25 Bpd 80,120, 0.75 0,958% 80 120 75 5 P X 75 B120;0.75 75 0, 75 0, 25 Bpd 75,120, 0.75 0, 0776% 75 Zu d) 79 79 k 120k 79 120;0.75 0,75 0,25 k0 k0 k P X B k Bcd 79,120, 0.75 1,55% 120 120 P X B k 1 P X 97 1 97,120, 0.75 5,% Bcd 120 120 k 120k 97 120;0.75 0,75 0,25 k971 k971 k Da gilt: P X 81 Bcd 81,120, 0.75,9% Bcd P X 82 82,120, 0.75 5,96% Ist das gesuchte k = 81 Aufgabe : [P] Der Biologielehrer will, dass seine Schüler untersuchen, ob die Haarfarbe und die Augenfarbe unabhängig sind. Von den 00 untersuchten Schülern der Schule sind 88 schwarzhaarig (S), 72 braunäugig (B). Von den Schwarzhaarigen haben 0 braune Augen (SB). Ist die Augenfarbe unabhängig von der Haarfarbe? Erkläre, was zu berechnen und überprüfen ist und rechne dann. Lösungsvorschlag Aufgabe : Zwei Merkmale, zwei Ereignisse S und B sind unabhängig, genau dann P S P B P S B P SB 88 22 72 18 Es gilt hier: PS 22% und PB 18% 00 100 00 100 0 10 Außerdem ist PSB 10% 00 100 Nun ist 0, 220,18 0,096 0,10 Also sind die Merkmale nicht unabhängig, sondern abhängig (genetisch gekoppelt, Folgen gleicher Gene) Variante: P S B P S Man kann auch zeigen, dass PB PB S Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung. Seite
d.h. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand braunäugig ist, ist gleich groß, wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schwarzhaariger braunäugig ist. Vereinfacht: Die Eigenschaft schwarzhaarig zu sein, hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, braunägig zu sein. PS B Die Aussage PB PB S ist ja gleichwertig zu P S PB PS PS B In unserer Aufgabe gilt PS B SB 0 72 S PB S 0, 5 0,18 P S S 88 00 n Einige haben im Vorfeld eine Vierfeldertafel erstellt. Dies war zwar nicht gefragt, aber damit kann man die Daten doch recht übersichtlich darstellen, so das man die Wahrscheinlichkeiten dann einfach berechnen kann. S ns B 0 2 72 nb 8 280 28 88 12 00 Aufgabe 5: [P] In einer Studie wurde ein Medikament getestet. Die Ergebnisse sind in der Tabelle dargestellt. Dabei bedeuten: : Medikament erhalten M M : Placebo erhalten G : Gesund geworden G : Nicht gesund geworden Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) eine Person gesundet, von der man weiß, dass sie das Medikament erhalten hat, b) eine Person gesundet, c) Ist das Gesundwerden abhängig von der Einnahme des Medikamentes? Begründe. Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung. Seite 5
Lösungsvorschlag Aufgabe 5: M G PM G 100 M G 2000 80% PM M M 2500 5 100 Vorsicht, die Grundgesamtheit ist hier nicht die Menge aller Teilnehmer, sondern nur die Teilnehmer, die ein Medikament erhielten, also nicht n=100 sondern n=2500. Formal ist dies eine bedingte Wahrscheinlichkeit. a) PG M Unterschiede auch zwischen einer Menge (einem Ereignis) G und der Anzahl der Elemente G. b) PG G 200 58,5% n 100 c) G und M sind unabhängig, wenn PG PM PG M M 2500 PM 61,0% und n 100 M G 2000 P( M G) 8,8% n 100 P G P M 0,585 0,610 0,57 0, 88 P G M sind die Ereignisse Da nicht unabhängig, d.h. die Einnahme vergrößert die Wahrscheinlichkeit, dass jemand gesund wird. Natürlich kann man auch die Variante von Aufgabe zeigen. *Aufgabe: [+2P] Im Schwimmbad gibt es Kassenautomaten. Mittags von 1 Uhr bis 16 Uhr kommen mit 80 Gäste pro Stunde die meisten Besucher. Sie benötigen im Mittel eine Minute, um die Karte zu zeihen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss niemand warten? Lösungsvorschlag *Aufgabe: Für jede Minute der Stunde gilt: Jeder der 80 Besucher kommt in dieser Minute 1 mit der Wahrscheinlichlkeit p Von den 80 möglichen Bescuhern kommen k in dieser untersuchten Minute. Dies ist eine Bernoullikette. 60 Die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Minute niemand warten muss ist k 80k 80 1 59 P X B 1 k 95,5% 80; k0 60 k0 k 60 60 Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung. Seite 6