Ein Flug durhs Universum... Martin Heinold 27 1 1
1 Einführung Der Weltraum, unendlihe Weiten..., so beginnen viele bekannte Siene-Fition Serien und Filme. Dabei enthalten sie ungeahnte Tehnologien und Möglihkeiten mit denen sih die Menshheit fortbewegen kann. Manhe gehen weit über die Regeln der modernen Physik hinaus und sorgen dafür, dass es immer neue Generationen von Wissenshaftlern geben wird, die die Grenzen des Möglihen übershreiten und darüber hinaus Neues entdeken. Als eine dieser vielen Ideen nehme man eine Photonenrakete. Dabei handelt es sih um eine Rükstrahlrakete, die in der Lage ist, ihren Treibstoff komplett und ohne Energieverlust in Photonen (Liht) umzuwandeln. Diese Lihtteilhen werden mit Lihtgeshwindigkeit nah hinten aus der Rakete ausgestoßen. Um den Raumfahrern an Bord ein möglihst erdähnlihes Ambiente zu bieten, soll das Raumshiff das Potenzial besitzen mit konstanter Eigenbeshleunigung g zu beshleunigen, was dafür sorgt, dass an Bord der Rakete die Astronauten immer mit der gewohnten Erdanziehung auf den Boden gedrükt werden. Mit Eigenbeshleunigung ist die Beshleunigung eines Objektes innerhalb seines momentanen Ruhsystems gemeint, also in der Zeit t, in dem die Geshwindigkeit der Rakete gleih null ist. Eine solhe Eigenbeshleunigung ist beispielsweise, durh eine konstante Shubkraft mit Hilfe der ausgestrahlten Photonen möglih. Ein wihtiger Effekt dieser konstanten Beshleunigung, ist die Möglihkeit bis auf sehr hohe Geshwindigkeiten nahe der Lihtgeshwindigkeit in relativ kurzer Zeit zu beshleunigen. Lihtgeshwindigkeit selbst wird die Rakete niemals erreihen, da durh Einsteins Äquivalenz von Masse und Energie gezeigt wurde, dass kein Teilhen mit Masse m diese Geshwindigkeit jemals erreihen kann. Für die Geshwindigkeit der Rakete u(t) kann man auh eine Beziehung zur Lihtgeshwindigkeit verwenden, indem man immer den Bruhteil der Lihtgeshwindigkeit angibt. Dies geshieht in der Regel durh die Variable β. Die Rakete soll im Laufe ihrer Reise zu einem bestimmten Punkt im Universum fliegen, der den Abstand s von der Erde entfernt ist, und dann wieder zur Erde zurükkehren. 2 Sobald die Rakete dabei eine gewisse Geshwindigkeit übershritten hat, gelangt man in Bereihe, in denen die klassishen Bewegungsgleihungen niht mehr gelten. Auh beginnt sih mit zunehmender Reisegeshwindigkeit die Zeit anders zu vergehen, wenn man vom Bezugssystem der Rakete zur Erde shaut oder auh umgekehrt. An Bord des Raumshiffs spriht man von einer sogenannten Eigenzeit, welhe mit τ bezeihnet 1
wird. Auf der Erde vergeht dagegen die Zeit T, die man im allgemeinen dann als Erdzeit bezeihnet. Dieser Effekt der untershiedlihen Zeiten wird Zeitdilatation genannt. Sobald die Photonenrakete ihr Ziel erreiht hat, dreht sie sofort um und verzögert dann auf dem Rükweg mit g, um shließlih wieder an ihrem Ursprungsort zum Stehen zukommen. Für diese Reise ist die Gesamtmasse der Rakete (M) in den benötigten Treibstoff und noh etwas Nutzlast (m), also Astronauten, Nahrung und Equipment, aufgeteilt. Zu Beginn ist noh der komplette Treibstoff und die Nutzlast vorhanden. Doh wie bereits oben beshrieben verbrennt die Rakete pro Zeiteinheit eine konstante Menge ihres Treibstoffes. Bei der Rükkehr zur Erde sollten dann im Idealfall nur noh die Nutzlast m der Rakete verbleiben. Doh der Sinn der ganzen Sahe ist es herauszufinden, wie sih die Eigenzeit an Bord einer Photonenrakete zu der auf der Erde verstrihenen Zeit, sowie der zurükgelegten Wegstreke verhält, und ab wann es sih eigentlih lohnt mit so einer Rakete zu fliegen. Außerdem besteht das Problem der Masse. Für heutzutage große Entfernungen, wie beispielsweise zum Mond, benötigt man eine riesige Menge an Treibstoff. Wie viel brauht dann erst ein Raumshiff, dass zum sonnennähsten Stern Proxima Centauri oder zum Andromedanebel fliegt? All diese Fragen, sollen auf den kommenden Seiten geklärt und genauer untersuht werden. 2
2 Flug einer Photonenrakete 2.1 Zusammenhänge zwishen Eigenzeit τ und der Erdzeit Als Ausgangspunkt für die Errehnung eines Zusammenhanges zwishen der an Bord der Photonenrakete verstrihenen Zeit und der Erdzeit, nutzt man die oben bereits erwähnte Gleihung für die Zeitdilatation. Diese findet sih im Skritpum Spezielle Relativitätstheorie von Herrn Rihard Reindl in Gleihung (3.2.4). Man sieht hierbei die Rakete als Objekt in einem System S und die Erde als ruhendes Inertialsystem S, also ein Bezugssystem, in dem ein kräftefreier Körper keine Beshleunigung erfährt, oder anders ausgedrükt, in dem der Trägheitssatz gilt. Man kann sih vorstellen, dass die Rakete an Uhren vorbefliegt, die in kleine Abständen nebeneinander stehen und im System S ruhen. In kleinen Zeitabshnitten dt, die die Rakete benötigt, um von einer Uhr zur nähsten zu gelangen, kann man die Geshwindigkeit des Raumshiffs als konstant ansehen und deshalb gilt: dτ = dt 1 β 2 (2.1) wobei β wie folgt aussieht: β = u(t) Für u(t) (Siehe Gleihung (3.8.15) Spezielle Relativitätstheorie Skriptum) gilt: (2.2) u(t) = at (2.3) 1 + a2 t 2 2 Nun setzt man u(t) in (2.1) ein: dτ = dt 1 1 at 2 1 + a2 t 2 2 2 (2.4) 3
Nah ausquadrieren der Klammer folgt dann: a 2 t = dt 1 2 ( ) (2.5) 2 1 + a 2 t 2 1 2 Nun multipliziert man 1 2 in die Summe im Nenner: = dt 1 a2 t 2 2 + a 2 t 2 (2.6) Jetzt bringt man alles auf den Hauptnenner 2 +a 2 t 2 und erhält deshalb: 2 = dt 2 + a 2 (2.7) t 2 Jetzt lässt sih noh 2 aus der Wurzel ziehen. Infolgedessen integriert man die Funktion mit den Grenzen und T. Diese Begrenzungen sorgen für den ersten Teil der Reise, also von der Erde bis zum Ende der Beshleunigung mit positivem g. Deshalb bezeihnet man die Eigenzeit des Raumshiffes für diesen ersten Teil der Reise von nun an mit τ 1 : Folglih ist τ 1 : dτ 1 = T 1 (2.8) 2 + a 2 t2dt ( τ 1 = ln at sgn a + ) 2 + a 2 t 2 sgn a a Wobei in der ersten Flughälfte folgendes feststeht: T (2.9) a = g (2.1) Da die Beshleunigung auf diesem Flugabshnitt positiv ist, gilt für sgn a: sgn a = sgn g = 1 (2.11) Und deshalb ergibt sih für das Integral mit der eben genannten Vereinfahung: ( τ 1 = ln gt 1 + ) 2 + g 2 t 2 1 g T (2.12) 4
Da 1 g eine Konstante darstellt, kann diese vor die Klammer gezogen werden. Wenn man nun die Integralgrenzen einsetzt und shließlih die obere von der unteren subtrahiert erhält man: τ 1 = ( ln (gt + ) g 2 + g 2 T 2 ln (g + )) 2 + g 2 2 (2.13) Nah einer kurzen Vereinfahung folgt: τ 1 = ( ln (gt + ) g 2 + g 2 T 2 ) ln () (2.14) Aufgrund der Rehenregel für Logarithmen: log b u v = log b u log b v (2.15) ergibt sih für unsere Rehnung shließlih: ( ( τ 1 = gt + )) ln 2 + g 2 T 2 g (2.16) Für τ 2 kann man das Prinzip der Symmetrie anwenden. Wenn man sih den Verzögerungsprozess einmal genauer ansieht, dann erkennt man, dass im Gegensatz zu u(t) t nur durh T t ersetzt werden muss. Dies kann man reht einfah herleiten: u 2 (t) = gt + C (2.17) 1 + ( gt+c)2 2 Nun setzt man u(t) und u 2 (t) an der Stelle T 2 gleih: ( ) ( ) T T u = u 2 2 2 (2.18) Nah Überkreuz multiplizieren folgt: ( g T2 + C ) g T 2 1 + ( g T + 2 C)2 = 2 g 2T2 4 + T ) 2 g2 4 2 (g2t2 4 gtc + C2 ) = (g 2T2 gtc + C2 (1 + g2 T 2 4 g 2T2 4 +g2 T 2 4 2 (g2t2 4 gtc +C2 ) = g 2 T 2 4 2 (g2t2 4 gtc +C2 )+ 1 + g2 ( T 2 )2 2 (2.19) (g 2T2 4 4 2 ) (2.2) gtc + C2 ) (2.21) 5
Nah dieser Umstellung erkennt man, dass nur noh folgendes übrig bleibt: Und deshalb folgt für die Konstante C dann: Daraus resultiert dann für τ 2 : τ 2 = 2T T gtc = C 2 (2.22) C = gt (2.23) 1 (2.24) 2 + g 2 (T t) 2dt 3 1 8 2 1 8 τ(t) 1 1 8 1 1 9 2 1 9 3 1 9 T Abbildung 2.1: Abhängigkeit der Eigenzeit von der Erdzeit (τ(t)) ( τ 2 = 1 ln( 2 ) + 2 ln (gt + )) 2 + g 2 T 2 2 g Durh eine Vereinfahung erhält man dann für die zweite Eigenzeit: ( ( τ 2 = g gt + )) ln 2 + g 2 T 2 (2.25) (2.26) Wie man sieht, sind τ 1 und τ 2 identish. Deshalb kann man die gesamte Eigenzeit in Abhängigkeit von der Erdzeit leiht berehnen, indem man z.b. τ 1 verdoppelt: τ = τ 1 + τ 2 = 2 τ 1 (2.27) 6
( ( τ(t) = 2 g gt + )) ln 2 + g 2 T 2 (2.28) Umgekehrt ergibt sih für die Erdzeit in Abhängigkeit von der Eigenzeit des Raumshiffs: T(τ) = ( 1 + e τg )e ( τg 2) (2.29) 2g 2.2 Berehnung der zurükgelegten Entfernung Nun will man noh den Zusammenhang zwishen der verstrihenen Zeit und der zurükgelegten Streke klären. Da man die Geshwindigkeit der Rakete zu jedem Zeitpunkt t kennt, kann man auh leiht Rükshlüsse auf den Weg ziehen. Es genügt die Geshwindigkeit u(t) nah t zu integrieren. Dies wird nun geshildert: T ( ) s 1 (T) = u(t)dt = 2 2 + g 1 + 2 T 2 (2.3) g 2 s 2 (T) = 2T T u 2 (t)dt = 2 g ( 1 + ) 2 + g 2 T 2 2 (2.31) Wie man shnell sieht, sind die beiden Integrale identish. Deshalb ergibt sih für die gesamte Wegstreke: s(t) = 2 s 1 (T) (2.32) ( ) s(t) = 22 2 + g 1 + 2 T 2 (2.33) g 2 Da man es später noh einmal für die Berehnung des Zusammenhangs zwishen Massen und Flugstreke benötigt, löst man (2.33) nah T auf: gs(42 + gs) T(s) = (2.34) 2g Wenn man jetzt T(τ) in s(t) einsetzt, dann erhält man die Flugstreke in Beziehung zur Eigenzeit: ( ) s(τ) = 2 2 + 2 + e τg + e τg (2.35) g Wie man in Abbildung 2.2 und 2.3 sieht, verhält sih die Wegstreke der beiden Funktionen sehr untershiedlih. Doh erst durh diesen Untershied ist es überhaupt möglih, den Andromedanebel zu besuhen. Natürlih müsste dazu auh eine Photonenrakete existieren, die dauerhaft mit dem Faktor g beshleunigen kann. 7
3 1 1 2 1 1 s(t) 1 1 1 2 1 4 4 1 4 6 1 4 8 1 4 1 1 4 T Abbildung 2.2: Abhängigkeit des Weges von der Erdzeit (s(t)) 3 1 1 2 1 1 s(τ) 1 1 1 2 1 4 4 1 4 6 1 4 8 1 4 1 1 4 τ Abbildung 2.3: Abhängigkeit des Weges von der Eigenzeit (s(τ)) 8
2.3 Verhältnis Startmasse zu Nutzlast Die Berehnung des Verhältnisses zwishen der Startmasse einer Rakete und der in ihr befindlihen Nutzlast ist mit Hilfe des Impules wie folgt zu erklären: p = γmv (2.36) Da in unserem Fall niht nur die Geshwindigkeit sondern auh die Masse niht konstant sind, muss gelten: ṁ (2.37) Daraus ergibt sih dann für die Ableitung des Impulses nah der Kettenregel: ṗ = ṁγv + m (γv) (2.38) v ṗ = m + ṁγv (2.39) (1 β 2 ) 3 2 Nah Gleihung (3.8.8) aus dem Skriptum von Herrn Rihard Reindl über die Spezielle Relativitätstheorie und wegen a = v gilt: v (1 β 2 ) 3 2 = g (2.4) Dadurh lässt sih Gleihung (2.39) folgendermaßen vereinfahen: ṗ = ṁγv + mg (2.41) Die Frequenz der erzeugten Masse ist im momentanen Ruhsystem der Rakete ( dm) ( ) = dm, welhes kleiner Null ist, da die Photonen nah links ausgestrahlt werden. Nah der Dopplerformel ist die Frequenz im System der Erde dann: 1 β v f Erde = f 1 + β = f (2.42) + v Deshalb ergibt sih dann für den Impuls der Photonen im Erdsystem folgendes: v dp Erde = dm + v (2.43) Aufgrund des Impulssatzes muss gelten: dp + dp Erde = ṗ + (p Erde ) = (2.44) 9
Aus den Gleihungen (2.41), (2.43) und (2.44) ergibt sih dann: v ṁγv + mg = ṁ + v Nun formt man diese Gleihung nah ṁ um und bekommt folgendes Resultat: Da gilt: ṁ = dm dt kann man die Gleihung folgendermaßen umshreiben: (2.45) ṁ = mg 1 β 2 (2.46) (2.47) dm m = g 1 β2 dt (2.48) Nun integriert man beide Seiten, wobei man die rehte Seite noh mit 2 multipliziert um Hin- und Rükflug der Rakete zu berüksihtigen: m M 1 m dm = 2g Jetzt setzt man noh u(t) ein und vereinfaht die Gleihung etwas: m M T 1 T dm = 2g m Das Integral der linken Seite ist einfah ln(m) + C: ( m ) ln(m) ln(m) = ln M Auf der rehten Seite ergibt sih ein etwas längerer Term: ( ln ( 2) (( 2 ln gt + 2 + g 2 T 2 sgn g 1 u(t)2 2 dt (2.49) 1 (2.5) 2 + g 2 t2dt ) sgn g (2.51) )) sgn g (2.52) Mit Hilfe von Gleihung (2.11) folgt dann: ln ( 2) 2 ln (gt + ) 2 + g 2 T 2 Wenn man jetzt beide Seiten der Gleihung potenziert, dann erhält man: ( ) m M = ) 2ln gt+ 2 +g 2 T 2 eln(2 (2.53) (2.54) 1
Dies kann man noh vereinfahen, da eine Regel folgendes besagt: Nun erweitert man den Zähler der rehten Seite: e ln x = x (2.55) m M = 2 (gt + 2 + g 2 T 2 ) 2 (2.56) = (g2 T 2 + 2 ) g 2 T 2 (gt + 2 + g 2 T 2 ) 2 (2.57) Hier erhält man folgende mathematishe Form: Und deshalb gilt für das Verhältnis m M : (a + b) (a b) (a + b) 2 = a2 b 2 (a + b) 2 (2.58) = 2 + g 2 T 2 gt 2 + g 2 T 2 + gt (2.59) 2 + g = 2 T 2 1 gt 2 + g 2 T 2 +g 2 T 2 (2.6) 2 gt 1 + 2 +g 2 T 2 Man erhält jetzt eine Form wie in Gleihung (2.6), nur dass hier ansheinend die Wurzel von g2 T 2 2 +g 2 T 2 steht. Deshalb kann man (2.59) folgendermaßen vereinfahen: gt 2 + g 2 T 2 = β (2.61) m M = 1 β (2.62) 1 + β Wenn man abshließend in die Gleihung (2.56) noh (2.34) einsetzt, dann erhält man die Abhängigkeit der Massen von der gesamten Flugstreke: m M = 4 4 ( gs (42 + gs) + (2 2 + gs) 2 ) 2 (2.63) Dieses Massenverhältnis m (Nutzlast zu Startmasse) ist in den Abbildungen 2.4 und M 2.5 dargestellt. Man sieht dabei deutlih, dass der Quotient dieser beiden Massen reht shnell von 1 absinkt und dann über einen sehr weiten Weg, bzw. sehr lange Zeit immer kleiner wird, bis er irgendwann sein Minimum erreiht hat. Dieses kleinste Verhältnis ist dann erreiht, wenn m wirklih nur noh die reine Nutzlast der Rakete ist und der komplette Treibstoff verbrauht ist. 11
1,,8,6 µ(t),4,2 1 1 8 2 1 8 3 1 8 4 1 8 T Abbildung 2.4: Abhängigkeit des Massen Verhältnisses von der Erdzeit (µ(t)) 1,,8,6 µ(s),4,2 2 1 16 6 1 16 1 1 16 14 1 16 s Abbildung 2.5: Abhängigkeit des Massen Verhältnisses von der Flugstreke (µ(s)) 12
2.4 Anwendungen Nun folgt als erstes eine tabellarishe Darstellung der wihtigsten Wegpunkte auf einer intergalaktishen Reise, wobei man bei unserem nähsten Himmelskörper beginnt und shlussendlih in der Andromeda-Galaxie landet. Die dabei angegebenen Streken sind jeweils nur der Weg für Hin- bzw. Rükflug. Die Flugdauer dagegen berüksihtigt einen Flug zum angegebene Objekt und einer Rükkehr zur Erde. Reiseziel Flugstreke Flugzeit Erdzeit Eigenzeit Mond 1,3 Lihtsekunden 3,52266475 Std. 3,52267589 Std. Sonne 5 Lihsekunden 2,861884859 Tage 2,861876956 Tage Solsystem 15 Lihtstunden 94,2583793 Tage 93,98185616 Tage Proxima Centauri 4,2 Lihtjahre 5,824565237 Jahre 3,528147133 Jahre Milhstraße 1 1 5 Lihtjahre 11,9387 Jahre 22,3819978 Jahre Andromedanebel 2,5 1 6 Lihtjahre 2,5 1 6 Jahre 28,62168226 Jahre Wie man sieht, ist bei kurzen Streken innerhalb unseres Sonnensystems der Effekt der Zeitdilatation noh niht groß genug, um einen merklihen Einfluss zu haben. Ganz anders sieht es bei Reisen in tiefere Regionen der Galaxie aus. Shon bei einem Flug zum sonnennähsten Stern Proxima Centauri merkt man die Relativität der Zeit sehr deutlih. An Bord der Photonenrakete vergehen etwa 2,3 Jahre weniger als auf der Erde. Vorallem bei riesigen Distanzen wie zum Andromedanebel wirkt sih die dauerhafte Beshleunigung mit dem Faktor g positiv aus. Während auf unserem Heimatplaneten Jahrmillionen vergehen, altert man in unserem Raumshiff mikroskopishe 28,6 Jahre. Nun folgen noh zwei Beispiele, die Grundgedanken der bisherigen Berehnungen präziser darstellen. 1. Ein Raumshiff fliegt aus der Siht der Erde genau 25 Jahre. D.h. es hat eine 12,5 jährige Beshleunigungsphase und eine gleih lange Verzögerungsphase. Wie viel Zeit ist an Bord des Raumshiffs vergangen? Man setzt in Gleihung (2.28) die Zeit von 25 Jahren (7,884 1 8 s) ein und erhält als Ergebnis ungefähr 2,4111 1 8 s, was etwa 7 Jahren und 235 Tagen entspriht. 2. Wie lange benötigt ein Raumshiff, dass mit a = g beshleunigt um Lihtgeshwin- 13
digkeit zu erreihen??? β g ( β 2 2 g 2 β = 1 + g2 t2 = t 2 1 + g2 t2 = t 2 2 ) gt 1+ g2 t2 2 β 2 2 + β 2 t 2 g 2 = t 2 β 2 2 g 2 = t 2 (1 β 2 ) β 2 2 = t 2 g 2 (1 β 2 ) β t = Dabei sieht man, je größer β wird, umso größer wird auh die Zeit. Die Lihtgeshwindigkeit selber wird die Rakete nie erreihen, da dann β = 1 gelten müsste und deshalb der Nenner gleih würde. Um zum Beispiel,99-fahe Lihtgeshwindigkeit zu erreihen, bräuhte unsere Photonen-Rakete 6 Jahre und 293 Tage. Um bereits eine Dezimalstelle nah dem Komma shneller zu werden, also,999 wird die Zeit bereits 3,184 mal größer (21 Jahre und 241 Tage). g 1 β 2 14
3 Shlusswort Nah all diesen Berehnungen ist leiht ersihtlih, dass eine Photonenrakete das ideale Reisemittel für zukünftige Generationen wäre. Natürlih würde sih dabei auh das Verständnis für den Raumflug selbst ändern. Im Gegensatz zu einigen Siene-Fition Sendungen wäre es dann niht möglih, in Kontakt mit der Welt außerhalb des Raumshiffs zu treten. Denn wie bereits in der oben stehenden Tabelle gezeigt, wird eindeutig klar: Wer sih auf einen Flug zu einem entfernten Ziel begibt, für denjenigen handelt es sih um eine Reise ohne Wiederkehr. Zwar vergehen an Bord des Shiffes nur wenige Jahre, doh auf der Erde leben Generationen von Menshen und sollten die Raumfahrer jemals zur Erde zurükkehren, dann würde nihts mehr so sein, wie es einmal war. Auf dem Weg in diese Zukunft müssen zwar noh einige Hindernisse im Bezug auf die tehnishen Fertigkeiten überwunden werden, aber auh diese Hürde wird die Menshheit meistern. Eine Rakete zu bauen, die in der Lage ist dauerhaft eine konstante Beshleunigung, gleih der Erdbeshleunigung g, zu leisten, wird viele dazu bewegen, zu sagen, dass Reisen durhs Universum unmöglih sind. Doh wenn man überlegt, dass vor 1 Jahren die Menshheit das Fliegen noh als Wunshtraum ansah, dann kann man frohen Mutes in die Zukunft bliken, den wir entwikeln uns und irgendwann werden Menshen..dahin gehen, wo noh nie ein Mensh gewesen ist!. 15
Inhaltsverzeihnis 1 Einführung 1 2 Flug einer Photonenrakete 3 2.1 Zusammenhänge zwishen Eigenzeit τ und der Erdzeit.......... 3 2.2 Berehnung der zurükgelegten Entfernung................. 7 2.3 Verhältnis Startmasse zu Nutzlast...................... 9 2.4 Anwendungen................................. 13 3 Shlusswort 15 Literatur Skriptum Spezielle Relativitätstheorie von Herrn Rihard Reindl http://de.wikipedia.org/wiki/lihtjahr Anhang Maple Worksheet faharbeit-zeit.mws Maple Worksheet faharbeit-masse.mws 16