Zeitreihenanalyse Differenzenbildung Worum geht es in diesem Lernmodul? Einleitung Verfahren der einfachen Differenzenbildung Verfahren der saisonalen Differenzenbildung Kombination einfacher und saisonaler Differenzen Differenzen höherer Ordnung Weiterführende Links Worum geht es in diesem Lernmodul? In diesem Modul werden Sie mit dem Verfahren der Differenzenbildung bekannt gemacht. Dabei wird sowohl auf einfache als auch auf saisonale Differenzen eingegangen. Anhand von Beispielen und Übungen wird der Effekt der Differenzenbildung 1. als auch 2. Ordnung erläutert. Darüber hinaus werden Sie am Beispiel der Arbeitslosenzahlen die Kombination saisonaler und einfacher Differenzen kennen lernen. Einleitung Mit Hilfe der Differenzenbildung kann aus einer Zeitreihe der Trend eliminiert, und es können saisonale Effekte ausgeblendet werden. Mit Hilfe des folgenden Beispiels wollen wir uns dem Thema nähern. Beispiel: Arbeitslosenzahlen in den Nachrichten Die folgende Meldung wurde am 7.11.1983 in den Nachrichten eines Radiosenders verlesen: "Die Zahl der Arbeitslosen in der BRD ist im September leicht gesunken. Bundesweit sind 2.134.140 Menschen arbeitslos, das sind etwa 62.000 weniger als im Vormonat August aber rund 314.000 mehr als vor einem Jahr." Die Tabelle zeigt die genannten Zahlen im zeitlichen Zusammenhang: Monat Arbeitslosenzahl September 1982 1.820.030 Oktober 1982 1.920.002 Page 1
November 1982 2.038.164 Dezember 1982 2.223.352 Januar 1983 2.487.075 Februar 1983 2.535.836 März 1983 2.386.499 April 1983 2.253.768 Mai 1983 2.148.701 Juni 1983 2.127.105 Juli 1983 2.202.223 August 1983 2.196.220 September 1983 2.134.140 In der Radiomeldung wurde zur Beurteilung der Arbeitslosenzahlen eine einfache Differenz gebildet,nämlich die zwischen dem Betrachtungsmonat September und dem Vormonat August, um so den An- oder Abstieg der Arbeitslosigkeit zu bestimmen. Zudem wurde eine saisonale Differenz zum gleichnamigen Monat des vorherigen Jahres gebildet und damit der starken Saisonabhängigkeit der Arbeitslosenzahlen Rechnung getragen. Verfahren der einfachen Differenzenbildung Page 2
Vom Verfahren der einfachen Differenzenbildung sprechen wir, wenn für alle Monate der Zeitreihe die Differenz zum jeweiligen Vormonat gebildet wird. Das gleiche gilt analog für Quartalsdaten. Ganz allgemein ist die einfache Differenzenbildung wie folgt definiert: Einfache Differenzenbildung Für die erste Beobachtung der Zeitreihe lässt sich natürlich keine Differenz zu einer vorherigen Beobachtung bilden. Die Zeitreihe der einfachen Differenzen ist daher um eine Beobachtung kürzer als die Ausgangsreihe. Beispiel: Einfache Differenzenbildung: Die Arbeitslosenzahlen von 1980 bis 1986 Wir betrachten zunächst die monatlichen Arbeitslosenzahlen von 1980-1986 (Abb. ARBEITSLOSE 2) Abb. ARBEITSLOSE2: monatl. Arbeitslosenzahlen 01/1980 bis 12/1985 Die Zeitreihe weist offensichtlich einen positiven Trend auf. Nach der Bildung der einfachen Differenzen erhalten wir diesen deutlich geänderten Verlauf: Abb.: ERSTE DIFFERENZ Aus der Zeitreihe wird durch die Bildung der einfachen Differenzen der Trend beseitigt, übrig bleiben die Saison- und Restkomponente der Reihe. Beachten Sie die unterschiedliche Skalierung der Plots! Verfahren der saisonalen Differenzenbildung Vom Verfahren der saisonalen Differenzenbildung sprechen wir, wenn für alle Monate der Zeitreihe die Differenz zum gleichnamigen Monat des Vorjahres gebildet wird. Das gleiche gilt auch hier analog für Quartalswerte. Allgemein ist die saisonale Differenzenbildung wie folgt definiert: Saisonale Differenzenbildung Für Monatsdaten mit Periodendauer p = 12 lautet die Formel daher:. Für Quartalsdaten mit p=4 gilt entsprechend:. Für das erste Jahr der Zeitreihe lassen sich natürlich keine Differenzen zum Vorjahr bilden. Die Zeitreihe der saisonalen Differenzen ist daher um ein Jahr, also zwölf Monate oder vier Quartale, kürzer als die Ausgangsreihe. Entfernen Sie die Saisonkomponente aus der Zeitreihe der monatlichen Unfallzahlen durch Bildung saisonaler Differenzen. Labordatei öffnen ( af6.spf ) Kombination einfacher und saisonaler Differenzen Bei Zeitreihen mit Trend und Saison ist es gegebenenfalls erforderlich, beide Arten von Page 3
Differenzenbildung zu kombinieren. Ein Beispiel, dass hier näher erläutert werden soll, bezieht sich auf die Ihnen schon bekannten Arbeitslosenzahlen. Beispiel: Arbeitslosenzahlen: Beseitigung von Trend- Saisonkomponente Wir betrachten noch einmal die Zeitreihe der Arbeitslosen in den achtziger Jahren: Abb. ARBEITSLOSE2: monatl. Arbeitslosenzahlen 01/1980 bis 12/1985 Durch die Bildung der einfachen Differenzen erhalten wir die Ihnen schon bekannte Reihe ohne Trendkomponente: Abb. ERSTE DIFFERENZ Wenden wir auf diese trendbereinigte Reihe die Bildung saisonaler Differenzen an, erhalten wir eine um Trend und Saison bereinigte stationäre Reihe, die um Null schwankt (Abb.REST) Abb. REST Beachten Sie auch hier die unterschiedliche Skalierung der Plots! Differenzen höherer Ordnung Bei der einmaligen Anwendung der saisonalen oder einfachen Differenzenbildung auf eine Zeitreihe, spricht man von Differenzen 1. Ordnung. Häufig ist es für ökonomische Zeitreihen ausreichend, Differenzen 1. Ordnung zu bilden, um den Trend oder die Saison zu beseitigen. Ist es jedoch erforderlich die einfache Differenzenbildung zweimal hintereinander auf eine Reihe anzuwenden, spricht man von einfachen Differenzen 2.Ordnung. Einfache Differenzen 2. Ordnung Entsprechend gilt für saisonale Differenzen 2.Ordnung: Saisonale Differenzen 2. Ordnung Die Bildung der Differenzen 2. Ordnung kann erforderlich werden, um den Trend und/oder die Saison aus einer Reihe zu eliminieren und sie so stationär zu machen. Die Stationarität ist häufig die Voraussetzung für die Anwendung weiterführender Analyseverfahren. Entfernen Sie aus der Zeitreihe der jährlichen Stromproduktion in der BRD den Trend durch Differenzenbildung. Labordatei öffnen ( b31.spf ) Weiterführende Links Zeitreihen zum Üben und Ausprobieren: Page 4
vergleiche: Chatfield, Christopher (1982). Analyse von Zeitreihen. München, Hanser. Janacek, Gareth (2001). Practical Time Series. London, Arnold. Schlittgen, Rainer (2001). Angewandte Zeitreihenanalyse. München; Wien, Oldenbourg. Schlittgen, R.; Streitberg, B.H.J. (2001). Zeitreihenanalyse. München; Wien, Oldenbourg. (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: http://www.neuestatistik.de Page 5