MATHEMATIK Aufgabensammlung mit vollständigen Lösungen GRUNDLAGEN Musteraufgaben in Mathematik www.neo-lernhilfen.at
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GRUNDLAGEN Musteraufgaben in Mathematik Schuljahr 015/15 015-03-10 Verantwortlich für den Inhalt: Dipl.-Ing. Edgar Neuherz, Graz 015
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Inhaltsverzeichnis 1 Aufgaben 1 1.1 Grundlagen............................................. 1.1.1 Zahlenmengen....................................... 1. Rechnen mit Termen....................................... 1..1 Multiplikation von Binomen................................ 1.3 Vierecke.............................................. 1.3.1 Trapez........................................... 1.4 Analytische Geometrie des Raumes................................ 3 1.4.1 Rechnen mit Vektoren im Raum............................. 3 Lösungen 5.1 Grundlagen............................................. 6.1.1 Zahlenmengen....................................... 6. Rechnen mit Termen....................................... 6..1 Multiplikation von Binomen................................ 6.3 Vierecke.............................................. 7.3.1 Trapez........................................... 7.4 Analytische Geometrie des Raumes................................ 9.4.1 Rechnen mit Vektoren im Raum............................. 9
1 Aufgaben
1 015-03-10 1.1 Grundlagen 1.1.1 Zahlenmengen Gegeben sind folgende Mengen: N... Menge der natürlichen Zahlen Z... Menge der ganzen Zahlen Q... Menge der rationalen Zahlen R... Menge der reellen Zahlen I... Menge der irrationalen Zahlen P... Menge der Primzahlen C... Menge der Komplexen Zahlen 015-03-10 3 015-03-10 1 Ordne jede Zahl allen zugehörigen Zahlenmengen zu: Zahl P N Z Q I R C 50 93 37 60,1 17 17 6 4 1. Rechnen mit Termen 1..1 Multiplikation von Binomen Ordne jede Zahl allen zugehörigen Zahlenmengen zu: Zahl P N Z Q I R C 30,11 58 19 49 13 46 11 85 Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen: 3 (x 4 (x + 9 4 ( 9x 4 (9x 5 1.3 Vierecke 1.3.1 Trapez Gegeben ist ein Trapez mit nachfolgenden Daten. Die Werte für a, b, c, d, e, f, h, A und U sind zu vervollständigen und zu berechnen! 5 a = 81,0 mm, b = 49,8 mm, c = 31,0 mm, d = 57,7 mm. 18 6 a = 74,0 mm, b = 41,3 mm, d = 57,7 mm, f = 51,5 mm.
1.4 Analytische Geometrie des Raumes 1.4.1 Rechnen mit Vektoren im Raum Bestimmen Sie die Vektoren von A nach B und von B nach C. 7 A = ( 6 4, B = ( 6 0 4, C = ( 1 1 8 A = ( 3 3, B = ( 1 1 6, C = ( 5 4 4 015-03-10 z A C x y A B x z B C y 3
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Lösungen
1 015-03-10.1 Grundlagen.1.1 Zahlenmengen Gegeben sind folgende Mengen: N... Menge der natürlichen Zahlen Z... Menge der ganzen Zahlen Q... Menge der rationalen Zahlen R... Menge der reellen Zahlen I... Menge der irrationalen Zahlen P... Menge der Primzahlen C... Menge der Komplexen Zahlen 015-03-10 1 Ordne jede Zahl allen zugehörigen Zahlenmengen zu: Zahl P N Z Q I R C 50 93 37 60,1 17 17 6 4. Rechnen mit Termen..1 Multiplikation von Binomen Ordne jede Zahl allen zugehörigen Zahlenmengen zu: Zahl P N Z Q I R C 30,11 58 19 49 13 46 11 85 Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen: 3 (x 4 (x + 9 Produkt zweier Binome: 1 ( {}}{{}}{{}}{{}}{ x + ( 4 ( x + 9 = x x + 9 x + ( 4 x + ( 4 9 = 4 ( 9x 4 (9x 5 1 3 4 = x + 9 x 4 x 36 = = x + 9x 4x 36 = x + 5x 36 3 18 4 Produkt zweier Binome: 1 ( 9x + ( 4 ( 9x + ( 5 = 3 1 {}}{ ( 9x 9x + {}}{ 4 = 81x + 45 x 36 x + 0 = 3 {}}{ 4 {}}{ ( 9 ( 5 x + ( 4 9 x + ( 4 ( 5 = = 81x + 45x 36x + 0 = 81x + 9x + 0 6
.3 Vierecke.3.1 Trapez Gegeben ist ein Trapez mit nachfolgenden Daten. Die Werte für a, b, c, d, e, f, h, A und U sind zu vervollständigen und zu berechnen! 3 015-03-10 5 a = 81,0 mm, b = 49,8 mm, c = 31,0 mm, d = 57,7 mm. A α D c C δ γ d b b e f (a c c a h aus Heronsche Flächenformel z = a c = 81,0 31,0 = 50,0 mm U = b + d + z s = U = b + d + z 49,8 + 57,7 + 50,0 = = 78,8 mm A = s (s b (s d (s z = 78,8 (78,8 49,8 (78,8 57,7 (78,8 50,0 = 1175,0 mm A = z h h = A = 1175,0 = 47,0 mm z 50,0 Diagonalen e, f d = h + x x = d h = 57,7 47,0 = 33,5 mm e = h + (c + x e = h + (c + x = 47,0 + (31,0 + 33,5 = 79,8 mm c = a x y y = a c x = 81,0 31,0 33,5 = 16,5 mm f = h + (c + y f = h + (c + y = 47,0 + (31,0 + 16,5 = 66,8 mm Flächenformel A = a + c 81,0 + 31,0 h = 47,0 = 63,0 mm β h B Umfang U = a + b + c + d = 81,0 + 49,8 + 31,0 + 57,7 = 0,0 mm 7
6 a = 74,0 mm, b = 41,3 mm, d = 57,7 mm, f = 51,5 mm. D δ c γ C d e f α A a h aus Heronsche Flächenformel b h β U = a + d + f s = U = a + d + f 74,0 + 57,7 + 51,5 = = 91,6 mm A = s (s a (s d (s f = 91,6 (91,6 74,0 (91,6 57,7 (91,6 51,5 = 1480,0 mm A = a h h = A = 1480,0 = 40,0 mm a 74,0 Hilfsvariablen x, y und Seite c d = h + x x = d h = 57,7 40,0 = 41,6 mm b = h + y y = b h = 41,3 40,0 = 10,4 mm c = a x y = 74,0 41,6 10,4 =,0 mm Diagonale e e = h + (c + x e = h + (c + x = 40,0 + (,0 + 41,6 = 75,1 mm Flächenformel A = a + c 74,0 +,0 h = 40,0 = 190,0 mm Umfang U = a + b + c + d = 74,0 + 41,3 +,0 + 57,7 = 195,0 mm B 8
.4 Analytische Geometrie des Raumes.4.1 Rechnen mit Vektoren im Raum Bestimmen Sie die Vektoren von A nach B und von B nach C. 7 A = ( 6 4, B = ( 6 0 4, C = ( 1 1 8 A = ( 3 3, B = ( 1 1 6, C = ( 5 4 4 015-03-10 BC x z AB Der Vektor AB berechenet sich sich genauso wie in der Ebene (Spitze B minus Schaft A: AB = B A 6 4 = 0 6 = 6 4 4 8 Der Vektor BC berechenet sich sich genauso wie in der Ebene (Spitze C minus Schaft B: BC = C B 1 6 7 = 0 = 1 4 5 y x z AB BC Der Vektor AB berechenet sich sich genauso wie in der Ebene (Spitze B minus Schaft A: AB = B A 1 3 4 = 1 3 = 4 6 8 Der Vektor BC berechenet sich sich genauso wie in der Ebene (Spitze C minus Schaft B: BC = C B 5 1 6 = 4 1 = 3 6 4 y 9
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