MATHEMATIK-WETTBEWERB 206/207 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A. a) L { 2; ; 0; ;...}, denn b) L Z G, denn. Fall: 3 (x 7) (x 3)(x 7) x 7 oder 3 x 3 x 7 oder x 6 2. Fall: 3 (x 7) < (x 3)(x 7) x 7 > 0 und 3 < x 3 oder x 7 < 0 und 3 > x 3 x > 7 und x > 6 oder x < 7 und x < 6 x > 7 oder x < 6 5 c) L {4; 5; 6; 8; 9; 0;...}, denn (x 7) 2 > 0 gilt immer für x 7. x + 3 > 0 und x 2 9 > 0 oder x + 3 < 0 und x 2 9 < 0 x > 3 und x 2 9 > 0 oder x < 3 und x 2 9 < 0 x > 3 d) L { 7; 6; 5; 4, 3}, denn (x 7) 2 > (x 7) 2 (x + 7) (x + 3) für x > 7 gilt: > (x + 7) (x + 3) 2. a) Dreieck ACD it gleichchenklig, alo it α al Außenwinkel gleich der Summe 2δ der Baiwinkel. ɛ β : 2 analog b) Hinweie zur Kontruktion de Dreieck ABC: Strecke DE a + b + c mit Kennzeichnung der Punkte D und E. α : 2 2 an D β : 2 33 an E Schnitt der freien Schenkel in C Antragen von α : 2 2 in C (oder m DC ) chneidet Strecke DE in A Antragen von β : 2 33 in C (oder m CE ) chneidet Strecke DE in B c) () Hinweie zur Kontruktion eine Dreieck ABC: Kontruktion eine möglichen Punkte C z. B. al Umkreimittelpunkt de Dreieck ABC (2) Alle weiteren möglichen Punkte C liegen auf einem Fakreibogen um M durch A, B, C. Kontruktion de Umkreimittelpunkte M de Dreieck ABC 3. a) Zeichnung Rechteck Nach Thale liegt über jedem Durchmeer ein rechter Winkel. Jede Viereck mit vier rechten Winkeln it ein Rechteck. b) () Kontruktion de Dreieck
Kontruktion dreier Thalekreie (2) In einem pitzwinkligen Dreieck liegt z. B. der Höhenfußpunkt H a auf der Seite a. Da Dreieck AH a C it rechtwinklig. Somit it H a der Schnittpunkt de Thalekreie über AC mit a. (für die anderen Schnittpunkte analog) (3) In einem tumpfwinkligen Dreieck chneiden ich je zwei Thalekreie in einem Höhenfußpunkt, der auf der Verlängerung der Dreieckeite liegt. (4) In einem rechtwinkligen Dreieck chneiden ich alle Höhenfußpunkte in der Ecke, die den Scheitel de rechten Winkel bildet. Alo chneiden ich dort auch alle drei Thalekreie. c) Die Diagonalen müen enkrecht tehen. Man etzt vier rechtwinklige Dreiecke entlang der Katheten zuammen. d) E müten ich fünf rechte Winkel mit gemeinamem Scheitel zu 360 ergänzen. 4. a) (.) t RF 60 7 8,57 v R 20m t R v F t F v RF 7 m 3 v RF t RF (.2) t RF v rf (2) t F R 60 t F R 20 m 20m 5 4 3 v F R b) t L 40 3 3,3 t LR + t R t L m 20m 3 7m 60 7 v R + v F + t R t F t L t LRt R t R t LR v F v R t Rt L t R + t L t F t R 8 20 20 8 40 3 t Rt F t R + t F t Rt F t R t F 5. a) () a (oder a 2) (2) a 2 (oder a 22) (3) a 0 b) () y (20 + x) (2) Äquivalenz von (20 + ( 20 x)) (( 20 x) : x) 20 + x gezeigt (20 + ( 20 x)) (( 20 x) : x) x ( 20 : x ) c) () Die Werte 00 + x y ind Quadratzahlen. (2) algebraiche Herleitung und Begründung (20 + a) a : x y 20a + a 2 xy 00 + 20a + a 2 00 + xy (0 + a) 2 00 + xy (0 + a) 2 ergibt für jede ganze Zahl a eine Quadratzahl. 6. a) () E ind 80 Zuchauer. 0,4n + + 0,5n + 3 + 0,025n + 2 n 0,925n + 6 n 0,075n 6 (2) Der Anteil der Schüler teigt um ca. 2,4 Prozentpunkte.
76 78 0,974 76 78 80 76 0,974 0,95 0,024 b) () Der Anteil der Schüler inkt auf ca. 92,3 %. Vor der Halbierung ind e 20 Schüler und 5 Lehrer. Der Anteil der Schüler nach der Halbierung beträgt 65 60 2 3. S (2) 2 0,48n S 2 + L 0,48n + 0,04n 0,52 0,48 3 2 S S + L 0,96n 0,96n + 0,04n (S: urprüngl. Anzahl der Schüler, L: Anzahl der Lehrer) 7. a) () x 7 0 P ( ja ) 2 3 x + ( x) 7 3 30 2 3 x + 3 3 x 7 30 3 x 7 30 (2) x 0 3 P ( ja ) 3 x + 2 ( x) 7 3 30 3 x + 2 3 2 3 x 7 30 3 x 3 30 (3) Einetzen von p 2 ergibt die unwahre Auage 2 7 30 b) P ( ja ) 2 x + ( 2 ) w 2 x + 2 w 2 x w 2 x 2w
MATHEMATIK-WETTBEWERB 206/207 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN/BEWERTUNGEN AUFGABENGRUPPE B Für jede Aufgabe it die angegebene Geamtpunktzahl owie die Verteilung auf die Teilfragen verbindlich. Die angegebenen Teillöungen ind lediglich al Beipiele anzuehen. Für Teillöungen und Löunganätze ind Punkte zu gewähren. Bei Folgefehlern erfolgt kein erneuter Punktabzug. Von jeder Schülerin/jedem Schüler werden vier Aufgaben gewertet.. a) () L {... ; 3; 2; } 5x [4x 0 5x] 4 5x 4x + 0 + 5x 4 6x + 0 4 6x 6 x (2) L {3} oder x 3 (x 3)(x + 3) x 2 x 6 x 2 9 x 2 x 6 9 x 6 3 x b) 2 kg Mandeln und 8 kg Walnüe z. B. 20x + 5(0 x) 60 20x + 50 5x 60 5x 0 x 2 2. a) () Hinweie zur Kontruktion de Sehnenviereck ABCD mit Bechriftung Krei mit r 4 cm, A markieren. AB 3,5 cm. DA 5 cm. Antragen von δ in D. Schnittpunkt der Halbgeraden c mit Krei it C. (2) Hinweie zur Kontruktion de Sehnenviereck ABCD mit Bechriftung Krei mit r 4 cm, A markieren. AB 4 cm BC 4 cm CD 4 cm b) AC 2 r Durchmeer de Kreie β δ 90 (Satz de Thale) 360 2 90 80 α + γ c) (3) und (4) bei mehr al zwei Löungen 3. a) () 5 2 + 9 2 2 25 + 8 2 06 2 / falche Auage (alo keine pythagoräichen Tripel) (2) 6 2 + 8 2 0 2 36 + 64 00 00 00 / wahre Auage (alo pythagoräiche Tripel) Teilpunkte Punkte
(3) 2 + 60 2 6 2 2 + 3600 372 372 372 / wahre Auage (alo pythagoräiche Tripel) (b) () Da Zahlentripel lautet (40 42 58) a 7 2 3 2 40 b 2 7 3 42 c 7 2 + 3 2 58 (2) m 2; n (3) z. B. m 5; n 4: (9 40 4) (4) Bewei (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 (m 2 + n 2 ) 2 (m 2 ) 2 2m 2 n 2 + (n 2 ) 2 + 4m 2 n 2 (m 2 ) 2 + 2m 2 n 2 + (n 2 ) 2 4. a) () 4 cm (2) 72 Würfel 64 Würfel 8 Würfel b) a 5 cm Volumen de großen Würfel: (2 cm) 3 728 cm 3 Volumen eine Würfel mit Kantenlänge 9 cm: (9 cm) 3 729 cm 3 Volumen de Retkörper: 729 cm 3 cm 3 728 cm 3 Volumen der acht kleinen Würfel: 728 cm 3 728 cm 3 000 cm 3 Volumen eine kleinen Würfel: 000 cm 3 : 8 25 cm 3 c) a 5 cm Oberfläche de großen Würfel: 6 (0 cm) 2 600 cm 2 ichtbare Flächen beider Würfel: 5 (0 cm) 2 + 4 a 2 Anatz zur Löung (z. B. Gleichung): 600 cm 2 500 cm 2 + 4 a 2 5. a) () 949 Mio. Euro 00 % (5 % + 2 %) 73 % 00 % entprechen 300 Mio. Euro. % entpricht 3 Mio. Euro. (2) rund 929 Mio. Euro 300 Mio. Euro entprechen 40 %. 300 00 : 40 928,57... (3) Rita hat nicht recht. E ind mehr al 3 Wochen. 360,5 540 Stunden 540 : 24 22,5 Tage 22,5 : 7 3 Wochen und,5 Tage alternativ: 365,5 547,5 547,5 : 24 22,8 (4) Nachwei für rund 8 min: 90 Minuten entprechen 0 %. 90 00 : 0 8,8... Minuten b) () 5 % 0,6 : 4 oder 0,6 0,25 (2) (A) 6. a) 832 e 2600 kwh 32 Cent/kWh
83200 Cent b) 3800 kwh 940 e : 0,25 e/kwh 3760 kwh c) () Der Jahretrombedarf hat ich um 26 % verringert. 3500 kwh 2600 kwh 900 kwh 900 kwh von 3500 kwh 25,7 % (2) Kim hat nicht recht. mit Begründung. 00 % 26 % 74 % 74 % von 970 e 77,80 e ( 790 e) alternativ 790 : 970 9 % d) Der Stromverbrauch it gut. mit Begründung. 9200 : 6 : 4 800 kwh/jahr/peron 7. a) () dreitufige Baumdiagramm mit Wahrcheinlichkeiten. Die Wahrcheinlichkeit jede Ate it 0,5. (2.) 2 oder 8 (2.2) 3 2 oder 3 8 (2.3) 4 ( 2 oder 8 + 3 ) oder 8 2 (2.4) 3 8 + 2 oder 8 oder 7 8 b) 4 4 4 oder 64 oder 63 64
MATHEMATIK-WETTBEWERB 206/207 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN/BEWERTUNGEN AUFGABENGRUPPE C Für jede Aufgabe it die angegebene Geamtpunktzahl owie die Verteilung auf die Teilfragen verbindlich. Die angegebenen Teillöungen ind lediglich al Beipiele anzuehen. Für Teillöungen und Löunganätze ind Punkte zu gewähren. Bei Folgefehlern erfolgt kein erneuter Punktabzug. Von jeder Schülerin/jedem Schüler werden vier Aufgaben gewertet.. a) () x 2,4 32 + 9x x + 8 32 + 0x 8 0x 24 (2) x 28 6,5x 2,5 2, + 2,4 + 6,4x 6,5x 2,5 0,3 + 6,4x 0,x 2,5 0,3 0,x 2,8 b) 3 2 2. a) Antwort Frau Förter hat nicht recht. mit Rechnung Neuer Tarif : 3480 25 ct 87 000 ct 87 000 ct 870 e 870 e + 95,40 e 965,40 e b) 82 m 3 5, e 2 6,32 e 93, 34 e 6,32 e 32,02 e 32,02 e :,6 e/m 3 c) 475,60 e 00 % entprechen 240 e. % entpricht 2,40 e. 9 % entpricht 235,60 e. 3. a) Antwort Die Behauptung it falch. mit Rechnung z. B. 5 820 Peronen 400 Peronen 4 000 Peronen + 400 Peronen 45 00 Peronen alternativ: 44 000 39 000 5000 5000 : 5 000 b) 8 000 Einwohner 44 000 Einwohner : 8 8 000 Einwohner 8 000 Einwohner 7 Teilpunkte Punkte
26 000 Einwohner 44 000 26 000 c) 59 030 Peronen 00 % entprechen 55 000 Peronen. % entpricht 550 Peronen. 2,6 % entprechen 4030 Peronen. d) niedrigte Einwohnerzahl: 54 500 höchte Einwohnerzahl: 55 499 4. a) () korrekte Planfigur (2) Kontruktion de Dreieck ABC mit Bechriftung Zeichnen der Seite a und β 40 Antragen von γ 60 b) Antwort Tina hat recht. mit Begründung z. B. Die Seite c mu kürzer al die Summe von a und b ein. c) Berechnung von h 5 cm A c 2 h 2 A c h 30 cm 2 6 cm h Kontruktion de Dreieck ABC mit Bechriftung Zeichnen der Seite c und Halbierung Vorhergehende und Zeichnen der Höhe h 5. a) h,5 cm b) A 8 cm 2. Reihe: A 2 cm,5 cm 3 cm 2 2. Reihe: Länge a 6 cm 2 cm 4 cm A 2 4 cm,5 cm 6 cm 2 3. Reihe: A 3 6 cm,5 cm 9 cm 2 c) korrekte Übertragen der gegebenen Figur korrekte Ergänzung einer vierten Reihe mit der Länge 8 cm d) A 69 cm 2 A 23 3 cm 2 e) 7 Rechtecke Eine Löungtrategie mu erkennbar ein. z. B. (3 + 6 + 9 + 2 +...) cm 2 84 cm 2 6. a) () 44 m 2 A Quadrat 4 m 4 m A Quadrat 6 m 2 A Dreieck 4 m 3,5 m 2 A Dreieck 7 m 2 4 7 m 2 28 m 2 28 m 2 + 6 m 2 (2) 534,40 e 44 m 2 528 m 2 528 m 2 + 20 m 2 548 m 2 548 m 2 2,80 e/m 2
b) () Antwort: E paen 8 Iomatten in ein Zelt. z. B. 4 m : 0,5 m 8 4 m :,75 m 2, 285... 2 8 2 In den Ret (0,5 m 4 m) paen noch 2 Iomatten. (2) frei bleibender Ret: 0,5 m 0,5 m 0,25 m 2 7. a) 6 und 2 b) 8 c) p 36 d) p 7 36 7 Möglichkeiten e) 0 36 8 36 80 296 5 08. Runde : 0 36 2. Runde: 8 36 f) 36 Simon kann nicht gewinnen. Toni mu mindeten 6 Punkte würfeln. Möglichkeiten g) 4 2 3 36