Fragen und Antworten zu Teil 1 der LV "Grundlagen der Signalverarbeitung und Robo;k" Die Fragen sollen bei der Nachbereitung des Stoffes nach den Vorlesungen und bei der Vorbereitung zur mündliche Prüfung unterstützen. Korrekte Antworten müssen natürlich nicht genau so formuliert werden, und eine mündliche Prüfung ist keineswegs auf die hier genannten Fragen beschränkt! Nachfragen und Korrekturvorschläge biie an neumann@informakk.uni- hamburg.de Was sind Signale? "Ein Signal ist ein physikalisches Phänomen, dessen Vorhandensein oder Änderung als Darstellung von Informa@onen angesehen wird." DN 40146-1: Nachrichtenübertragung, 1994 Was sind kon;nuierliche, was sind diskrete Signale? Kon;nuierlich: zu jedem Zeitpunkt definiert, kann jede Stelle im Wertebereich annehmen Defini;ons- und Wertebereich entsprechen reellen Zahlen Diskret oder quan;siert: Signal kann nur bes;mmte Stellen im Zeitbereich ("zeitdiskret") oder Wertebereich ("wertediskret") einnehmen Wozu dienen Elementarsignale? Elementarsignale eignen sich als Eingabe zur Charakterisierung von Systemkomponenten haben eine einfache Beschreibung können als Bestandteile beliebiger Signale verstanden werden 1
Was sind Beispiele für Elementarsignale 1 s(t) = sin(2πt) 1 t 1 s(t) = ε(t) t s(t) = δ(t) t Sinus- Signal SprungfunkKon Dirac- Impuls s(t) = exp(πt 2 ) s(t) = rect(t) s(t) = Λ(t) Gauss- Signal Rechteckimpuls Dreieckimpuls Welche formalen Eigenscha\en gelten für lineare zei;nvariante Systeme? " % 1. Linearität es gilt der Superposi;onssatz Tr #! a i s i (t)& $ i ' = 2. Zei;nvarianz Tr{ s(t) } = g(t) Tr{ s(t t 0 ) } = g(t - t 0 ) { } = a i i a i Tr s i (t) Kann ein LTI aus einem Sinussignal ein nicht- sinusförmiges Signal machen? LTI- Systeme transformieren sinusförmige Eingangssignale in sinusförmige Ausgangssignale mit derselben Frequenz, aber i.a. veränderter Amplitude und Phasenlage. Wie kann ein LTI im Frequenzbereich (Bildbereich) beschrieben werden?! i! g i (t) LTI- Systeme werden im Bildbereich durch einen komplexwer;gen Quo;enten aus zwei Polynomen in s bzw. jω beschrieben. Beide Polynome haben reelle und konstante Koeffizienten. H( j!) = Y( j!) X( j!) = b 0 + b 1 j! + b 2 ( j!)2 +... a 0 + a 1 j! + a 2 ( j!) 2 +... 2
Was versteht man unter einem "kausalen System"? Ein kausales System reagiert auf ein Eingangssignal und an;zipiert es nicht. Was versteht man unter einem "dynamischen System"? Ein System heißt dynamisch, wenn sein Ausgangssignal auch von vergangenen Werten seines Eingangssignals abhängt. Was versteht man unter einem "stabilen System"? Ein System heißt stabil, wenn es auf beschränkte Eingabesignale stets mit beschränkten Ausgabesignalen reagiert. Wie ist die Faltung von s(t) und h(t) definiert? g(t) = # $ "# s(!)h(t "!)d! Wie kann man das Ausgangssignal eines Systems für ein Eingangssignal s(t) berechnen? Die Transforma;on eines Signals durch ein System kann durch die Faltung (engl. convolu;on) des Eingabesignals mit der Impulsantwort des Systems beschrieben werden. Was versteht man unter der Impulsantwort eines Systems? Die Reak;on eines Systems auf einen Dirac- Impuls als Eingangssignal Warum eignet sich die Impulsantwort zur Charakterisierung eines Systems? Ein Dirac- Impuls enthält alle Frequenzen in gleichen Anteilen. 3
Man spricht von einer "Faltungsalgebra" was bedeutet dies? Faltung hat δ(t) als Einselement: s(t) = s(t) δ(t) Faltung ist kommuta;v: g(t) = s(t) h(t) = h(t) s(t) Faltung ist assozia;v: [f(t) s(t)] h(t) = f(t) [s(t) h(t)] Faltung ist distribu;v: f(t) [s(t) + h(t)] = [f(t) s(t)] + [f(t) h(t)] Wie kann ich mit einer Faltung die Kreuzkorrela;on von zwei Bildern berechnen? Kreuzkorrela;on: " " # # (f! h)(x, y) = f(u, v)h(u! x, v! y)dudv!"!" # # Faltung: (f! h)(x, y) = f(u, v)h(x " u, y " v) dudv Durch Spiegeln eines der Bilder $ $ "# "# Welche verschiedenen Darstellungen einer Fourier- Reihenentwicklung kennen Sie? Sinus- Kosinus- Darstellung Betrags- und Phasendarstellung Komplexe Darstellung x(t) = " # c k e jk$ 0 t k=!" T P c k = 1 x(t)e! jk" 0 T # t dt P 0 4
Wie kann man die Koeffizienten der Betrags- und Phasendarstellung eines periodischen Signals deuten? Amplituden und Phasen von sinusförmigen Bestandteilen des Signals Welche Bedeutung hat der Koeffizient a 0 /2 in einer Fourier- Reihenentwicklung? Miqelwert des Signals Wie sehen die komplexen Koeffizienten von der Fourier- Reihenentwicklung der Funk;on s(t) = A cos (ω 0 t) aus? A/2 Re(c k ) ω 0 ω A/2 - A/2 Im(c k ) ω Wie ist die (eindimensionale) Fourier- Transforma;on definiert? Wie sieht die inverse Transforma;on aus? Fourier- Transforma;on: $ % X(j!) = x(")e # j!" d" #$ Inverse Fourier- Transforma;on: x(t) = 1 2! $ % #$ X(j")e j"t d" Wie kann man mithilfe des Faltungstheorems berechnen, welches Ausgangssignal von einem System für ein Eingangssignal erzeugt wird? Das Ausgangssignal lässt sich durch Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems berechnen. Staq der Faltung kann eine Mul;plika;on der entsprechenden Spektren vorgenommen werden. 5
Was versteht man unter dem "Frequenzgang" eines Systems? Der Frequenzgang eines Systems beschreibt das Übertragungsverhalten des Systems. Er gibt an, wie die sinusförmigen Bestandteile des Eingangssignals in Betrag und Phase verändert werden. Was charakterisiert einen Dirac- Impuls im Zusammenhang mit Systembeschreibungen? Der Dirac- Impuls enthält alle Frequenzen mit gleichem Anteil. Als Eingangssignal eines Systems "prü\" er das Übertragungsverhalten aller Frequenzen, die Impulsantwort beschreibt das System vollständig. Nennen Sie einige Symmetrien zwischen Zeit- und Frequenzbereich Wie kann man eine beliebige Funk;on in die Summe einer geraden und einer ungeraden Funk;on zerlegen? Jede Funk;on kann in einen geraden und ungeraden Teil zerlegt werden. x(t) = x g (t) + x u (t) mit x g (t) = ½ [x(t) + x(- t)] x u (t) = ½ [x(t) x(- t)] 6
Wie kann man ein Bild mithilfe der Fourier- Transforma;on filtern, z.b. weichzeichnen? Gewünschte Bildänderungen (z.b. Weichzeichnen, Scharfzeichnen) können durch Fourier- Transforma;on des Bildes, dann Mul;plika;on der Fourier- Transformierten mit einem Filter H(u, v), dann Rücktransforma;on des Ergebnisses bewirkt werden. Wie kann man diskretes Filtern von Bildern durch "lokale Opera;onen" realisieren? Lokale Opera;onen können Filter realisieren, die nur in einem begrenzten Umfeld um die Filterposi;on von Null verschiedene Werte haben. Das Anwenden der loaklen Opera;onen auf allen Bildstellen entspricht einer Faltung. Was geht verloren, wenn man ein kon;nuierliches Signal durch Abtastwerte ersetzt? Wenn ein mit der Grenzfrequenz F bandbegrenztes Signal mit einer Abtasxrequenz von mindestens 2F abgetastet wird, lässt sich das ursprüngliche Signal exakt rekonstruieren es geht dann nichts verloren. Erfolgt die Rekonstruk;on nicht durch die Shannon'sche Rekonstruk;onsformel, entstehen Veränderungen des rekonstruierten Signals. Wird das Signal nicht mit einer ausreichenden Abtasxrequenz abgetastet, kann das ursprüngliche Signal im Allgemeinen nicht aus dem abgetasteten Signal zurückgewonnen werden. Das Spektrum des abgetasteten Signals enthält in diesem Fall Anteile, in denen sich auf der Frequenzachse wiederholende Spekten überlagern. Wie sieht das Spektrum eines abgetasteten Signals im Vergleich zum entsprechenden kon;nuierlichen Signal aus? Das Spektrum des kon;nuierlichen Signals wiederholt sich auf der Frequenzachse im Abstand der Abtasxrequenz. 7
Wie kann ein kon;nuierliches Signal aus Abtastwerten rekonstruiert werden? % s(t) = ' & # $ n="# ( s(nt)!(t " nt) * + sinc(, t # t " nt ) = $ s(nt)sinc(, ) T T ) n="# Abtastwerte Kann ein besseres TV- Bild erzeugt werden, wenn ein PAL- Signal mit z.b. 1024 Pixeln pro Zeile dargestellt wird? Nein. Ein PAL- Signal hat die Grenzfrequenz von 5 MHz, damit reichen ca. 512 Pixel pro Zeile, um alle im Signal enthaltene Informa;onen darstellen zu können. Welche Kriterien müssen ein Binärbild und eine Abtastung erfüllen, um eine topologisch formerhaltende Abtastung zu gewährleisten? Die Form eines r- regulären Bildes bleibt bei Abtastung mit einem beliebigen Abtastgiqer erhalten, wenn die Abstände der Abtastpunkte nicht größer als r sind. Wie kann eine Kodierung von Bildern mit 8 Bit so vorgenommen werden, dass der miqlere Quan;sierungsfehler minimiert wird? Jede Intervallgrenze muss genau in der Miqe zwischen benachbarten Quan;sierungswerten liegen. Jeder Quan;sierungswert liegt auf der Schwerpunktskoordinate der korresponierenden Fläche der Grauwertverteilung. p(z)! q 0! q 1! q 2! 0! z 1! z 2! z 3! z max! Wie kann man einen Schwellenwert zur Binarisierung eines Bildes ermiqeln? Durch Probieren und Bewerten des Ergebnisses Durch Analysieren des Grauwerthistogramms 8
Durch welche lokale Opera;onen können die Kontraste in einem Bild verschär\ werden? Bildintensitäten werden durch lokalen Operator mit 3x3 Stützfläche an Kanten verstärkt Wie kann man Rauschen in Bildern bekämpfen?!"!"!"!" #!"!"!"!" Zwei grundsätzliche Wege zum "Ausmiqeln" von Rauschen: - Zeitliches Miqeln, falls mehrere Proben g ij,t desselben Pixels zu verschiedenen Zeitpunkten t = 1... T zur Verfügung stehen - Örtliches Miqeln, falls g mn g ij für alle Pixel g mn in einem Bereich um g ij In einem Bild stellt man addi;ve Störungen mit einer Standarddevia;on von 4 fest. Mit welcher Stützfläche muss gemiqelt werden, um die Standarddevia;on auf 1 zu reduzieren? Die Miqelung muss mit einer Stützfläche von mindestens K = 16 erfolgen, um eine! Reduk;on der Standarddevia;on um =! zu erreichen. " # Weshalb entspricht ein mit der zweidimensionalen diskreten Fourier- Transforma;on gewonnenes Spektrum nicht unbedingt den im Bild vorhandenen Frequenzen? Die Transforma;on beruht auf einer Periodizitätsannahme für das Bild. Dies kann zu Artefakten am Bildrand führen. Wie wird die Transforma;on eines Bildes g ij durch ein diskretes Filter h ij formal beschrieben? +#* ()*! "#! = " $ "! %&, "#%-##& %=' &=' Warum kann es vorteilha\ sein, die Filterung eines Bildes im Frequenzraum auszuführen? Durch Transforma;on in den Frequenzraum vereinfacht sich die Filterung zu Mul;plika;onen, womit der Gesamtaufwand von (MN) 2 auf MN log(mn) reduziert werden kann. 9
Was versteht man unter Redundanz? Redundanz ist die Differenz zwischen der durchschniqlichen Kodewortlänge eines Binärkodes für eine Signalquelle und der Entropie der Signalquelle. Wie ist die Entropie einer Signalquelle definiert?, +! =! "#$ #%& &'()$ * mit g (i) = Signale, i = 1... K %=+ "#$ #%& & Welche Entropie hat eine Signalquelle, die die Ziffern 0.. 7 mit gleicher Wahrscheinlichkeit produziert? H 0..7 = 3 Wie erzeugt man einen Huffman- Kode für eine Signalquelle? 1. Ordne Nachrichten nach absteigenden Wahrscheinlichkeiten. g (1) und g (2) seien die am wenigsten wahrscheinlichen Nachrichten. 2. Teile dem Kodewort von g (1) eine 1 und dem Kodewort von g (2) eine 0 zu. 3. Fasse g (1) und g (2) durch Addi;on der Wahrscheinlichkeiten zusammen. 4. Wiederhole Schriqe 1 4, bis eine einzige Nachricht übrig bleibt. Wie können Daten durch die Karhunen- Loève- Transforma;on komprimiert werden? Die K- L- Transforma;on transformiert einen Vektor mit korrelierten Koeffizienten in ein gedrehtes Koordinatensystem, in dem die Koeffizienten unkorreliert sind. Durch Weglassen von Koeffizienten mit niedriger Varianz entstehen Vektoren mit reduzierter Dimension. Wie bes;mmt man die Transforma;onsmatrix der K- L- Transforma;on? Indem man die Eigenwerte und die orthonormalen Eigenvektoren von der Kovarianzmatrix der Signalquelle berechnet. Die Kovarianzmatrix einer 4- dimensionalen Signalquelle habe die Eigenwerte 1, 3, 5, 7. Wie klein kann man den MSE (miqleren quadra;schen Fehler) machen, wenn man die Signale auf zwei Dimensionen reduziert? Der Fehler bei Beschränkung auf die größten Eigenwerte beträgt 1 + 3 = 4. 10
Wie kann man ein Bild mithilfe der Diskreten Fourier- Transforma;on komprimiert repräsen;eren? Indem man das Bild im Frequenzraum unter Fortlassen von kleinen Koeffizienten (meist für hohe Frequenzen) repräsen;ert. Wie unterscheidet sich die Diskrete Kosinus- Transforma;on (DCT) von der Diskreten Fourier- Transforma;on (DFT)? Die DCT berechnet im Effekt die Fourier- Transforma;on einer Funk;on, die bei N durch Ergänzung einer gespiegelter Kopie symmetrisch gemacht wurde. => 1. Resultat enthält keine Sinusterme 2. Keine Fehler durch periodische Fortsetzung. Welche Verfahrensschriqe führen bei der JPEG- Komprimierung zur Einsparung von Bits? 1. Unterabtastung von Farbinforma;on, 2. Quan;sierung von DCT- Koeffizienten nach psychovisuellen Tabellen, 3. Lauflängenkodierung von Bitströmen, 4. Huffman- Kodierung für Blöcke. Wie werden Bilder durch Quadbäume repräsen;ert? Jeder Knoten des Quadbaums repräsen;ert eine rechteckige Bildfläche, z.b. durch dessen Miqelwert Jeder Knoten hat 4 Kinder, mit Ausnahme der Blaqknoten Kinder eines Knotens repräsen;eren gleichgroße Teilrechtecke Knoten können bei Bedarf weiter verfeinert werden Teilrechtecke werden entsprechend der Zerlegungsschriqe adressiert Wie können mit Quadbäumen Bilder komprimiert werden? Ein Bild kann komprimiert werden, - indem jeder Kindknoten nur die Differenz zum Elternknoten speichert - indem Teilbäume mit (annähernd) gleichen Werten weggelassen werden 11
Durch welche Transforma;onen kann man die Pixelkoordinaten eines Szenenpunktes bes;mmen? Transforma;on in 3 Stufen: 1. Szenenkoordinaten => Kamerakoordinaten 2. Projek;on von Kamerakoordinaten in die Bildebene 3. Kamerakoordinaten => Bildkoordinaten Wie lauten die Abbildungsgleichungen für perspek;vische Projek;on? x p = x f z y p = y f z z p = f Wie lauten die Abbildungsgleichungen für orthographische Projek;on? x p = s x y p = s y z p = f (s = Skalierungsfaktor) Wozu diesen Homogene Koordinaten? Sie bieten eine 4D- Nota;on für 3D- Koordinaten, mit der nichtlineare 3D- Transforma;on als lineare 4D- Transforma;onen ausgedrückt werden können. Wie kann ich von normalen Koordinaten zu homogenen Koordinaten und zurück transformieren? Übergang zu homogenen Koordinaten: v T = [x y z] => v T = [wx wy wz w] Rückkehr zu normalen Koordinaten: w 0 ist beliebige Konstante (i) Komponenten 1 bis 3 durch 4. Komponente dividieren (ii) 4. Komponente weglassen Wie kann die Transforma;on von Szenenkoordinaten in Pixelkoordinaten in homogenen Koordinaten kompakt beschrieben werden? v p = B P R T v = C v 12
Welche Kameraanordnung und welche Verfahrensschriqe sind für Binokularstereo erforderlich? Kameraanordnung: Zwei Kameras an verschiedenen Posi;onen erfassen einen gemeinsamen Teilraum einer Szene. Posi;onen und Orien;erungen der Kameras, sowie die intrinsischen Kameraparameter sind bekannt. Verfahrensschriqe: (i) Bes;mmen der Richtungsvektoren beider Kameras für die Abbildungsstrahlen eines Szenenpunktes, (ii) Bes;mmen des 3D- Ortes, an dem sich die Abbildungsstrahlen am dichtesten annähern. Wie kann man die Ortslinie in Szenenkoordinaten beschreiben, auf der ein Szenenpunkt liegen muss, für den die Kamerakoordinaten bekannt sind? v = v 0 + R T λ v p ' v p ' ist Bildpunkt in Kamerakoordinaten, v ist Szenenpunkt in Szenenkoordinaten, λ ist unbekannter freier Parameter, v 0 und R spezifizieren die Transforma;on zwischen Szenen- und Kamerakoordinaten 13