Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeitstheorie WS 2015/16 18. Januar 2016 Dr. Franziska Jahnke, Dr. Daniel Palacín Bearbeitungszeit: 120 Minuten Name... Matrikel-Nr.... Studiengang... 1. So oder so ähnlich wird die Klausur aussehen. 2. Ihre Lösungen werden von Ihren Tutoren korrigiert, und die dabei erlangten Punkte werden Ihnen als Bonuspunkte gutgeschrieben (die Ihnen bei dem Erreichen der Klausurzulassung helfen können). Abgabetermin ist der 28.1.16. 3. Die Lösungen werden Ihnen Anfang Februar in den Tutoraten (und bei Bedarf im Repetitorium) vorgestellt. 4. Diese Probeklausur entspricht im Umfang der Klausur am Semesterende. Nicht vergessen, auf allen Blättern die Matrikelnummer einzutragen, auf diesem Deckblatt auch den Namen sowie Ihren Studiengang! Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ maimale Punktzahl 4 4 4 4 4 4 4 4 32 erreichte Punktzahl Beachten Sie die Hinweise auf der Rückseite! 1
Je nach Aufgabenstellung müssen Sie Ihre Überlegungen mehr oder weniger detailliert darlegen. Die folgende Übersicht beschreibt, welcher Grad an Detailgenauigkeit von Ihnen erwartet wird. Skizzieren der Vorgehensweise: Hier steht das Ergebnis der Aufgabe im Vordergrund. Bei einem richtigen Ergebnis kann man die volle Punktzahl erreichen. Wir empfehlen jedoch, Anmerkungen zum Lösungsweg zu machen, so dass bei Rechenund Folgefehlern trotzdem noch Punkte erzielt werden können. Ausführen eines Algorithmus: Führen Sie den Algorithmus aus. Das heißt, sie protokollieren die Datenstrukturen, welche während der Ausführung des Algorithmus angelegt bzw. verändert werden. Gegebenenfalls erläutern Sie, wie Verzweigungen/Schleifen bei der Abarbeitung durchlaufen werden. Dokumentieren Sie das Ergebnis des Algorithmus. Kurz begründen: Führen Sie in 2 5 Sätzen aus, warum ein Sachverhalt gilt, bzw. belegen Sie durch ein Gegenbeispiel, warum dies nicht so ist. Üblicherweise müssen hier 2 3 bekannte Fakten zu einer neuen Aussage kombiniert werden. Beweisen: Vollständiger Beweis gefordert. Alle TM-Programme können in Modulschreibweise angegeben werden. Was darf ich voraussetzen? Alle Aussagen, die in der Vorlesung bzw. als Übungsaufgabe bewiesen wurden, dürfen ohne Beweis benutzt werden. Wenn in der Vorlesung gezeigt wurde, dass eine Sprache in einer (oder nicht in einer) bestimmten Klasse liegt, dürfen Sie das auch verwenden. Bei Anwendung eines Satzes muss man zeigen, dass dessen Voraussetzungen erfüllt sind. Einzige Ausnahme von dieser Regel bilden Klausuraufgaben, die bereits als Übungsaufgaben gestellt wurden. In diesem Fall müssen Sie die Aufgabe noch einmal lösen. 2
Matrikel-Nr.:... Aufgabe 1: Wandeln Sie den folgenden DEA in einen regulären Ausdruck um. (Zwischenergebnisse, die für das Endergebnis nicht benötigt werden, dürfen weggelassen werden.) 1 2 3, Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise. Aufgabe 2: Betrachten Sie folgende Sprache: L := {w {a, b, c} tw a (w) = tw b (w) + tw c (w)} Hier beschreibt tw (w) wie oft ein Buchstabe {a, b, c} im Wort w vorkommt. (a) Beweisen Sie unter Verwendung des Pumping-Lemmas, dass L nicht regulär ist. (b) Beweisen Sie, dass L kontetfrei ist. Aufgabe 3: Sei folgende kontetfreie Grammatik über dem Alphabet {,, z} gegeben: S CB SS A A B BCz C z ε Wie üblich stehen Großbuchstaben für Variablen und Kleinbuchstaben für Terminale; das Startsmbol ist S. Überführen Sie die angegebene Grammatik in Chomsk- Normalform. Führen Sie den in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus aus. 3
Aufgabe 4: (a) Betrachten Sie folgende Sprache über dem Alphabet {a, b}: L := {w {a, b} tw a (w) ungerade } {w {a, b} w enthält das Teilwort ab} Geben Sie einen DEA an, der die Sprache L erkennt. Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise. (b) Bezeichne N den folgenden NEA über dem Alphabet {, }: A S C ε B Bestimmen Sie den Potenzautomaten zu N. Skizzieren Sie Ihre Vorgehensweise. (Zustände, die nicht erreicht werden können, brauchen nicht angegeben zu werden.) Aufgabe 5: Sei L eine Sprache über dem Alphabet Σ. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen auf ihre Richtigkeit. Begründen Sie kurz ihre Antwort. (a) Ist L kontetfrei, dann ist auch {w 1 w 2 w 1, w 2 L} kontetfrei. Hier bezeichnet w die Spiegelung des Wortes w. (b) Ist L endlich und kontetfrei, dann ist L regulär. (c) Sei A ein DEA mit n Zuständen, der mindestens ein Wort der Länge mindestens n akzeptiert. Dann ist L(A) unendlich. 4
Matrikel-Nr.:... Aufgabe 6: Seien L, L zwei Sprachen über dem Alphabet Σ. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen auf ihre Richtigkeit. Begründen Sie ihre Antwort kurz. (a) L m L L m L. (b) { M L(M) ist prim } E. (c) Ist L A, aber L E, so gilt L m L L m L. Aufgabe 7: (a) Geben Sie eine Sprache aus NP an. Begründen Sie ihre Antwort kurz. (b) Beweisen Sie, dass NP unter Schnitt abgeschlossen ist. (c) Angenommen P NP. Beweisen Sie: es gibt Sprachen L 1, L 2 NP \ {, Σ }, so dass L 1 p L 2. (d) Angenommen P = NP. Beweisen Sie, dass jede Sprache L aus P \ {, Σ } NPvollständig ist. Aufgabe 8: Beweisen Sie, dass es eine TM M gibt, die genau dann akzeptiert, wenn M auf dem Band steht. 5