Hesse-Normalform einer Ebene Der Ortsvektor x eines Punktes X auf einer Ebene durch P orthogonal zu einem Normalenvektor n erfüllt x n = d, d = p n. Ò Ò ½ Ò È Ç Hesse-Normalform einer Ebene 1-1
Bei der Normalform wird dabei n = 1 und d 0 angenommen. In diesem Fall ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung. Der Normalenvektor zeigt vom Ursprung in Richtung der Ebene. Hesse-Normalform einer Ebene 1-2
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n = (2, 2, 1) t /3 Hesse-Normalform einer Ebene 2-1
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n = (2, 2, 1) t /3 Normierung: n = σ n/ n = σ(2, 2, 1) t /3 Hesse-Normalform einer Ebene 2-2
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n = (2, 2, 1) t /3 Normierung: n = σ n/ n = σ(2, 2, 1) t /3 Wahl des Vorzeichens σ so, dass 1 0 d = p n = 2 σ 1 2 2 = σ 3 3 3 1 d.h. σ = 1 und d = 3 Hesse-Normalform einer Ebene 2-3
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n = (2, 2, 1) t /3 Normierung: n = σ n/ n = σ(2, 2, 1) t /3 Wahl des Vorzeichens σ so, dass 1 0 d = p n = 2 σ 1 2 2 = σ 3 3 3 1 d.h. σ = 1 und d = 3 Hesse-Normalform E : x n = d, d.h. E : 2 3 x 1 + 2 3 x 2 + 1 3 x 3 = 3 Hesse-Normalform einer Ebene 2-4
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n = (2, 2, 1) t /3 Normierung: n = σ n/ n = σ(2, 2, 1) t /3 Wahl des Vorzeichens σ so, dass 1 0 d = p n = 2 σ 1 2 2 = σ 3 3 3 1 d.h. σ = 1 und d = 3 Hesse-Normalform E : x n = d, d.h. E : 2 3 x 1 + 2 3 x 2 + 1 3 x 3 = 3 X = (4, 0, 1) E, denn x n = 1 3 (8 + 0 + 1) = d Hesse-Normalform einer Ebene 2-5
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n = (2, 2, 1) t /3 Normierung: n = σ n/ n = σ(2, 2, 1) t /3 Wahl des Vorzeichens σ so, dass 1 0 d = p n = 2 σ 1 2 2 = σ 3 3 3 1 d.h. σ = 1 und d = 3 Hesse-Normalform E : x n = d, d.h. E : 2 3 x 1 + 2 3 x 2 + 1 3 x 3 = 3 X = (4, 0, 1) E, denn x n = 1 3 (8 + 0 + 1) = d X = (0, 0, 0) / E, denn x n = 0 d Hesse-Normalform einer Ebene 2-6
Umrechnen von Ebenendarstellungen: Hesse-Normalform einer Ebene 3-1
Umrechnen von Ebenendarstellungen: (i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele Vektoren u, v: Hesse-Normalform einer Ebene 3-2
Umrechnen von Ebenendarstellungen: (i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele Vektoren u, v: Parameterdarstellung E : x = p + s u + t v, s, t R Hesse-Normalform einer Ebene 3-3
Umrechnen von Ebenendarstellungen: (i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele Vektoren u, v: Parameterdarstellung E : x = p + s u + t v, s, t R weitere Punkte Q, R E: q = p + u, r = p + v Drei-Punkte-Form E : [ x p, q p, r p] = 0 Hesse-Normalform einer Ebene 3-4
Umrechnen von Ebenendarstellungen: (i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele Vektoren u, v: Parameterdarstellung E : x = p + s u + t v, s, t R weitere Punkte Q, R E: q = p + u, r = p + v Drei-Punkte-Form E : [ x p, q p, r p] = 0 normierter Normalenvektor n u v = σ u v mit σ { 1, 1} so gewählt, dass d = p n 0 Hesse-Normalform E : x n = d Hesse-Normalform einer Ebene 3-5
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden: Hesse-Normalform einer Ebene 3-6
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden: Drei-Punkte-Form E : [ x p, q p, r p ] = 0 Hesse-Normalform einer Ebene 3-7
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden: Drei-Punkte-Form E : [ x p, q p, r p ] = 0 Vektoren, die E aufspannen u = PQ, v = PR Hesse-Normalform einer Ebene 3-8
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden: Drei-Punkte-Form E : [ x p, q p, r p ] = 0 Vektoren, die E aufspannen u = PQ, v = PR Konstruktion der Hesse-Normalform wie in (i) Hesse-Normalform einer Ebene 3-9
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n: Hesse-Normalform einer Ebene 3-10
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n: Hesse-Normalform mit n 0 = σ n/ n und σ { 1, 1} E : x n 0 = d, d = p n 0 0 Hesse-Normalform einer Ebene 3-11
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n: Hesse-Normalform mit n 0 = σ n/ n und σ { 1, 1} Vektoren, die E aufspannen E : x n 0 = d, d = p n 0 0 u = n x, v = n u mit x λ n Hesse-Normalform einer Ebene 3-12
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n: Hesse-Normalform mit n 0 = σ n/ n und σ { 1, 1} Vektoren, die E aufspannen E : x n 0 = d, d = p n 0 0 u = n x, v = n u mit x λ n Konstruktion der Drei-Punkte-Form wie in (i) Hesse-Normalform einer Ebene 3-13
Ebene durch die Punkte P = (7, 2, 0), Q = (1, 6, 2), R = ( 1, 8, 3) Hesse-Normalform einer Ebene 4-1
Ebene durch die Punkte P = (7, 2, 0), Q = (1, 6, 2), R = ( 1, 8, 3) Drei-Punkte-Form 7 1 7 1 7 E : x 2, 6 2, 8 2 = 0 0 2 0 3 0 Hesse-Normalform einer Ebene 4-2
Ebene durch die Punkte P = (7, 2, 0), Q = (1, 6, 2), R = ( 1, 8, 3) Drei-Punkte-Form 7 1 7 1 7 E : x 2, 6 2, 8 2 = 0 0 2 0 3 0 Differenzen der Ortsvektoren Richtungen, die die Ebene aufspannen u = 6 PQ = 8, v = 8 PR = 10 2 3 Hesse-Normalform einer Ebene 4-3
Ebene durch die Punkte P = (7, 2, 0), Q = (1, 6, 2), R = ( 1, 8, 3) Drei-Punkte-Form 7 1 7 1 7 E : x 2, 6 2, 8 2 = 0 0 2 0 3 0 Differenzen der Ortsvektoren Richtungen, die die Ebene aufspannen u = 6 PQ = 8, v = 8 PR = 10 2 3 Parameterdarstellung der Ebene 7 6 8 E : x = 2 + s 8 + t 10, 0 2 3 s, t R Hesse-Normalform einer Ebene 4-4
Normalenvektor 24 + 20 4 n = u v = 16 + 18 = 2 60 64 4 Hesse-Normalform einer Ebene 4-5
Normalenvektor Normierung: 24 + 20 4 n = u v = 16 + 18 = 2 60 64 4 n 0 = σ 6 4 2 4 mit σ { 1, 1} so gewählt, dass 7 2/3 0 d = p n 0 = 2 σ 1/3 = σ( 4) 0 2/3 d.h. σ = 1 und d = 4 Hesse-Normalform einer Ebene 4-6
Normalenvektor Normierung: 24 + 20 4 n = u v = 16 + 18 = 2 60 64 4 n 0 = σ 6 4 2 4 mit σ { 1, 1} so gewählt, dass 7 2/3 0 d = p n 0 = 2 σ 1/3 = σ( 4) 0 2/3 d.h. σ = 1 und d = 4 Hesse-Normalform E : 2 3 x 1 1 3 x 2 + 2 3 x 3 = 4 Hesse-Normalform einer Ebene 4-7