Physik. Federkombinationen

Physik Federkombinationen

Feststellung der Federkonstanten Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Um die Federkonstanten festzustellen, wird an die Federn ein Gewicht von bekannter Gewichtskraft angehängt und dann aus der Elongation die Federkonstante D berechnet. Auswertung Die Federkonstante berechnet sich folgendermaßen: D = F s Da bei größerer Elongation eine höhere Genauigkeit zu erwarten ist, werden im Folgenden die Werte für 0,2 kg verwendet. Aus den Versuchsergebnissen ergibt sich demnach: Masse in kg Gewichtskraft in N Elongation in m Federkonstante in N/m Feder 0,2,9633 0,3 5,09 Feder 2 0,2,9633 0,29 5,20 Feder 3 0,2,9633 0,28 5,32 Messung der Periodendauer Versuchsaufbau Siehe Aufgabenblatt Versuchsdurchführung Da die Periodendauer einer Schwingung von der Federkonstante abhängt und hier mehrere Federn beteiligt sind, muss ein allgemeiner Ansatz für eine Ersatz-Federkonstante hergeleitet und durch einen Versuch belegt werden. Dazu wird die Anordnung ausgelenkt und die Schwingung mit einer Videokamera gefilmt. Durch ein Auswertungsprogramm wird die Periodendauer festgestellt und mit dem theoretischen Ansatz verglichen.

Anordnung a) Auswertung Feder Feder 3 F D, F D,3 F G Da jede Feder an einem anderen Punkt des Gewichts angreift, summieren sich beide Federkräfte. Aus der Gleichung für die Elongation einer Feder folgt: Da das Gewicht auf halber Strecke liegt gilt: Nun kann in obige Gleichung eingesetzt werden: F D* = FD, + FD,3 F D * = D* s s = s + s 3 2 D* = 2(F + F ) D, D,3 s + s3 D* = 2(D s + D s ) 3 3 s + s3 Für kleine Elongationen und Elongationsunterschiede kann s = s 2 angenährt werden, da größere Unterschiede in den Federkonstanten ohnehin durch die Länge des Bügels Fehler erzeugen würden. D* = D + D3 Aus der Gleichung für die Richtgröße eines schwingenden Systems lässt sich die Winkelgeschwindigkeit herleiten: D* = m = D m Nun kann man in folgende Gleichung einsetzen: = 2 T

2 T = D + D 3 m T = 2 T = 2 m D + D 3 0,25 kg 5, N/m + 5,3 N/m T = 0,570 s Aus den Messwerten (siehe Anhang) ergibt sich folgendes Diagramm: 0 2 3 4 5 6 7 8 Zeit t in s Aus diesem Diagramm kann man die Periodendauer ablesen. Durch genauere Untersuchung erhält man folgenden experimentell bestimmten Wert für die Periodendauer: Dies bedeutet folgenden prozentualen Fehler: Nun kann ein Zusammenhang zwischen der Periodendauer einer einzelnen Feder und der einer Kombination hergeleitet werden. Man beginnt mit folgenden Gleichungen: Nun setzt man in vorher verwendete Gleichung ein. T = 0,577 s ex p = ( 0,577 s - ) * 00% =,28 % 0,570 s D = m D = 4 T m = 2 T T = 2 m D

Da Identische Federn benutzt werden wird nur eine Federkonstante D verwendet. Nun setzt man die beiden Gleichungen ineinander ein und nach Einsetzen und Vereinfachen ergibt sich: Gesetz: T = 2 m 2 D T = T 2 Werden zwei Federn parallel geschaltet, addieren sich die Federkonstanten nährungsweise zur Ersatzfederkonstante für beide Federn. D* = D + D3 4 m D = T Anordnung b) Auswertung Feder F D, Feder 3 F D,3 F G Aus der Gleichung für die Elongation einer Feder folgt: Für die Elongation gilt: F D * = D* s s = s + s 2 3 Nun kann in obige Gleichung eingesetzt werden: D* = F * D s + s 2 3

Durch eine Kehrwertbildung kann weitergerechnet werden: s = + Nach Formel aus Anordnung a) wird nun die Periodendauer ausgerechnet: D* D* Aus den Messwerten (siehe Anhang) ergibt sich folgendes Diagramm: s 2 3 F G F G = + D 2 D 3 T = 2 m + D 2 D 3 T = 2 0, kg + 5,2 N/m 5,3 N/m T = 0,79 s 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 Durch genauere Untersuchung erhält man folgenden experimentell bestimmten Wert für die Periodendauer: Dies bedeutet folgenden prozentualen Fehler: T = 0,768 s ex p = ( 0,768 s - ) * 00% = 6,78 % 0,79 s Auch für diese Anordnung wird ein Zusammenhang zwischen den Periodendauern hergeleitet: D* = + D D D* = D 2

T = 2 2 m D 4 m D = T Die beiden Gleichungen werden ineinander eingesetzt und nach vereinfachen erhält man: T = 2 T Gesetz: Werden zwei Federn in Reihe geschaltet, ist der Kehrwert der Ersatzfederkonstante die Summe der Kehrwertigen Einzelfederkonstanten. D* = + D 2 D 3 Anordnung c) Auswertung Feder Feder 2 F D, F D, 2 Feder 3 F D,3 F G Um die Ersatzfederkonstante auszurechnen, kann zunächst die Ersatzfederkonstante von Feder und Feder 2 ausrechnen und dann diese Federn als eine ansehen. Somit kann man die bereits aufgestellten Gesetze nutzen. D* = + D + D2 D 3 T = 2 m + D + D2 D 3 T = 2 0, kg + 5, N/m + 5,2 N/m 5,3 N/m T = 0,623 s

Aus den Messwerten (siehe Anhang) ergibt sich folgendes Diagramm: 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 Zeit t in s Aus diesem Diagramm kann man zwar keine Periodendauer ablesen, allerdings ist die Dämpfung während 00 s gut erkennbar. 0 2 4 6 8 0 2 4 Zeit t in s Jetzt erhält man folgenden experimentell bestimmten Wert für die Periodendauer: Dies bedeutet folgenden prozentualen Fehler: T = 0,768 s ex p = ( 0,660 s - ) * 00% = 5,96 % 0,623 s

Herleitung der Periodendauer der Anordnung aus den Periodendauern der einzelnen Federn: D* = + D + D D Nun wird in die Gleichung aus den vorigen Anordnungen eingesetzt: T = 2 3 m 2 D Nach Vereinfachung ergibt sich schließlich: D* = 2 D 3 3 T = D 2 4 m D = T Fehlerdiskussion Die Abweichung lässt sich durch verschiedene Gründe erklären: Die Masse des Bügels wurde nicht berücksichtigt, was allerdings einen sehr geringen Effekt hat. Die Eigenmasse der Feder wurde außer Acht gelassen, da diese sehr schwierig zu berechnen ist, weil die Feder in unterschiedlichen höhen weniger stark mitschwingt. In der Berechnung der Parallelschaltung wurden die Elongationen der beiden Federn angenähert. Da man das Gewicht beim Start nicht gerade nach unten halten kann, hatte die Schwingung neben dem vertikalen Teil auch einen horizontalen, wobei diesen zu berücksichtigen sehr schwierig ist.

Anhang A: Wertetabelle für Anordnung a) t /s y /Pixel t /s y /Pixel t /s y /Pixel 0 67 2,52 635 5,04 823 0,04 65 2,56 630 5,08 85 0,08 65 2,6 64 5,2 80 0,2 67 2,64 666 5,6 782 0,6 67 2,68 688 5,2 753 0,2 67 2,72 722 5,24 725 0,24 67 2,76 762 5,28 697 0,28 67 2,8 784 5,32 683 0,32 67 2,84 80 5,36 676 0,36 67 2,88 88 5,4 684 0,4 65 2,92 87 5,44 686 0,44 622 2,96 802 5,48 703 0,48 633 3 778 5,52 72 0,52 657 3,04 753 5,56 739 0,56 682 3,08 75 5,6 755 0,6 72 3,2 684 5,64 773 0,64 759 3,6 657 5,68 777 0,68 787 3,2 634 5,72 776 0,72 80 3,24 627 5,76 773 0,76 825 3,28 635 5,8 76 0,8 822 3,32 643 5,84 742 0,84 808 3,36 672 5,88 722 0,88 784 3,4 699 5,92 704 0,92 758 3,44 733 5,96 686 0,96 72 3,48 77 6 674 685 3,52 793 6,04 667,04 653 3,56 820 6,08 667,08 633 3,6 88 6,2 675,2 625 3,64 822 6,6 689,6 628 3,68 805 6,2 705,2 64 3,72 783 6,24 723,24 666 3,76 752 6,28 742,28 70 3,8 78 6,32 77,32 738 3,84 687 6,36 785,36 77 3,88 665 6,4 794,4 802 3,92 648 6,44 792,44 86 3,96 644 6,48 793,48 826 4 649 6,52 795,52 82 4,04 663 6,56 784,56 800 4,08 686 6,6 777,6 772 4,2 7 6,64 769,64 74 4,6 742 6,68 756,68 704 4,2 772 6,72 754,72 673 4,24 796 6,76 749,76 645 4,28 803 6,8 749,8 628 4,32 803 6,84 753,84 624 4,36 796 6,88 756,88 634 4,4 778 6,92 756,92 652 4,44 753 6,96 75,96 680 4,48 723 7 745 2 70 4,52 693 7,04 74 2,04 75 4,56 666 7,08 726 2,08 78 4,6 647 7,2 78 2,2 809 4,64 638 7,6 75 2,6 82 4,68 638 7,2 708 2,2 826 4,72 649 7,24 706 2,24 85 4,76 663 7,28 700 2,28 799 4,8 692 2,32 769 4,84 79 2,36 735 4,88 756 2,4 700 4,92 782 2,44 669 4,96 804 2,48 646 5 86

Anhang B: Wertetabelle für Anordnung b) t /s y /Pixel t /s y /Pixel t /s y /Pixel t /s y /Pixel t /s y /Pixel 0 52 3,48 205 6,96 83 0,44 6 3,92 6 0,04 52 3,52 205 7 9 0,48 66 3,96 58 0,08 5 3,56 204 7,04 94 0,52 70 4 59 0,2 50 3,6 203 7,08 99 0,56 76 4,04 59 0,6 5 3,64 99 7,2 203 0,6 84 4,08 62 0,2 5 3,68 9 7,6 204 0,64 88 4,2 67 0,24 5 3,72 83 7,2 203 0,68 94 4,6 7 0,28 5 3,76 80 7,24 200 0,72 99 4,2 77 0,32 50 3,8 69 7,28 96 0,76 20 4,24 83 0,36 50 3,84 63 7,32 90 0,8 203 4,28 89 0,4 54 3,88 58 7,36 84 0,84 202 4,32 94 0,44 58 3,92 54 7,4 77 0,88 200 4,36 98 0,48 64 3,96 53 7,44 70 0,92 95 4,4 20 0,52 7 4 53 7,48 64 0,96 90 4,44 20 0,56 80 4,04 56 7,52 60 83 4,48 200 0,6 87 4,08 60 7,56 56,04 77 4,52 99 0,64 95 4,2 65 7,6 55,08 7 4,56 95 0,68 20 4,6 72 7,64 56,2 65 4,6 89 0,72 205 4,2 79 7,68 58,6 6 4,64 83 0,76 207 4,24 87 7,72 6,2 58 4,68 77 0,8 207 4,28 93 7,76 66,24 56 4,72 72 0,84 206 4,32 98 7,8 72,28 56 4,76 67 0,88 203 4,36 202 7,84 79,32 59 4,8 62 0,92 99 4,4 204 7,88 84,36 62 4,84 59 0,96 90 4,44 205 7,92 9,4 67 4,88 58 82 4,48 203 7,96 96,44 73 4,92 58,04 74 4,52 20 8 200,48 79 4,96 6,08 67 4,56 96 8,04 202,52 84 5 64,2 60 4,6 87 8,08 204,56 90 5,04 68,6 55 4,64 82 8,2 202,6 96 5,08 74,2 52 4,68 75 8,6 200,64 99 5,2 79,24 52 4,72 69 8,2 95,68 20 5,6 84,28 52 4,76 62 8,24 89,72 20 5,2 90,32 56 4,8 58 8,28 8,76 200 5,24 94,36 6 4,84 55 8,32 76,8 98 5,28 99,4 67 4,88 54 8,36 69,84 93 5,32 200,44 75 4,92 55 8,4 64,88 89 5,36 20,48 8 4,96 57 8,44 59,92 82 5,4 200,52 88 5 6 8,48 56,96 76 5,44 99,56 96 5,04 67 8,52 56 2 70 5,48 93,6 202 5,08 72 8,56 56 2,04 64 5,52 88,64 205 5,2 80 8,6 59 2,08 60 5,56 82,68 206 5,6 87 8,64 63 2,2 58 5,6 76,72 206 5,2 93 8,68 68 2,6 57 5,64 7,76 205 5,24 99 8,72 74 2,2 58 5,68 65,8 20 5,28 203 8,76 80 2,24 60 5,72 62,84 95 5,32 205 8,8 87 2,28 64 5,76 60,88 87 5,36 204 8,84 9 2,32 68 5,8 59,92 80 5,4 202 8,88 97 2,36 74 5,84 60,96 73 5,44 200 8,92 99 2,4 8 5,88 6 2 65 5,48 95 8,96 203 2,44 86 5,92 65 2,04 59 5,52 88 9 203 2,48 9 5,96 69 2,08 54 5,56 79 9,04 20 2,52 96 6 75 2,2 52 5,6 73 9,08 98 2,56 99 6,04 80 2,6 5 5,64 67 9,2 93 2,6 20 6,08 85 2,2 52 5,68 62 9,6 87 2,64 20 6,2 90 2,24 56 5,72 58 9,2 8 2,68 200 6,6 96 2,28 62 5,76 55 9,24 74 2,72 98 6,2 99 2,32 68 5,8 54 9,28 68 2,76 93 6,24 200 2,36 76 5,84 56 9,32 63 2,8 86 6,28 200 2,4 83 5,88 58 9,36 59 2,84 80 6,32 99 2,44 90 5,92 63 9,4 56 2,88 74 6,36 96 2,48 96 5,96 69 9,44 56 2,92 68 6,4 9 2,52 202 6 75 9,48 56 2,96 63 6,44 87 2,56 205 6,04 82 9,52 60 3 60 6,48 80 2,6 206 6,08 88 9,56 64 3,04 58 6,52 74 2,64 206 6,2 94 9,6 70 3,08 56 6,56 68 2,68 203 6,6 99 9,64 76 3,2 58 6,6 64 2,72 99 6,2 203 9,68 8 3,6 60 6,64 62 2,76 94 6,24 204 9,72 87 3,2 65 6,68 58 2,8 85 6,28 204 9,76 93 3,24 70 6,72 58 2,84 78 6,32 202 9,8 98 3,28 76 6,76 59 2,88 7 6,36 97 9,84 200 3,32 82 6,8 62 2,92 64 6,4 93 9,88 20 3,36 87 6,84 65 2,96 59 6,44 85 9,92 20 3,4 93 6,88 70 3 55 6,48 78 9,96 20 3,44 96 6,92 75 3,04 52 6,52 73 0 97 3,48 200 6,96 82 3,08 52 6,56 65 0,04 9 3,52 20 7 87 3,2 54 6,6 6 0,08 86 3,56 20 7,04 92 3,6 58 6,64 57 0,2 79 3,6 99 7,08 96 3,2 63 6,68 55 0,6 72 3,64 96 7,2 200 3,24 7 6,72 55 0,2 67 3,68 9 7,6 20 3,28 78 6,76 56 0,24 62 3,72 86 7,2 200 3,32 84 6,8 6 0,28 59 3,76 78 7,24 99 3,36 9 6,84 64 0,32 57 3,8 73 3,4 97 6,88 70 0,36 58 3,84 69 3,44 20 6,92 77 0,4 58 3,88 64

Anhang C: Wertetabelle für Anordnung c) t /s y /Pixel t /s y /Pixel t /s y /Pixel t /s y /Pixel 0,04 74 2,56 49 5,08 47 7,6 95 0,08 74 2,6 40 5,2 55 7,64 207 0,2 76 2,64 36 5,6 68 7,68 220 0,6 78 2,68 36 5,2 8 7,72 226 0,2 35 2,72 4 5,24 96 7,76 229 0,24 35 2,76 50 5,28 207 7,8 237 0,28 35 2,8 63 5,32 29 7,84 22 0,32 32 2,84 78 5,36 226 7,88 2 0,36 38 2,88 93 5,4 233 7,92 98 0,4 47 2,92 206 5,44 23 7,96 83 0,44 60 2,96 28 5,48 222 8 68 0,48 76 3 226 5,52 22 8,04 55 0,52 92 3,04 234 5,56 99 8,08 45 0,56 208 3,08 233 5,6 84 8,2 39 0,6 29 3,2 223 5,64 69 8,6 37 0,64 228 3,6 24 5,68 55 8,2 40 0,68 236 3,2 20 5,72 45 8,24 47 0,72 230 3,24 87 5,76 39 8,28 58 0,76 25 3,28 72 5,8 37 8,32 7 0,8 20 3,32 74 5,84 39 8,36 86 0,84 20 3,36 69 5,88 67 8,4 200 0,88 85 3,4 65 5,92 73 8,44 23 0,92 70 3,44 39 5,96 70 8,48 22 0,96 55 3,48 42 6 86 8,52 227 44 3,52 47 6,04 20 8,56 233,04 36 3,56 57 6,08 23 8,6 225,08 34 3,6 70 6,2 222 8,64 28,2 36 3,64 85 6,6 228 8,68 205,6 43 3,68 99 6,2 233 8,72 94,2 53 3,72 22 6,24 230 8,76 80,24 67 3,76 22 6,28 29 8,8 78,28 83 3,8 228 6,32 207 8,84 72,32 98 3,84 234 6,36 94 8,88 67,36 208 3,88 23 6,4 79 8,92 65,4 222 3,92 220 6,44 65 8,96 4,44 229 3,96 209 6,48 53 9 45,48 23 4 94 6,52 44 9,04 53,52 228 4,04 80 6,56 39 9,08 64,56 22 4,08 65 6,6 39 9,2 77,6 208 4,2 52 6,64 43 9,6 9,64 97 4,6 42 6,68 5 9,2 204,68 83 4,2 37 6,72 63 9,24 26,72 68 4,24 40 6,76 77 9,28 224,76 54 4,28 40 6,8 9 9,32 233,8 45 4,32 49 6,84 204 9,36 232,84 42 4,36 60 6,88 26 9,4 223,88 37 4,4 74 6,92 228 9,44 24,92 40 4,44 89 6,96 233 9,48 20,96 68 4,48 204 7 233 9,52 87 2 59 4,52 26 7,04 228 9,56 72 2,04 73 4,56 224 7,08 25 9,6 59 2,08 88 4,6 234 7,2 202 9,64 48 2,2 202 4,64 233 7,6 90 9,68 40 2,6 25 4,68 228 7,2 74 9,72 37 2,2 224 4,72 26 7,24 6 9,76 39 2,24 230 4,76 203 7,28 49 9,8 44 2,28 230 4,8 90 7,32 65 9,84 54 2,32 226 4,84 76 7,36 42 9,88 67 2,36 28 4,88 62 7,4 43 9,92 82 2,4 206 4,92 70 7,44 45 9,96 96 2,44 9 4,96 66 7,48 54 0 209 2,48 75 5 40 7,52 67 0,04 29 2,52 6 5,04 4 7,56 8 0,08 229