5 Multivariate stationäre Modelle

5 Multivariate stationäre Modelle 5.1 Autoregressive distributed lag (ADL) 5.1.1 Das Modell und dessen Schätzung Im vorangehenden Kapitel führten wir mit der endogenen verzögerten Variablen, y t 1, als erklärende Variable ein erstes dynamisches Element in eine Schätzgleichung ein. Der Regressor y t kann allerdings auch von verzögerten Werten der erklärenden Variablen, x t 1, abhängen y t = δ + θy t 1 + φ x t + φ 1 x t 1 + ε t, θ < 1 Beispiel: y t als BIP-Wachstum in Periode t sein und x t z.b. als Ölpreis oder Exporte in den Euroraum. In diesem Fall ist x t exogen. Da y t 1 nicht mit ε t korreliert, kann Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 74 die Gleichung konsistent mit OLS geschätzt werden (siehe auch Abschnitt 4.1). Die Konsistenz kann aus dem vereinfachten Modell y t = θy t 1 + ε t hergeleitet werden. Die OLS-Schätzung ˆθ ist gleich ˆθ = ( Y 1Y 1 ) 1 Y 1 Y = t=2 y t 1y t t=2 y2 t 1 Es ergibt sich } E {ˆθ = E = θ + E { T } t=2 y t 1y t t=2 y2 t 1 { T t=2 y t 1ε t t=2 y2 t 1 } Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 75

Da ε t auch in der Summe im Nenner vorkommt, sind Zähler und Nenner korreliert. Der Erwartungswert ist also nicht: E{ } = t=2 E {y t 1ε t } t=2 E { y 2 t 1} = Bei steigender Beobachtungsanzahl verschwindet allerdings der Anteil von ε t an der Summe im Nenner und damit die Korrelation von Zähler und Nenner. Da zudem gilt: E {y t 1 ε t } = verschwindet die Verzerrung bei steigender Beobachtungsanzahl. Bei beschränkter Beobachtungsanzahl gilt approximativ ( a T ) 1 ˆθ N θ, σ 2 t=2 y 2 t 1 Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 76 5.1.2 Interpretation der Koeffizienten Die Koeffizienten φ und φ 1 nennt man partielle Effekte, wobei φ auch als Ersteffekt oder impact -Effekt bezeichnet wird (Kurzfristeffekt). Y t / X t = φ Ändert sich X t um eine Einheit, ändert sich Y t um φ. Nach einer Periode ist der Effekt Y t+1 / X t = θφ + φ 1 Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 77

Durch rekursive Substitution erhält man y t = δ + θy t 1 + φ x t + φ 1 x t 1 + ε t = δ + θ (δ + θy t 2 + φ x t 1 + φ 1 x t 2 + ε t 1 ) + = δ = φ x t + φ 1 x t 1 + ε t θ j + φ x t + (θφ + φ 1 )θ j 1 x t j + j= j=1 δ 1 θ + w j x t j + j= θ j ε t j j= wobei w = φ, w j = (θφ + φ 1 )θ j 1 θ j ε t j Falls in der Vergangenheit x t sich permanent um 1 erhöht hat, dann ist der Langfristeffekt oder Langfristmultiplikator w j = φ + ( 1 + θ + θ 2 +... ) (θφ + φ 1 ) = φ + φ 1 1 θ j= j= Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 78 Den Multiplikator erhält man auch, wenn wir annehmen, dass y t und x t ihr langfristiges Niveau erreicht haben, d.h. E {y t } = E {y t 1 } und x t = x t 1 : E {y t } = δ + θe {y t 1 } + φ x t + φ 1 x t + E {ε t } = δ 1 θ + φ + φ 1 1 θ x t Beispiel: δ = 1, θ =.5, φ =.2, φ 1 =.1. Wenn x t von permanent um 1 ansteigt, wird der Effekt auf y t unmittelbar +.2 betragen. Der langfristige Effekt auf y t wird +.6 sein. Falls x t nur transitorisch um 1 ansteigt, wird y t zum langfristig erwarteten Wert zurückkehren (hier: 2). Die Impulsreaktionsfunktionen zeigen den Pfad von y t in Abweichung vom Pfad, der ohne Impuls stattgefunden hätte. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 79

Abbildung 11: Impulsreaktionsfunktion von y t auf eine Zunahme von x t um 1.7.25.6.2.5.4.15.3.1.2.5.1 2 4 6 8 1 12 14 16 2 4 6 8 1 permanente Änderung transitorische Änderung Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 8 Abbildung 12: Impulsreaktionsfunktion von y t auf eine Zunahme von x t um 1, wenn θ =.8 ist.2.25.18.2.16.14.15.12.1.1.8.5.6.4.5.2 2 4 6 8 1 12 14 16.1 2 4 6 8 1 12 14 16 permanente Änderung transitorische Änderung Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 81

5.1.3 Fehlerkorrekturmodell Das ADL-Modell impliziert eine Langfrist-Beziehung zwischen den Variablen E {y t } = δ 1 θ + φ + φ 1 1 θ x t = α + βx t Diese Beziehung können wir nutzen, um das Fehlerkorrekturmodell der ADL-Spezifikation herzuleiten y t = δ + θy t 1 + φ x t + φ 1 x t 1 + ε t y t y t 1 = δ (1 θ)y t 1 + φ (x t x t 1) }{{}}{{} y t x t y t = φ x t (1 θ)[y t 1 α βx t 1 ] + ε t +(φ + φ 1 )x t 1 + ε t Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 82 Der Ausdruck in eckigen Klammern ist der Fehlerterm, die Abweichung von der Langfristbeziehung zwischen den Daten. Ist die Abweichung positiv, initiert dies einen Anpassungsprozess, der die Abweichung langfristig beseitigt. Wie schnell die Anpassung stattfindet, bestimt der Fehlerkorrekturparameter (1 θ). Die Anpassung verhält sich umgekehrt proportional zur Persistenz θ in der Zeitreihe y t. Im Beispiel des vorhergehenden Abschnitts mit θ =.5, wird eine Abweichung jeweils auf die nächste Periode um 5% reduziert. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 83

Abbildung 13: Anpassungspfad von y t bei einer Abweichung von der Langfristbeziehung in der Höhe von 1.5.1.15.2.25.3.35.4.45.5 2 4 6 8 1 12 14 16 Als Spezialfall des Fehlerkorrekturmodells ergibt sich das partielle Anpassungsmodell, wenn φ =. Dann beschreibt das Modell die dynamische Anpassung von y t an das langfristige Niveau y = α + βx t + η t, welches durch die Politik festgelegt wird oder sich aus Optimierungsüberlegungen von Wirtschaftsakteuren ergibt. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 84 5.1.4 Eine generalisierte Darstellung Das ADL Modell kann generalisiert und kompakt geschrieben werden als θ(l)y t = δ + φ(l)x t + ε t wobei θ(l) = 1 θ 1 L θ p L p φ(l) = φ + φ 1 L + φ 2 L 2 + + φ q L q Polynome im Lag-Operator darstellen. Der Lag-Operator ist definiert als Ly t = y t 1, L 2 y t = y t 2, usw. Mit dem Lag-Polynom können wir ebenfalls rechnen: y t = θ(l) 1 δ + θ(l) 1 φ(l)x t + θ(l) 1 ε t Der Ausdruck θ(l) 1 φ(l) beschreibt die dynamische Wirkung Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 85

einer Änderung in x t auf y t. Den langfristigen Effekt erhalten wir, wenn L = 1 gesetzt wird θ(1) 1 φ(1) = φ + φ 1 + + φ q 1 θ 1 θ 2 θ p Invertierbarkeit bedeutet, dass die Summe der autoregressiven Koeffizienten absolut kleiner als 1 sein soll θ 1 + + θ p < 1 In diesem Fall ist der Prozess y t stationär. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 86 5.1.5 Beispiel: Wechselkurs und Kaufkraftparität Die Theorie der Kaufkraftparität besagt, dass langfristig der Wechselkurs die relative Kaufkraftparität wiederspiegelt (kleine Buchstaben stellen logarithmierte Werte dar, e = log(e), usw.): E = P/P, e = (p p ) Zur Überprüfung der Beziehung kann ein ADL-Modell im Niveau der Variablen geschätzt werden (wir schreiben pp für (p p ): e t = δ + θe t 1 + φ pp t + φ 1 pp t 1 + ε t Die Langfristbeziehung schätzen wir mit e t = α + βpp t + ε t Als Fehlerkorrekturmodell schätzen wir (unter der Annahme β = 1) e t = δ + φ pp t + (1 θ) (e t 1 pp t 1 ) + ε t Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 87

Abbildung 14: Zeitreihen, 1e als LEU EXRCH, 1pp als LPP 1 9 8 7 6 5 4 3 2 197 1975 198 1985 199 1995 2 25 15. 12.5 1. 7.5 5. 2.5. -2.5-5. LEU_EXRCH LPP Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 88 Abbildung 15: Kaufkraftparität, ADL-Schätzung Dependent Variable: LEU_EXRCH Method: Least Squares Date: 4/2/9 Time: 17:5 Sample (adjusted): 199Q2 28Q4 Included observations: 75 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. LPP.51116.924124.551999.5827 LPP(-1) -.496264.92576 -.53692.5936 LEU_EXRCH(-1).91975.48826 18.65767. C 4.28217 2.3189 1.737124.867 R-squared.98224 Mean dependent var 47.43977 Adjusted R-squared.94346 S.D. dependent var 5.856511 S.E. of regression 1.811298 Akaike info criterion 4.77822 Sum squared resid 232.9367 Schwarz criterion 4.21422 Log likelihood -148.9183 Hannan-Quinn criter. 4.127174 F-statistic 234.28 Durbin-Watson stat 1.514751 Prob(F-statistic). Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 89

Abbildung 16: Kaufkraftparität, Langfristbeziehung Dependent Variable: LEU_EXRCH Method: Least Squares Date: 4/2/9 Time: 17:6 Sample (adjusted): 199Q1 28Q4 Included observations: 76 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. LPP.614788.15978 5.8178. C 44.1413.831456 53.4446. R-squared.31263 Mean dependent var 47.612 Adjusted R-squared.33314 S.D. dependent var 5.98295 S.E. of regression 4.993832 Akaike info criterion 6.8248 Sum squared resid 1845.439 Schwarz criterion 6.141583 Log likelihood -229.494 Hannan-Quinn criter. 6.1476 F-statistic 33.65251 Durbin-Watson stat.137332 Prob(F-statistic). Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 9 Abbildung 17: Kaufkraftparität, Fehlerkorrekturmodell Dependent Variable: D(LEU_EXRCH) Method: Least Squares Date: 4/2/9 Time: 17:12 Sample (adjusted): 199Q2 28Q4 Included observations: 75 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(LPP) -.13592.791494 -.164994.8694 LEU_EXRCH(-1)-LPP(-1) -.67797.4284-1.6197.1116 D(LEU_EXRCH(-1)).23276.125289 1.857779.673 C 2.61741 1.831952 1.428553.1575 R-squared.78 Mean dependent var -.232337 Adjusted R-squared.3712 S.D. dependent var 1.82588 S.E. of regression 1.797552 Akaike info criterion 4.62587 Sum squared resid 229.4147 Schwarz criterion 4.186186 Log likelihood -148.347 Hannan-Quinn criter. 4.111939 F-statistic 1.781579 Durbin-Watson stat 1.864584 Prob(F-statistic).158471 Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 91