Prismenspektrometer (DL) 1. Aufgabenstellung 1. Man führe mindestens 3 Goniometermessungen zur Bestimmung des brechenden Winkels ε eines vorgegebenen Glasprismas aus! Wie groß ist ε? Wie groß sind hierbei Fehler des Mittelwerts ε, Spannweite und Fehler einer einzelnen Winkelmessung ε?. Bei Beleuchtung mit einer He-Lampe (oder einer Hg-Lampe) ermittle man für mindestens fünf sichtbare Spektrallinien den Minimalablenkungswinkel δ min, errechne mittels der FRAUNHOFER schen Formel die Brechzahlen für dieses farbige Licht und zeichne die Dispersionskurve n Flintglas (λ)! 3. Für das Prismenglas ist die Materialdispersion D M (λ) sowie die prismenmaterialspezifischen Parameter n 0, die Brechzahl für sehr große Wellenlängen, die Absorptionswellenlänge λ 0, sowie C, der CORNU-Faktor zu berechnen.. Schlagwörter Goniometer, Lichtreflexion, Lichtbrechung, Lichtdispersion, Brechzahl, Prisma, Lichtgeschwindigkeit, Fraunhoferlinien, monochromatisches Licht, Spektrallinien 3. Physikalische Grundlagen 3.1. Prisma Als optisches Prisma bezeichnet man einen lichtdurchlässigen Körper, der von mehreren ebenen, nicht parallelen Flächen begrenzt wird. Einfachste und hier verwendete Form (Abbildung 1) ist das gerade Dreiecksprisma: Grund- und Deckfläche sind zwei gleiche, parallele, gleichschenklige Dreiecke, deren Eckpunkte durch 3 senkrecht stehende Kanten verbunden werden. Diejenige Kante, in der sich die beiden polierten Seitenflächen schneiden, heißt brechende Kante (K), die dritte, unpolierte Seitenfläche heißt Basis S. Jeder Schnitt des Prismas, senkrecht zur brechenden Kante, wird als Hauptschnitt bezeichnet und liegt in einer Hauptebene (HE); eine solche ist in Abbildung 1 hell kontrastiert dargestellt. Der Winkel an der brechenden Kante in einer Hauptebene wird brechender Winkel ε genannt. Parallele Lichtstrahlen, die in einer Hauptschnittebene verlaufen, unter einem Winkel α auf eine der beiden Seitenflächen des Prismas treffen, werden dort sowohl reflektiert als auch nach Brechung in den Glaskörper eindringen, diesen im allgemeinen durchlaufen und unter nochmaliger Brechung an der anderen, der Austrittsfläche austreten. 1
Abbildung 1. Schematischer Aufbau eines optischen Prismas 3.. Reflexion am Prisma Die Ablenkung δ R der reflektierten Strahlen ist dabei nur von der gegenseitigen Orientierung der Einfallsrichtung zur Eintrittsfläche, also vom Einfallswinkel α abhängig: Wenn ein paralleles Einfallsstrahlenbündel aus einer Richtung Ψ 0 so auf das Prisma trifft, dass gleichzeitig beide Prismenflächen beleuchtet werden (s. Abbildung ), ergibt sich im allgemeinen für jede der beiden Flächen ein unterschiedlicher Einfallswinkel, α 1 und α, zu dem jeweils ein nach dem Reflexionsgesetz betragsgleicher Ausfallswinkel gehört. Die zu den beiden Ausfallswinkeln sich ergebenden 90 - Ergänzungswinkel γ 1 und γ bilden zusammen mit dem brechenden Prismenwinkel ε den Winkel ϕ, welchen die beiden reflektierten Ausfallsstrahlrichtungen Ψ R1 und Ψ R miteinander einschließen: δ R = 180 α (1) ϕ = γ 1 + γ + ε () Abbildung. Reflexion an den Prismenflächen Eine Betrachtung der Winkelsumme im Hilfsdreieck CDE in Abbildung zeigt darüber hinaus, dass beide Ergänzungswinkel zusammen stets gleichgroß wie der Prismenwinkel ε sind: γ 1 + γ = ε, (3)
so dass unter den genannten Bedingungen auch der Winkel ϕ zwischen den beiden Reflexionsrichtungen Ψ R1 und Ψ R nicht von der Einstrahlrichtung Ψ 0, sondern nur vom Prismenwinkel ε abhängt: ϕ = ε (4) Gleichung 4 liefert die Grundlage für Bestimmung von inneren Prismenwinkeln durch die lichtoptische Vermessung von Reflexionsrichtungen mittels so genanntem Reflexionsgoniometer. 3.3. Brechung am Prisma Die gesamte Winkelablenkung δ B, die Lichtstrahlen beim Durchlaufen des Glasprismas erfahren, setzt sich nach Abbildung additiv aus der Richtungsänderung an der Eintrittsfläche und der an der Austrittsfläche zusammen: wobei α 1 - Einfallswinkel in E, β - Einfallswinkel in A, β 1 - Brechungswinkel in E, α - Brechungswinkel in A sind. δ B = (α 1 β 1 ) + (α β ), (5) Zwischen diesen vier Winkeln bestehen folgende drei Beziehungen: Zwei davon folgen aus dem SNELLIUS schen Brechungsgesetz an der Eintrittsfläche und an der Austrittsfläche: sinα 1 sinβ 1 = n, (6) wobei n, die Brechzahl des Prismas durch sinα sinβ = n, (7) n = n Flintglas n Lu ft = c Lu ft c Flintglas (8) definiert ist und n Flintglas, c Flintglas, n Lu ft und c Lu ft die Brechungsindizes bzw. Lichtgeschwindigkeiten in den angegebenen Substanzen bedeuten. Die dritte Gleichung, aus der Winkelsumme im Hilfsdreieck ASE von Abbildung 3 folgend β = ε β 1 (9) besagt, dass der Einfallswinkel β in die Austrittsfläche nur durch den Ausfallswinkel β 1 aus der Eintrittsfläche und den Neigungswinkel ε zwischen diesen beiden Flächen vorgegeben ist. Nach Elimination von α, β 1 und β aus Gleichung (5) mittels der drei Gleichungen (6, 7 Abbildung 3. Brechung durch ein optisches Prisma und 9) verbleibt für die gesamte Strahlablenkung nach zweimaliger Brechung folgende Abhängigkeit von der Brechzahl des Glases, dem brechenden Winkel ε des Prismas und dem Einfallswinkel α 1 : 3
δ B = δ B (α 1,n,ε) = α 1 ε + arcsin ( ) sinε n sin α 1 cosε sinα 1. (10) Für ein vorgegebenes Prisma - d.h. für unveränderliche Werte von ε und n - zeigt die Kurvendiskussion der Gleichung (10) bei zunehmendem Einfallswinkel α 1 (im für diesen Strahlengang möglichen Winkelbereich) zunächst eine Verringerung von δ B bis auf einen Minimalwert δ min und danach ein Wiederansteigen des Ablenkungswinkels. Dieses Ablenkungsminimum tritt genau dann auf, wenn der Strahlengang durch das Prisma völlig symmetrisch verläuft, d.h. die Lichtstrahlen diejenige im Prisma, die den brechenden Winkel ε halbiert, senkrecht durchsetzen also wenn β 1 = β = ε =: β min (11) Dann ist nach Gleichung (6, 7) auch der Einfall- gleich dem Ausfallswinkel α 1 = α =: α min (1) und der minimale Ablenkungswinkel ergibt sich damit aus Gleichung (5) zu δ min = α min ε oder α min = (δ min + ε) Für diesen symmetrischen Strahldurchgang folgt durch Einsetzen von α min und β min in das Brechungsgesetz (Gleichung 6, 7) die sogenannte FRAUNHOFER sche Formel: ( ) sin δmin +ε n = sin ( ) ε (14) Diese Formel (14) bietet die Möglichkeit durch Vermessung des minimalen Ablenkungswinkels δ min und des brechenden Winkels ε die Brechzahl(en) n des Prismenmaterials zu bestimmen. 3.4. Dispersion Würde man für einen Strahlengang aus Richtung Ψ 0 nach Abbildung 3 den Spalt mit einer monochromatischen Lichtquelle bestrahlen, so könnte man nur eine einzelne Abbildung des Spaltes aus einer Richtung Ψ B in der Farbe der Quelle beobachten (ähnlich wie bei den Reflexionsabbildungen). Emittiert die den Spalt bestrahlende Lampe dagegen Licht mit mehreren diskreten Wellenlängen (wie die hier eingesetzten Hg- oder He-Gasentladungslampen). So kann man auch mehrere verschiedenfarbige, voneinander getrennte Spaltbilder aus verschiedenen Ausfallsrichtungen Ψ Bi beobachten, die Spektrallinien genannt werden. Diese räumliche Trennung des Lichts nach verschiedenen Farben wird als spektrale Zerlegung oder spektrale Dispersion bezeichnet. Die Strahlablenkungswinkel δ B (nach zweimaliger Brechung am Prisma) sind für verschiedene Licht-Wellenlängen unterschiedlich groß, d.h. sie sind wellenlängenabhängig: δ B (λ) Da das gesamte unterschiedlichfarbige Licht hier unter dem gleichen Einfallswinkel α auf die Prismenoberfläche trifft (und auch den gleichen brechenden Winkel ε des Prismas vorfindet), 4 (13)
ist aus Gleichung (10) zu schlussfolgern, dass auch die Brechzahl (des Flintglases) wellenlängenabhängig ist: n(λ) und demzufolge wird nach Gleichung (8) auch die Lichtgeschwindigkeit im Flintglas wellenlängenabhängig: c Flintglas (λ). Solche Wellenlängenabhängigkeiten werden im allgemeinen als Dispersionsfunktionen bezeichnet und deren Steigungen (Differentialquotienten) dienen als Maß (Stärke) der Dispersion: D W := dδ dλ = dδ dn dn dδ := dλ dn D M (15) wobei D W als Winkeldispersion und D M als Materialdispersion bezeichnet werden. Wenn das Dispersionsprisma mit minimaler Ablenkung durchstrahlt wird, also bei symmetrischem Strahlengang gilt: dδ min dn = S b = Basislänge des Prismas Breite des Lichstrahlenbündels, D W = S b D M (16) Zur Bestimmung der Materialdispersion geht man häufig von folgender empirischer Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl, der sogenannten CORNU-Funktion aus: n(λ) = n 0 + C (λ λ 0 ) (17) dn(λ) dλ = C (λ λ 0 ) = D M (18) worin n 0 die Brechzahl für sehr große Wellenlängen (λ ), λ 0 die Wellenlänge an der Polstelle n =, also eine Absorptionswellenlänge, sowie C einen weiteren prismenmaterialspezifischen Parameter bedeuten. Die Gleichungen (17, 18) zeigen, dass die Brechzahl für λ > λ 0 von monoton auf n 0 abfällt. In diesem Wellenlängenbereich mit negativer Steigung, als normale Dispersion bezeichnet, wird mit Dispersionsprismen gearbeitet. Nach Ermittlung der Dispersionskurven des Prismas wird das Spektrometer zur Wellenlängenbestimmung anderer Lichtquellen einsetzbar. 5