Aufgaben Kap 8 4 Aus Kapitel 8 Aufgaben 8 Eine Kaffeemaschine nimmt im stationären Betrieb eine elektrische Heizleistung von Q el 2kW auf Diese Leistung wird dazu verwendet, kontinuierlich einen Wassermassenstrom ṁ zunächst von der emperatur 283,5 K auf seine Siedetemperatur bei Umgebungsdruck, nämlich 2 373,5 K, zu erhitzen und ihn dann zu verdampfen, sodass gerade gesättigter Dampf bei 2 373,5 K entsteht Dieser Dampf steigt dann von der Eintrittshöhe z ein 0aufdieHöhez aus 0,5 m an Bevor er die Kaffeemaschine in der Höhe z aus verlässt, kondensiert der Dampf und gibt seine Kondensationswärme Q Kond an die Umgebung ab, sodass am Austritt der Kaffeemaschine Wasser im siedenden Zustand mit 2 373,5 K vorliegt Ein- und Austrittsgeschwindigkeit des Wassers sind zu vernachlässigen b 0 ṁ[h ein h aus +gz ein z aus ] + Q el Q Kond c ṁ 0,76 g s d η 0,438 4,38 % a Problemskizze: dq el / Δz dq Kond / dm/ dq el / dm/ Δz dq Kond / Schematische Darstellung einer Kaffeemaschine dm/ Die spezifische isobare Wärmekapazität c p des flüssigen Wassers sei über den gesamten emperaturbereich konstant Stoffdaten des Wassers: Spezifische isobare Wärmekapazität: c p 4,2 K Spezifische Verdampfungsenthalpie bei 373,5 K und 03 mbar: r 2250 Erdbeschleunigung: g 9,8 m s 2 a Skizzieren Sie die Anordnung schematisch Zeichnen Sie auch die ausgetauschten Wärmen in Ihre Skizze mit ein b Stellen Sie den ersten Hauptsatz für das vorliegende Problem auf c Welchen Massenstrom ṁ fördert die Kaffeemaschine d Welcher eil der zugeführten elektrischen Leistung wird zur Erwärmung des Kaffeewassers verwendet? dm/ b Das vorliegende Problem kann mithilfe des ersten Hauptsatzes 83 gelöst werden: [ d m u + c22 ] + gz h i + c2 i 2 + gz i i + j Q j + Ẇ t,k p dv k Da das Problem stationär ist, sind die linke Seite und die Volumenänderungsarbeit pro Zeit p dv gleich null Ferner spielen die Änderung der kinetischen Energie c2 2 und die technische Arbeit W t keine Rolle Somit verbleibt: 0 ṁh ein h aus +gz ein z aus + Q el Q Kond c Es werden im aufgestellten ersten Hauptsatz aus Aufgabenteil b die beiden erme Enthalpiedifferenz h ein h aus und der Kondensationswärmestrom Q Kond umgeformt Für die Enthalpiedifferenz gilt: h ein h aus c p ein aus Da das Wasser in beiden Fällen im flüssigen Zustand ist, muss die Verdampfungsenthalpie hier nicht berücksichtigt werden Mit Kenntnis von 99 gilt: Q Kond ṁ r
42 Aufgaben Kap 8 Somit folgt für den unter b aufgestellten ersten Hauptsatz: 0 ṁc p ein aus +gz ein z aus + Q el ṁ r Es ergibt sich für den Massenstrom: ṁ Q el c p ein aus +gz ein z aus r 2000 W 378000,475 2250000 J 4 7,6 0 s 0,76 g s d Der Anteil der zur Erwärmung des Wassers verwendeten elektrischen Leistung berechnet sich zu: a Der erste Hauptsatz 83 lautet allgemein: [ d m u + c22 ] + gz h i + c2 i 2 + gz i i + j Q j + Ẇ t,k p dv k Im vorliegenden Fall handelt es sich um einen stationären Zustand, weshalb die linke Seite und die Volumenänderungsarbeit pro Zeit p dv null sind Die Einflüsse von kinetischer und potentieller Energie können vernachlässigt werden Es treten in der Energiebilanz nur zwei Wärmeströme und eine technische Arbeit auf Der erste Hauptsatz so angewendet und umgeformt ergibt: η ṁc p ein aus 2000 W 0,438 4,38 % 82 In einem Raumfahrzeug arbeitet eine Wärmekraftmaschine reversibel mit dem Wirkungsgrad η th Ẇtrev Q H η max η C H K H Der zugeführte Wärmestrom Q H wird bei der emperatur H 300 K aufgenommen, die Anlage gibt im stationären Betrieb die Leistung Ẇ trev kw ab Der Abwärmestrom Q K kann im Weltraum nur durch Strahlung abgegeben werden, sodass gilt: Q K σɛa 4 K, mit der Strahlungskonstanten σ 5,67 0 8 und m 2 K 4 dem Emissionskoeffizienten ɛ Die wärmeabgebende Fläche A soll aus Gewichtsgründen möglichst klein sein a Wie hängt die wärmeabgebende Fläche A von der emperatur K ab? b Wie groß ist die emperatur K, bei der die wärmeabgebendeflächeaminimalwird? c Wie groß ist diese wärmeabgebende Fläche A? d Wie groß ist der durch die Strahlung abgegebene Wärmestrom Q K? Sind die Ergebnisse K, Q K und die Vorgaben H, Ẇ trev, η max miteinander verträglich? a A Ẇtrev σɛ b K 225 K c A 20,6 m 2 d Q K 3kW Ẇtrev H K K 3 σɛ H K 3 4 K W Q K Q H Ẇ trev Ẇtrev η max Ẇ trev Ẇ trev H H K Ẇ trev K H K! σɛa 4 K A Ẇtrev σɛ H K 3 K Ẇtrev σɛ H 3 K 4 K b Nullsetzen der Ableitung da d K 0 liefert die minimale wärmeabgebende Fläche A min : da d K Daraus folgt: Ẇtrev σɛ 3H K 2 43 K H K 3 0 4 K 2 3 H 2 K 43 K 0 Mit der Lösung K 3 4 H 225 K c Mit der unter a aufgestellten Gleichung und der in b ermittelten emperatur K ergibt sich eine Fläche A von: A 000 W m2 K 4 5,67 0 8 W 300 225 3 225 4 20,6 m2 K4 d Der abgegebene Wärmestrom Q K wird über die in der Aufgabenstellung gegebene Gleichung und den in b bis c ermittelten Größen berechnet: Q K 5,67 0 8 W m 2 K 4 20,6 m2 225 4 K 4 3kW
Aufgaben Kap 8 43 Kontrolle der Verträglichkeit: η max H K H 300 K 225 K 300 K 0,25 Q H Ẇtrev kw η max 0,25 4kW Q K Q H Ẇ trev 4kW kw 3kW Die Ergebnisse sind mit den Vorgaben verträglich Massen m ab dm dm ab gilt Unter Berücksichtigung der Beziehung u h p υ aus ab 8 und des idealen Gasgesetzes 925 p V m R lassen sich weitere Umformungen durchführen: u dm + m du h dm, u h dm + m du 0, pv dm + m du 0, R dm + m du 0 83 Ein chemischer Reaktor ist mit einer Löschanlage für kritische Notfallsituationen ausgestattet Dazu ist eine Stickstoffflasche neben dem Reaktor montiert Im Notfall kann der Stickstoff über ein Ventil sehr schnell in den Reaktor eingeblasen werden Es soll angenommen werden, dass sich Druck und emperatur im Reaktor durch das Einblasen des Stickstoffes nicht ändern Im Folgenden soll eine Beziehung für die Enemperatur 2 in der Stickstoffflasche als Funktion von Anfangstemperatur, Anfangsdruck p und Enddruck p 0 sowie Stoffdaten hergeleitet werden Stickstoffflasche: p,, V Reaktor: p 0 R p0 R+cv 2 p Für die Stickstoffflasche wird der erste Hauptsatz 83 ausgehend von der allgemeinen Form aufgestellt, wobei die kinetische Energie c2 2 und die potentielle Energie gz sowohl im System als auch für die überströmende Masse vernachlässigt werden können Des Weiteren liegen keine Wärmeströme Q oder technische Arbeiten Ẇ t vor Da sich das Volumen der Flasche nicht ändert, ist die Volumenänderungsarbeit pro Zeit p dv ebenfalls null Ausgehend von der allgemeinen Form erhält man: [ d m u + c22 ] + gz h i + c2 i 2 + gz i i + j dmu h ṁ ab, dmu h dm ab, u dm + m du h dm ab Q j + Ẇ t,k p dv, k Es liegt allein ein austretender Massenstrom aus der Stickstoffflasche vor, weshalb der Zusammenhang zwischen der Masse des Kontrollvolumens m und der austretenden Nach dem idealen Gasgesetz ist die Masse m eines Stoffes eine Funktion von p, V, m pv R mp, V, Eine Ableitung von m erfordert daher die partielle Ableitung nach p, V und Da das Volumen der Stickstoffflasche konstant ist, gilt für dm: m m m dm dp + dv + d p V, V p, V,p }{{} 0 pv R 2 d + V R dp Zudem wird die kalorische Zustandsgleichung für ein ideales Gas nach 928 benötigt: du c v d Einsetzen dieser Zwischenergebnisse in den ersten Hauptsatz liefert: R pv R 2 d + V R dp + mc v d 0, pv d V dp + mc v d 0, pv pv d V dp + R c v d 0, d p dp + c v d 0, R R + c v R d p dp Die Integration von bis 2 und von p bis p 2 führt zu: 2 R + c v R [ R + cv R R + c v R 0 d ] 2 ln 2 ln p dp, [ ] 0 lnp, p0, ln p R p0 R+cv 2 p
44 Aufgaben Kap 8 84 Gegeben sei die Fundamentalgleichung der spezifischen freien Energie eines Stoffes i mit der speziellen Gaskonstanten R sowie den positiven Konstanten a, c υ,0, s 0, f 0, υ 0 und 0 f, υ c υ,0 [ ln ] 0 0 a υ 0 0 2 s 0 0 R ln υ υ 0 a 2 υ υ 0 +f 0 c Die spezifische Entropie ergibt sich, siehe eil a: f s v c v,0 ln 0 + 2av 0 v 0 +R ln v v 0 + s 0 d Die spezifische innere Energie in Abhängigkeit von emperatur und spez Volumen berechnet sich zu: a Beweisen Sie die Maxwell-Relation: s p b Bestimmen Sie die thermische Zustandsgleichung, p p, v c Bestimmen Sie die spezifische Entropie s, v d Geben Sie die Gleichung zur Berechnung der spez inneren Energie in Abhängigkeit von emperatur und spezifischem Volumen v an, u u, v a s f υ f υ p υ b p f v R v + a2 c s f v c v,0 ln 0 + 2av 0 v 0 +Rln v v 0 + s 0 d u c v,0 0 +av 2 v 0 0 2+ f 0 + 0 s 0 }{{} u 0 a Es gelten für die freie Energie folgende Zusammenhänge: f f df d + dυ, υ df du ds sd pdυ Es folgt somit: f s sowie υ υ f p Somit gilt unter der Beachtung des Schwarz schen Satzes folgende Gleichungskette: s f υ f υ p b Der Druck ergibt sich, wie man unter a sehen kann, zu: f p R v v + a2 υ u f + s Nach Einsetzen der erme für f und s erhält man: u c v,0 0 +av 2 v 0 0 2+ f 0 + 0 s 0 }{{} u 0 85 Ein Dampferzeuger soll kontinuierlich flüssiges Wasser vom Zustand u mit u 293,5 K; p u bar in Dampf vom Zustand 5 mit 5 423,5 K; p 5 4bar umwandeln Der Wasserdampf verhalte sich wie ein ideales Gas, und die Änderungen von kinetischer und potentieller Energie sowie die Kompressionsarbeit der Pumpe seien vernachlässigbar klein Zustandspunkt p h s, festes Wasser bar 273,5 K h 00,0 2, flüssiges Wasser bar 273,5 K h 2? s 2? u, flüssiges Wasser bar 293,5 K h u 57,5 3, flüssiges Wasser bar 373,5 K h 3? s 3? 4, Wasserdampf bar 373,5 K h 4? s 4? 5, Wasserdampf 4bar 423,5 K h 5? s 5? s 0,0 K s u,577 K a Vervollständigen Sie zunächst die vorstehend aufgeführte abelle mithilfe der Definitionen von r bzw r E nach 99 sowie der Enthalpie-Relation nach ab 8 b Welche Wärme q u5 muss dem Wasser im Dampferzeuger zugeführt werden, um es von dem Umgebungszustand u in den Zustand 5 zu überführen? Vergleichen Sie hierzu das obere Bild der Abbildung DienötigeWärmesolldemDampferzeugerunterAusnutzung der Umgebung durch eine Wärmepumpe zugeführt werden c Welche mindestens aufzuwendende spez technische Arbeit w t,u5,min muss dem System aus Wärmepumpe und Dampferzeuger gemäß des unteren Bildes der Abbildung zugeführt werden, um die zum Erreichen des Zustandes 5 notwendige spez Wärme q u aus der Umgebung reversibel übertragen zu können?
Aufgaben Kap 8 45 d Wie groß ist die spez Exergie des im Zustand 5 vorliegenden Wasserdampfes unter den angegebenen Umgebungsbedingungen, und wie groß ist die von der Umgebung aufgenommene spez Anergie q u,dienotwendig ist, um den Zustand 5 ausgehend vom Zustand u zu erreichen? Stoffeigenschaften des Wassers: Spezifische Schmelzenthalpie bei bar und 273,5 K: r E 333,5 Spezifische Verdampfungsenthalpie bei bar und 373,5 K: r 2250,5 Spezifische isobare Wärmekapazität der Flüssigkeit: c p,fl 4,2 K Spezifische isobare Wärmekapazität des Dampfes: c p,g 2, K Spezielle Gaskonstante des Dampfes: R 0,462 K Systemgrenze Wasser Dampf Dampferzeuger u, p u 5, p 5 q u5 c w t,u5,min 736,6569 d q u 954,343 a Die spez Enthalpiedifferenz zwischen dem Zustand und Zustand 2 ist gleich der spez Schmelzenthalpie r E Es gilt folglich: r E h 2 h h 2 r E + h 433,5 Die spez Entropie s 2 kannüberdiegibbs schefundamentalgleichung du ds pdv 834 und der Gleichung für die spez Enthalpie h u + pv ab 8 berechnet werden Für eine isobare Zustandsänderung dp 0 gilt: dh ds ds dh Die Integration dieser Gleichung ergibt unter Berücksichtigung von 2 konst folgenden Zusammenhang: s 2 s + h 2 h,2209 K a b q u5 269 Wasser Dampf Dampferzeuger u, p u 5, p 5 q u5 Wärmepumpe Systemgrenze q u Umgebung mit u h 2 433,5 h 3 853,5 h 4 303,5 h 5 3208,5 w t, u5, min s 2,2209 K s 3 2,53 K s 4 8,5608 K s 5 8,844 K Im Zustand 3 gilt für die spez Enthalpie h 3 aufgrund der einphasigen Erwärmung: h 3 h u c p,fl 3 u h 3 h u + c p,fl 3 u 853,5 Die spez Entropie s 3 berechnet sich für die isobare Zustandsänderung gemäß: dh c p d ds s 3 s u + c p ln 3 u 2,53 K Da die Zustandsänderung von 3 nach 4 isobar und isotherm verläuft, muss lediglich die spez Verdampfungsenthalpie r zugeführt werden, sodass folgt: h 4 h 3 + r 303,5 Die spez Entropie berechnet sich genauso wie beim Zustand 2 mit 4 3 und dp 0zu: s 4 s 3 + h 4 h 3 3 8,5608 K Bei der Zustandsänderung von 4 nach 5 wird der gesättigte Dampf überhitzt und kann als ideales Gas
46 Aufgaben Kap 8 betrachtet werden, wobei sowohl eine Druck- als auch emperaturänderung vorliegt Bei der Berechnung der spez Enthalpie im Punkt 5 nach 932 wird angenommen, dass c p konst ist: h 5 h 4 + c p,g 5 4 3208,5 Bei der Berechnung der spez Entropie s 5 muss sowohl die Druck- wie auch die emperaturänderung berücksichtigt werden Die Gibbs sche Fundamentalgleichung lautet: dh ds + υ dp Setzt man die ideale Gasgleichung 925 für υ ein und dh c p,g d nach 93, so folgt: dh ds + R dp p c p,g d R dp p ds Somit erhält man für die spez Entropie im Zustand 5: s 5 s 4 + c p,g ln 5 4 R k ln p5 p 4 8,844 K b Da im Dampferzeuger keine technischen Arbeiten zu berücksichtigen sind und der Prozess stationär verläuft, gilt: q u5 h 5 h u 3208,5 57,5 269 c Die zur Dampferzeugung aufzuwendende Arbeit kann über die Exergie eines offenen Systems 859 berechnet werden Es verbleibt nach Division durch einen beliebigen aber konstanten Massenstrom ṁ: w t,u5,min w ex Ẇex ṁ h u h 5 u s u s 5 bzw 57,5 3208,5 293,5 K 736,6569,577 K 8,844 K d Der Exergiegehalt des im Zustand 5 vorliegenden Dampfes ist gleich der in Aufgabenteil c berechneten mindestens zuzuführenden technischen Arbeit Exergie Entgegengesetzt zum Fragenteil c ist hier jedoch die maximal aus dem Zustand 5 gewinnbare Arbeit gemeint und nicht die Arbeit, die minimal notwendig ist, um Zustand 5 zu erreichen Daher gilt das umgedrehte Vorzeichen: w t,u5,min w ex, d h, die bei einer definierten Umgebung maximal aus einem gegebenen Zustand x gewinnbare Arbeit ist gleich der mindestens zuzuführenden Arbeit, um ein Arbeitsfluid aus dem definierten Umgebungszustand in den besagten Zustand x zu überführen Der Anergiestrom q u lässt sich aus der Energiebilanz der Wärmepumpe bestimmen Es muss gelten: q u5 + w t,u5,min + q u 0 q u q u5 w t,u5,min Somit wird der Wärmepumpe ein Anergiestrom von q u 269 736,6569 954,343 aus der Umgebung zugeführt 86 Ein Rechtsstreit hat folgenden atbestand: Der Ankläger ist Mieter eines Mehrfamilienhauses, der seinen Keller als Kühlraum ϑ Kühl 20 C verwendet siehe Abbildung Die Kälteanlage dazu befindet sich in einem anderen Kellerraum Zwischen diesen beiden Räumen befindet sich der Keller des Angeklagten, Mieter 2 des Mehrfamilienhauses Ein eil der Leitungen führt von der Kälteanlage durch den Raum des Mieters 2 in den Kühlraum von Mieter Der Angeklagte, Mieter 2, hat an der Zuleitung zum Kühlraum die Isolation entfernt und sich so einen gut temperierten Weinkeller ϑ Wein +8 C geschaffen Bei der nächsten Stromrechnung fällt Mieter aus allen Wolken und findet heraus, dass Mieter 2 ihm Kälte geklaut hat Mieter 2 verteidigt sich vor Gericht, Kälte sei kein physikalischer sinnvoller Begriff und existiere nicht, er habe Mieter doch Energie in Form von Wärme zugeführt und möchte dafür im Gegenteil noch bezahlt werden Sie sind Sachverständiger des Gerichts Überprüfen Sie diesen Sachverhalt w t,u5,min 736,6569 Es muss Arbeit aufgewendet werden, um ausgehend vom Umgebungszustand u den Zustand 5 zu erreichen
Aufgaben Kap 8 47 30 C Q Umg KM W t Weinkeller Kühlraum 2 8 C 20 C Q Wein Q kühl Erdreich Weitere Angaben: Q Kühl 000 W, ε KM ε K,Carnot /3, ṁ CO2 0,02 /s Zustand des Kältemittels CO 2 andenpunktenund2 in der Zuleitung ohne Isolationsschicht: ϑ CO2 20 C, p CO2 8,53 bar, h 280, s,329 K, h 2 300, s 2,408 K Mit ε KM ε K,Carnot /3 ergibt sich für die elektrische Leistungsaufnahme der Kältemaschine: ε KM ε K,Carnot 3 Q Kühl Ẇ t Ẇ t Q Kühl 3 000 W 3 592,53 W ε K, Carnot 5,063 b Die gesamte Leistungsaufnahme der Kälteanlage setzt sich aus zwei eilen zusammen, nämlich die Leistungsaufnahmen einerseits zum Kühlen des Kühlraums, andererseits zum Kühlen des Weinkellers: Ẇ t, ges Q Kühl ε KM, Kühl }{{} Ẇ t aus eil a + Q Wein ε KM,Wein In eil a bereits berechnet: ε K, Carnot, Kühl Kühl 253,5 K Umg Kühl 50 K 5,063 ε KM,Kühl,688 a Welche elektrische Leistungsaufnahme Ẇ t hat die Kälteanlage im Normalbetrieb ohne den Weinkeller, um den Kühlraum kühl zu halten, wenn draußen eine Umgebungstemperatur von ϑ Umg +30 C vorliegt b Berechnen Sie den oben beschriebenen tatsächlich vorliegenden Fall, dass ein zusätzlicher Wärmeeintrag vom Weinkeller hinzukommt, die tatsächliche elektrische Leistungsaufnahme Ẇ t der Kältemaschine c Berechnen Sie die Exergieänderung des Kältemittels beim Durchqueren des Weinkellers von nach 2 d Welchen Rat geben Sie dem Richter? Wer klaut? Was wird geklaut? a Ẇ t 592,53 W b Ẇtges 648,87 W c Ẇ ex, 2,h 47,40 W d Mieter 2 klaut Exergie a Der Ansatz erfolgt über den Carnot-Wirkungsgrad für Kälteprozesse Leistungszahl nach 24 alternativ auch über den ersten und zweiten Hauptsatz lösbar: ε K,Carnot Kühl 253,5 K Umg Kühl 50 K 5,063 Für die Leistungszahl ε K gilt ebenfalls nach 240 und 24: ε K,Carnot Q Kühl, Carnot Ẇ t, Carnot, ε K Q Kühl Ẇ t Analog kann ε KM, Wein ermittelt werden ε K, Carnot, Wein Wein 28,5 K Umg Wein 22 K 2,78 ε KM,Wein 4,26 Einsetzen der beiden berechneten Werte in die Gleichung mit Ẇt,ges und Berücksichtigung des gegebenen Wärmestroms Q Kühl 000 W und des zu berechnenden Wärmestroms Q Wein ṁ CO2 h 2 h liefert: Ẇ t, ges 648,87 W c Die Exergieänderung von Zustand nach 2 wird über die Exergie eines offenen Systems 859 ermittelt Diese Gleichung wird zweimal angesetzt; einmal vom Rohreintrittszustand zum Umgebungszustand Umg und einmal vom Rohraustrittszustand 2 zum Umgebungszustand Umg Auf diese Weise erhalten wir die Exergiezustände des Kältemittels im Ein- und Austrittszustand Gefragt ist die Exergieänderung zwischen Ein- und Austritt, die sich aus der Differenz der beiden Gleichungen ergibt, wobei sich die Umgebung herauskürzt Wir erhalten: Ẇ ex ṁ CO2 [h 2 h Umg s 2 s ] Mit den Werten aus der abelle: Ẇ ex 47,40 W Das umgekehrte Vorzeichen zeigt, dass die Exergie pro Zeit von nach 2 abnimmt Um dies zu kompensieren muss mehr Leistung für den Antrieb der Kältemaschine aufgewendet werden
48 Aufgaben Kap 8 d Mieter 2 führt der Kälteanlage zwar Wärme zu, allerdings strömt Exergie entgegen des Wärmestroms in den Weinkeller Insgesamt macht es sich dadurch bemerkbar, dass eine größere elektrische Leistung der Kälteanlage zuzuführen ist, was nicht im Sinne von Mieter sein sollte Mieter 2 klaut Exergie