Technische Mechanik Festigkeitslehre

Technische Mechanik Festigkeitslehre

Günther Holzmann Heinz Meyer Georg Schumpich Technische Mechanik Festigkeitslehre 10., überarb. Aufl. 2012 Mit 244 Abbildungen, 108 Aufgaben und 135 Beispielen mit Lösungen

Prof. Dr.-Ing. Günther Holzmann Esslingen Deutschland Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer Hamburg Deutschland Prof. Dr. Holm Altenbach Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Deutschland ISBN 978-3-8348-0970-4 DOI 10.1007/978-3-8348-8101-4 ISBN 978-3-8348-8101-4 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden 1968, 1972, 1975, 1979, 1982, 1986, 1990, 2002, 2006, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Thomas Zipsner, Ellen Klabunde Einbandentwurf: KünkelLopka GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.springer-vieweg.de

Vorwort zur 10. Auflage Nach dem Wechsel der Herausgeberschaft von der 8. zur 9. Auflage hat es natürlich eine große Anzahl von Rezensionen gegeben. Die Meinungen gingen teilweise weit auseinander, wobei sich auch bei vielen Punkten keine deutlichen Mehrheiten ergaben. Dies lässt sich u. a. damit erklären, dass bezüglich des traditionellen Umfangs der Festigkeitslehre Erweiterungen in Richtung Betriebsfestigkeit, Werkstoffkunde etc. gefordert wurden. Hier hat die 10. Auflage nur wenig realisiert, da die Spezialgebiete heute meistens von speziellen Lehrveranstaltungen mit entsprechender Literatur abgedeckt werden. Mit der neuen Auflage wird der Weg der schrittweisen und behutsamen Aktualisierung des Lehrbuchklassikers weiter beschritten. Dies betrifft u. a. auch wesentliche Änderungen - das Kapitel zur Finite Elemente Methode wurde beispielsweise nicht mehr beibehalten, da es mittlerweile zahlreiche, auch deutschsprachige Lehrbücher zu diesem Gebiet gibt [29; 34; 43]. Diese behandeln die Finite Elemente Methode in einem notwendigen Umfang und mit hinreichender Tiefe, was innerhalb eines Kapitels nicht machbar ist. Weniger deutliche Veränderungen gab es bei einzelnen Elementen der Stoffauswahl, die hauptsächlich auf die kritischen Hinweise der Leser zurückzuführen sind. Dabei muss aber angemerkt werden, das der Umfang des Buches limitiert ist, d. h. nicht alle Wünsche aus der Sicht der Kollegen der Werkstoffkunde, der Konstruktionslehre usw. konnten berücksichtigt werden. Gleiches gilt für die grundsätzliche Strukturierung und die Stoffauswahl, die durch den Rahmen der ursprünglichen Verfasser vorgegeben ist. Hier sind urheberrechtliche Grenzen gesetzt. Das neue Layout hat einige Gestaltungselemente, die in der aktuellen Auflage versuchsweise genutzt wurden, um bestimmte Sachverhalte deutlicher zu machen. Auch wurde die Anregung aufgenommen, jedes Kapitel mit den wichtigsten Formeln zusammenzufassen. Zahlreiche Quellen wurden auf einen aktuelleren Stand gebracht. Dies betrifft neue Ausgaben der in der 9. Auflage zitierten Literaturreferenzen. Auch bei den angeführten Normen etc. wurde der Versuch unternommen, aktuellen Tendenzen zu integrieren. Es muss jedoch an dieser Stelle darauf verwiesen werden, dass bei der Anwendung von Normen ein Besuch der entsprechenden Normenstellen unausv

vi weichlich ist, da hier ständig neue Entwicklungen eintreten, die dann auch zeitnah zu beachten sind. Dem an weiteren Lehrbüchern interessierten Leser seien hier in Ergänzung zur 9. Auflage noch die Referenzen [5; 6; 20; 24; 26; 30; 31; 39; 46; 47] angegeben. Neu ist, dass die im Buch aufgeführte Namen mit historischen Anmerkungen versehen wurden. Dabei musste der Herausgeber feststellen, dass oftmals keine oder keine gesicherten Quellen vorhanden sind. Dies unterstreicht die Notwendigkeit derartiger Fußnoten. Neben den inhaltlichen Weiterentwicklungen gibt es erneut optische Veränderungen. Die 9. Auflage war erstmalig in LATEX erstellt worden, d. h. die traditionelle Layout-Gestaltung wurde grundsätzlich gegenüber den vorhergehenden Auflagen und den beiden anderen Bänden Statik und Kinematik und Kinetik verändert. Diese optische Veränderung, die hauptsächlich durch die speziellen Gestaltungselemente, die von Harald Harders entwickelt wurden, geprägt waren, sind erneut geändert. Dies ist der Umgestaltung der Verlagslandschaft gestundet, in der ein LATEX-Paket genutzt wurde. Es ist relativ einfach in der Nutzung und enthält weitere Elemente gegenüber der Vorgängerversion, so dass es zu hoffen bleibt, dass das Layout auch beim Leser gut ankommt. Das Buch entstand mit Unterstützung zahlreicher Helfer. Bei den Zeichnungen und Korrekturen waren Frau Barbara Renner und Herr Andreas Kutschke hilfreich, meine Frau Natascha Altenbach versorgte mich mit aktueller Literatur und historischen Quellen in gewohnter Qualität. Der Verlag gab alle notwendige Unterstützung, wobei stellvertretend Frau Ellen-Susanne Klabunde und Herr Thomas Zipsner zu nennen sind. Es bleibt zu hoffen, dass das Buch weiterhin auf Resonanz bei den Studierenden und Lehrenden trifft. Für Hinweise zur Weiterentwicklung des Buches ist der Herausgeber der 10. Auflage dankbar. Magdeburg, Lublin März 2012 Holm Altenbach

Vorwort zur 9. Auflage Die Technische Mechanik gliedert sich traditionell im deutschsprachigen Raum in die Teilgebiete Statik, Elastostatik und Kinetik. Dabei werden für die Teilgebiete auch andere Bezeichnungen gewählt - der Teil Elastostatik wird als Festigkeitslehre, der Teil Kinetik als Dynamik bezeichnet. Die Argumente für oder gegen die eine oder andere Bezeichnung sollen hier nicht ausgetauscht werden. Der Untertitel Festigkeitslehre für den vorliegenden Band entspricht den Intentionen der ursprünglichen Autoren und soll daher hier beibehalten werden. Gleichzeitig muss angemerkt werden, dass einige Teile des vorliegenden Bandes nicht zur Elastostatik gehören. Somit ist auch aus dieser Sicht die Bezeichnung Festigkeitslehre im Untertitel gerechtfertigt. Die Einteilung in die o.g. Teilgebiete wird nicht in allen Ländern gleich akzeptiert. Besonders deutlich wird dies im osteuropäischen Raum, wo die Lehrveranstaltungen Theoretische Mechanik und Festigkeitslehre separat angeboten werden und das gemeinsame Dach Technische Mechanik oftmals ignoriert wird. Dies ist in Teilen der französisch geprägten Ingenieurausbildung gleichfalls üblich. Aber auch in der anglo-amerikanischen Bildungslandschaft wird mit dem Kurs Mechanics of Materials ein vom deutschen Ausbildungsprogramm abweichender Weg beschritten, da bei einer formalen Übersetzung das Gebiet Werkstoffmechanik stehen würde, welches hierzulande grundsätzlich anders eingeordnet ist (s. u. a. [1; 40]). Fasst man die Argumente zusammen, die für einen speziellen Band Festigkeitslehre sprechen, erkennt man sehr schnell, dass in der Festigkeitslehre andere Probleme als die in Statik und Kinetik behandelten Fragestellungen diskutiert werden. Ausgehend von den Überlegungen zum Gleichgewicht von Körpern wird erstmals auch das Problem behandelt, wie Aufgaben zu lösen sind, die in den Gleichgewichtsbedingungen eine Anzahl von Unbekannten enthalten, die die Anzahl der Gleichungen übersteigen. Die notwendigen zusätzlichen Gleichungen erhält man durch Einbeziehung der individuellen Eigenschaften der Körper, wobei in der Festigkeitslehre überwiegend die elastischen Eigenschaften der Verformbarkeit von Körpern als zusätzliche Gleichungen in das System der zu lösenden Gleichungen integriert werden. vii

viii Mit dem Übergang vom traditionellen Ausbildungssystem in Deutschland mit den Diplomabschlüssen an Fachhochschulen und Universitäten zu den neuen akademischen Graden BSc/MSc sowie BEng/MEng entsprechend dem Bologna-Prozess macht sich auch ein Umdenken in den Ausbildungselementen erforderlich. Unstrittig ist bei allen der Wunsch, die Qualität der Ausbildung in den Universitäten und Fachhochschulen auch in Zukunft beizubehalten. Damit kann man die Festigkeitslehre als ein Modul bzw. Teilmodul der Mechanikausbildung für Ingenieure ansehen, wobei sicher die Programme des Maschinenbaus, des Bauingenieurwesens und der Verfahrenstechnik Hauptimpulsgeber bleiben. Zahlreiche neue Fachrichtungen und Studiengänge wie das Bioingenieurwesen, das Werkstoffingenieurwesen, aber auch die Umwelttechnik werden jedoch auch neue Akzente setzen. Daneben müssen zusätzlich die Programme interdisziplinärer Studiengängewie das Wirtschaftsingenieurwesen berücksichtigt werden. Ungeachtet des hohen Qualitätsanspruchs wird jedoch auch der verfügbare Zeitrahmen für eine solide Mechanikausbildung zukünftig hinterfragt werden. Dem TrendzuweiterenKürzungen kann man nur entgegenwirken, in dem man die Bedeutung der Technischen Mechanik im Allgemeinen und der Festigkeitslehre im Speziellen als Lehrgebiet zur Schulung von Denkweisen des Ingenieurs hervorhebt. Die Verantwortung der Studierenden, sich Kenntnisse selbst anzueignen, muss zunehmen, d. h. die Nachfrage nach Lehrbüchern, die eine eigenständige Einarbeitung in die Teilgebiete der Technischen Mechanik ermöglichen, sollte gleichfalls wachsen. Das vorliegende Lehrbuch stellt zunächst hauptsächlich eine Überarbeitung des Klassikers von Holzmann, Meyer und Schumpich dar. Das Besondere dieses Lehrbuchs ist die Orientierung auf Ausbildungselemente der Technischen Mechanik,die für Studierende des Maschinenbaus wichtig sind. Gleichzeitig wird auf Belange angrenzender Gebiete wie Konstruktionstechnik und Maschinenelemente eingegangen. Diese Grundlinie wurde beibehalten. Bei der Vorbereitung und den ersten Aktivitäten im Zusammenhang mit der neuen Auflage hat sich Kollege Holzmann noch aktiv eingebracht, gesundheitliche Gründe ließen die Begleitung bis zum Schluss nicht zu. Hauptziel war es, Kapitel- und Abschnittsanordnungen neu sowie Aktualisierungen des Schriftsatzes, des Bildmaterials und der Bezüge vorzunehmen. Daher wurde auch die Zuordnung der Festigkeitslehre zu Band 3 beibehalten - in den meisten Büchern zur Technischen Mechanik im deutschsprachigen Raum wird die Festigkeitslehre als zweites Teilgebiet angesehen. Eine Ausnahme bildet u.a. [41; 42]. Dabei ist jedoch anzumerken, dass diese Lehrbücher einen sehr speziellen Zugang zur Technischen Mechanik haben, der den Traditionen der ETH Zürich entspricht. Unter Beachtung der Stellungnahmen zu den vorhergehenden Auflagen wurde die Vielzahl der zahlenmäßig durchgerechneten Beispiele beibehalten. Damit erhalten die Studierenden das Gefühl für Zahlenwerte und Einheiten. Gestrichen wurden lediglich Aufgaben, deren theoretische Basis herausgenommen wurde. Offensichtliche Fehler wurden korrigiert. Gegenüber der 8. Auflage wurden jedoch auch Veränderungen vorgenommen. Zunächst wurden die Ausführungen zu Modellverfahren in der Festigkeitslehre (z. B. Spannungsoptik) ersatzlos gestrichen. Ein Blick in die aktuelle Lehrbuchli-

teratur zeigt schnell, dass vor ca. 30 Jahren das letzte Lehrbuch zur Spannungsoptik in deutscher Sprache erschienen ist. Das Thema wurde u.a. auch durch Entwicklungen auf dem Gebiet der Methode der Finiten Elemente verdrängt. Die MOHR schen Spannungskreise haben heute auch an Bedeutung verloren, so dass sie durch das Eigenwertproblem des Spannungstensors (Ermittlung der Hauptspannungen und - richtungen) ersetzt wurden. Damit wurde der Tatsache Rechnung getragen, dass die graphischen Methoden der Mechanik zunehmend durch analytische und/oder numerische Methoden in der Praxis ersetzt werden. Die MOHR sche Analogie ist auch nicht mehr in allen Lehrprogrammen enthalten. Hier wurde daher gleichfalls eine Kürzung vorgenommen. Im Kapitel 10 wurde das ω-verfahren ersatzlos gestrichen, da die das Verfahren begründete DIN entfallen ist. Wichtig erschien jedoch, dass das Material um Ausführungen zur Differentialgleichung für die Biegelinie 4. Ordnung sowie durch den zweiten Satz von CASTIGLIANO ergänzt wird. Im Zusammenhang mit den Ergänzungen wurde das bisherige Konzept von durchgerechneten Beispielaufgaben einschließlich Zahlenrechnung teilweise verlassen. Eine formelmäßige Lösung scheint gewisse Vorteile zu haben, da sie die Aufmerksamkeit der Studierenden zunächst auf das Wesentliche konzentriert. Das Kapitel über die Finite-Elemente-Methode wurde stark modifiziert, da hierzu eine Vielzahl von eigenständigen Lehrbüchern in den letzten Jahren entwickelt wurde. Für den interessierten Leser sei für den Übergang von Technischer Mechanik zu numerischen Verfahren nur auf die Bücher [15; 48] verwiesen, welche in besonders einfacher Art in dieses Gebiet einführen. Der Leser, der sich mit der Methode der Finiten Elemente vertieft beschäftigen möchte, kann das Kapitel 12 überspringen und sofort die Spezialliteratur (z. B. [7; 8]) lesen. Neue Tendenzen sind bisher nur partiell in das Buch eingegangen, insbesondere die Verknüpfung mit der Werkstofftechnik/Werkstoffprüfung bzw. der Werkstoffmechanik lassen sich heute jedoch mit Hilfe [9; 40] finden. Weitergehende Vertiefungsmöglichkeiten kann der Leser u.a. in der kontinuumsmechanisch orientierten Literatur des Teubner-Verlages (z. B. [2; 44]) erhalten. Weiteren Auflagen wird es vorbehalten sein, die Verbindungen zu neuen Ausbildungsprogrammen sowie Studieninhalten vorzunehmen. Es ist überflüssig zu streiten, ob das vorliegende Buch mehr universitäts- oder fachhochschulorientiert aufgebaut ist - die breite Zielgruppe der klassischen und der neuen Studiengänge steht im Mittelpunkt. Dabei ist sicher in Anlehnung an die bisherige Konzeption der Autoren die Lösung praktischer Probleme der Schwerpunkt. Ungeachtet dessen wird auch versucht, die Theorie nicht völlig zu übergehen, da nur ein tiefes theoretisches Verständnis hilft, neue Fragestellungen zu beantworten. Eine Diskussion zu den Einheiten ist im Gegensatz zu anderen Büchern nicht aufgenommen worden. Es wird davon ausgegangen, dass die Studierenden genügend Informationen hierzu im Kurs Physik erhalten haben. Grundsätzlich basieren alle Angaben im Buch auf den SI-Einheiten sowie die im Ingenieurbereich üblichen Angaben. Neu ist, dass im Rahmen der Überarbeitung sämtliche Formel-, Bilderund Tabellennummern verändert wurden. Es bleibt zu hoffen, dass der Leser damit zurechtkommt, dies akzeptiert und den Unterschied zu den Bänden 1 und 2 nicht als störend empfinden. ix

x Die Überarbeitung des Lehrbuchs wäre ohne meine Mitarbeiter nicht möglich gewesen. Besonderer Dank gilt daher Frau Runkel (Schreibarbeiten) sowie Frau Renner und Frau Ullrich (Durchsehen der Aufgaben und Beispiele, Zeichenarbeiten), Herrn Dyogtev und Herrn Pylypenko (Zeichenarbeiten) und Herrn Holweg (PC- und Reprotechnik). Herrn Dr.-Ing. Feuchte sei für die Unterstützung bei den Verhandlungen zur Neubearbeitung und bei der verlagsseitigen Abwicklung des Projektes gedankt. Ohne die spezielle Unterstützung von Herrn Harders wäre das Layout in der vorliegenden Form nicht möglich gewesen - er hat zahlreiche Sonderwünsche in den Teubner-LATEX-Style eingearbeitet. Erwähnt sollte abschließend Herr Kollege Dreyer sein, der durch Korrekturlesen maßgeblich diesen Band geprägt hat und das Projekt stets positiv begleitete. Halle Januar 2006 Holm Altenbach Nachsatz Zahlreiche Autoren verschweigen heute, dass es neben ihrem eigenen Werk noch weitere Bücher auf dem entsprechenden Gebiet, für das das eigene Buch geschrieben wurde, gibt. Es sei daher erlaubt, dass folgende Bücher, die in den letzten Jahren zur Begutachtung oder aus anderen Gründen bei mir eingingen, erwähnt werden sollen [10; 12; 13; 18; 23; 25; 28; 32; 33; 35; 48; 49]. Neben den bereits im Vorwort erwähnten Büchern können diese allen Studierenden zum Lesen empfohlen werden. Erst durch den Vergleich unterschiedlicher Darstellungen der gleichen Sachverhalte wird das eigenständige Nachdenken angeregt. Um den Leser nicht zu beeinflussen, habe ich bewusst keine Kommentare zu den einzelnen Werken gegeben. Daneben sei noch darauf hingewiesen, dass man sich u.a. mit [14] oder dem Anhang in [48] die englischen Fachtermini aneignen kann. Sollte ich bei der Aufzählung das Werk eines Kollegen vergessen haben, kann das verschiedene Gründe haben - der einfachste - das Übersehen einer aktuellen Publikation beim Schreiben des Manuskripts - ist der wahrscheinlichste.

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung... 1 1.1 AufgabenderFestigkeitslehre... 1 1.2 Beanspruchungsarten - Grundbeanspruchungen.............. 3 1.2.1 Zugbeanspruchung........ 3 1.2.2 Druckbeanspruchung.............................. 4 1.2.3 Schub- oder Scherbeanspruchung..................... 4 1.2.4 Biegebeanspruchung................................. 5 1.2.5 Torsionsbeanspruchung.... 5 1.2.6 Knickbeanspruchung...... 6 1.2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung..................... 6 1.3 Schnittmethode - Spannungen - Krafteinleitung................. 7 1.4 Formänderungen - Zusammenhang mit den Spannungen...... 11 2 Zug- und Druckbeanspruchung... 13 2.1 Zug- und Druckspannungen...... 13 2.2 Zugversuch... 16 2.2.1 Spannungs-Dehnungs-Diagramm - Hooke sches Gesetz.... 17 2.2.2 Elastisches Verhalten - Formänderungsarbeit...... 20 2.2.3 Werkstoffkennwerte... 23 2.3 Druckversuch... 27 2.3.1 Spannungs-Dehnungs-Diagramm - Hooke sches Gesetz.... 27 2.3.2 Werkstoffkennwerte... 28 2.4 Berechnung von Bauteilen unter Zug- und Druckbelastung........ 29 2.4.1 Einfache Belastungsfälle... 29 2.4.2 Flächenpressung... 36 2.4.3 Spannungen in dünnwandigen zylindrischen Ringen....... 38 2.4.3.1 Zugspannungen durch Fliehkräfte... 38 2.4.3.2 Zug- und Druckspannungen in zylindrischen Hohlkörpern... 40 2.4.4 Wärmespannungen - Schrumpfspannungen........... 42 xi

xii Inhaltsverzeichnis 2.4.5 Längs der Stabachse veränderliche Spannungen.......... 45 2.4.5.1 Spannungen durch Eigengewicht............... 47 2.4.5.2 Körper konstanter Zug- und Druckbeanspruchung........................ 49 2.4.5.3 Beanspruchung durch Fliehkräfte... 50 2.5 AufgabenzuKapitel2... 51 2.6 FormelzusammenfassungKapitel2... 55 3 Zulässige Beanspruchung und Sicherheit - Beurteilung des Versagens 57 3.1 Ruhende oder statische Beanspruchung...................... 58 3.2 Schwingende oder dynamische Beanspruchung................. 58 3.2.1 Grenzspannung bei dynamischer Beanspruchung......... 59 3.2.1.1 Ermittlung der Dauerfestigkeit im Versuch.... 59 3.2.2 Einflüsse, die durch die elementare Berechnung nicht erfasstsind... 63 3.2.2.1 Kerbwirkung..... 63 3.2.2.2 Versagen bei ruhender Beanspruchung unter Kerbwirkung..... 65 3.2.2.3 Versagen bei schwingender Beanspruchung unter Kerbwirkung..... 66 3.3 Anwendung auf Zug-Druck-Beanspruchung.................... 68 3.4 AufgabenzuKapitel3... 76 3.5 FormelzusammenfassungKapitel3... 77 4 Biegebeanspruchung gerader Balken... 79 4.1 Flächenmomente... 79 4.1.1 Begriffsbestimmung... 80 4.1.1.1 Flächenmomente 1. Ordnung.................. 81 4.1.1.2 Flächenmomente 2. Ordnung.................. 82 4.1.2 Flächenmomente 2. Ordnung für einfache Flächen........ 82 4.1.2.1 Rechteck... 83 4.1.2.2 KreisringundVollkreis... 84 4.1.2.3 Dreieck... 85 4.1.3 Abhängigkeit der Flächenmomente 2. Ordnung von der Lage des Koordinatensystems.......................... 87 4.1.3.1 Parallelverschiebung des Koordinatensystems - SatzvonSteiner... 87 4.1.3.2 Flächenmomente 2. Ordnung zusammengesetzter Flächen... 88 4.1.3.3 Drehung des Koordinatensystems um den Schwerpunkt..... 95 4.2 Gerade Biegung....... 99 4.2.1 Reine Biegung...................................100 4.2.2 Biegung bei veränderlichembiegemoment...109 4.2.3 Träger und Wellen konstanter Biegebeanspruchung........ 114

Inhaltsverzeichnis xiii 4.3 Schiefe oder allgemeine Biegung............................. 119 4.3.1 Biegespannungen und Nulllinie...120 4.3.1.1 Biegespannungen................120 4.3.1.2 Nulllinie...122 4.4 Zulässige Spannung und Sicherheit bei Biegung................. 125 4.4.1 Grenzspannung......125 4.4.2 Kerbwirkung....126 4.4.3 Versagen bei ruhender und schwingender Beanspruchung.. 127 4.4.4 Anwendung auf Biegebeanspruchung................... 128 4.5 AufgabenzuKapitel4...132 4.5.1 Aufgaben zu Abschnitt 4.1............................ 132 4.5.2 Aufgaben zu Abschnitt 4.2............................ 134 4.5.3 Aufgaben zu Abschnitt 4.3............................ 137 4.5.4 Aufgaben zu Abschnitt 4.4............................ 138 4.6 FormelzusammenfassungKapitel4...140 5 Durchbiegung gerader Balken - Biegelinie...141 5.1 KrümmungderBiegelinie...141 5.2 Durchbiegung - Differentialgleichungen der Biegelinie........... 142 5.2.1 Differentialgleichung 2. Ordnung....................... 143 5.2.2 Differentialgleichung 4. Ordnung....................... 155 5.3 Formänderungsarbeit bei der Biegung - Biegefedern............. 161 5.4 Vergleichende Beurteilung von Biegespannung und Durchbiegung. 165 5.5 Durchbiegung bei schiefer Biegung........................... 168 5.6 AufgabenzuKapitel5...170 5.7 FormelzusammenfassungKapitel5...171 6 Statisch unbestimmte Systeme...173 6.1 Allgemeines...173 6.2 StarreLagerung...174 6.3 Satz von CASTIGLIANO...179 6.3.1 Energetische Betrachtungen zu verformbaren Systemen.... 179 6.3.2 Rechenschema zur Anwendung des 2. Satzes von Castigliano181 6.4 ElastischeLagerung...185 6.5 Einfluss der statisch unbestimmten Lagerung bei Wellen und Trägern188 6.6 GeschlosseneRahmen...191 6.7 AufgabenzuKapitel6...194 6.8 FormelzusammenfassungKapitel6...196 7 Torsion prismatischer Stäbe...197 7.1 Torsion gerader Stäbe...197 7.1.1 Schubspannung und Schubverformung - Hooke sches Gesetz - Formänderungsarbeit.........199

xiv Inhaltsverzeichnis 7.1.2 Torsionsstäbe mit Vollkreisquerschnitt.................. 201 7.1.2.1 Schubspannungen............................ 202 7.1.2.2 Torsionswinkel...203 7.1.3 Torsionsstäbe mit Kreisringquerschnitt.................. 204 7.1.4 Torsionsstäbe mit beliebiger Querschnittform............. 209 7.1.4.1 Dünnwandige Hohlquerschnitte....210 7.1.4.2 Rechteck...214 7.1.4.3 Dünnwandige offene Profilquerschnitte.......... 214 7.1.5 Kerbwirkung, Grenzspannungen und zulässige Spannung beitorsion...217 7.1.6 Formänderungsarbeit bei Torsion - Drehstabfedern........ 219 7.1.7 Vergleichende Beurteilung von Schubspannung und Torsionswinkel...222 7.2 Torsionsbeanspruchung gekrümmter Stäbe...224 7.2.1 ZylindrischeSchraubenfedern...224 7.3 AufgabenzuKapitel7...231 7.3.1 Aufgaben zu Abschnitt 7.1............................ 231 7.3.2 Aufgaben zu Abschnitt 7.2............................ 233 7.4 FormelzusammenfassungKapitel7...234 8 Schubbeanspruchung durch Querkräfte...235 8.1 EinfacheScherung...235 8.2 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung.............238 8.3 Abschätzung der Größenordnung der Schubspannung.....243 8.4 Schubspannungen in Profilträgern - Schubmittelpunkt.........245 8.5 Berechnung von genieteten und geschweißten Trägern...250 8.6 Schubverformung...252 8.7 AufgabenzuKapitel8...254 8.8 FormelzusammenfassungKapitel8...256 9 Zusammengesetzte Beanspruchung...257 9.1 EinteilungundBeispiele...257 9.1.1 Zusammengesetzte Zug- oder Druck- und Biegebeanspruchung................................. 258 9.1.2 Biegung stark gekrümmter Träger...267 9.1.3 Zusammengesetzte Schub- und Torsionsbeanspruchung.... 274 9.2 Spannungszustand - Geometrie der Spannungen..............275 9.2.1 Geschlossene dünnwandige zylindrische und kugelförmige Behälter unter innerem und äußerem Überdruck...277 9.2.2 Ebener - zweiachsiger - Spannungszustand.............. 279 9.2.2.1 Abhängigkeit der Spannung von der Schnittrichtung - Hauptspannungen............ 281 9.2.2.2 Mohr scher Spannungskreis................... 284 9.2.2.3 Beziehungen zwischen den Spannungen am Flächenelement...285

Inhaltsverzeichnis xv 9.2.3 Räumlicher - dreiachsiger - Spannungszustand............ 287 9.3 Formänderungen des ebenen Spannungszustands................ 294 9.3.1 Allgemeines Hooke sches Gesetz für den ebenen Spannungszustand...294 9.3.2 Beziehungen zwischen den isotropen Werkstoffkennwerten. 297 9.3.3 Volumenänderung...298 9.3.4 Abschätzung der Größenordnung der Querkontraktionszahl. 299 9.3.5 Dehnungsmessungen - Berechnung der Spannungen....... 300 9.4 Festigkeitshypothesen - Versagen bei mehrachsiger Beanspruchung...302 9.4.1 Vergleichsspannung...304 9.4.1.1 Hypothese der größten Hauptspannung.......... 305 9.4.1.2 Hypothese der größten Schubspannung.......... 305 9.4.1.3 Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie.. 305 9.4.2 Berechnungsgleichungen - Korrekturzahl nach von Bach... 306 9.5 AufgabenzuKapitel9...310 9.5.1 Aufgaben zu Abschnitt 9.1............................ 310 9.5.2 Aufgaben zu Abschnitt 9.2............................ 313 9.5.3 Aufgaben zu Abschnitt 9.3............................ 313 9.5.4 Aufgaben zu Abschnitt 9.4............................ 314 9.6 FormelzusammenfassungKapitel9...317 10 Knicken und Beulen...319 10.1 Euler scheknickkraft...319 10.1.1 Außermittiger Kraftangriff.....................319 10.1.2 Mittiger Kraftangriff..............................322 10.1.3 Knicksicherheit...324 10.1.4 Andere Randbedingungen..........................325 10.1.5 Knicken bei behinderter Wärmedehnung................ 329 10.2 Knickspannungsdiagramm....331 10.3 Beulung dünnwandiger Hohlkörper...334 10.3.1 KreiszylinderunterAxialdruck...334 10.3.2 KonstanterAußendruck...336 10.4 AufgabenzuKapitel10...337 10.5 FormelzusammenfassungKapitel10...339 11 Rotationssymmetrischer Spannungszustand in Scheiben...341 11.1 Herleitung der Grundgleichungen............................ 341 11.1.1 Gleichgewichtsbedingungen.......................... 342 11.1.2 Verträglichkeitsbedingung.........................343 11.2 Dickwandige zylindrische Behälter unter Innen- und Außendruck. 344 11.2.1 Spannungsverteilung - Vergleichsspannung.............. 345 11.2.1.1 Innendruck...345 11.2.1.2 Außendruck...346 11.2.2 Fließbeginn-vollplastischerGrenzzustand...351

xvi Inhaltsverzeichnis 11.2.3 Näherungsrechnung im teilplastischen Bereich - Berechnungsvorschriften.............................. 353 11.2.4 Mehrlagenbehälter - Schrumpfverbindungen............. 357 11.3 AufgabenzuKapitel11...361 A Lösungen zu den Aufgaben...363 A.1 Kapitel2...363 A.2 Kapitel3...365 A.3 Kapitel4...365 A.3.1 Abschnitt4.1...365 A.3.2 Abschnitt4.2...367 A.3.3 Abschnitt4.3...370 A.3.4 Abschnitt4.4...371 A.4 Kapitel5...371 A.5 Kapitel6...372 A.6 Kapitel7...373 A.6.1 Abschnitt7.1...373 A.6.2 Abschnitt7.2...374 A.7 Kapitel8...375 A.8 Kapitel9...375 A.8.1 Abschnitt9.1...375 A.8.2 Abschnitt9.2...376 A.8.3 Abschnitt9.3...377 A.8.4 Abschnitt9.4...378 A.9 Kapitel10...378 A.10Kapitel11...379 Literaturverzeichnis...381 Sachverzeichnis...383