Elektrische und magnetische Eigenschaften von Stoffen Version vom 11. November 2016
Inhaltsverzeichnis 1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes 1 1.1 Grundlagen................................... 1 1.1.1 Begriffe................................. 1 1.1.2 Allgemeines zur elektrischen Leitfähigkeit in Festkörpern und Flüssigkeiten................................. 1 1.1.3 Flüssigkeiten.............................. 2 1.1.4 Festkörper................................ 4 1.2 Aufgabenstellung................................ 8 1.3 Versuchsaufbau und Durchführung...................... 9 1.4 Hinweise zur Protokollierung und Fehlerrechnung.............. 12 2 Magnetische Hysteresekurve 13 2.1 Grundlagen................................... 13 2.1.1 Magnetismus in Materie........................ 13 2.1.2 Diamagnetismus............................. 15 2.1.3 Paramagnetismus............................ 16 2.1.4 Ferromagnetismus............................ 16 2.1.5 Ferri- und Antiferromagnetismus................... 21 2.2 Aufgabenstellung................................ 22 2.3 Versuchsaufbau und Durchführung...................... 22 3 Empfohlene Zusatzliteratur 25
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Lehr/Lernziele Kenntnis zur Abhängigkeit des elektrischen Widerstandes von der Temperatur. Verstehen und Anwenden der mathematischen Modelle für die Beschreibung der Temperaturabhängigkeit elektrischer Widerstände. Verstehen und Anwenden komplexer Messaufbauten und Messschaltungen (z.b. Wheatstonebrücke, RC-Integrierglied). Überblick über die Thematik des Magnetismus in Materie. Verständnis für das Verhalten von Ferromagneten im magnetischen Wechselfeld. Erweiterung der Fertigkeiten bezgl. computergestützter Messwerterfassung und Datenverarbeitung. 1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes 1.1 Grundlagen 1.1.1 Begriffe Grundlagen der Halbleiterphysik (Bandlücke, Fermienergie, elektrische Leitfähigkeit, pn-übergang, Kennlinie), NTC, PTC, Temperaturabhängigkeit von Leitfähigkeit bzw. Widerstand, metallische Bindung, Kirchhoff sche Regeln, Elektrolyte, Anionen und Kationen, Dissoziation, Ionen-Beweglichkeit, Methode der kleinsten Fehlerquadrate 1.1.2 Allgemeines zur elektrischen Leitfähigkeit in Festkörpern und Flüssigkeiten Die elektrischen Eigenschaften von Stoffen werden ganz wesentlich durch die Wirkung der in ihnen vorkommenden Elektronen bestimmt. Voraussetzung für das Fließen eines elektrischen Stromes ist in jedem Fall das Vorhandensein von frei beweglichen Ladungsträgern, also Ladungsträgern, die sich unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes innerhalb des Stoffes bewegen können. Der Widerstand eines elektrischen Leiters ist von seinen Dimensionen und seiner elektro- - 1 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Abbildung 1: Prinzipieller Verlauf der Konzentrationsabhaengigkeit der Leitfähigkeit (hier mit κ bezeichnet!) bei konstanter Temperatur. nischen Beschaffenheit abhängig. Der ohmsche Widerstand R wird nach R = ρ l A (1) berechnet, worin l die Länge, A der Querschnitt und ρ der spezifische Widerstand des Leiters sind. Gl. 1 gilt für lange Proben, deren Längen wesentlich größer sind als die Querdimensionen. Bei komplizierteren Geometrien steht anstelle von l/a ein allgemeiner Geometriefaktor, den man bei Elektrolyten meist konventionell festlegt (siehe unten). Der Leitwert ist der Reziprokwert des Widerstandes. Dem spezifischen Widerstand ρ entspricht der spezifische Leitwert, auch Leitfähigkeit σ = 1/ρ genannt. Die Maßeinheit der Leitfähigkeit ist S m 1 (S = 1/Ω = Siemens). Allgemein gilt für die Leitfähigkeit: σ = e 0 n µ (2) e 0 steht für die Elementarladung (hier wird vorausgesetzt, dass die Ladungsträger 1-fach geladen sind), n für die Ladungsträgerdichte (= Anzahl pro Volumen) und µ für die Beweglichkeit der Ladungsträger. An Gleichung 2 sieht man, dass die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes bzw. der Leitfähigkeit dadurch zustande kommt, dass entweder µ oder n oder beide temperaturabhängig sind. 1.1.3 Flüssigkeiten Gleichung 1 gilt auch für Elektrolytlösungen. Anstelle der Länge tritt hier die Entfernung der Elektroden, die man in cm angibt. Statt des Querschnitts setzt man die wirksame Elektrodenoberfläche in cm 2 ein. In einem Elektrolyten ist eine Substanz (z.b. NaCl) gelöst, welche in positive Ionen (Kationen) und negative Ionen (Anionen) zerfällt (Dissoziation). Befindet sich ein z-fach geladenes Ion A z+ in einem elektrischen Feld, so findet eine Wanderung des geladenen Ions - 2 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes zur entgegengesetzt geladenen Elektrode statt. Anionen und Kationen driften in entgegengesetzte Richtungen. Somit hängt der Widerstand R von der bereits erwähnten Geometrie der Messzelle, von der Art der Ionen (Größe, Ladung) und der Konzentration c des Elektrolyten ab. c bestimmt die Ladungsträgerdichte n in Gl. 2. Abb. 1 zeigt die Abhängigkeit der Leitfähigkeit von c (bei konstanter Temperatur!). Zunächst erwartet man, dass die Leitfähigkeit eines starken Elektrolyten 1 stetig mit der Ionenkonzentration zunimmt, siehe Abb. 1 links. Diese Erwartung wird nur für kleine Konzentrationen bestätigt (Bereich I in Abb. 1 rechtes Bild). Mit steigender Konzentration steigt nämlich auch die gegenseitige Behinderung der Ionen, die ein Sinken der Leitfähigkeit zur Folge hat (Bereich II in Abb. 1). Die sich ausbildenden Ionenwolken (Assoziate) führen zur Abschirmung von Ladungsträgern. Bei einem bestimmten Wert von c wird ein Maximum erreicht, wo sich beide Effekte gerade kompensieren. Danach tritt trotz Erhöhung von c eine Abnahme der Leitfähigkeit ein, da der Dissoziationsgrad abnimmt. Die Leitfähigkeit σ einer Elektrolytlösung ist stark temperaturabhängig. Leitfähigkeitsdaten sind somit immer nur mit einer Temperaturangabe verwendbar und zwar ist sowohl der Dissoziationsgrad, als auch die Beweglichkeit der Ionen temperaturabhängig, was zu sehr unterschiedlichen Temperaturabhängigkeiten der Widerstandes führen kann. Wir beschränken uns hier auf kleine Konzentrationen c und starke Elektrolyten (siehe Abb. 1). In diesem Fall kann man von einer vollständigen Dissoziation ausgehen, daher ist n nahezu temperaturunabhängig. Die Temperaturabhängigkeit von σ wird dann nur von der Beweglichkeit der Ionen µ bestimmt und diese hängt hauptsächlich von der Viskosität η der Flüssigkeit ab. η sinkt exponentiell mit steigender Temperatur: η = η 0 e E A k B T (3) wobei η 0 und E A (Aktivierungsenergie, auch Platzwechselenergie) materialspezifische Konstanten darstellen. k B ist die Boltzmannkonstante. Je kleiner η, desto größer µ, daher erwartet man aus Gl. 3, dass die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur exponentiell zunimmt und ρ = 1/σ exponentiell abnimmt. Bei gleichbleibender Geometrie der Flüssigkeitsprobe sollte man für die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes R finden: wobie R 0 eine empirische Konstante ist. R = R 0 e E A k B T (4) 1 Starke Elektrolyte sind in Lösung vollständig dissoziiert, so dass die Konzentration der Ionen proportional zu der Konzentration des Elektrolyten ist. Dazu gehören ionische Verbindungen wie KCl, NaCl, MgCl 2, CuSO 4 etc. und starke Säuren wie H 2 SO 4, HCl, HClO 4 u.a. Zu den schwachen Elektrolyten gehören schwache Säuren (z.b. Essigsäure), sowie schwache Basen (z.b. Ammoniak), die in Lösung nicht vollkommen dissoziiert sind. - 3 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes 1.1.4 Festkörper In Festkörpern, deren Atomrümpfe mehr oder weniger fest aneinander gebunden sind, können ganze Moleküle oder Atome nicht als Ladungsträger dienen. Hier sind es im Allgemeinen Elektronen aus den Atomhüllen. Allerdings nicht alle Elektronen, sondern nur solche in bestimmten Zuständen - so genannte Leitungselektronen. Elektronen können in einem Festkörper ebenso wie in einem Atom nur diskrete Energiewerte annehmen. Die Wechselwirkung der Elektronen in Festkörpern führt aber dazu, dass jedes Energieniveau in N Niveaus aufgespaltet wird (N ist die Anzahl der Einzelatome im Festkörper), die mit 2N Elektronen besetzt werden können. Bedenkt man, dass sich in einem Festkörper von 1 cm 3 Größe etwa N = 10 22 Atome befinden, so ist evident, dass die Anzahl der möglichen Energieniveaus sehr groß und sie so dicht nebeneinancer liegen, dass sie quasi-kontinulierlich erscheinen. Man spricht daher von Energiebändern. Jeder Festkörper besitzt eine Vielzahl an Energiebändern, zwischen denen sich auch Zonen befinden, die keine erlaubten Energiezustände aufweisen, sogenannte Energiebandlücken, engl. gaps. Das oberste, von Elektronen (fast) vollständig besetzte Band nennt man Valenzband, das nächsthöhere das Leitungsband. Die Größe dieser Energiebandlücke E g ( g steht für Gap ) zwischen Valenz- und Leitungsband ist charakteristisch für die elektrischen Eigenschaften des Materials. Die Fermi-Energie E F ist eine charakteristische Größe zur Beschreibung von Fermi-Gasen (z.b. Elektronen), einem quantenmechanischen Modell für Teilchen. Im Grundzustand T = 0 K sind alle Zustände bis zu E F besetzt, darüber unbesetzt. Mit steigender Temperatur steigt die Besetzungswahrscheinlichkeit oberhalb von E F und sinkt unterhalb von E F. Abbildung 2: Energiediagramm zum Bändermodell - 4 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Befindet sich E F innerhalb eines Energiebandes, so können Elektronen bereits bei sehr kleinen Temperaturen T > 0 K die winzigen Energieunterschiede zwischen besetzten und unbesetzten Energieniveaus überwinden. Liegt E F innerhalb eines Gaps, so benötigen die Elektronen mindestens die Lücken-Energie (Gap-Energie) E g, um in einen angeregten Zustand (in das Leitungsband) überzugehen. In Metallen liegt E F innerhalb eines Energiebandes (vgl. Abb. 2). Die Elektronen in der Nähe von E F können sich schon im Grundzustand praktisch frei bewegen, da immer freie Energieniveaus in der Nähe vorhanden sind. Diese Leitungselektronen 2 sind delokalisiert und können mit Hilfe elektrischer Felder leicht innerhalb des Festkörpers verschoben werden. Darum nennt man die Leitungselektronen in Metallen auch Elektronengas. Die Anzahl der Ladungsträger im Metallen ist über weite Bereiche konstant und von der Temperatur unbeeinflusst. Da aber bei steigender Temperatur die Atomrümpfe stärker schwingen, wird die Bewegung der Elektronen in Metallen stärker behindert und die Beweglichkeit µ sinkt. Folglich sinkt die Leitfähigkeit und der elektrische Widerstand R(T ) steigt. Metalle haben daher einen positiven Temperaturkoeffizienten (PTC - positive temperature coefficient) und man nennt sie deswegen auch Kaltleiter. Über weite Temperaturbereiche kann R(T ) mit einem Polynom höherer Ordnung beschrieben werden. In mittleren und höheren Temperaturbereichen verläuft er näherungsweise linear: R(T ) = R T0 [1 + α(t T 0 )] (5) wobei T 0 eine Referenztemperatur innerhalb des betrachteten Temperaturbereiches ist und R(T 0 ) der zugehörige Widerstand. Tabelle 1 zeigt ausgewählte Parameter einiger Metalle und Legierungen. 2 Leitungselektronen sollten nicht mit freien Elektronen verwechselt werden, welche komplett von Atomen losgelöst existieren (z.b. β -Strahlung, Elektronenstrahlen in elektrischen Bauteilen,...). - 5 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Tabelle 1: Leitfähigkeit und Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstands einiger Werkstoffe bei 20 C. Elektrische Temperaturkoeffizient Material Leitfähigkeit des spez. Widerstands σ (S m 1 10 6 ) α 20 (K 1 10 3 ) Silber 62.89 4.1 Kupfer 59.77 4.3 Gold 42.55 4.0 Aluminium 37.66 4.5 Molybdän 19.20 4.35 Wolfram 17.69 4.8 Nickel 14.60 6.8 Eisen 10.29 6.5 Platin 9.48 3.8 Blei 4.76 4.22 Konstantan 2.0-0.035 Bei sehr tiefen Temperaturen sind die Gitterschwingungen eingefroren, die Elektronen werden nur noch am nicht perfekten Gitteraufbau, also an Störstellen gestreut (was sind die Störstellen in einem Metall?) und daher mündet die R(T )-Kurve bei T = 0 K in den endlichen Restwiderstand R 0. Beachten Sie die Information zum Ladungstransport in Metallen in der Grundlagen-Vertiefung auf der elearning Seite von PW10 In Halbleitern liegt E F im Gap zwischen Valenz- und Leitungsband. Das Gap ist zwar schmal (siehe Abb. 2 und Tab. 2), aber immer noch groß gegenüber der thermischen Energie der Elektronen bei Zimmertemperatur ( 25 mev). Da die Energie der Elektronen jedoch statistisch verteilt ist, haben immer einige Elektronen genügend Energie, um - anschaulich formuliert - vom Valenzband ins Leitungsband zu gelangen. Für jedes Elektron, das ins Leitungsband gelangt, bleibt ein unbesetzter Energiezustand (Loch) im Valenzband zurück (Paarbildung). Löcher und Leitungselektronen tragen beide zur Leitfähigkeit bei. Je höher die Temperatur ist, desto mehr Elektronen befinden sich im Leitungsband und desto mehr Löcher befinden sich im Valenzband. Die Ladungsträgerdichte ist daher bei Halbleitern stark temperaturabhängig. - 6 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Tabelle 2: Energiebandlücken ausgewählter Materialien in ev. Material 0 K 300 K Diamant 5.4 5.46-6.4 Si 1.17 1.12 Ge 0.75 0.67 Se 1.74 InAs 0.43 0.355 GaAs 1.52 1.43 ZnO 3.436 3.37 Legt man an den Halbleiter eine äußere Spannung, so driften die Elektronen zur positiven Elektrode und die Löcher im Valenzband in die entgegengesetzte Richtung. Im Unterschied zu Metallen sind bei reinen Halbleitern stets Elektronenstrom und Löcherstrom am Leitungsvorgang beteiligt. 3 Die Leitfähigkeit σ ergibt sich aus den Beweglichkeiten der Leitungselektronen µ und der Löcher µ +, sowie der intrinsischen Ladungsträgerdichte n i (Dichte der Leitungselektronen bzw. Dichte der Löcher): σ = e 0 n i ( µ + µ +). Aus der Fermi-Dirac-Statistik folgt σ n i e Eg 2k B T. (6) Die Ladungsträgerdichte steigt in Halbleitern also exponentiell mit der Temperatur an. Gl. 6 ist nur eine Näherung, die innerhalb gewisser Temperaturbereiche gilt. Die Energiebandlücke ist temperaturabhängig (siehe dazu Tab. 2). Wie in jedem Festkörper nehmen µ und µ + mit steigender Temperatur ab. Bei Zimmertemperatur und darüber wird dieser Effekt allerdings durch die Zunahme von n i bei weitem überkompensiert. Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern steigt dann exponentiell mit der Temperatur an, der Widerstand nimmt exponentiell ab - sie haben einen negativen Temperaturkoeffizienten (NTC - negative temperature coefficient), man nennt sie auch Heißleiter. Wegen Gl. 6 kann R(T ) bei hohen Temperaturen mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden. ( ) R(T ) = R T0 e b 1 1 T 0 T (7) 3 Es sollte hier wie schon in PW 1 betont werden, dass der Ladungstransport des Elektronenstromes und des Löcherstromes in die gleiche Richtung erfolgt, eben weil die beiden Teilchenarten in entgegengesetzte Richtungen driften; das hat nichts mit einer technischen Konvention zu tun ( technische Stromrichtung ), sondern ist eine logische Folge der entgegengesetzten Vorzeichen der Ladungen. - 7 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes T 0 ist eine Referenztemperatur, R T0 der Widerstand bei dieser Temperatur. Gl. 7 ist eine Näherungsformel, wobei T 0 als die untere Grenze eines interessierenden Temperaturbereiches zu verstehen ist, also für T T 0. Nach Gl. 6 besteht zwischen dem Temperaturkoeffizienten b und der Lückenenergie E g folgender Zusammenhang: b = E g 2k B (8) Dieser Zusammenhang ist jedoch von vielen Parametern wie Gitterfehlstellen, Verunreinigungen etc. abhängig und kann daher nur als Abschätzung der Größenordnung verstanden werden. Tabelle 3 fasst die wichtigsten (nicht-trivialen) Parameter zusammen. Tabelle 3: Wichtige Größen zur Beschreibung von Halbleitern Formelzeichen Einheit Bezeichnung b K Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes E g J bzw. ev Energielücke k B J/K bzw. ev/k Boltzmannkonstante Bei Isolatoren ist das Gap sehr breit, wie man in Abb. 2 erkennen kann. Es können praktisch keine Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband gelangen. 1.2 Aufgabenstellung 1. Bestimmen Sie den elektrischen Widerstand R(T ) eines Halbleiters, eines Metalles und eines Elektrolyten in Abhängigkeit von der Temperatur zwischen Zimmertemperatur und 80 C. 2. Tragen Sie R(T ) des Metallwiderstandes mit Hilfe eines geeigneten Auswerteprogrammes wie z.b. QTIPlot grafisch auf und bestimmen Sie den Temperaturkoeffizienten α mittels eines Kurven-Fits (Regression). Wählen Sie dazu eine möglichst günstige grafische Auftragung. Um welches Metall könnte es sich handeln? 3. Führen Sie eine analoge Auswertung an den Messdaten des Halbleiters durch und bestimmen Sie die Breite der Bandlücke E g des Halbleiters. Um welchen Halbleiter könnte es sich handeln? 4. Tragen Sie R(T ) des Elektrolyten mit Hilfe eines geeigneten Auswerteprogrammes wie z.b. QTIPlot grafisch auf und diskutieren Sie die Temperaturabhängigkeit. Verhält sich R(T ) so, wie man es aufgrund von Gleichung 3 erwarten kann? Wenn ja, bestimmen Sie die Aktivierungsenergie E A pro Mol des vorliegenden Elektrolyts. - 8 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes 1.3 Versuchsaufbau und Durchführung Abbildung 3: Schaltskizze zur Messung der temperaturabhängigen Widerstände sowie eines Elektrolyten Automatische Messung mit Cassy: Der Aufbau besteht aus zwei Schaltkreisen. Die in Abb. 3 oben dargestellte Schaltung dient zur Widerstandsmessung des Elektrolyten. Dieser benötigt eine Wechselspannung um Polarisationseffekte an den Elektroden zu vermeiden. Hier wird mit einer Spannung von ca. 11V gearbeitet. Diese Spannung wird an einem Netzgerät (siehe Abb. 4, 1) abgenommen. In dem Schaltkreis werden zwei Messungen vorgenommen: Eine Spannungsmessung an einem bekannten Widerstand R 0 = 2180Ω und eine Spannungsmessung direkt am Elektrolyten. Daraus kann mit den Kirchhoff schen Gesetzen und dem Ohm schen Gesetz der unbekannte Widerstand berechnet werden. Für die Messung mit Cassy benötigen Sie 2 Sensor-Cassys, die kaskadiert (zusammengesteckt sind). An den Eingängen B1 und B2 messen Sie diese beiden Spannungen. Achten Sie bei der Konfiguration der Spannungsmessung darauf, dass es sich um eine Wechselspannung handelt und dass die Messbereiche passen. Mit Hilfe der beiden Spannungen und dem bekannten Widerstand kann der Widerstand des Elektrolyten in Cassy Lab direkt berechnet werden. Dazu müssen Sie im Fenster Einstellungen im Rechner eine neue Formel eingeben. Es empfiehlt sich, im Hinblick auf alle weiteren Messungen, für den Bereich der Widerstandsdarstellung 0-3000Ω und 2 Dezimalstellen zu wählen. - 9 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Abbildung 4: Die wichtigsten Geräte für die Messung der temperaturabhängigen Widerstände: 1. 8V Netzgerät, 2. Heizung, 3. Wasserbad mit (a) Rührwerk, (b) PTC, (c) NTC, (d) Elektrolyt, (e) Temperaturmesser Der zweite Stromkreis wird mit einer Gleichspannung von ungefähr 2V betrieben. Diese wird direkt an einem Sensor-Cassy abgenommen, wozu Sie die Spannungsquelle S in Cassy Lab aktivieren müssen und ihren genauen Wert manuell einstellen (schwarzes Einstellrad am Sensor-Cassy). Leider ist es nicht möglich den momentanen Spannungswert gleich im Programm zu sehen, daher müssen Sie diesen extra messen, um ihn auf den gewünschten Wert einzustellen. Die Widerstände können wie in Abb. 3 bei bekannter Spannung mittels Strommessung an den Sensor-Cassy-Eingängen A1 und A2 in einer stromrichtigen Schaltung gemessen werden. Der Spannungsabfall an den Amperemetern wird aufgrund ihres geringen Innenwiderstandes vernachlässigt, sodass man mit der Netzspannung des Cassy-Moduls und der gemessenen Stromstärke die Widerstände berechnen kann. Auch hier müssen die Messungen in Cassy Lab richtig konfiguriert werden. Tipp: die Ströme, die fließen werden, sind so klein, dass die größtmögliche Auflösung notwendig ist. Geben Sie wieder die notwendigen Formeln ein, um die Widerstände von Cassy Lab automatisch berechnen zu lassen. Wenn Sie vollautomatisch messen wollen, müssen Sie noch den Temperatursensor aktivieren. Für zumindest einen der drei Widerstände müssen die Messparameter festgelegt werden (diese gelten dann für alle gemessenen und errechneten Größen). Es empfiehlt sich eine Messung pro Minute durchzuführen. Nachdem die Messung im Erwärmungsprozess durchgeführt wird, können Sie eine automatische Stopp-Bedingung einrichten, die die Messung bei der gewünschten Temperatur beendet. - 10 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Bei Darstellung (im Fenster Einstellungen ) achten Sie darauf, dass nur die drei Widerstände gegen die Temperatur dargestellt werden. Für die genauere Handhabung von Cassy Lab 2 lesen Sie das Dokument Erste Schritte mit Cassy Lab und ULAB auf der elearning-seite des Anfängerpraktikums. Temperaturregelung: Die drei zu bestimmenden Widerstände befinden sich allesamt in einem Wasserbad (destilliertes Wasser verwenden, ggf. Wasser nachfüllen). In Abb. 3 wird dieses schematisch durch das blaue Kästchen dargestellt. Das Wasser wird mit einem Magnetrührwerk (siehe Abb. 4, 3a) durchgehend in Bewegung gehalten, um einen Temperaturgradienten innerhalb des Gefäßes so gut es geht zu vermeiden. Mittels regulierbarer Heizplatte (siehe Abb. 4, 3e) wird das Wasser von Zimmertemperatur auf ca. 80 C erhitzt. Dazu stellen Sie den Temperaturregler auf einen mittleren Wert ein (z.b. 200 C), dann erwärmt sich das Wasser langsam genug, um die Messung während des Erwärmens durchführen zu können. Auswertung: Die Daten aus der Messwerttabelle in Cassy Lab können Sie mit Copy-Paste in jedes beliebige Datenauswertungsprogramm exportieren. Berechnet man den Widerstand eines PTCs mittels Formel 5, kann dieser ein wenig variieren, je nachdem welche Referenztemperatur T 0 gewählt wird. Daher wird bei Literaturangaben immer ein Referenzwert angeführt, um einen Vergleich zu ermöglichen. Tabelle 1 bezieht sich auf eine Referenztemperatur von 20 C. Aus diesem Grund sollten Sie für Ihre Auswertung T 0 auf 20 C setzen, damit Sie Ihre Ergebnisse mit denen der Tabelle vergleichen können. Wenn Sie nun R(T ) gegen (T T 0 ) auftragen, ersparen Sie sich einerseits die Umrechnung auf Kelvin, da Temperaturdifferenzen in beiden Skalen ident sind, andererseits können Sie dann den Wert für den Temperaturkoeffizienten α T =20 C von dem Auswertungsprogramm berechnen lassen und diesen mit Tabelle 1 vergleichen. Auch die Lücken-Energie E g des Heißleiters bestimmt man aus dem Anstieg einer linearen Funktion. Dazu müssen Sie die betreffende Gleichung 7 in folgende Form bringen: ln R(T ) R T0 = b 1 T + d (9) R T0 ist dabei ein (beliebiger) Referenzwert für den Widerstand, der bei der Referenztemperatur T 0 auftritt 4. Ihre Daten können Sie in QTI-Plot schnell und einfach umrechnen. Beachten Sie hierzu die Erklärungen im Praktikumsleitfaden für Studierende. Um aus der 4 Die Division durch den Referenzwert ist notwendig, damit Sie auf der linken Seite der Gleichung den natürlichen Logarithmus von einer dimensionslosen Zahl bilden können. - 11 -
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Steigung b die Energielücke E g zu bestimmen, ist es nützlich, den Wert der Boltzmannkonstanten k B in geeigneten Einheiten zu kennen: k B = 8.616 10 5 ev/k. Gehen Sie bei der Auswertung der Temperaturabhängigkeit des Elektrolyten analog vor wie beim NTC, für den Fall, dass ein exponentieller Zusammenhang vorliegt, denn dann ist die Viskosität der leitfähigkeitsbestimmende Faktor und es gilt R η. Da Sie eine wässrige Lösung im Experiment verwenden, entspricht die Platzwechselenergie E A E H, der Energie der Wasserstoffbrückenbindung. Für schwache Wasserstoffbrückenbindungen liegt 5kJ/mol < E H < 40kJ/mol. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis. 1.4 Hinweise zur Protokollierung und Fehlerrechnung Vergessen Sie die Interpretation der Daten nicht. Sie bestimmen hier Materialkonstanten: Dazu existieren Vergleichswerte in der Literatur. Um welche Materialien könnte es sich handeln? Welche Fehlerquellen beeinflussen Ihre Messungen? - 12 -
2 Magnetische Hysteresekurve 2 Magnetische Hysteresekurve 2.1 Grundlagen 2.1.1 Magnetismus in Materie Magnetfelder werden durch das Wirbelfeld B beschrieben, welches als Magnetfeld, magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte bezeichnet wird. Wirbelfeld deshalb, weil keine magnetischen Ladungen (Mono-Pole) existieren, mathematisch ausgedrückt: div B = 0. 5 Magnetfelder können durch elektrische Ströme erzeugt werden, sie sind aber auch Eigenschaften von Materie: Bereits um 1100 verwendeten chinesische Seefahrer Magnetnadeln zur Navigation von Schiffen. Jede Materie erfährt in einem äußeren Magnetfeld B 0 eine Magnetisierung M, welche ein inneres Magnetfeld B m verursacht. M kommt durch die Wechselwirkung des äußeren Magnetfeldes B 0 mit den magnetischen Momenten der Materie m m zustande. Das Modell, welches man hierzu als Vorstellungshilfe verwenden kann, ist jenes der atomaren Kreisströme, wie in Abb.5 illustriert. Abbildung 5: Modell atomarer Kreisströme, bei der die magnetischen Momente parallel zur Zylinderachse orientiert sind. Je nach Stromflussrichtung verstärken oder schwächen nun die magnetischen Momente der Materie das äußere Magnetfeld. B = B 0 + B m = B 0 + µ 0 M (10) 5 Zur Beschreibung von Magnetfeldern kann auch die magnetische Feldstärke H verwendet werden. Es gilt die Beziehung: B = µ 0 H (im Vakuum). Man kann allerdings sämtliche magnetischen Phänomene auch allein mithilfe von B beschreiben, wie es in dieser Anleitung gemacht wird. - 13 -
2 Magnetische Hysteresekurve Formelzeichen Einheit Bezeichnung B T (Tesla) Gesamtmagnetfeld B 0 T (Tesla) äußeres Magnetfeld B m T (Tesla) Magnetfeld der magnetisierten Materie M A/m Magnetisierung µ 0 = 1, 257 10 6 V s Am magnetische Feldkonstante Wie kommen diese magnetischen Momente der Materie zu stande? Es sind quantenmechanische Effekte, welche die magnetischen Eigenschaften der einzelnen Atome begründen: Bahndrehimpuls der Elektronen, Spin der Elektronen und Kernspin 6 der jeweiligen Atome beeinflussen Richtung und Größe des magnetischen Moments. Der Bahndrehimpuls, dessen Name vom historischen Bohr schen Atommodell 7 herrührt, ergänzt sich mit dem Spin zum jeweiligen magnetischen Moment (Spin-Bahn-Kopplung). Nachdem in abgeschlossenen Elektronenschalen 8 sich die Spins aller Elektronen gegenseitig aufheben, haben speziell Atome mit nicht abgeschlossenen Elektronenschalen auffallende magnetische Eigenschaften, da sie permanente magnetische Dipole besitzen. Die magnetische Suszeptibilität χ ist die wichtigste magnetische Kenngröße für Magnetismus in Materie. Es gilt folgender Zusammenhang: B = B 0 + µ 0 M = µr B0 = (1 + χ) B 0 µ r = B B 0 = (1 + χ) (11) µ r ist die relative Permeabilität und ist wie χ eine materialabhängige Größe. Mit Hilfe von χ lassen sich die 3 Hauptarten von Magnetismus in Materie unterscheiden (siehe auch Abb. 6: Diamagnetismus M < 0 10 4 < χ < 10 9 Diamagnetische Materialien führen zu einer leichten Abschwächung des äußeren Magnetfeldes. Paramagnetismus M > 0 10 6 < χ < 10 3 Paramagnetische Materialien bewirken eine leichte Verstärkung des äußeren Magnetfeldes. 6 Effekt kaum beeinflussend für makroskopische magnetische Eigenschaften 7 Laut Bohr schem Atommodell bewegen sich Elektronen auf diskreten Kreisbahnen um den Kern. Es ist zwar ein Meilenstein der Physikgeschichte, hat sich jedoch bereits in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts eindeutig als fachlich falsch erwiesen. 8 auch Edelgaskonfiguration genannt - 14 -
2 Magnetische Hysteresekurve Ferromagnetismus M >> 0 0, 3 < χ < 10 9 Ferromagnetische Materialien führen zu einer deutlichen Verstärkung des äußeren Magnetfeldes. Abbildung 6: Unterscheidung der Arten des Magnetismus anhand der Suszeptibilität χ 2.1.2 Diamagnetismus Die Atome diamagnetischer Materialien weisen keine permanenten magnetischen Momente auf. Erst in einem äußeren Magnetfeld werden magnetische Momente induziert. Mit der Lenz schen Regel kann man sich vorstellen, dass in Diamagneten Kreisströme induziert werden, die ihrer Ursache entgegenwirken, also das äußere Magnetfeld abschwächen. Dabei erfahren die diamagnetische Stoffe auch eine Abstoßung (in Richtung geringerer Fluss- - 15 -
2 Magnetische Hysteresekurve Abbildung 7: a) Nicht ausgerichtete atomare magnetische Momente. b) Bereiche spontan ausgerichteter magnetischer Momente (Weiss sche Bezirke). dichte). Diamagnetismus ist ein sehr schwacher Effekt, der eine Eigenschaft aller Stoffe ist, aber leicht von anderen Effekten überlagert werden kann. Diamagneten sind Elemente oder Verbindungen mit abgeschlossener Elektronenschale, wie z.b. Ag, Au, Cu, Bi, H 2, H 2 O etc. Typ I-Supraleiter sind unterhalb der kritischen Temperatur ideale Diamagneten mit χ = 1. 2.1.3 Paramagnetismus Paramagnetische Stoffe besitzen permanente magnetische Momente, die durch ein äußeres Magnetfeld in Richtung des Feldes ausgerichtet werden können. Der Verstärkungseffekt des äußeren Magnetfeldes ist jedoch sehr klein. Paramagnetische Stoffe erfahren im Magnetfeld eine Anziehung (in Richtung höherer Flussdichte). Paramagneten sind etwa Atome oder mit einer ungeraden Zahl von Elektronen (der Gesamtspin kann in diesem Fall nicht null sein), freie Atome und Ionen mit einer teilweise gefüllten inneren Schale, z.b. bei Alkalimetallen (Li, Na, K,...), Seltenerden und Aktiniden aber auch Moleküle wie Sauerstoff. 2.1.4 Ferromagnetismus Ferromagnetismus tritt auf in Metallen auf, deren permanente magnetische Dipolmomente wechselwirken. Die permanenten magnetischen Dipole können sich (spontan) in die gleiche Richtung ausrichten. Die einzelnen Momente summieren sich und es bilden sich Regionen mit großen magnetischen Gesamtmomenten (siehe Abb. 7). Diese Regionen werden Weiss sche Bezirke genannt und besitzen im magnetisierbaren Material unterschiedlich ausgerichtete Gesamtmomente (siehe Abb. 8), die sich in Summe ausgleichen. Die Weiss schen Bezirke werden durch die sogenannten Bloch-Wände von einander getrennt. In der Bloch-Wand klappen die atomaren magnetischen Momente auf sehr engem Raum in jene Richtung um, in welcher die magnetischen Momente des angrenzenden Weiss schen Bezirks orientiert sind. Die Illustration in Abb. 9 verdeutlicht es. - 16 -
2 Magnetische Hysteresekurve Abbildung 8: Weiss sche Bezirke: Schnitt durch ein ferromagnetisches Material. Farben (und Vektoren) kennzeichnen die unterschiedlichen räumlichen Ausrichtungen der magnetischen Momente. Die schwarzen Abgrenzungen stellen die Bloch-Wände dar. Abbildung 9: Bloch-Wände: Dünne Bereiche ( 30 nm), in welchen die atomaren Dipole ihre Ausrichtung ändern. - 17 -
2 Magnetische Hysteresekurve Wird ein solcher (unmagnetisierter) ferromagnetischer Stoff mittels eines äußeren Magnetfeldes magnetisiert, so werden die Ausrichtungen der magnetischen Momente der Weiß schen Bezirke beeinflusst und verändert. Die Blochwände verschieben sich und es werden jene Weiß schen Bezirke dadurch vergrößert, deren magnetisches Moment am ehesten zum äußeren Magnetfeld parallel verläuft. Abb. 10 veranschaulicht diese Vorgänge. Abbildung 10: Prozesse bei der Magnetisierung M eines Ferromagneten durch ein äußeres Magnetfeld B 0, dessen Richtung vom Pfeil in (d) dargestellt ist. a) Ausgangszustand: Das äußere Magnetfeld B 0 = 0. Die Magnetisierung M = 0. Die magnetischen Momente im Material heben einander auf. b) c) Wandverschiebungen: Wird das äußere Magnetfeld B 0 angelegt (von S - links unten nach N - rechts oben) und erhöht, so kommt es zu Blochwand-Verschiebungen. Man unterscheidet: 90 -reversible und 180 -irreversible Wandverschiebungen 9. d) Drehprozesse bis zur Sättigung: Sind alle Weiss schen Bezirke parallel ausgerichtet, so erfolgt die letzte mögliche Ausrichtung parallel zum äußeren Magnetfeld durch Drehprozesse der magnetischen Momente. Dann ist die Sättigungsmagnetisierung M S erreicht. Das resultierende Magnetfeld kann nun nicht mehr verstärkt werden. Die Magnetisierung von ferromagnetischer Materie ist also abhängig von Größe und Ausrichtung des äußeren Magnetfeldes. Es handelt sich hierbei nicht um einen einfachen Zusammenhang: M(B 0 ) ist keine eindeutige mathematische Funktion. Es ist vielmehr ein Zyklus, der je nachdem, von wo aus er durchlaufen wird, einen unterschiedlichen Verlauf nimmt. Dieser Zyklus wird Hysteresekurve oder Hystereseschleife genannt und man kann an ihr wichtige Kenngrößen ferromagnetischer Werkstoffe ablesen (Abb. 11). 9 irreversibel bedeutet hier, dass sich diese Wandverschiebungen ohne ein externes Magnetfeld, welches in die Gegenrichtung ausgerichtet ist, nicht von selber rückgängig machen können - 18 -
2 Magnetische Hysteresekurve Abbildung 11: Hysteresekurve eines Ferromagneten Geht man von einem unmagnetisierten Zustand aus, so wie auch schon im vergangenen Beispiel, und erhöht man das äußere Magnetfeld B 0 von 0 in positive B 0 -Werte, so wird die Materie magnetisiert und man durchläuft die beschriebene Neukurve. Im Material selbst finden dabei jene Prozesse statt, die anhand von Abb. 10 beschrieben wurden. Ist der Sättigungspunkt erreicht und man vermindert nun wieder das äußere Magnetfeld B 0 bis auf B 0 = 0, so kehren sich alle reversiblen Prozesse um. Die irreversiblen jedoch nicht. Sie sind für einen verbleibenden Restmagnetismus M R (auch Remanenz genannt) verantwortlich. Die Hystereseschleife durchläuft dabei die oberste Kurve vom Sättigungspunkt im ersten Quadranten bis zum Schnittpunkt mit der M-Achse. Wird nun ein äußeres Magnetfeld in Gegenrichtung angelegt und erhöht, so werden die irreversiblen Prozesse der vorhergegangenen Magnetisierung aufgehoben, sobald das dafür notwendige B 0 -Feld aufgebaut ist. Der Betrag des entgegengesetzten Magnetfeldes, der für die Aufhebung der Remanenz notwendig ist, wird B C oder Koerzitivfeld genannt. Wird nun das äußere Magnetfeld in negative B 0 -Richtung weiter verstärkt wiederholen sich die Prozesse der Magnetisierung wie oben beschrieben bis zum entgegengesetzten Sättigungspunkt. Ist der Sättigungspunkt erreicht und man vermindert nun wieder das äußere Magnetfeld B 0 von B S 0, so kehren sich alle reversiblen Prozesse um. Es bleibt wieder ein Restmagnetismus M R. Die Hystereseschleife durchläuft dabei die unterste Kurve vom negativen Sättigungspunkt im dritten Quadranten bis zum Schnittpunkt mit der M-Achse. - 19 -
2 Magnetische Hysteresekurve Wird nun ein äußeres Magnetfeld in ursprünglicher Richtung angelegt und erhöht, so werden die irreversiblen Prozesse der vorhergegangenen Magnetisierung aufgehoben, sobald das B 0 -Feld den positiven B C -Wert erreicht. Wird das äußere Magnetfeld in positive B 0 - Richtung weiter verstärkt wiederholen sich die Prozesse der Magnetisierung (wie oben beschrieben) bis zum Sättigungspunkt. Die Hystereseschleife durchläuft dabei die unterste Kurve vom Schnittpunkt mit der B 0 -Achse (bei +B C ) im ersten Quadranten bis zum positiven Sättigungspunkt. Bei einem äußeren Magnetfeld B 0 (t), das von einem wechselstrombetriebenen Elektromagneten erzeugt wird wiederholt sich dieser Zyklus in der Wechselstromfrequenz. Im technischen Gebrauch findet man so eine Situation z.b. in jedem Transformator. Grenzen des Ferromagnetismus: Die Suszeptibilität χ ist stark temperaturabhängig. Oberhalb der sogenannten Curietemperatur T C, weist jeder Ferromagnet ein paramagnetisches Verhalten auf und χ folgt dem Curie-Weiss-Gesetz (mit der Curie-Weiss-Konstante C ): χ = C T T C für alle T > T C (12) Kenngrößen ferromagnetischer Werkstoffe: Ein ferromagnetischen Werkstoff wird durch die Remanenz, das Koerzitivfeld zur Aufhebung der Remanenz und die Energie für das Durchlaufen eines kompletten Magnetisierungszyklus (von einem Sättigungspunkt zum entgegengesetzten und wieder zurück) charakterisiert. Diese Ummagnetisierungsenergie E U (J) pro Volumseinheit (m 3 ) ergibt sich aus der Fläche, welche von der Hystereseschleife begrenzt wird. Überprüfen Sie die Einheiten! Anhand dieser Eigenschaften unterscheidet man hartmagnetische und weichmagnetische Werkstoffe. Abb.12 gibt dazu einen Überblick. - 20 -
2 Magnetische Hysteresekurve Abbildung 12: Einteilung ferromagnetischer Werkstoffe in Weich- und Hartmagneten. 2.1.5 Ferri- und Antiferromagnetismus Neben dem technisch bedeutsamen Ferromagnetismus existieren noch zwei weitere (Sub-) Arten von Magnetismus, die sich durch die Existenz permanenter atomarer magnetischer Momente und durch die spontane Selbstausrichtung derselben auszeichnen: Ferri- und Antiferromagnetismus. Abbildung 13: Ausrichtung der magnetischen Momente bei Ferro- Antiferro- und Ferrimagnetismus Abb. 13 zeigt bereits sehr deutlich den Unterschied zum Ferromagnetismus. Während bei diesem die spontane Selbstausrichtung der magnetischen Momente in ein und der selben Region stets parallel erfolgt, so bildet sie sich beim Antiferro- sowie beim Ferrimagnetismus - 21 -
2 Magnetische Hysteresekurve stets antiparallel aus. Während der Antiferromagnetismus -auf Grund der gleichen Größe der entgegengesetzten magnetischen Momente- Suszeptibilitäten in der Größenordnung von Paramagneten aufweist (und sich über weite Temperaturbereiche auch ähnlich verhält), verhält sich der Ferrimagnet wie ein schwacher Ferromagnetischer Werkstoff (vgl. Abb. 6). Über die Arten von Magnetismus in Materie und deren Verhalten kann hier nicht weiter in die Tiefe gegangen werden. Bitte beachten Sie hierzu die Literaturhinweise am Ende des Textes. 2.2 Aufgabenstellung 1. Nehmen Sie die Hysteresekurve des Eisenkerns eines Transformators mit Hilfe von CASSY auf. 2. Bestimmen Sie das Koerzitivfeld B C, die Remanenz M R und die Ummagnetisierungsenergie pro Volumseinheit E m / V sowie deren Unsicherheit. 2.3 Versuchsaufbau und Durchführung Messprinzip: Im Experiment messen Sie die Magnetisierung eines ferromagnetischen Transformatorkerns. Die Schaltung ist in Abb. 14 skizziert. In der Primärspule wird das äußere Magnetfeld erzeugt, welches den Spulenkern magnetisiert. Das Magnetfeld B m des Kerns induziert in der Sekundärspule eine seiner zeitlichen Änderung proportionale Spannung (Induktionsgesetz). Abbildung 14: Messprinzip zur Aufzeichnung der Hysteresekurve Der Strom I p (t) durch die Primärspule erzeugt das äußere Magnetfeld B 0 (t). B 0 (t) = µ 0 n1 l I p (t) (13) - 22 -
2 Magnetische Hysteresekurve Formelzeichen Einheit Bezeichnung n 1 1 Windungsanzahl der Primärspule l m Länge der Primärspule I p A Primärstrom µ 0 = 1, 257 10 6 V s Am magnetische Feldkonstante Aus dem Magnetfeld B m (t) kann die Magnetisierung des Eisenkerns M(t) direkt ermittelt werden. Die Spannung U S (t) an der Sekundärspule des Transformators ist der zeitlichen Änderung des resultierenden Magnetfeldes B(t) = B 0 (t) + B m (t) proportional. Da im vorliegenden Fall (ferromagnetische Werkstoffe) B 0 << B m wird B(t) = B m (t) angesetzt. Es gilt (das Faraday sche Induktionsgesetz): daraus folgt: und mit B m (t) = M(t) µ 0 gilt: U S (t) = n 2 dφ(t) dt = n 2 A db m(t) dt U S (t)dt = n 2 A B m (t) bzw. B m (t) = 1 n 2 A M(t) = 1 n 2 A µ 0 (14) U S (t)dt (15) U S (t)dt (16) Formelzeichen Einheit Bezeichnung Φ Wb magnetischer Fluss U S V (induzierte) Spannung an der Sekundärspule n 2 1 Windungsanzahl der Sekundärspule A m 2 Querschnittsfläche des Spulenkerns Um aus dem Spannungssignal U S (t) ein U y (t) zu erhalten, welches zu B m (t) direkt proportional ist, muss also U S (t)über die Zeit t integriert werden. Diese Integration erfolgt elektrotechnisch mit einem RC-Glied (oder auch Integrierglied bzw. Tiefpass(filter)): U y (t) = 1 R C eingesetzt in Gl. 16 ergibt sich M(t) zu: U S (t)dt bzw. M(t) = U S (t)dt = R C U y (t) (17) R C n 2 A µ 0 U y (t) (18) Die Abb. 15 zeigt die Integration der Sekundärspannung nach der Zeit. Die Integration ergibt sich aus dem Lade- und Entladeverhalten des Kondensators in der RC-Serienschaltung. - 23 -
2 Magnetische Hysteresekurve Abbildung 15: Wirkungsweise des Integriergliedes Warnhinweis: Sie legen primärseitig Netzwechselspannung an U eff =230 V. Bevor nicht alle Anschlüsse des fest verdrahteten Transformatorgehäuses richtig verkabelt sind, darf der Netzstecker nicht eingesteckt werden (kontrollieren lassen!). Für Schulen, Schülerversuche etc. gelten generell folgende Faustregeln: Beim Arbeiten mit Spannungen > 40 V gilt besondere Vorsicht! Ein Stromstoß mit > 0,050 A, der über das Herz fließt kann bereits tödlich sein! Durchführung: Bauen Sie den Messanordnung laut Schaltskizze in Abb. 14 auf. Die Messung von U P erfolgt mit einem Multimeter. I P und U y werden direkt mit dem Sensor-Cassy gemessen. Messen Sie zuerst die Effektivwerte von I P und U y, um die optimalen Messbereiche wählen zu können. Ist das erfolgt, können Sie sich über die Eingabe von Formeln in Cassy Lab die beiden zeitabhängigen Messgrößen B 0 (t) und M(t) für die Darstellung der Hystereseschleife bestimmen lassen. Die Umrechnungsfaktoren berechnen Sie mit Hilfe der technischen Daten des Transformators: - 24 -
3 Empfohlene Zusatzliteratur Technische Daten n1 Windungszahl Primärspule 2147 l Länge Primärspule (27, 0 ± 0, 5) mm n2 Windungszahl Sekundärspule 126 A Querschnittsfläche des Kernes (441 ± 22) mm 2 R Widerstand des Integriergliedes 330 kω C Kapazität des Integriergliedes 1 µf R V Vorwiderstand 47 Ω Wählen Sie im Menüpunkt Darstellung die richtige Achsenbelegung. Messparameter und Auswertung: Bei 50 Hz Netzwechselstromfrequenz durchläuft der Transformator pro Sekunde 50 Hysteresezyklen. Wählen Sie die Messdauer geringfügig länger als eine Zyklusdauer und wählen Sie eine adäquate Anzahl von Messpunkten, um den Verlauf der Hysterese angemessen darstellen zu können. Die Bestimmung von M R und B C kann über Differenzmessungen direkt in Cassy Lab erfolgen. Die Bestimmung der Fläche erfolgt ebenfalls in Cassy mit Hilfe der Funktion Peakfläche berechnen. Dazu müssen Sie jenen Überlappungsbereich finden, in dem der Datensatz des zweiten Zyklus beginnt. Dort müssen sie nur mehr zwei benachbarte Punkte (einen aus dem ersten und einen aus dem zweiten Zyklus) markieren, um die gesamte von der Hysterese umschlossene Fläche auszuwählen. Auf der elearning-seite des Anfängerpraktikums finden Sie Erste Schritte im Umgang mit ULAB und CASSY und bei Bedarf die vollständige Anleitung der Messsoft- und Hardware. 3 Empfohlene Zusatzliteratur Bergmann, Schäfer; Elektromagnetismus; DeGruyter - 25 -