MATHEMATIK-WETTBEWERB 2017/2018 DES LANDES HESSEN
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- Carl Heintze
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1 MATHEMATIK-WETTBEWERB 2017/2018 DES LANDES HESSEN 2. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A 1. a) L = {2} oder x = 2 x + 1 = 3 b) L = { 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3} (x 2 9) 3 < 27 (oder (x 3)(x + 3) < 3) x 2 9 < 3 x 2 < 12 c) L = {3; 9; 10; 11;...} 1. Fall: (x 9) 3 = 0 oder (x 3) 2 = 0 x 9 = 0 oder x 3 = 0 x = 9 oder x = 3 2. Fall: (x 3) 2 > 0 (gilt immer), deshalb (x 9) 3 > 0 x 9 > 0 x > 9 d) L = { 2; 1; 0; 1; 2} 1. Fall: (x 3) 3 < 0 und x > 0 x 3 < 0 und x 3 > 27 x < 3 und x > 3, d. h. 3 < x < 3 2. Fall: (x 3) 3 > 0 und x < 0 x 3 > 0 und x 3 < 27 x > 3 und x < 3, d. h. leere Menge 2. a) Konstruktion des Parallelogramms Hinweise zur Konstruktion der Raute: Kreis um A (oder D) mit r = AD schneidet AB in B (oder CD in C ) alternativ: w α schneidet CD in C Parallele zu AD durch C schneidet AB in B (oder Mittelsenkrechte auf AC schneidet AB in B ). des weiteren alternativ: AB = 5 cm auf der Seite AB antragen b) Konstruktion des Rechtecks Hinweise zur Konstruktion der Raute: Halbieren der Diagonale AC Einzeichnen der Mittelsenkrechten auf AC alternativ: Konstruktion der Mittelsenkrechten auf AC
2 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit AB ergibt B bzw. mit CD ergibt D. c) (1) Konstruktion des Dreiecks Hinweise zur Konstruktion der Raute: w α schneidet BC in C. Parallele zu AB durch C schneidet AC in D. Parallele zu AC durch C schneidet AB in B. alternativ: w α schneidet BC in C. Mittelsenkrechte auf AC schneidet AC in D und AB in B. (2) Hinweise zur Beschreibung der Konstruktion der Raute: Zeichne die Winkelhalbierende w α und erhalte C als Schnittpunkt von w α mit BC. Zeichne Parallelen zu AB und AC durch C. Die Schnittpunkte der Parallen mit den Dreiecksseiten sind B bzw. D. alternativ: Zeichne die Winkelhalbierende w α und erhalte C als Schnittpunkt von w α mit BC. Konstruiere die Mittelsenkrechte auf AC. Die Schnittpunkte der Mittelsenkrechte mit den Dreiecksseiten sind B bzw. D. 3. a) (1) Nachweis Winkelsumme im Dreieck ABE: β 1 =<) EBA = 40 Nebenwinkel von ε 1 im Dreieck AED: <) DEA = 80 =<) BEC Winkelsumme im Dreieck AED: <) ADE = 60 = δ 1 =<) ACB Winkelsumme im Dreieck EBC: <) CBE = 40 (2) Winkelgleichheit (WWW) aus a) zusätzlich AE = EB, weil Dreieck ABE gleichschenklig ist (β 1 = α : 2 = 40 ). (3) AB und CD sind parallel: <) CED = ε 1 = 100 (Scheitelwinkel) Wegen DE = EC sind die Basiswinkel im Dreieck ECD gleich, also 40. Somit sind die Winkel <) DCA und <) BAC Wechselwinkel. b) Dreieck DBC ist gleichschenklig; d.h. zu zeigen: δ 2 = β 2, wobei δ 2 = δ δ 1 und β 2 = β β 1. Winkelsumme im Dreieck AED: 180 = α 2 + (180 ε 1 ) + δ 1 Winkelsumme im Dreieck BCE: 180 = β 2 + (180 ε 1 ) + δ 1 damit: α 2 = β 2 Winkelsumme im Dreieck CDE: 180 = δ 2 + ε 1 + β 1 Winkelsumme im Dreieck ABE: 180 = α 2 + ε 1 + β 1 damit: α 2 = δ 2 insgesamt: α 2 = δ 2 = β 2 c) (1) nur noch zu zeigen: DE = EB Dreieck ECD ist kongruent zu Dreieck EBC (WSW) (2) Alle vier Drachen-Teildreiecke besitzen die Winkel α : 2 und 90, dann muss auch der dritte Winkel jeweils gleich sein.
3 4. (Graphische und rechnerische Begründungen sind gleichwertig.) a) b < a < c a = 7; b = 3; c = 10 b) x < 0 c) zwei Werte aus dem Intervall 5 6 < x < 5 4 b < c: 5 x < 5x 5 < 6x 5 6 < x c < a: 5x < 5 + x 4x < 5 x < 5 4 d) Es gibt keine Lösung für x mit Begründung. Angabe von wenigstens 2 Gleichungen führt zum Widerspruch: a = b: 5 x = 5 + x x = 0 a = c: 5 + x = 5x x = 5 ( 4 b = c : 5 x = 5x x = 5 ) 6 e) Es gibt keine Lösung für x mit Begründung. a < c: 5 + x < 5x 5 < 4x 5 4 < x c < b: 5x < 5 x 6x < 5 x < 5 6 f) gilt z. B. für alle Gleichungen der Form d = mx + b mit m 1 und b < a) 20 große Brezeln b) x: Anzahl der kleinen Brezeln y: Anzahl der mittleren Brezeln z: Anzahl der großen Brezeln (1) x = y = 120 (und z = 0) : ( ) 0,5 35 x + 0,5 50 y = (2) x = 204, z = 51 (und y = 0) y = 0 und x = 4z 35 x + 60 z = (3) x = 24, y = 120, z = 56 0,12 35 (x + y + z) + 0,6 50 (x + y + z) + 0,28 60 (x + y + z) = alternativ: 0,12 35 g + 0,6 50 g + 0,28 60 g = 51 g g : 51 g = 200 (4) z. B. (x y z) = (60 110) oder ( ) x + y + z = x + 50y + 60z = x + 2y = 360 c) 40 % kleine und 60 % große Brezeln z. B. 50 (x + z) = 35 x + 60 z 50x + 50z = 35x + 60z 15x = 10z
4 x : z = 2 : 3 6. a) A 2 = 2 ( = 1 ) 4 2 A 3 = 4 9 A 4 = 6 16 b) n = 7 (oder n > 6) < = > 9 36 = 1 4 2(n 1) c) (oder äquivalente Terme) n 2 d) n = = 18 (10 1) = (oder durch Fortsetzen der Folge) e) Das Schnittquadrat besteht aus vier kongruenten Teildreiecken, die wiederum kongruent sind zu den Dreiecken in den Ecken des großen Quadrates. Letztere haben als Grundseite und Höhe jeweils 1, d. h. 4 1 n 2 1 n 1 n = 2 n 2 ( ) 7. a) (1) 18 5 ( ) (2) 18 3 ( ) 12 2 (3) ) 3 ( 18 ( 12 ) 2 ( ) ( ) 12 3 (4) (5) 12 b) Es ist mindestens 1 Junge ausgewürfelt worden. c) ( ) 29 2 entspricht: An zwei Tagen ist Pascal nicht ausgewürfelt worden. ( ) 1 2 entspricht: Pascal ist zweimal ausgewürfelt worden. 3 entspricht: Pascal kann an drei verschiedenen Tagen das erste Mal ausgewürfelt werden.
5 MATHEMATIK-WETTBEWERB 2017/2018 DES LANDES HESSEN 2. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE B 1. a) (1) L = {3} oder x = 3 2x x = 12 9x + 15 = 12 9x = 27 (2) L = {... 4; 3; 2} 12x x 2 17x 34 x 2 b) (1) a = U 2 b U 2 = a + b (2) a = 2A h c 2A = (a + c) h 2A h = a + c 2. a) (1) z. B.: Dreiecksungleichung ist nicht erfüllt. oder 2 cm + 6 cm < 9 cm oder zeichnerische Lösung (2.1) ein Wert für c, bei dem gilt: 3 < c < 5 (2.2) ein Wert für c, bei dem gilt: 8 < c < 13 (2.3) ein Wert für c, bei dem gilt: c 3 (2.4) ein Wert für c, bei dem gilt: c 13 b) (1) Konstruktion des Dreiecks A B C b = 5 cm Dreieck ABC Konstruieren von A, B (2) A B = U (3) (A) 3. a) (5 5 10), (5 6 9), (5 7 8) und (6 7 7) b) 24 Möglichkeiten c) 18 Uhr 3 Väter (V) 6 Arbeitsstunden (AS) = 18 VAS Vor dem Ausfall: 3 V 2 AS = 6 VAS 18 VAS 6 VAS = 12 VAS Nach dem Ausfall: 12 VAS : 2 V = 6 AS 2 AS + 6 AS d) 5 Eimer 9,1 m 8,2 m = 74,62 m 2 74,62 m 2 2 = 149,24 m 2 149,24 m 2 0,3 l/m 2 = 44,772 l 44,772 l : 10 l/eimer = 4,4772 Eimer 4. a) Koordinatensystem, Dreieck ABC Koordinatensystem und Punkt A Punkte B und C eintragen b) Dreieck C B A Punkte D und E und Eintrag der Spiegelachse
6 Spiegelung der Punkte A, B und C c) (1) A = 24 cm 2 z. B.: Viereck ABB A : A 1 = 8 cm 4 cm = 32 cm 2 Dreieck BB H: A 2 = 1 8 cm 1 cm = 4 cm2 2 Dreieck AGA : A 3 = cm 1 cm = 4 cm2 A = A 1 A 2 A 3 (2) Verschiebung um 2 Einheiten (2 cm) 5. a) 432 Liter cm 3 b) (1) V Buch = 25 cm 20 cm 6 cm = 00 cm 3 00 cm 3 35 = cm cm 3 < cm 3 (2) 13 Bücher 00 cm 3 = 3 dm 3 Masse = g Masse = 2400 g Anzahl der Bücher = 31,5 kg : 2,4 kg 13,125 c) z. B.: 24 cm cm 12 cm d) (1) 250 (2) a) 10 e e 2000 e = e 10 % von 2000 e = 200 e 5 % von e = 8 e 200 e + 8 e b) 568 e e 500 e = e 5 % von 500 e = 25 e 3 % von e = 543 e 25 e e c) (1) Joshua hat nicht Recht (mit Begründung) Hälfte von 568 e = 284 e z. B.: 284 e von 10 e entsprechen ca. 28 %, also mehr als ein Viertel (2) 4500 e normaler Finderlohn: 2 72,50 e = 145 e für 500 e erhält man 25 e Finderlohn. 120 e entsprechen 3 % Finderlohn e entsprechen demzufolge 100 %. 7. a) BEH; BEK; EHK; BHK b) BBK; BEK; BHK; EEK; EHK; HHK; c) 10 Möglichkeiten (KKK; KKB; KKE; KKH; KBB; KEE; KHH; KBH; KEB; KEH) d) (1) BEE; BEH; BEK; BHH; BHK; BKK;EEE; EEH; EEK; EHH; EHK; EKK;HHH; HHK; HKK; KKK (2) BEE; BKK; EEE; EKK; KKK e) Nadja hat nicht Recht mit Begründung. z. B. Nennung eines Gegenbeispiels, z. B. BEH (Jan, Jasmin oder Pauline) (Antwort ohne Begründung 0,0)
7 MATHEMATIK-WETTBEWERB 2017/2018 DES LANDES HESSEN 2. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE C 1. a) 8x + 23y x 12x = 8x 8y + 15y = 23y = 17 b) 4 2,5 = 1,5 0,5 8 = 4 0,25 10 = 2,5 c) richtiges Zahlenpaar, z. B. x = 3 und y = 4 d) x = 4 12x + 18 = 6x x + 18 = 42 6x = a) Antwort: Ja, sie reicht aus. 6 m 2 : 4 = 1,5 m 2 A = 1,35 m 0,9 m A = 1,215 m 2 b) Antwort: z. B. Er entspricht den Vorgaben. und Rechnung V = 135 cm 90 cm 2 cm 135 cm 90 cm = cm cm 2 2 cm = 24 0 cm cm 3 0,47 g/cm 3 = g g = 1800 g g g = g g = 13,221 kg 3. a) korrektes Koordinatensystem mit Parallelogramm ABCD korrektes Koordinatensystem korrektes Eintragen der Punkte A, B, C, D b) A = 16 cm 2 A = 4 cm 4 cm c) U = 17 cm U = 4 cm + 4,5 cm + 4 cm + 4,5 cm Abweichungen von ± 1 mm werden akzeptiert. d) (1) korrektes Parallelogramm A B C D mit A (5 3) B (9 3) C (11 7) D (7 7) (2) 1 oder 25 % 4 4. a) 2,10 e + 2,60 e = 4,70 e 3 0,70 e= 2,10 e b) 1,55 e 0,70 e 0,85 e c) 0,85 e 500 Blätter entsprechen 2600 g.
8 1 Blatt entspricht 5,2 g. 6 Blätter entsprechen 31,2 g. 31,2 g + 4 g = 35,2 g d) 2 Großbriefe und 6 Standardbriefe e) korrekte Antwort mit Begründung z. B. Die Zuordnung ist nicht proportional, denn dem doppelten Höchstgewicht wird nicht das doppelte Porto zugeordnet. 5. a) α = 35 β = = 60 α = b) (1) korrekte maßstabsgerechte Zeichnung Zeichnen der Seite c = 1,5 cm Antragen von Seite b = 4 cm (2) c) (1) Anstellwinkel β = 69 (genauer: 69 ) Abweichungen von ± 1 werden akzeptiert. Antwortsatz: Die Standsicherheit ist gegeben. h = 4 cm c = 2 cm + 4 cm = 6 cm (12 cm 2 2) : 6 cm (2) Konstruktion des Dreiecks ABC mit Beschriftung Zeichnen der Seite c = 6 cm und Zerlegen Zeichnen der Höhe h = 4 cm 6. a) Förderverein: 19 % b) korrektes Streifendiagramm mit Beschriftung Cafeteria: 3,2 cm Schülerrat: 1,2 cm Schulhof AG: 2,2 cm Spielgeräte: 1,5 cm Förderverein: 1,9 cm (Abweichungen von ± 1 mm werden akzeptiert.) c) (1) 100 % entsprechen 1600 e. 12 % entsprechen 192 e. 1 % entspricht 16 e. (2) 48 e entsprechen 20 %. 240 e e = 48 e 240 e entsprechen 100 %. d) z. B. Ja, denn 12,5 % > 12 %. 1 = 0,125 = 12,5 % 8 7. a) (1) P(schwarz) = 1 5 (2) P(weiß) = 2 5 (3) P(nicht grau) = 3 5 (4) P(nicht schwarz) oder P(grau oder weiß) b) 3 schwarze Felder 6 graue Felder c) P(grün) =
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