Reihe 50 S 1 Verlauf Material Indianer-Regel, Mathe-Lauf und Zaubertrick it im Umformen von Termen! Von Alessandro Totaro, Stuttgart Klasse: 8 Dauer: Inhalt: Visualisierungen prägen sich oft besser ein, z. B. die Indianer-Regel für das Distributivgesetz: Mit seinem Pfeil trifft der griechische Gott Eros beide Indianerkinder in der Klammer. Diese verlieben sich dann sogleich ineinander. maximal 7 Stunden, je nach Materialauswahl Klammern auflösen, Ausklammern, Faktorisieren, Terme aus Text und Bildern aufstellen, mit binomischen Formeln umgehen und diese bildlich darstellen Ihr Plus: Material zur Differenzierung (M 4, M 5), DIN-A1-Lernposter (M 12) Zeichnung: Chr. Grundmann In diesem Beitrag üben Ihre Schüler das Umformen von Termen auf spielerische Art und Weise. Das Umformen von Termen ist eine Grundfertigkeit, die in höheren Klassenstufen immer wieder benötigt wird. Daher ist es wichtig, die Regeln für das Umformen von Termen zu verinnerlichen, sodass man sie anwenden kann, ohne noch weiter darüber nachdenken zu müssen.
Reihe 50 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Mathematik ist ein Werkzeug, mit dem man komplexe Aufgaben lösen kann. Um jedoch Probleme mathematisieren und lösen zu können, benötigen wir Grundfertigkeiten. Dazu gehört der sichere Umgang mit mathematischen Symbolen und Gesetzen, unterstützt durch das Visualisieren von mathematischen Beziehungen. Die Termumformung ist eine dieser Grundfertigkeiten. In dieser Übungseinheit festigen die Schüler ihre Fertigkeiten im Umgang mit Termen, um später wichtige Fähigkeiten zur Lösung von komplexeren Zusammenhängen aufbauen zu können. Das Termumformen muss immer wieder trainiert werden, damit sich die Rechengesetze und Umformungsschritte einprägen und automatisieren. Motivierend, spielerisch, differenziert das Besondere der Übungseinheit Bieten Sie die Materialien komplett oder in Auszügen an, je nachdem, welchen Übungsschwerpunkt Sie setzen möchten. Wenn Sie die Materialien in einer umfangreichen Übungsphase komplett einsetzen, behalten Sie die hier vorgeschlagene Reihenfolge der Materialien bei, da die Lernenden gerade beim Thema Termumformungen dazu neigen, die Rechengesetze und -regeln zu vermischen. Erst in der Lernerfolgskontrolle (M 10) werden dann alle Umformungen zusammen behandelt. Einige Materialien eignen sich auch gut für die Bearbeitung zu Hause (s. Minimalplan unter Lösungen und Tipps zum Einsatz). Da das Umformen von Termen ein innermathematisches Thema ist, lockern abwechslungsreiche und spielerische Aufgaben die Übungen auf, zum Beispiel ein Domino (M 2), ein Mathe-Lauf durch die Klasse (M 3) und ein Kartenspiel (M 8). Den Leistungsunterschieden in Ihrer Klasse begegnen Sie mit den differenzierenden Materialien dieser Einheit: Die Klammerkarte (M 1) zum Aufwärmen, das Arbeitsblatt M 4 und das Mathe-Menü (M 5) liegen in zwei Schwierigkeitsstufen vor. An einigen Stellen gibt es zudem Aufgaben für Experten. Die Materialien sprechen unterschiedliche Lerntypen an: Kognitive Lerner werden durch die Arbeitsblätter aktiviert, bei denen Terme in unterschiedlichen Schwierigkeitsstufen vereinfacht werden sollen (M 1, M 4, M 5). Kantenmodelle, anhand derer die Schüler Terme aufstellen (M 6), und die bildliche Darstellung von Termen (M 7) sprechen den visuellen Lerner an. Der haptische Lerntyp wird wiederum durch Spiele (M 2 und M 8) und das Auslegen von Quadraten und Rechtecken zur Visualisierung von Termen (M 7) gefördert. Aufbau In Stunde 1 wärmen sich die Schüler anhand einer Klammerkarte (M 1) zur Addition und Subtraktion von Termen auf und erkennen, wie gut das Lösen von Termen schon funktioniert. Anschließend trainieren sie die Addition und Subtraktion in einem Domino (M 2). In Stunde 2 stehen die Rechengesetze im Mittelpunkt: In einem Mathe-Lauf (M 3) üben die Lernenden die Multiplikation und Division von Termen und festigen diese weiter in einer operativen Übung auf zwei Niveaus (M 4). Nach dem isolierten Trainieren der einzelnen Rechenarten folgt die Vertiefung in den Stunden 3 und 4 durch die Übung mit differenzierten Aufgabenfeldern (M 5). Außerdem üben die Lernenden das Visualisieren von Termen anhand von geometrischen Körpern und die Übersetzung von Alltagssprache in mathematische Sprache (M 6). In Stunde 5 wird die bildliche Darstellung von Termen vertieft. Im Mittelpunkt steht jetzt die Darstellung von Produkten auch der binomischen Formeln als Fläche (M 7). Die Schüler arbeiten hier haptisch, indem sie die Flächen legen.
Reihe 50 S 4 Verlauf Material Auf einen Blick Basisfertigkeit I Terme addieren und subtrahieren und Rechengesetze anwenden Material Thema Stunde M 1 M 2 (Sp) M 3 (Sp) M 4 Warm-up! Klammerkarte mit Termen Differenzierte Aufgaben zum Rechnen mit Termen mit 2 Variablen Terme addieren und subtrahieren ein Domino Terme mit mehreren Variablen addieren und subtrahieren Mathe-Lauf mit Köpfchen Terme multiplizieren/dividieren Terme multiplizieren und dividieren Bunt gemischt mit Termen rechnen Terme mit 2 Variablen (x und y) berechnen; Ein Lösungswort bzw. einen Lösungssatz inden Basisfertigkeit II Terme berechnen und aufstellen Material Thema Stunde M 5 M 6 Mathe-Menü mit Termen du hast die Wahl! Differenzierte Aufgaben zur Addition und Subtraktion mit mehreren Variablen Aus Bildern und Text werden Terme ein Partnercheck Aufstellen von Termen zur Beschreibung geometrischer Körper Basisfertigkeit III mit binomischen Formeln umgehen Material Thema Stunde M 7 M 8 (Sp) Das wird ja eine Fläche! Terme legen Die 1. und 2. binomische Formel geometrisch herleiten Finde das Triplett! Kartenspiel zu den binomischen Formel Ein Kartenspiel zu den binomischen Formeln 1. 2. 3./4. 5. Einen Zaubertrick knacken mit Termen modellieren Material Thema Stunde M 9 Ganz schön clever! Einen Zaubertrick verstehen Ein Zaubertrick mit Zahnstochern, in dem Terme eine Rolle spielen 6. Lernerfolgskontrolle und Zusatzmaterial Material Thema Stunde M 10 (LEK) M 11 M 12 Fit für den Test? Sicher im Umformen von Termen Lernerfolgskontrolle Erste-Hilfe-Karten zum Rechnen mit Termen Fit im Umformen von Termen (Poster) 7.
S 1 M 1 Warm-up! Klammerkarte mit Termen Wie it bist du schon im Berechnen von Termen? Wärme dich hier auf! Falte das Blatt an der gestrichelten Mittellinie. Bearbeite die Aufgaben. istock/thinkstock Einfache Aufgaben So geht s Berechne den Wert des Terms für x = 3 und y = 5. Nimm eine Klammer in der Farbe des richtigen Ergebnisses und hefte sie links an die Aufgabe. Mögliche Ergebnisse: 1 à BLAU 5 à GRÜN 9 à GELB x + y + 1 8x 3y Lösungen: Wenn du alle Aufgaben gelöst hast, drehe die Karte um und überprüfe die Farben. Hast du einige Aufgaben falsch gelöst, hole dir eine Erste-Hilfe-Karte und lies nach, wie man Terme berechnet. GELB GELB 7x + 4y BLAU (2 + x) (y 4) GRÜN x² + y² 35 BLAU 3x (y 2) 22 Schwierige Aufgaben So geht s Berechne den Wert des Terms für x = 2 und y = 7. Nimm eine Klammer in der Farbe des richtigen Ergebnisses und hefte sie links an die Aufgabe. Mögliche Ergebnisse: 10 à BLAU 0,5 à GRÜN 2 à GELB Lösungen: GRÜN Wenn du alle Aufgaben gelöst hast, drehe die Karte um und überprüfe die Farben. Hast du einige Aufgaben falsch gelöst, hole dir eine Erste-Hilfe-Karte und lies nach, wie man Terme berechnet. 3x + y 12,5 GRÜN y 5x + (y 7) 27 BLAU 3 (3 + x) (y 4) 11 GELB x (x 3) + 2y 34 BLAU ( 3 + x)² x 4y 1 GELB (x 2)² y² + 36 + (y : 2) 6 GRÜN hier falten!
S 3 M 3 Mathe-Lauf mit Köpfchen Terme multiplizieren/dividieren Hier übst du das Multiplizieren und Dividieren von Termen und bewegst dich dabei. Das regt das Denken an! Mathe-Lauf mit Köpfchen so geht s! 1. Jeder erhält eine Karte mit Aufgabe und Lösung. 2. Bewege dich durch die Klasse. Gehe zu einem Mitschüler und lies ihm deine Aufgabe vor. 3. Dieser löst sie im Kopf und nennt dir das Ergebnis. Ist es richtig, male einen Punkt auf die Rückseite seiner Karte. Löse danach die Aufgabe, die er dir stellt. 4. Gehe dann zu einem anderen Mitschüler und stelle ihm wieder deine Aufgabe. Bewege dich so durch die Klasse. à Wer am Ende die meisten Punkte auf seiner Karte hat, gewinnt. 5x 2x 3y 30x²y 120y² : ( 5) 0,5z 3x 5x 7,5x²z 0,2x 0,3x 20xy : ( 4) 5xy 100x² : ( 10) 2x ( 12x²) 24x³ 0,05y² ( 20x) 24y² 0,06x² 10x² xy² 1,5x 2 ( 3y) 1,2x 1,2y 169xy : 13 135y³ : ( 5) 9xy 1,44xy 13xy 27y³ xy 2x 3,5y 147x³ : 7 0,25y 8x³ 225x³ : ( 5) 7x²y² 21x³ 2x³y 45x³
S 5 M 5 Mathe-Menü mit Termen du hast die Wahl! So geht s 1. Wähle bei jedem Menügang entweder die Spalte einfache Aufgaben oder schwierige Aufgaben. War die Aufgabe zu einfach oder zu schwierig, wähle bei der nächsten Aufgabe das andere Niveau. 2. Löse die Aufgaben in deinem Heft. 3. Vergleiche dein Ergebnis mit der Lösung. 4. Trage ein, wie viele Punkte du bekommst. Ziehe für jeden Fehler 1 Punkt ab. Trage die Summe der Punkte unten in das Endergebnis ein. Einfache Aufgaben (je Aufgabe 2 Punkte) 1. Fasse zusammen. a) 4ab + 5c² 8ab 25c² + 7ab b) 3a² + 2a + 5 + 66a 27a² 68a c) 5d² 4 200d² + 45d 23 5d d) 39z² 19z + 5 67z + 61z² 2. Fasse zusammen und klammere aus. a) 45ab 15a + 25ab 5a + 35ab b) 60tz² 24tz + 36t²z² + 36tz Menü Vorspeise Meine Punkte: Schwierige Aufgaben (je Aufgabe 3 Punkte) 1. Fasse zusammen. a) 4a²b² + 5ab + 44a²b² a + 18ab b) 8t²u² 6t + 9tu + 18t²u² + 38tu t c) 5de² 4e 200de² + 45d² 23e d) 39tz² 19tz² 50t²z² 20tz² + 50t²z² c) 27g + 45gh 9g² + 6gh² d) 11e 55e² + 44eg 121ef 3. Ergänze die Lücken und vereinfache. a) 4 ( 3) + (b + 2) 2 ( + 3b) = 4a + 7b + 14 4a = 2 + b b) (5 ) 2 + (10 + 2b) 40 = 8b + 40 + 40 = 10 Hauptgang Meine Punkte: Getränk Meine Punkte: 2. Fasse zusammen und klammere aus. a) 45a²b 15ab + 70ab² 5ab + 35ab b) 72t³z² 60t²z + 36t²z² + 48t²z c) 81g³h² + 45g²h² 9g²h² + 6g²h³ d) 13ef²g 65e²fg + 52e²fg 169efg² 3. Ergänze die Lücken und vereinfache. a) (a 3) + 7 ( + 2) 2 ( + 3b) = + 12 7b + 4a b) ( 4b) 2 + ( 10 + 2b) = 30 40 + 40 4. Jeder mit jedem: Vereinfache. a) (a 3) (b + 7) b) (5 4b) (3 + 5c) c) (0,75 3a) (5 2a) Nachspeise Meine Punkte: 4. Jeder mit jedem: Vereinfache. a) (a 3,2) (b + 7) b) c) 1 20 6 15 (1 b) ( + c) 5 5 8 3 1 2 3 3 (2 a) ( b ) 2 3 9 10 Mein Endergebnis: Punkte 1. istock/thinkstock (Suppe); 2. istock/thinkstock (Spaghetti) 3.. istock/thinkstock (Getränk) 4. Ivary/Thinkstock (Obst)
S 9 M 8 Finde das Triplett! Kartenspiel zu den binomischen Formeln So geht s 1. Spielt zu dritt. Schneidet die Karten aus und mischt sie. Jeder erhält sechs Karten auf die Hand. 2. Wer bereits drei Karten (ein Triplett) hat, die eine binomische Formel ergeben, legt sie sichtbar vor sich ab. Die Mitspieler prüfen, ob das Triplett tatsächlich eine binomische Formel ist. 3. Der jüngste Spieler beginnt. Er zieht von seinem linken Mitspieler eine Karte. Ergibt sich ein Triplett, legt er es ab. Dann ist der nächste Spieler an der Reihe. Er zieht eine Karte von seinem linken Mitspieler. So geht es reihum. à Wer zuerst alle seine Karten abgelegt hat, gewinnt. a² +b² 9a² a² +b² +2ab +9b² 6ab 2ab 9a² +14ab +18ab +9b² 4a² +b² 49a² +b² +12ab
S 11 M 10 Fit für den Test? Sicher im Umformen von Termen Wie it bist du im Umformen von Termen? Hier kannst du dich testen und auf die Klassenarbeit vorbereiten. Aufgabe 1: Stelle einen Term für die Gesamtkantenlänge des Dreieckprismas auf. Gesamtkantenlänge l: l = = / 2 P Aufgabe 2 : Fasse zusammen. a) 3 h+ 2 g+ 8 h 7 g b) 2,9x + 5,1x + 7,6y + 8,3y 9,4y 2 8 16 4 c) 1,8x³ (3,6x³ 3,2x²) d) ( 7x) (8x + 2,6y) e) 2 x ( 7 x 12 x) + 4y + 2,3y f) (2,5y) (4,2x + 3,5y xy) / 7 P 5 8 16 Aufgabe 3: Fülle die Lücken mit den Termen aus dem Kasten. Einige Terme bleiben übrig. Achte auf binomische Formeln. a) (5a + ) = 25a² + 10 ab b) (4a + )² = + 24ab + c) ( 8b)² = 0,25a² + 10y 14y d) (7a ) 3b = 4b 9b² 64b² 6b 2 17y 21ab 5ab 3b 4ab 2b 8ab 16a² 5a 12b² 0,5a 2a 2y / 7 P Aufgabe 4: Stelle die Situationen als Terme dar. Formuliere zu den Termen eine Situation. Situation Lenas Mutter ist dreimal so alt wie Lena vor vier Jahren war. Term 5 (x 2) Meine PIN fürs Handy merke ich mir so: Ich verdopple meine Lieblingszahl und multipliziere das Ergebnis mit 113. 20 : (x + 3) Mein Gesamtergebnis: / 20 P / 4 P
S 12 M 11 Erste-Hilfe-Karten zum Rechnen mit Termen ERSTE HILFE 1 Wie addiere und subtrahiere ich Terme? Du kannst immer nur gleichwertige Terme zusammenfassen. Gleichwertig heißt, mit gleichen Variablen und Hochzahlen. Beispiel 11x²y + 2x 10x²y + x = x²y + 3x ERSTE HILFE 2 + : Wie multipliziere und dividiere ich Terme? Multipliziere bzw. dividiere zuerst die Zahlen ohne Variable und berechne dann die Variablen extra. Beispiel 11a 2a² 5a³ = 110a 6 ERSTE HILFE 3 Wie löse ich eine Klammer auf, wenn ein Faktor davorsteht? Multipliziere den Faktor mit jedem Summanden in der Klammer. Achte auf die Vorzeichen! Beispiel 11 2 5 = 110 UND a a 2 a 3 = a 6 ERSTE HILFE 4 Wie klammert man einen Faktor aus? 2y (5y 3x) Faktor = 2y 5y + ( 2y) ( 3x) = 10y² + 6xy ERSTE HILFE 5 Wie multipliziere ich zwei Klammern miteinander? x ( ) Sieh dir die Zahlen an: Welche Zahl passt in alle Zahlen hinein? Sieh dir die Variablen an: Welche Variable mit Hochzahl passt in alle Variablen hinein? Dieser Faktor wird ausgeklammert. Beispiel 25ab + 15b 5bc = 5b (5a + 3 c) ERSTE HILFE 6 Wie lauten die drei binomischen Formeln? x ( ) 5 und b passen in alle Zahlen! ( ) ( ) ( ) 2 Jeder mit jedem! Multipliziere jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer. Beispiel (3x + 2y) (5a 7y) = 3x 5a + 2y 5a + 3x ( 7y) + 2y ( 7y) 1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. binomische Formel: (a b)² = a² 2ab + b² 3. binomische Formel: (a + b) (a b) = a² b² = 15ax + 10ay 21xy 14y 2
S 1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz Minimalplan Die Zeit ist knapp? Dann planen Sie diese Übungseinheit für 3 Stunden mit folgenden Materialien: Stunde 1: Warm-up und differenzierte Aufgaben M 1 und M 5 Stunde 2: Terme bildlich und sprachlich darstellen M 6 und M 9 Stunde 3: Fit für den Test? Sicher im Umformen von Termen M 10 M 2 und M 4 eignen sich gut als Hausaufgabe. M 1 Warm-up! Klammerkarte mit Termen In dieser Warm-up-Übung stellen die Lernenden fest, wie gut das Rechnen mit Termen schon funktioniert. Für die Variablen werden konkrete Zahlen eingesetzt. Die Klammerkarte liegt in zwei Schwierigkeitsstufen vor. Die Schüler entscheiden selbst, welche Stufe sie bearbeiten. Die Niveaus unterscheiden sich unter anderem durch den Zahlbereich, der für x eingesetzt wird: Bei den einfachen Aufgaben werden natürliche Zahlen eingesetzt, bei den schwierigen Aufgaben positive und negative ganze Zahlen. Hier müssen die Lernenden das Vorzeichen beim Berechnen des Termwertes beachten. Wer merkt, dass das gewählte Niveau zu hoch oder zu niedrig ist, wechselt zu den Aufgaben des anderen Niveaus. So bleibt die Bearbeitung lexibel, und Sie ermöglichen Ihren Schülern individuelle Lernwege. Wer das einfache Niveau gewählt hat und schnell mit den Aufgaben fertig ist, kann sich am schwierigen Niveau versuchen. Die Aufgaben sind im Kopf lösbar, Nebenrechnungen dürfen aber schriftlich gemacht werden. Wurden einzelne Aufgaben falsch gelöst, liefern die Erste-Hilfe-Karten (M 11) Tipps zum Umgang mit Termen, zum Beispiel zum Aulösen von Klammern. Die Beispielrechnungen auf den Karten helfen beim Finden der richtigen Karte für den Fehler. Zusatzmaterial q blaue, grüne und gelbe Wäsche- oder Büroklammern q Erste-Hilfe-Karten (M 11) Lösung (M 1) Die Lösungen können mithilfe der Farbe der Klammern überprüft werden. M 2 Terme addieren und subtrahieren ein Domino In diesem Domino wiederholen die Lernenden das Addieren und Subtrahieren von Termen mit Variablen. Legen Sie die Lösung aus oder hängen Sie sie an die Rückseite der Tafel. Damit die Zuordnung der Karten nicht zu lange dauert und die Lernenden nicht immer alle Karten überblicken müssen, wurden verschiedene Variablen gewählt. Zu einigen Variablen-Kombinationen gibt es mehrere mögliche Karten, zu anderen weniger. Einige Karten können deshalb sofort zugeordnet werden, andere müssen erst berechnet werden. Führen Sie diese Übung als Partnerarbeit durch. Vor allem schwächere Schüler können sich so gegenseitig helfen. Zusatzmaterial q Schere