Übung 3: Unternehmenstheorie

Übung 3: Unternehmenstheorie Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Intermediate Microeconomics (HS 10) Unternehmenstheorie 1 / 49

Produktion Zur Erinnerung: Grenzprodukt eines Inputs ist die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach der Einsatzmenge des Inputs: Abnehmende Grenzprodukte: Komplementäre Inputs: MP i (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i >0. MP ii (x 1,x 2 ) = MP i(x 1,x 2 ) x i < 0 für i = 1,2. MP ij (x 1,x 2 ) = MP i(x 1,x 2 ) x j > 0 für i j. Grenzrate der technisches Substitution ist GRT (x 1,x 2 ) = MP 1(x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) < 0. 2 / 49

3 / 49 Produktion Zur Erinnerung: Durchschnittsprodukt eines Inputs: AP i (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i >0. Produktionselastizität eines Inputs: ε i (x 1,x2) = MP i(x 1,x 2 ) AP i (x 1,x 2 ). Skalenelastizität der Technologie: ε S (x 1,x 2 ) = ε 1 (x 1,x 2 ) + ε 2 (x 1,x 2 ). Lokale Skalenerträge > 1 lokal steigende Skalenerträge ε S (x 1,x 2 ) = 1 lokal konstante Skalenerträge < 1 lokal fallende Skalenerträge

4 / 49 Produktion Zur Erinnerung: Globale Skalenerträge steigend, konstant, bzw. fallend, wenn die lokalen Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal steigend, konstant, bzw. fallend sind. Alternative Charakterisierung globaler Skalenerträge dadurch, dass die folgenden Bedingungen für alle t > 1 und (x 1,x 2 ) > 0 gelten: f (t x 1,t x 2 ) > t f (x 1,x 2 ) global steigende Skalenerträge = t f (x 1,x 2 ) global konstante Skalenerträge < t f (x 1,x 2 ) global fallende Skalenerträge

Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Worum geht es? Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion kennen und verstehen. Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Konzepten (Grenzprodukte, Produktionselastizitäten, Skalenerträge... ) verstehen. Beachte: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist das Standardrechenbeispiel für eine artige Produktionsfunktion und wird dementsprechend (auch in Klausuren) oft verwendet. 5 / 49

6 / 49 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Produktionsfunktion: f (x 1,x 2 ) = Ax α 1 x β 2. Grenzprodukte: MP 1 (x 1,x 2 ) = Aα x α 1 1 x β 2 > 0 MP 2 (x 1,x 2 ) = Aβ x α 1 x β 1 2 > 0. Grenzrate der technischen Substitution: GRT (x 1,x 2 ) = Aα x α 1 1 x β 2 Aβ x α 1 x β 1 2 = α β x2 x 1. Beachte: Die Grenzrate der technischen Substitution hängt von den Parametern nur über das Verhältnis α/β ab die absolute Grösse dieser Parameter und die Grösse von A spielen keine Rolle. Wieso?

7 / 49 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Abnehmende Grenzprodukte gilt füra > 0, α < 1 und β < 1: MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 =Aα (α 1)x α 2 1 x β 2 < 0 α < 1. =Aβ (β 1)x α 1 x β 2 2 < 0 β < 1 Inputs sindfür alle α,β,a > 0 komplementär: MP 1 (x 1,x 2 ) x 2 = MP 2(x 1,x 2 ) x 1 = Aα βx α 1 1 x β 1 2 > 0

8 / 49 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Durchschnittsprodukte: AP 1 (x 1,x 2 ) = Ax α 1 1 x β 2 = 1 α MP 1(x 1,x 2 ) > 0 AP 2 (x 1,x 2 ) = Ax α 1 x β 1 2 = 1 β MP 2(x 1,x 2 ) > 0. Produktionselastizitäten: ε 1 (x 1,x2) = MP 1(x 1,x 2 ) AP 1 (x 1,x 2 ) = α > 0 ε 2 (x 1,x2) = MP 2(x 1,x 2 ) AP 2 (x 1,x 2 ) = β > 0

Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Skalenelastizität ε S (x 1,x 2 ) = ε 1 (x 1,x 2 ) + ε 2 (x 1,x 2 ) = α + β hängt nicht von (x 1,x 2 ) ab: α + β > 1 global steigende Skalenerträge = 1 global konstante Skalenerträge < 1 global fallende Skalenerträge Alternativer Weg zum gleichen Ergebnis: f (t x 1,t x 2 ) = A(t x 1 ) α (t x 2 ) β = At α x α 1 tβ x β 2 = tα+β f (x 1,x 2 ). 9 / 49

Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion 10 / 49

Produktion Aufgabe 2 Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x α 1 + x β 2 mit 0 < α,β < 1. Beachte: Diese Produktionsfunktion verletzt die Annahme der Unverzichtbarkeit. Warum haben wir diese Annahme eigentlich gemacht? Plausibilität. Um nicht über Randlösungen des langfristigen Kostenminimierungsproblems nachdenken zu müssen. Damit kurzfristige Kostenfunktionen so verlaufen, wie es in den grafischen Darstellungen im Lehrbuch unterstellt ist. 11 / 49

12 / 49 Produktion Aufgabe 2 Das Grenzprodukt eines Inputs hängt nur von der Einsatzmenge des jeweils betrachteten Inputs ab: MP 1 (x 1,x 2 ) =αx α 1 1 > 0 MP 2 (x 1,x 2 ) =βx β 1 2 > 0. Die Grenzprodukte sind abnehmend, da α < 1 und β < 1 angenommen wurde: MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 =(α 1)αx α 2 1 < 0 =(β 1)βx β 2 1 < 0

Produktion Aufgabe 2 Grenzrate der technischen Substitution: GRT (x 1,x 2 ) = MP 1(x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) α 1 1 = αx βx β 1 2 Der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution ist fallend, da bei einer Bewegung entlang einer Isoquante MP 1 fällt und MP 2 steigt. 13 / 49

Produktion Aufgabe 2 Berechnung der Durchschnittsprodukte und Produktionselastizitäten und Skalenelastizität: Siehe Lösungshinweis. Alternative Ansatz, um zu zeigen, dass global fallende Skalenerträge vorliegen: f (t x 1,t x 2 ) = t α x α 1 + tβ x β 2 < t x α 1 + t x β 2 = t f (x 1,x 2 ) gilt für t > 1, da α < 1 und β < 1. 14 / 49

Produktion Aufgabe 3 Worum geht es? Erkennen, dass die Angaben in der Aufgabenstellung ausreichen, um die Produktionselastizitäten und damit die Skalenelastizität bei den betrachteten Faktoreinsatzmengen zu bestimmen. Mit 3 Einheiten Input 1 werden 12 Einheiten Output produziert AP 1 = 4. Da MP 1 = 3 folgt ε 1 = 3/4. Mit 6 Einheiten Input 2 werden 12 Einheiten Output produziert AP 2 = 2. Da MP 2 = 1 folgt ε 2 = 1/2. Also ist die Skalenelastizität gleich 3/4 + 1/2 = 5/4 > 1 Skalenerträge sind also lokal steigend. 15 / 49

Produktion Aufgabe 4 Worum geht es? Teil (a): Erkennen, dass perfekte Substitute konstante Skalenerträge haben. Teil (b): An Hand eines Beispieles verstehen, dass es von den Faktoreinsatzmengen abhängen kann, ob lokal fallende, konstante oder steigende Skalenerträge vorliegen. Hinweis: Wenn nur zu bestimmen, ob die Skalenerträge steigend, konstant oder fallend sind, ist die Berechnung der Produktionselastizitäten entbehrlich: ε S (x 1,x 2 ) > 1 MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 + MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 > f (x 1,x 2 ) ε S (x 1,x 2 ) = 1 MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 + MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 = f (x 1,x 2 ) ε S (x 1,x 2 ) < 1 MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 + MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 > f (x 1,x 2 ) 16 / 49

17 / 49 Produktion Aufgabe 4 Produktionsfunktion: f (x 1,x 2 ) = x 1 1+x 1 x 2 1+x 2. Grenzprodukte sind: MP 1 (x 1,x 2 ) = 1 (1 + x 1 ) 2 x 2 1 + x 2 > 0 MP 2 (x 1,x 2 ) = x 1 1 + x 1 1 (1 + x 2 ) 2 > 0. Jeweils mit der Einsatzmenge multiplizieren und addieren: x 1 x 2 (1 + x 1 ) 2 + x [ 1 x 2 1 + x 2 1 + x 1 (1 + x 2 ) 2 = 1 + 1 ] f (x 1,x 2 ). 1 + x 1 1 + x 2 Also sind die lokalen Skalenerträge dadurch bestimmt, ob der blau markierte Ausdruck grösser, gleich oder kleiner als 1 ist.

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Worum geht es? Zu einer gegebenen Kostenfunktion die dazugehörigen Grenzkosten, Durchschnittskosten, etc. bestimmen können. Verlauf der Kostenkurven (steigend, fallend, u-förmig) bestimmen können. Zusammenhänge zwischen den Kostenkurven kennen und ausnutzen können. 18 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Kostenfunktion: C(y) = y 3 20y 2 + 220y. Dies ist ein Beispiel für eine kubische Kostenfunktion der Form C(y) = ay 3 + by 2 + cy + d. Hinweis: In Rechenaufgaben, in denen Kostenverläufe zu bestimmen sind, werden fast durchweg solche Kostenfunktion betrachtet. Grenzkosten, durchschnittliche variable Kosten und Durchschnittskosten für kubische Kostenfunktionen: MC(y) = 3ay 2 + 2by + c AVC(y) = ay 2 + by + c AC(y) = AVC(y) + d/y. 19 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Die Steigung der Grenzkosten MC(y) = 3ay 2 + 2by + c ist MC (y) = 6ay + 2b. Die Steigung der durchschnittlichen variablen Kosten AVC(y) = ay 2 + by + c ist AVC (y) = 2ay + b. Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten sind also konstant (gleich c), wenn a = b = 0 gilt. steigend, wenn a 0 und b 0 mit mindestens einer strengen Ungleichung gilt. fallend, wenn a 0 und b 0 mit mindestens einer strengen Ungleichung gilt. u-förmig, wenn a > 0 und b < 0 gilt. Im Beispiel C(y) = y 3 20y 2 + 220y verlaufen Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten also u-förmig, da a = 1 und b = 20. 20 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten stimmen immer bei y = 0 überein. Für kubische Kostenfunktionen MC(0) = AVC(0) = c. Bei u-förmigem Verlauf gibt es genau einen weiteren Schnittpunkt, der im Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten liegt. Dieses Minimum ist durch die Bedingung AVC (ŷ) = 0 eindeutig bestimmt. Für kubische Kostenfunktionen mit a > 0 und b < 0 gilt also 2aŷ + b = 0 und somit ŷ = b 2a. Im Beispiel C(y) = y 3 20y 2 + 220y mit a = 1 und b = 20 gilt also ŷ = 10. 21 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Abbildung: Grenzkosten- und Durchschnittskostenfunktion der Kostenfunktion C(y) = y 3 20y 2 + 220y. 22 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 6: Bestimmung einer kurzfristigen Kostenfunktion Worum geht es? Verstehen, wie man eine kurzfristige Kostenfunktion aus einer kurzfristigen Produktionsfunktion bestimmt. Kochrezept zur Bestimmung kurzfristiger Kostenfunktionen: 1 Kurzfristige Produktionsfunktion als y = f (x 1, x 2 ) aufschreiben und nach x 1 auflösen. Dieses bestimmt die Einsatzmenge x 1 (y, x 2 ) des variablen Faktors, die zur Produktion von y erforderlich ist. 2 Fixkosten bestimmen: w 2 x 2. 3 Variable Kosten bestimmen: w 1 x 1 (y, x 2 ). 4 Kostenfunktion = Fixkosten + Variable Kosten. 5 Allenfalls vorgegebene Werte von (w 1,w 2 ) und x 2 einsetzen, um kurzfristige Kosten als Funktion der Outputmenge zu erhalten. 23 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 6: Bestimmung einer kurzfristigen Kostenfunktion Kurzfristige Produktionsfunktion: y = 0.1x1 0.5 x 0.5 2 Nach x 1 auflösen: x 1 (y, x 2 ) = 100y 2 / x 2. Kurzfristige Kostenfunktion ist: c(w 1,w 2,y, x 2 ) = w 2 x 2 + 100w 1 y 2 / x 2 Kurzfristige Kostenfunktion mit w 1 = 2, w 2 = 50 und x 2 = 4 ist: C(y) = 200 + 50y 2. Aufgabe 7: F = 200, VC(y) = 50y 2, MC(y) = 100y, AC(y) = 200/y + 50y, AFC(y) = 200/y, AVC(y) = 50y. 24 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 8: Kostenminimierung in der langen Frist Worum geht es? Das langfristige Kostenminimierungsproblem für (einige Beispiele) lösen können. Die dazugehörigen bedingten Faktornachfragefunktionen und die langfristige Kostenfunktion bestimmen können. Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften der Produktionsfunktion und Eigenschaften der langfristigen Kostenfunktion verstehen. Zusammenhänge zwischen bedingter Faktornachfrage und Kostenfunktion verstehen. Beachte: Die hier betrachteten Beispiele von Produktionsfunktionen sind für Rechenaufgaben in der Prüfung relevant. 25 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 8(a): Fixe Proportionen Isoquanten der Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = min{x 1,0.5x 2 } Skalenerträge bei fixen Proportionen sind konstant: f (t x 1,t x 2 ) = min{atx 1,tbx 2 } = t min{ax 1,bx 2 } = t f (x 1,x 2 ). 26 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 8(a): Fixe Proportionen Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = min{ax 1,bx 2 }. Im Beispiel mit a = 1 und b = 0.5. Um eine Einheit Output zu produzieren, werden 1/a Einheiten von Input 1 und 1/b Einheiten von Input 2 benötigt. Bedingte Faktornachfragen: x 1 (w 1,w 2,y) = y/a und x 2 (w 1,w 2,y) = y/b Langfristige Kostenfunktion: c(w 1,w 2,y) = [ w 1 a + w 2 b ]y ist linear in y, da konstante Skalenerträge vorliegen. 27 / 49

28 / 49 Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 8(b): Cobb-Douglas Hier wird der Spezialfall α = β = 1/2 und A = 1 der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion aus Aufgabe 1 betrachtet: f (x 1,x 2 ) = x 1/2 1 x 1/2 2 = x 1 x 2. Bedingungen für die Lösung des Kostenminimierungsproblems: x2 x1 = w 1 w 2 und x1 x2 = y

29 / 49 Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 8(b): Cobb-Douglas Nach x1 und x 2 auflösen, ergibt die bedingten Faktornachfragefunktionen: x1 (w w2 1,w 2,y) = y, w 1 und x 2 (w 1,w 2,y) = w1 w 2 y Einsetzen der bedingten Faktornachfragefunktionen in ergibt die Kostenfunktion, w 1 x 1 (w 1,w 2,y) + w 2 x 2 (w 1,w 2,y) c(w 1,w 2,y) = 2 w 1 w 2 y, die linear in y ist, da konstante Skalenerträge vorliegen.

30 / 49 Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 8(b): Cobb-Douglas Ableiten der Kostenfunktion c(w 1,w 2,y) = 2 w 1 w 2 y nach y ergibt die Grenzkosten MC(y) = 2 w 1 w 2, die mit dem Verhältnis von Faktorpreis geteilt durch Grenzprodukt des jeweiligen Faktors übereinstimmen. w i MP i (x 1 (w 1,w 2,y),x 2 (w 1,w 2,y)) = 2 w 1 w 2 = MC(y). Ableiten der Kostenfunktion nach w i ergibt die bedingte Faktornachfrage: c(w 1,w 2,y) wj = y = xi (w 1,w 2,y). w i w i

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 8(c): Ein weiteres Beispiel für langfristige Kostenminimierung Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x 1 + x 2 Es handelt sich um den Spezialfall α = β = 1/2 der Produktionsfunktion aus Aufgabe 2. Vorgehensweise zur Bestimmung der bedingten Faktornachfragefunktionen und der Kostenfunktion ist analog zu der Vorgehensweise im Cobb-Douglas-Fall. Beachte, dass auch hier wie in den beiden vorhergehenden Aufgaben das kostenminimierende Faktoreinsatzverhältnis unabhängig von y ist. Das Ergebnis, dass die bedingten Faktornachfragefunktionen und die Kostenfunktion quadratisch in der Outputmenge y sind, hat eine einfache Erklärung: f (t 2 x 1,t 2 x 2 ) = tf (x 1,x 2 ), so dass die Faktoreinsatzmengen mit t 2 multipliziert werden müssen, wenn der Output um den Faktor t steigen soll. 31 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 9 Worum geht es? Zusammenhang zwischen kurzfristigen Kostenfunktionen und langfristiger Kostenfunktion verstehen. Beachte: Hier wird nur der unartige Fall der fixen Proportionen betrachtet. Im (artigen) Cobb-Douglas-Fall sind die Zusammenhänge so, wie in Vorlesung und Lehrbuch dargestellt. Frage zur Selbstkontrolle: Wie sieht die langfristige Kostenfunktion zu der Situation aus Aufgabe 6 aus? Bei welcher Outputmenge berührt sie die kurzfristige Kostenfunktion aus Aufgabe 6? Kurzfristige Kostenfunktion für das Beispiel aus Aufgabe 8(c): Siehe Aufgabe 11. 32 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 9 Kurzfristige Produktionsfunktion f (x 1,20) = min{x 1,10}. Abbildung: Die kurzfristige Produktionsfunktion f (x 1,20) = min{x 1,10}. 33 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 9 Bemerke: Outputmengen y > 10 können nicht produziert werden. Die kurzfristige Kostenfunktion ist für solche Mengen nicht definiert. Faktorpreise (w 1,w 2 ) = (12,1.5). Langfristige Kostenfunktion (aus Aufgabe 8(a)): C l (y) = 12x1 (y) + 1.5x 2 (y) = 15y. Kurzfristige Kostenfunktion (nur für y 10): C k (y) = 12x 1 (y, x 2 ) + 1.5 x 2 = 30 + 12y 34 / 49

Kostenfunktion und Kostenminimierung Aufgabe 9 Abbildung: Zusatzfrage: Wie sehen kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion hierzu aus? 35 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Worum geht es? Lösung des Gewinnmaximierungsproblems und dazugehörige Angebotsfunktion für gegebene Kostenfunktion bestimmen können. Verstehen, dass Angebotsfunktionen nur bei steigendem oder u-förmigen Verlauf der Grenzkosten vernünftig sind. 36 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Aufgabe 10 (a) Kostenfunktion C(y) = 100 + 2y 2 Grenzkosten: MC(y) = 4y Angebotsfunktion: s(p) = p/4. 37 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Aufgabe 10 (b) Kostenfunktion C(y) = 67 + y + 0.1y 2 Grenzkosten: MC(y) = 1 + 0.2y Angebotsfunktion s(p) = max{0, 5(p 1)}. 38 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Aufgabe 10 (c) Kostenfunktion: c(y) = y 3 20y 2 + 220y Grenzkosten: MC(y) = 3y 2 40y + 220 Angebotsfunktion:?????????? minavc(y) = 120, daher für p < 120: s(p) = 0. Für p > 120: Eindeutige Lösung der Gleichung für die s(p) 10 gilt. p = 3s(p) 2 40s(p) + 220, Also (Auflösen der quadratischen Gleichung): s(p) = 1 3 [ 20 + ] 3p 260. 39 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion 40 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Aufgabe 10 (d) Kostenfunktion C(y) = 25y Grenzkosten: MC(y) = 25. Angebot bei p = 25 unendlich elastisch. 41 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Aufgabe 10 (e) Kostenfunktion c(y) = 2 y Grenzkosten MC(y) = 1/ y sind streng fallend. Gewinnmaximierungsproblem hat keine Lösung; Angebotsfunktion ist nicht definiert. 42 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 11: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x 1 + x 2. Faktorpreise sind (w 1,w 2 ) = (1,1). Langfristige Kostenfunktion ist C l (y) = y 2 /2 mit Grenzkostenfunktion MC l (y) = y. Langfristige Grenzkosten sind streng steigend mit MC(0) = 0. Langfristige Angebotsfunktion ist durch Bedingung erster Ordnung bestimmt: MC l (s l (p)) = p s l (p) = p. 43 / 49

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 11: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens Kurzfristige Angebotsfunktion hängt davon ab, welche Menge x 2 als fix unterstellt wird. Hier ist der Fall x 2 = 4 betrachtet,... welches diebei p = 4 optimale Einsatzmenge zur Produktion der gewinnmaximierenden Outputmenge s l (4) = 4 ist. Kurzfristige Produktionsfunktion: f (x 1,4) = 2 + x 1. Beachte: f (0,4) = 2. Das ist merkwürdig woran liegt das? 44 / 49

45 / 49 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 11: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens Fixkosten: w 2 x 2 = 4. Variable Kosten sind gleich Null für y 2 Das ist auch merkwürdig. Woran liegt das? Variable Kosten sind (y 2) 2 für y > 2. Kurzfristige Grenzkostenfunktion ist MC k (y) = { 0 für y 2 2y 4 für y > 2. Bestimmung der kurzfristigen Angebotsfunktion über die Bedingung Grenzkosten gleich Preis y k (p) = p + 4 2 Warum darf man das so machen?

Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 11: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens Abbildung: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion. 46 / 49

Produzentenrente Aufgabe 12 Worum geht es? Sie wissen, was man unter der Produzentenrente eines Unternehmens versteht. Sie können die Produzentenrente in einem Wettbewerbsmarkt sowohl aus der Angabe der Kostenfunktion als auch aus der Angabe der Angebotsfunktion bestimmen. Produzentenrente ist die Differenz zwischen Erlös und variablen Kosten. 47 / 49

48 / 49 Produzentenrente Aufgabe 12 Kochrezept zur Bestimmung der Produzentenrente aus der Kostenfunktion: 1 Gewinnmaximierunsgproblem lösen, um aus der Kostenfunktion C(y) die Angebotsfunktion s(p) zu bestimmen. 2 Erlös aus der Produktion von s(p) Einheiten bestimmen: p s(p). 3 Variable Kosten zur Produktion von s(p) Einheiten bestimmen: VC(s(p)). 4 Differenz bilden: pr(p) = p s(p) VC(s(p)). Kochrezept zur Bestimmung der Produzentenrente aus der Angebotsfunktion: 1 Erlös p s(p) bestimmen. 2 Davon die Fläche unterhalb der Angebotsfunktion bis zur Menge s(p) - dies entspricht den variablen Kosten VC(s(p)) abziehen.

Produzentenrente Aufgabe 12 Beispiel aus der Aufgabe: s(p) = 4p. 1 Erlös bei Preis p ist p s(p) = 4p 2 2 Fläche unter der Angebotsfunktion bis zur Menge s(p) ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Höhe p und Länge 4p, also 2p 2. 3 Also ist die Produzentenrente bei Preis p: Mit p = 12 folgt pr(p) = 288. pr(p) = 4p 2 2p 2 = 2p 2. 49 / 49