Kap. 9: Regression mit einer binären abhängigen Variablen
|
|
|
- Regina Fromm
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kap. 9: Regression mit einer binären abhängigen Variablen Motivation Lineares Wahrscheinlichkeitsmodell Probit- und Logit-Regression Maximum Likelihood Empirisches Beispiel: Analyse der HMDA-Daten Ausblick: weitere Modelle der Mikroökonometrie
2 9.1 Motivation in allen bisherigen Beispielen war abhängige Variable stetig: Testergebnisse (Kalifornien, Massachusetts) Unfallraten pro Einwohner diskrete abhängige Variablen ebenfalls denkbar: Arbeitsmarktpartizipation (ja/nein) Kreditantrag wird bewilligt (ja/nein) In diesen Beispielen ist abhängige Variablen binär häufigster Fall in empirischer Wirtschaftsforschung neben linearer Regression. Wie sehen Regressionsmodelle für solche Daten aus? C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-1 U Basel, HS 2008
3 9.1 Motivation Empirisches Beispiel: Rassendiskriminierung am Hypothekenmarkt? Anträge für Hypotheken im Grossraum Boston Beobachtungen, gesammelt unter Home Mortgage Disclosure Act (HMDA) HMDA-Daten enthalten alle Anträge von Schwarzen, Hispanics, Stichprobe aus Weissen. Hier nur Daten zu Anträgen von Schwarzen und Weissen. Variablen: abhängige Variable: Wurde Antrag abgelehnt? (ja/nein) Regressoren: Einkommen, Vermögen, Beschäftigungsstatus, Familienstand, Schulabschluss, Hautfarbe (bzw. Transformationen) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-2 U Basel, HS 2008
4 9.1 Motivation R> data("hmda", package = "AER") R> with(hmda, table(deny, afam)) afam deny no yes no yes Also ca. 28% der Anträge von Schwarzen abgelehnt, aber nur ca. 9% der von Weissen. Vorsicht: Hinzunahme von Kovariablen könnte Differenz verkleinern ( Verzerrung durch vergessene Variablen) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-3 U Basel, HS 2008
5 9.2 Das lineare Wahrscheinlichkeitsmodell Naheliegende Idee: lineare Regression mit (für einen Regressor) Y i = β 0 + β 1 X i + u i Fragen: Bei linearer Regression gilt bekanntlich β 1 = E(Y i X i )/ X i. Wie interpretiert man β 1, wenn Y i binär? Was bedeutet die Regressionsgerade β 0 + β 1 X i, wenn Y i binär? Was bedeutet die Prognose Ŷi, wenn Y i binär? Was ist z.b. Ŷi = 0.59? Bei linearer Regression nehmen wir an (A1) E(u i X i ) = 0, und damit E(Y i X i ) = β 0 +β 1 X i was sind die Implikationen, wenn Y i binär? C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-4 U Basel, HS 2008
6 9.2 Das lineare Wahrscheinlichkeitsmodell Da Y {0, 1}: einziges denkbares Modell ist Bernoulli-Verteilung mit Dichte/Wahrscheinlichkeitsfunktion f(y; p) = p y (1 p) 1 y, y {0, 1}. Erwartungswert Varianz E(Y ) = p Var(Y ) = p(1 p) Bekannt: für Y i Bernoulli(p) u.i.v. ist deren Summe binomialverteilt n Y i Bin(n, p) i=1 Deshalb auch Notation: Y i Bin(1, p) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-5 U Basel, HS 2008
7 9.2 Das lineare Wahrscheinlichkeitsmodell Für Y i Bin(1, p) heisst Y i = β 0 + β 1 X i + u i das lineare Wahrscheinlichkeitsmodell (linear probability model, LPM). Eigenschaften: E(Y i X i ) = β 0 + β 1 X i (W keit, dass Y i = 1 für gegebenes X i ) Ŷi prognostizierte W keit, dass Y i = 1 für gegebenes X i E(Y i X i ) X i = β 1 Änderung der W keit, dass Y i = 1 bei Änderung in X i um 1 C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-6 U Basel, HS 2008
8 9.2 Das lineare Wahrscheinlichkeitsmodell Lineares Wahrscheinlichkeitsmodell für Stichprobe mit n = 100: pirat C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-7 U Basel, HS 2008
9 9.2 Das lineare Wahrscheinlichkeitsmodell R> fm_lpm <- lm(i(as.numeric(deny) - 1) ~ pirat, data = HMDA) R> coeftest(fm_lpm) t test of coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) pirat < 2e-16 Beispiel zu Prognosen von Ablehnungsw keit für X = 0.3: P (Y i = 1 X = 0.3) = = Effekt einer Änderung der unabhängigen Variablen pirat von 0.3 auf 0.4: P (Y i = 1 X = 0.4) = = Also steigt W keit für Ablehnung von auf (um ca. 6 Prozentpunkte). C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-8 U Basel, HS 2008
10 9.2 Das lineare Wahrscheinlichkeitsmodell Zusammenfassung: Lineares Wahrscheinlichkeitsmodell modelliert W keit als lineare Funktion von X Vorteile: Y i = β 0 + β 1 X i + u i Schätzung, Interpretation und Inferenz wie im multiplen linearen Regressionsmodell ( nichts Neues) Nachteile: Warum sollte W keit linear in X sein? prognostizierte W keiten ˆβ 0 + ˆβ 1 X i könnten < 0 oder > 1 werden! Lösung: verwende nichtlineares Wahrscheinlichkeitsmodell Probit- oder Logit-Regression C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap. 9-9 U Basel, HS 2008
11 9.3 Probit- und Logit-Modelle Problem des linearen W keitsmodells: Ansatz Wir brauchen aber: 0 P (Y = 1 X) 1 für alle X i P (Y i = 1 X) = β 0 + β 1 X i P (Y = 1 X) sollte wachsen in X i, falls β 1 > 0 Also brauchen wir nichtlineare funktionale Form für die W keit, z.b. eine S-förmige Kurve. Probit-Modell: P (Y i = 1 X) = Φ(β 0 + β 1 X i ) mit Φ VF der Standardnormalverteilung Beispiel: für β 0 = 2, β 1 = 3 und X = 0.4 ist P (Y i = 1 X = 0.4) = Φ( ) = Φ( 0.8) Damit P (Y i = 1 X = 0.4) Fläche unter der Kurve links von z = 0.8. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
12 9.3 Probit- und Logit-Modelle dnorm(x) x C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
13 9.3 Probit- und Logit-Modelle Was spricht für Probit-Modell? (diese) S-förmige Kurve liefert 0 P (Y = 1 X) 1 für alle X i P (Y = 1 X) wachsend in X i falls β 1 > 0 relativ einfach zu benutzen (Tabellen für Normalverteilung!) einfache Interpretation: β 0 + β 1 X i =: z-wert (ein Index ) ˆβ 0 + ˆβ 1 X i ist prognostizierter z-wert, gegeben X i β 1 ist Änderung im z-wert bei Änderung von X i um eine Einheit C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
14 9.3 Probit- und Logit-Modelle Probit-Modell für Stichprobe mit n = 100: pirat C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
15 9.3 Probit- und Logit-Modelle Umsetzung in R: (Details später) R> fm_probit1 <- glm(deny ~ pirat, family = binomial(link = "probit"), + data = HMDA) R> coeftest(fm_probit1) z test of coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) < 2e-16 pirat e-14 Also geschätzte Regressionsbeziehung: P (Y = 1 pirat) = Φ( pirat) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
16 9.3 Probit- und Logit-Modelle Koeffizient positiv (plausibel?) Standardfehler haben übliche Bedeutung Prognosen von W keiten: P (Y i = 1 X = 0.3) = Φ( ) = Φ( 1.304) = Effekt einer Änderung der unabhängigen Variable pirat von 0.3 auf 0.4: P (Y i = 1 X = 0.4) = Φ( ) = Φ( 1.007) = Also steigt W keit für Ablehnung von auf 0.157, um ca. 6 Prozentpunkte. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
17 9.3 Probit- und Logit-Modelle Dies geht alles auch für multiple Regressoren: R> fm_probit2 <- glm(deny ~ pirat + afam, + family = binomial(link = "probit"), data = HMDA) R> coeftest(fm_probit2) z test of coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) < 2e-16 pirat e-13 afamyes < 2e-16 Also geschätzte Regressionsbeziehung: P (Y = 1 pirat, afam) = Φ( pirat afam) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
18 9.3 Probit- und Logit-Modelle Wie ist der Einfluss des Regressors Hautfarbe? ist Koeffizient statistisch signifikant? geschätzter Effekt der Hautfarbe bei pirat von 0.3: P (Y i = 1 pirat = 0.3, afam = yes ) = Φ( 0.728) = bzw. P (Y i = 1 pirat = 0.3, afam = no ) = Φ( 1.436) = Differenz ist (also 15.8 Prozentpunkte!) aber Verzerrung durch vergessene Variablen...? (später mehr) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
19 9.3 Probit- und Logit-Modelle Logit-Regression: (auch: logistische Regression) Warum Normalverteilung (Probit)? Gesucht war nur S-förmige Kurve. Alternativen zu Probit sind gegeben durch andere VFen F an Stelle von Φ: P (Y = 1 X) = F (β 0 + β 1 X) Populär: VF der logistischen Verteilung mit F (β 0 + β 1 X) = exp{ (β 0 + β 1 X)} Logit führt auf einfachere Formeln (wg. expliziter Form von F ) Ergebnisse meist ähnlich zu Probit Vorsicht: die Werte der Koeffizienten in Probit- und Logit-Modellen lassen sich nicht gut vergleichen (Grund: Standardnormal- und logistische Verteilung haben unterschiedliche Varianzen), vergleiche besser Prognosen C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
20 9.3 Probit- und Logit-Modelle Vergleich Logit und Probit: Normalverteilung vs. logistische Verteilung Dichten VFen pnorm plogis plogis, skaliert x x Beide Verteilungen sind symmetrisch, die logistische Verteilung hat aber schwerere Ränder. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
21 9.3 Probit- und Logit-Modelle Logit- und Probit-Modell für Stichprobe mit n = 100: Probit Logit pirat C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
22 9.3 Probit- und Logit-Modelle Umsetzung in R: (Logit ist Voreinstellung der Funktion, deshalb kein Argument link!) R> fm_logit2 <- glm(deny ~ pirat + afam, family = binomial, data = HMDA) R> coeftest(fm_logit2) z test of coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) < 2e-16 pirat e-13 afamyes < 2e-16 führt auf Prognose P (Y i = 1 pirat = 0.4, afam = yes ) = F ( 1.242) = Zum Vergleich: bei Probit ergab sich P (Y i = 1 pirat = 0.4, afam = yes ) = Φ( 0.728) = C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
23 9.4 Maximum Likelihood Probit: P (Y = 1 X) = Φ(β 0 + β 1 X) wie schätzt man hier die Regressionskoeffizienten? Naheliegend wäre nichtlineare KQ-Methode n i=1 [y i Φ( ˆβ 0 ˆβ 1 x i )] 2 min ˆβ 0, ˆβ 1! Es gibt keine explizite Lösung (geschlossene Formel), aber man kann solche Optimierungsprobleme mit numerischen Methoden lösen. Praxis: den üblichen Schätzer erhält man über eine andere Methode, die Maximum- Likelihood-Methode (ML). Idee: Schätzung besteht aus denjenigen Parameterwerten, die mit grösster Wahrscheinlichkeit die beobachtete Stichprobe liefern. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
24 9.4 Maximum Likelihood Formaler Rahmen: (ignoriere zunächst die X i ) gemeinsame Verteilung von Y 1,..., Y n gegeben durch Dichte f(y 1,..., y n ), diese hängt von Parametern β ab für die Realisationen y 1,..., y n ist Likelihood-Funktion definiert durch L(β) = f(y 1,..., y n ; β), also die gemeinsame Dichte aufgefasst als Funktion der Parameter. die Statistik ˆβ = arg max L(β) β heisst Maximum-Likelihood-Schätzer (MLE) für β der Schätzer, der mit grösster Wahrscheinlichkeit die beobachtete Stichprobe liefert. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
25 9.4 Maximum Likelihood Beispiel: (Probit-MLE ohne Regressoren) Sei Y i Bin(1, p), d.h. P (Y i = 1) = p und P (Y i = 0) = 1 p. Also Dichte/Wahrscheinlichkeitsfunktion f(y i ; p) = P (Y i = y i ) = p y i (1 p) 1 y i, y i {0, 1}. Daten seien Y 1,..., Y n u.i.v. Dann ist gemeinsame Verteilung f(y 1,..., y n ; p) = n p y i (1 p) 1 y i = p P n i=1 y i (1 p) P n i=1 (1 y i ) i=1 = p P n i=1 y i (1 p) n P n i=1 y i Aufgefasst als Funktion von p ist dies auch die Likelihood: L(p) := f(y 1,..., y n ; p) = p P n i=1 y i (1 p) n P n i=1 y i C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
26 9.4 Maximum Likelihood Maximiere dies nun bzgl. p. Einfacher und üblich: maximiere Log-Likelihood l(p) = log L(p) = log (p P ) n i=1 y i (1 p) n P n i=1 y i ( n ) ( ) n = y i log(p) + n y i log(1 p) i=1 i=1 Nullsetzen der 1. Ableitung: l (p) = ( n i=1 y i ) 1 p + ( n n i=1 ) ( y i 1 ) 1 p = 0 Lösung ist ˆp = ȳ der Anteil der Einsen in Stichprobe. Also liefert die ML-Methode hier einen bekannten Schätzer. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
27 9.4 Maximum Likelihood Beispiel: (Probit-MLE mit einem echten Regressor) Sei nun P (Y i = 1 X i ) = Φ(β 0 + β 1 X i ) und P (Y i = 0 X i ) = 1 Φ(β 0 + β 1 X i ). Also Dichte/Wahrscheinlichkeitsfunktion für n = 1 P (Y i = y i X i ) = Φ(β 0 + β 1 X i ) y i [1 Φ(β 0 + β 1 X i )] 1 y i, y i {0, 1}. Probit-Likelihood streng genommen eine bedingte Likelihood ist nun gemeinsame Dichte von Y 1,..., Y n gegeben X 1,..., X n als Funktion von β 0 und β 1 L(β 0, β 1 ) = n Φ(β 0 + β 1 X i ) y i [1 Φ(β 0 + β 1 X i )] 1 y i i=1 = Φ(β 0 + β 1 X i ) P n i=1 y i [1 Φ(β 0 + β 1 X i )] n P n i=1 y i Maximiere dies nun bzgl. β 0, β 1. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
28 9.4 Maximum Likelihood für Y i u.i.v. Bernoulli ist MLE der natürliche Schätzer von p, der Anteil der Einsen in grossen Stichproben (n ) gilt für ML-Schätzer (MLE) unter technischen Annahmen konsistent effizient (hat kleinste Varianz) approximativ normalverteilt Tests über t-statistik, 95%-Konfidenzintervall über ȳ ± 1.96 SE(ȳ) Bemerkung zu R: im Regressionsoutput z statt t dies betont, dass grosse Stichproben erforderlich sind bzw. die Verteilung, aus der die p-werte berechnet werden, nur in grossen Stichproben eine gute Approximation liefert es gibt keine explizite Lösung (geschlossene Formel) dieses Optimierungsproblems, sobald ein echter Regressor im Modell ist. Zielfunktion kann aber mittels numerischer Methoden maximiert werden völlig analog für mehrere Regressoren völlig analog für Logit-Regression C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
29 9.5 Analyse der HMDA-Daten Bisherige Modelle leiden vermutlich unter Verzerrung durch vergessene Variablen Nun: ausgewählte Ergebnisse aus Munnell, A. H., Tootell, G. M. B., Browne, L. E. and McEneaney, J. (1996). Mortgage Lending in Boston: Interpreting HMDA Data. American Economic Review, 86, Hauptbeitrag dieser Arbeit: Verbesserung einer früheren Arbeit durch Bereitstellung neuer Kovariablen (!) Entscheidung über Hypothek erfolgt durch Bankangestellte aufgrund von persönlichem Gespräch. Angestellte kennen Situation der Antragsteller. Welche persönlichen Umstände der Antragsteller könnten für die Entscheidung relevant sein? C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
30 9.5 Analyse der HMDA-Daten Datensatz HMDA: Daten für 2380 Anträge für Kovariablen sind pirat hirat lvrat chist mhist phist insurance selfemp afam payment to income ratio housing expense to income ratio loan to value ratio consumer credit history mortgage history public bad credit history? mortgage insurance (denied? yes/no) self-employed? Hautfarbe (Faktor, Indikator für African-American ). C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
31 9.5 Analyse der HMDA-Daten Umsetzung in R: Logit/Probit sind in statistischer Terminologie generalisierte lineare Modelle (GLMs). GLMs verallgemeinern Ideen des multiplen linearen Regressionsmodells auf Situationen mit nicht-metrischen Y i, indem von anderen Verteilungen als der Normalverteilung ausgegangen wird es gibt eine Funktion glm(), die i.w. wie lm() funktioniert glm() hat zwei neue Argumente: family für Verteilung (bei Bernoulli-Variablen: binomial), und link für (bei Bernoulli-Variablen) funktionale Form der S-Kurve (Probit, Logit) Ergebnis von glm() kann wieder mit den üblichen Funktionen ausgewertet werden: summary(), predict(), etc. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
32 9.5 Analyse der HMDA-Daten Beispiel: Regression aus SW, Tab. 11.2, Spalte (3) R> mlvrat <- with(hmda, lvrat >= 0.8 & lvrat < 0.95) R> hlvrat <- with(hmda, lvrat >= 0.95) R> fm_probit3 <- glm(deny ~ afam + pirat + hirat + mlvrat + hlvrat + + I(as.numeric(chist)) + I(as.numeric(mhist)) + phist + insurance + + selfemp, family = binomial(link = "probit"), data = HMDA) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
33 9.5 Analyse der HMDA-Daten R> coeftest(fm_probit3) z test of coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) < 2e-16 afamyes e-05 pirat e-06 hirat mlvrattrue hlvrattrue e-06 I(as.numeric(chist)) e-13 I(as.numeric(mhist)) phistyes e-09 insuranceyes < 2e-16 selfempyes C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
34 9.5 Analyse der HMDA-Daten Anpassungsgüte des Modells: übliches R 2 hier nicht sinnvoll (warum?) Auswertung der Prognosen innerhalb der Stichprobe: R> table(hmda$deny, round(predict(fm_probit3, type = "response"))) 0 1 no yes Unser Modell erkennt die Abgelehnten also schlecht! C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
35 9.5 Analyse der HMDA-Daten Ausgangsproblem: gibt es noch Unterschiede bzgl Hautfarbe? R> new1 <- with(hmda, data.frame(pirat = mean(pirat), hirat = mean(hirat), + mlvrat = FALSE, hlvrat = FALSE, chist = factor("2"), + mhist = factor("2"), phist = factor("no"), insurance = factor("no"), + selfemp = factor("no"), afam = factor("yes"))) R> new2 <- new1 R> new2$afam <- factor("no") R> predict(fm_probit3, newdata = new1, type = "response") R> predict(fm_probit3, newdata = new2, type = "response") C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
36 9.5 Analyse der HMDA-Daten Anmerkungen: Koeffizienten inhaltlich plausibel Faktor African-American bleibt in diversen Spezifikationen signifikant, Hinzunahme von Kovariablen reduziert aber den geschätzten Effekt Probit und Logit liefern ähnliche Ergebnisse Potentielle Probleme: interne Validität Verzerrung durch vergessene Variablen (unklar: was erfährt Bankangestellte sonst beim Gespräch?) funktionale Form (unklar) Messfehler (frühere Studie ja, nun nein) Selektion (nein) Simultanität (nein) externe Validität: dies gilt zunächst nur für Boston C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
37 9.6 Ausblick: Weitere Modelle der Mikroökonometrie Logit/Probit sind nur zwei Beispiele von Modellen, die mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden. Es gibt viele weitere in der Mikroökonometrie: multinomiale abhängige Variablen (Bsp.: Wahl des Transportmittels zur Arbeit) Zähldaten (Bsp.: Anzahl Arztbesuche) zensierte Daten (Bsp.: Ausgaben für langlebige Gebrauchsgüter) Mehr dazu: Vorlesung Mikroökonometrie auf der Master-Stufe! C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008
Kapitel 4: Binäre Regression
Kapitel 4: Binäre Regression Steffen Unkel (basierend auf Folien von Nora Fenske) Statistik III für Nebenfachstudierende WS 2013/2014 4.1 Motivation Ausgangssituation Gegeben sind Daten (y i, x i1,...,
ε heteroskedastisch BINARY CHOICE MODELS Beispiele: Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit Schätzung mit OLS?
BINARY CHOICE MODELS 1 mit Pr( Y = 1) = P Y = 0 mit Pr( Y = 0) = 1 P Beispiele: Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit Schätzung mit OLS? Y i = X i β + ε i Probleme: Nonsense Predictions
Binäre abhängige Variablen
Binäre abhängige Variablen Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Einführung Oft wollen wir qualitative Variablen
2.Tutorium Generalisierte Regression
2.Tutorium Generalisierte Regression - Binäre Regression - Moritz Berger: 04.11.2013 und 11.11.2013 Shuai Shao: 06.11.2013 und 13.11.2013 Institut für Statistik, LMU München 1 / 16 Gliederung 1 Erweiterte
Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
Professionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
Interne und externe Modellvalidität
Interne und externe Modellvalidität Interne Modellvalidität ist gegeben, o wenn statistische Inferenz bzgl. der untersuchten Grundgesamtheit zulässig ist o KQ-Schätzer der Modellparameter u. Varianzschätzer
Lineare Modelle in R: Einweg-Varianzanalyse
Lineare Modelle in R: Einweg-Varianzanalyse Achim Zeileis 2009-02-20 1 Datenaufbereitung Wie schon in der Vorlesung wollen wir hier zur Illustration der Einweg-Analyse die logarithmierten Ausgaben der
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
Forschungsstatistik I
Prof. Dr. G. Meinhardt. Stock, Nordflügel R. 0-49 (Persike) R. 0- (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 008/009 Fachbereich
Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero?
Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero? Manche sagen: Ja, manche sagen: Nein Wie soll man das objektiv feststellen? Kann man Geschmack objektiv messen? - Geschmack ist subjektiv
Analog zu Aufgabe 16.1 werden die Daten durch folgenden Befehl eingelesen: > kredit<-read.table("c:\\compaufg\\kredit.
Lösung 16.3 Analog zu Aufgabe 16.1 werden die Daten durch folgenden Befehl eingelesen: > kredit
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
Fortgeschrittene Statistik Logistische Regression
Fortgeschrittene Statistik Logistische Regression O D D S, O D D S - R A T I O, L O G I T T R A N S F O R M A T I O N, I N T E R P R E T A T I O N V O N K O E F F I Z I E N T E N, L O G I S T I S C H E
Informationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8
1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen
Korrelation (II) Korrelation und Kausalität
Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen
Analyse von Querschnittsdaten. Regression mit Dummy-Variablen
Analyse von Querschnittsdaten Regression mit Dummy-Variablen Warum geht es in den folgenden Sitzungen? Datum Vorlesung 9.0.05 Einführung 26.0.05 Beispiele 02..05 Forschungsdesigns & Datenstrukturen 09..05
9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz
9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas. Kevin Schellkes und Christian Hendricks 29.08.2011
Kevin Schellkes und Christian Hendricks 29.08.2011 Inhalt Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen Ansatz zur Simulation mit Copulas Test und Vergleich der beiden Verfahren Fazit
Korrelation - Regression. Berghold, IMI
Korrelation - Regression Zusammenhang zwischen Variablen Bivariate Datenanalyse - Zusammenhang zwischen 2 stetigen Variablen Korrelation Einfaches lineares Regressionsmodell 1. Schritt: Erstellung eines
Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
Name (in Druckbuchstaben): Matrikelnummer: Unterschrift:
20-minütige Klausur zur Vorlesung Lineare Modelle im Sommersemester 20 PD Dr. Christian Heumann Ludwig-Maximilians-Universität München, Institut für Statistik 2. Oktober 20, 4:5 6:5 Uhr Überprüfen Sie
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik
q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678
![q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678](/thumbs/26/7581163.jpg "q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678")
Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [
Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B
Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben
Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008
Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)
Musterlösung zu Serie 14
Dr. Lukas Meier Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung FS 21 Musterlösung zu Serie 14 1. Der Datensatz von Forbes zeigt Messungen von Siedepunkt (in F) und Luftdruck (in inches of mercury) an verschiedenen
Allgemeine Regressionsanalyse. Kovariablen / Prädiktoren / unabhängige Variablen X j R d, evtl. deterministisch
Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 9.1 Allgemeine Regressionsanalyse Daten (X j, Y j ), j = 1,..., N unabhängig Kovariablen / Prädiktoren / unabhängige Variablen X j R d, evtl.
Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist
Frage Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist k a F (x) =1 k>0,x k x Finden Sie den Erwartungswert und den Median der Dichte für a>1. (Bei
Multiple Regression. Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren)
Multiple Regression 1 Was ist multiple lineare Regression? Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren) Annahme: Der Zusammenhang
Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005
Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005 Aufgabe 1: Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung 19 P. Als Manager eines großen
Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)
In konstanten Modellen wird davon ausgegangen, dass die zu prognostizierende Größe sich über die Zeit hinweg nicht verändert.
Konstante Modelle: In konstanten Modellen wird davon ausgegangen, dass die zu prognostizierende Größe sich über die Zeit hinweg nicht verändert. Der prognostizierte Wert für die Periode T+i entspricht
1.3 Die Beurteilung von Testleistungen
1.3 Die Beurteilung von Testleistungen Um das Testergebnis einer Vp zu interpretieren und daraus diagnostische Urteile ableiten zu können, benötigen wir einen Vergleichsmaßstab. Im Falle des klassischen
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10
Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8
. Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8
Multinomiale logistische Regression
Multinomiale logistische Regression Die multinomiale logistische Regression dient zur Schätzung von Gruppenzugehörigkeiten bzw. einer entsprechenden Wahrscheinlichkeit hierfür, wobei als abhänginge Variable
4. Erstellen von Klassen
Statistik mit Tabellenkalkulation 4. Erstellen von Klassen Mit einem einfachen Befehl lässt sich eine Liste von Zahlen auf die Häufigkeit der einzelnen Werte untersuchen. Verwenden Sie dazu den Befehl
Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2
PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander
Beweisbar sichere Verschlüsselung
Beweisbar sichere Verschlüsselung ITS-Wahlpflichtvorlesung Dr. Bodo Möller Ruhr-Universität Bochum Horst-Görtz-Institut für IT-Sicherheit Lehrstuhl für Kommunikationssicherheit bmoeller@crypto.rub.de 6
11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
Prozentrechnung. Wir können nun eine Formel für die Berechnung des Prozentwertes aufstellen:
Prozentrechnung Wir beginnen mit einem Beisiel: Nehmen wir mal an, ein Handy kostet 200 und es gibt 5% Rabatt (Preisnachlass), wie groß ist dann der Rabatt in Euro und wie viel kostet dann das Handy? Wenn
90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft
Prof. Dr. Helmut Küchenhoff SS08 90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft am 22.7.2008 Anmerkungen Überprüfen Sie bitte sofort, ob Ihre Angabe vollständig ist. Sie sollte
0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
Motivation. Wilcoxon-Rangsummentest oder Mann-Whitney U-Test. Wilcoxon Rangsummen-Test Voraussetzungen. Bemerkungen
Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 825 Wilcoxon-Rangsummentest oder Mann-Whitney U-Test Motivation In Experimenten ist die Datenmenge oft klein Daten sind nicht normalverteilt Dann
Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
6. Bayes-Klassifikation. (Schukat-Talamazzini 2002)
6. Bayes-Klassifikation (Schukat-Talamazzini 2002) (Böhm 2003) (Klawonn 2004) Der Satz von Bayes: Beweis: Klassifikation mittels des Satzes von Bayes (Klawonn 2004) Allgemeine Definition: Davon zu unterscheiden
Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien
Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die
50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
Kleine Einführung in die lineare Regression mit Excel
Kleine Einführung in die lineare Regression mit Excel Grundoperationen mit Excel Werte mit Formeln berechnen Bsp.: Mittelwert und Standardabweichung Das $-Zeichen Beispielauswertung eines Versuches Daten
Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.
Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines
Ordinale abhängige Variablen. Einführung Regressionsmodelle für ordinale Variablen Empirisches Beispiel Ausblick
Kap. 6: Ordinale abhängige Variablen Einführung Regressionsmodelle für ordinale Variablen Empirisches Beispiel Ausblick 6.1 Einführung Typische ökonomische Beispiele für ordinale abhängige Variablen: Bildungsniveau
Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung
Suche schlecht beschriftete Bilder mit Eigenen Abfragen
Suche schlecht beschriftete Bilder mit Eigenen Abfragen Ist die Bilderdatenbank über einen längeren Zeitraum in Benutzung, so steigt die Wahrscheinlichkeit für schlecht beschriftete Bilder 1. Insbesondere
1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
Tutorial: Homogenitätstest
Tutorial: Homogenitätstest Eine Bank möchte die Kreditwürdigkeit potenzieller Kreditnehmer abschätzen. Einerseits lebt die Bank ja von der Vergabe von Krediten, andererseits verursachen Problemkredite
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung. Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher
Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung Leseprobe Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher 11 - Portefeuilleanalyse 61 11 Portefeuilleanalyse 11.1 Das Markowitz Modell Die Portefeuilleanalyse
Biostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test
1/29 Biostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test (t-test für ungepaarte Stichproben) Matthias Birkner http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/biostatistik1516/ 11.12.2015 2/29 Inhalt 1 t-test
Lineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.
Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau
1 Einführung in die statistische Datenanalyse Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau 2 Gliederung 1.Grundlagen 2.Nicht-parametrische Tests a. Mann-Whitney-Wilcoxon-U Test b. Wilcoxon-Signed-Rank
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)
Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff
P = U eff I eff. I eff = = 1 kw 120 V = 1000 W
Sie haben für diesen 50 Minuten Zeit. Die zu vergebenen Punkte sind an den Aufgaben angemerkt. Die Gesamtzahl beträgt 20 P + 1 Formpunkt. Bei einer Rechnung wird auf die korrekte Verwendung der Einheiten
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
8. Februar 2007. 5. Bei Unterschleif gilt die Klausur als nicht bestanden und es erfolgt eine Meldung an das Prüfungsamt.
L. Fahrmeir, C. Belitz Department für Statistik Bitte für die Korrektur freilassen! Aufgabe 1 2 3 4 Punkte Klausur zur Vorlesung Statistik III für Studenten mit Wahlfach Statistik 8. Februar 2007 Hinweise:
R ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org
R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird
Windows XP Jugendschutz einrichten. Monika Pross Molberger PC-Kurse
Windows XP Jugendschutz einrichten Monika Pross Molberger PC-Kurse Um ein Benutzerkonto mit Jugendschutzeinstellungen zu verwenden, braucht man ein Eltern- Konto (Administrator) und eine Kinderkonto (Standard).
Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min
Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe
Univariates Chi-Quadrat-Verfahren für ein dichotomes Merkmal und eine Messwiederholung: Test nach McNemar
Univariates Chi-Quadrat-Verfahren für ein dichotomes Merkmal und eine Messwiederholung: Test nach McNemar Inhaltsverzeichnis Univariates Chi-Quadrat-Verfahren für ein dichotomes Merkmal und eine Messwiederholung:
15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
5.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Einführendes Beispiel ( Erhöhung der Sicherheit bei Flugreisen ) Die statistische Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges ein Sprengsatz an Bord
i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1
1. Aufgabe: Der E-Commerce-Umsatz (in Millionen Euro) der fünf größten Online- Shopping-Clubs liegt wie folgt vor: Club Nr. Umsatz 1 120 2 72 3 54 4 30 5 24 a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. b) Zeichnen
Prüfung eines Datenbestandes
Prüfung eines Datenbestandes auf Abweichungen einzelner Zahlen vom erwarteten mathematisch-statistischen Verhalten, die nicht mit einem Zufall erklärbar sind (Prüfung auf Manipulationen des Datenbestandes)
Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9
Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets
Formelsammlung zur Kreisgleichung
zur Kreisgleichung Julia Wolters 6. Oktober 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Kreisgleichung 2 1.1 Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel..... 3 2 Kreis und Gerade 4 2.1 Sekanten, Tangenten,
Menü auf zwei Module verteilt (Joomla 3.4.0)
Menü auf zwei Module verteilt (Joomla 3.4.0) Oft wird bei Joomla das Menü in einem Modul dargestellt, wenn Sie aber z.b. ein horizontales Hauptmenü mit einem vertikalen Untermenü machen möchten, dann finden
Rhetorik und Argumentationstheorie. [frederik.gierlinger@univie.ac.at]
![Rhetorik und Argumentationstheorie. [frederik.gierlinger@univie.ac.at]](/thumbs/38/18012562.jpg "Rhetorik und Argumentationstheorie. [frederik.gierlinger@univie.ac.at]")
Rhetorik und Argumentationstheorie 1 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Ablauf der Veranstaltung Termine 1-6 Erarbeitung diverser Grundbegriffe Termine 7-12 Besprechung von philosophischen Aufsätzen Termin
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1
7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen
Aufgabenblatt 3: Rechenbeispiel zu Stiglitz/Weiss (AER 1981)
Aufgabenblatt 3: Rechenbeispiel zu Stiglitz/Weiss (AER 1981) Prof. Dr. Isabel Schnabel The Economics of Banking Johannes Gutenberg-Universität Mainz Wintersemester 2009/2010 1 Aufgabe 100 identische Unternehmer
Einfache Varianzanalyse für abhängige
Einfache Varianzanalyse für abhängige Stichproben Wie beim t-test gibt es auch bei der VA eine Alternative für abhängige Stichproben. Anmerkung: Was man unter abhängigen Stichproben versteht und wie diese
a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern
Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Ausgewählte Ergebnisse einer Befragung von Unternehmen aus den Branchen Gastronomie, Pflege und Handwerk Pressegespräch der Bundesagentur für Arbeit am 12. November
METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER
METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER DAS THEMA: INFERENZSTATISTIK IV INFERENZSTATISTISCHE AUSSAGEN FÜR ZUSAMMENHÄNGE UND UNTERSCHIEDE Inferenzstatistik für Zusammenhänge Inferenzstatistik für Unterschiede
Statistische Auswertung:
Statistische Auswertung: Die erhobenen Daten mittels der selbst erstellten Tests (Surfaufgaben) Statistics Punkte aus dem Punkte aus Surftheorietest Punkte aus dem dem und dem Surftheorietest max.14p.
7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit
Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der
Bewertung des Blattes
Bewertung des Blattes Es besteht immer die Schwierigkeit, sein Blatt richtig einzuschätzen. Im folgenden werden einige Anhaltspunkte gegeben. Man unterscheidet: Figurenpunkte Verteilungspunkte Längenpunkte
Dokumentation. estat Version 2.0
Dokumentation estat Version 2.0 Installation Die Datei estat.xla in beliebiges Verzeichnis speichern. Im Menü Extras AddIns... Durchsuchen die Datei estat.xla auswählen. Danach das Auswahlhäkchen beim