Eine Reise durch das Universum R. Reindl, Oktober 2014

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1 Eine Reise durch das Universum R. Reindl, Oktober 04 Relativität. Die Galileitransformation Eine Bewegung x = xt) wird in einem Koordinatensystem S beschrieben. Oft ist es vorteilhaft, die Bewegung in einem relativ zu S bewegten System S zu beschreiben, das sich mit der konstanten Geschwindigkeit v parallel zur x- Achse relativ zu S bewegt. Die x- und x -Achse liegen aufeinander in der Zeichnung der Deutlichkeit halber etwas versetzt dargestellt). x ist die Koordinate eines Körpers K in S, x in S. y y S S vt O O z z Abb. Bezugssysteme K x u, u x x x Abb. entnimmt man Galileitransformation): x = x +vt y = y z = z oder x = x vt y = y z = z ) Bewegt sich ein Körper K relativ zu S mit der nicht notwendig konstanten) Geschwindigkeit u = ẋ, dann folgt aus ) für seine Geschwindigkeit u = ẋ relativ zu S: u = ẋ = dx dt = d dt x +vt) = ẋ +v = u +v ) u = u +v 3) Für die Beschleunigungen a = u bzw. a = u des Körpers K in S bzw. S folgt aus 3): Wegen Newton gilt damit für die Kräfte a = u = u + v = a 4) F = F 5) Ein Bezugssystem heißt Inertialsystem, wenn in ihm ein kräftefreier Körper keine Beschleunigung erfährt, d.h. wenn in ihm der Trägheitssatz gilt. Logischer Aufbau der Newton schen Mechanik: Grundgrößen: Definitionen: Länge; Zeit; Masse v = x ; a = v = x ; F = m a ; p = m v W pot = F d x ; Wkin = m v Logische Folgerungen: Der Energiesatz und der Impulssatz sind logische Konsequenzen der Definitionen von Energie und Impuls und somit keine Naturgesetze! Allenfalls in der Möglichkeit der widerspruchsfreien Definition der Grundgrößen steckt ein Naturgesetz! Naturgesetze: Naturgesetze sind die Eigenschaften der Wechselwirkungen zwischen den Elementarteilchen, wie das Gravitationsgesetz und das Coulomb sche Gesetz.

2 Newton sches Relativitätsprinzip: Die Gesetze der Mechanik haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form! Beispiel: System S: F = m a System S : m = m ; a = a ; F = F = F = m a Das Newton sche Relativitätsprinzip beinhaltet folgende Aussagen: Kein Inertialsystem ist vor einem anderen ausgezeichnet. Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt. Es gibt keine absolute Ruhe. Zum Beispiel kann in einem fensterlosen Zug auf ideal glatten Schienen mit keinem Experiment festgestellt werden, ob der Zug fährt oder nicht. Bisher sind vier fundamentale Wechselwirkungen bekannt:. Die Gravitation: Anziehende Kraft zwischen allen mit Masse behafteten Körpern. Im Spezialfall kleiner Massen und kleiner Geschwindigkeiten wird die Schwerkraft durch die Newton sche Gravitationstheorie beschrieben. Eine allgemeinere Theorie der Gravitation, die vor allem zur Beschreibung des ganzen Universums benötigt wird, ist die allgemeine Relativitätstheorie Albert Einsteins.. Die elektromagnetische Wechselwirkung Maxwellsche Gleichungen) 3. Die schwache Wechselwirkung: Beschreibung des radioaktiven Zerfalls 4. Die starke Wechselwirkung Beschreibung der Kernkräfte Quantenchromodynamik) Die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung werden zur Zeit schon durch eine einheitliche Theorie, die sogenannte elektroschwache Theorie beschrieben. Dafür erhielten Sheldon Lee Glashow, Abdus Salam und Steven Weinberg 979 den Nobelpreis. Zur Beschreibung der elektroschwachen Theorie und der starken Wechselwirkung ist die Newtonsche Mechanik nicht mehr geeignet, sondern man muss auf deren Verallgemeinerung, die Quantenmechanik, zurückgreifen. Eine andere Verallgemeinerung der Newtonschen Mechanik ist die spezielle Relativitätstheorie, die das Verhalten von kleinen Massen mit großen Relativgeschwindigkeiten beschreibt. Diese von Albert Einstein 905 veröffentlichte Theorie ist unser nächstes Ziel. Relativistische Quantenmechanik Quantenmechanik Newton spezielle Relativitätstheorie Allgemeine Relativitätstheorie Abb. Aufbau der Physik

3 . Das Brehmediagramm Aus der Theorie des Elektromagnetismus Maxwellgleichungen) folgt die auch experimentell eindeutig abgesichterte Tatsache: Die Vakuumlichtgeschwindigkeit hat in jedem Inertialsystem den gleichen Wert c = m s Dies steht in eklatantem Widerspruch zur Geschwindigkeitsaddition 3) der Galileitransformation. Sendet z. B. ein Raumschiff, das sich relativ zu S mit v = c bewegt, in x-richtung ein signal aus u = c), dann müsste dieses signal in S die Geschwindigkeit u = u +c =,5c haben. Die Galileitransformation und damit auch die Newtonsche Mechanik sind also falsch, obwohl die Newtonsche Mechanik für kleine Geschwindigkeiten eine ausgezeichnete Näherung an die Wirklichkeit darstellt. Einen Weg aus diesem Dilemma fand Albert Einstein 905 mit seiner speziellen Relativitätstheorie. Die Aussagen dieser Theorie können geometrisch in einem Brehmediagramm oder auch Loedeldiagramm) veranschaulicht werden Genaueres im Relativitätsskript auf Im Brehmediagramm werden die beiden Systeme S unds gleichzeitig dargestellt. Die Koordinatenfindung eines Ereignisses E mit den Koordinaten x,ct) in S bzw. x,ct ) in S geschieht durch Projektion parallel zu den Achsen. Statt t-achsen verwendet man ct-achsen, damit alle Achsen in Längeneinheiten gemessen werden. Der Zusammenhang zwischen ϕ in Abb.3 und der Relativgeschwindigkeit v der Systeme ist sinϕ = β 6) x x x ϕ ϕ ϕ ϕ x ct E ct mit β = v c 7) ct ct Aus sin ϕ+cos ϕ = folgt Abb.3 Brehmediagramm cosϕ = 8) Die algebraische Formulierung des Brehmediagramms liefert die Gleichungen der Lorentztransformation: x = γx vt) ; t = γ t v ) c x x = γx +vt ) ; t = γ t + v c x ) 9) mit y = y ; z = z γ = 0) 3

4 .3 Die Zeitdilatation Eine Uhr U ruhend in S ) bewegt sich mit der Geschwindigkeit v an zwei in S ruhenden Uhren U und U vorbei. Abb. 4 entnimmt man c t = c t cosϕ ) Aus 8) und ) folgt die Zeitdilatation Zeitdehnung) genannte Beziehung x x E ϕ ct c t ϕ c t c t ct E U U U ct t = t ) ct Abb.4 Zeitdilatation c t ct ct Bewegt sich eine Uhr U mit der Geschwindigkeit v = βc relativ zum Inertialsystem S, dann geht U gegen die in S ruhenden Uhren um den Faktor langsamer. t t U v t U U U U Abb.5 t = t t, t = t t t t t U v Beispiel: v = 0,6c = t = t 0,6 = 0,8 t Für v c, d.h. für β erhält man folgende Näherungsformeln lineare Näherung): β,, Ist β fast, d.h. für β = α mit α erhält man + β 3) = )) ) = α 4) Beispiel: β α α mit TR 0,9999 0,000 0,044 0, , Als Beispiel für eine Bewegung mit kleiner Geschwindigkeit betrachten wir ein Auto, das vom System der Straße aus gesehen eine Stunde lang t = h) mit der Geschwindigkeit v = 08 km h = 30 m s fährt. Eine Atomuhr im Auto misst die Fahrzeit t : Die Autouhr geht um nach. β = 0 7 τ = t t t t = ) = t 0 4 =,8 0 s 4

5 Eine Uhr U bewegt sich mit beliebiger d.h. nicht notwendig konstanter) Geschwindigkeit v relativ zu einem Inertialsystem S. Die Zeit τ, die von U angezeigt wird, nennt man die Eigenzeit von U. t ist die Zeit in S am jeweiligen Ort von U. In kleinen Zeitintervallen der Länge dt ist v annähernd konstant und es gilt dτ = dt 5) oder integriert Die Zeitdifferenz in S ist einfach τ = t t t) dt 6) t = t t 7) Wegen t) 8) ist τ t t dt = t t = t 9) Bewegt sich eine Uhr U in einem Inertialsystem S und sind E x t ) S und E x t ) S zwei beliebige Ereignisse auf der Weltlinie von U, dann gilt für die Eigenzeit τ der Uhr y A T τ = τ τ t = t t A sei ein fester Punkt in einem Inertialsystem. Für eine Rundreise von A nach A ist in irgend einem Zeitintervall β 0 und aus 6) folgt dann τ < t. Somit gilt auch Abb.6 Inertialsystem in der Relativitätstheorie der Grundsatz Bewegung hält jung!, zumindest wenn man sich mit sehr großen Geschwindigkeiten bewegt. Der Zusammenhang τ < t wird in der Literatur oft als Zwillingsparadoxon bezeichnet Genaueres in den Aufgaben). Als Beispiel betrachten wir eine gleichförmige Kreisbewegung mit dem Radius r und der Winkelgeschwindigkeit ω in einem Inertialsystem. Aus folgt mit t = T τ = T 0 v = rπ T = ωr = konst. 0) dt = T Speziell für die Bewegung der Erde um die Sonne gilt v 30 km s und damit τ = T 0 8 T 5 0 9) ω r c ) Der Unterschied der im Inertialsystem gemessenen Umlaufdauer T und dem im Erdsystem gemessenen Jahr τ ist δ = T τ = a = 0,58s x 5

6 .4 Das Additionstheorem Ein Inertialsystem S bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v parallel zur x Achse relativ zu einem Inertialsystem S. Relativ zu S bewegt sich ein Körper K mit der Geschwindigkeit u. Mit der Kettenregel und der Lorentztransformation 9) folgt y y v S S K u Abb.7 Geschwindigkeitsaddition x x Aus ) und 4) folgt Auflösen nach u ergibt u = dx dt = dx dt dt dt = d dt dt = d dt γ γx dt +vt dt ) ) t + v c x )) = γ dt dt = dt dt = Allgemein lautet die Einstein-Addition für Geschwindigkeiten dt = γu +v) dt ) dt + vu c ) 3) γ ) 4) + vu c u = u +v + u v c 5) u = u v uv c 6) Beispiele: v v = v +v + v v c 7) v c = v +c + vc c = c c c = c+c + c c = c.5 Der Dopplereffekt Ein Sender S sendet im zeitlichen Abstand t s gemessen in seinem Ruhsystem) signale zu einem Empfänger E, der sich mit der Geschwindigkeit v relativ zu S bewegt. Im Empfängersystem treffen die signale im zeitlichen Abstand t e bei E ein. Gleichung der Weltlinie von Signal in S: x s ϕ x e E c t e ct e c t e Empfänger x 0 t t s = c = : x = ct c t s 8) c t s c t s Abb.8 Mehrere signale Sender ct s 6

7 Die Gleichung des Empfängers lautet x s x e E : x = vt 9) Das Ereignis E = trifft E ist der Schnittpunkt der Weltlinien von E und : ct c t s = vt 30) ϕ c t e E ct e Empfänger ct e oder nach Division durch c t t s = βt 3) Auflösen nach t ergibt für die S- Koordinate von E c t s Abb.9 Entfernung von S und E ct s Sender ct s t = t s = t s 3) Abb. 9 entnimmt man für die E-Koordinate von E t e = t e = t s cosϕ = t s = t s = t s oder endgültig für den Fall, dass sich S und E voneinander entfernen: t e = t s )) ) 33) 34) Ein Vergleich von Abb. 9 und Abb. 0 zeigt für die Annäherung von Sender und Empfänger t s = t e 35) und damit t e = t s 36) Die Zusammenfassung von 34) und 36) liefert Sender c t s E Empfänger x s ϕ c t e Abb.0 Annäherung von S und E x e ct e ct s t e = t s mit { β > 0 für Entfernung β < 0 für Annäherung 37) Dopplerformel)) Der Faktor k = 38) 7

8 heißt Dopplerfaktor. k > für Entfernung k < für Annäherung 39) Die Auflösung von 38) nach β ergibt β = k k + 40) Für die Frequenzen und Wellenlängen einer Welle, die sich mit geschwindigkeit ausbreitet elektromagnetische Welle oder Gravitationswelle) folgt aus der Dopplerformel mit f = t und λ = c f : f e = f s k = f s 4) und λ e = k λ s = λ s Entfernung: k > = f e < f s und λ e > λ s = Rotverschiebung Annäherung: k < = f e > f s und λ e < λ s = Blauverschiebung 4).6 Die Beschleunigung in der SRT Ein Inertialsystem S bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v parallel zur x Achse relativ zu einem Inertialsystem S. Relativ zu S bewegt sich ein Körper K mit der Geschwindigkeit u, auch parallel zu den x Achsen. a und a seien die x Komponeneten der Beschleunigung des Körpers K in S bzw. S. Aus 43) und 44) folgt a = du dt = du dt dt dt = d dt ) dt dt = d t v x c = dt ) u v uv dt c dt = a uv c uv = dt dt = dt dt ) dt dt c 43) = uv c 44) a )3 = a ) uv 3 45) c DasichSmit v relativzus bewegt,erhältmandieumkehrformelaus45)durchaustauschder gestrichenen mit den ungestrichenen Größen und Ersetzen von v durch v Relativitätsprinzip!): a = a )3 ) + u v 3 46) c Genauso hätte man auch die Umkehrformeln der Lorentztransformation und des Additionstheorems finden können, unsere direkte Herleitung ist aber eine weitere Bestätigung des Relativitätsprinzips. Für eine Bewegung mit konstantem a in S gilt u = u 0 +a t. Aus 45) folgt dann, dass a nicht konstant ist: a )3 = a ) u 3 47) 0+a t)v c 8

9 Ein Bezugssystem, in dem ein beschleunigter Körper K ruht, ist kein Inertialsystem. Zu jeder Zeit t gibt es aber ein Inertialsystem S, in dem die Geschwindigkeit u von K gleich Null ist, das sogenannte momentane Ruhsystem von K. Die Beschleunigung a von K im jeweiligen momentanen Ruhsystem nennt man die Eigenbeschleunigung von K. Eine Rakete mit konstanter Schubkraft zum Beispiel hat eine konstante Eigenbeschleunigung. Die Geschwindigkeit v des momentanen Ruhsystems S relativ zu einem Inertialsystem S ist gleich der Geschwindigkeit u von K relativ zu S. Mit u = 0 und v = u 48) folgt dann aus 46) u =u) )3 a = a ) + 0 v 3 = a )3 49) c Ein Körper K mit der Eigenbeschleunigung a und der Geschwindigkeit u relativ zu S hat in S die Beschleunigung )3 u a = a 50) c) Die Bewegungsgleichung für K bei bekanntem at) lautet wegen a = du dt )3 du u dt = at) c) 5) mit der Lösung du u c ) )3 = at) dt 5) Das Integral der linken Seite ist elementar berechenbar Beweis!): u = at)dt =: ft) 53) u c Auflösen nach u ergibt ut) = ft) + ft) c Für eine Rakete mit konstanter Eigenbeschleunigung a ist ft) = a t+c und die Lösung lautet 54) ut) = at+c + at+c) c 55) Die Integrationskonstante bestimmen wir für den Fall u0) = 0 aus u0) = a 0+C + a 0+C) c = C + C c = 0 56) zu C = 0, d.h. ut) = at + a t c 57) 9

10 Reise mit konstanter Eigenbeschleunigung. Einschub: Hyperbolische Funktionen. Kinematik sinhx = ex e x ) arcsinhx = lnx+ x +) 58) coshx = ex +e x ) arccoshx = lnx+ x ) 59) d sinhx = coshx dx d coshx = sinhx dx 60) cosh x = +sinh x 6) System S Erde), S ist das momentane Ruhsystem der Rakete. Geschwindigkeit der Rakete in S: v = βc Anfangsbedingungen: Start zur Zeit t = 0 mit v = 0 bei x = 0. Es wird eine konstante Eigenbeschleunigung g vorausgesetzt. Die Beschleunigung in S ist dannsiehe 50)) )3 a = v = c β = g )3 v = g 6) c) Lösung der Differentialgleichung 6): dβ ) 3 = g c dt = β = gt +C 63) c Mit β0) = 0 folgt C = 0 und damit βt) = gt g t +c 64) Lösen von 64) nach t liefert die Zeit zum Erreichen der Geschwindigkeit v = βc in S: Nützliche Beziehungen: In der Zeit t legt die Rakete den Weg xt) = t 0 t vt)dt = c tβ) = cβ g 65) g t c = β, + g t c = 66) 0 βt)dt = ) c g t +c c g ) = c g + g t c 67) zurück. Den Ort x erreicht die Rakete zur Zeit t Lösen von 67)): gxgx+c tx) = ) = ) x x+ c gc c g 68) Aus 64) und 68) folgt gxgx+c βx) = ) gxgx+c )+c 4 69) 0

11 Eigenzeit τ der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit t in S: Auflösen nach t: τt) = t Aus 66) und 70) folgt: 68) in 70): 0 t) dt = c ) gt g ln c + + g t c = c gt arcsinh g c tτ) = c ) e gτ c e gτ c = c g g sinh gτ c τβ) = c ln g τx) = c [ c g ln c +xg + ) ] g x +gc x = c g arccosh + gx ) c 70) 7) 7) 73) Auflösen nach x: xτ) = c g +cosh gτ c ) 74).3 Treibstoffmasse bei Photonenrakete Impuls der Rakete: p p = γmv mit γ = 75) Da m nicht konstant ist, ist ṁ 0: ṗ = ṁγv +mγv = ṁγv + m v ) 3 76) Nach 6) ist aber wegen a = v: Also: v ) 3 = g 77) ṗ = ṁγv +mg 78) Die Masse dm dm < 0) erzeugt den Photonenimpuls dm c) = cdm < 0, da nach links), aber im momentanen Ruhsystem der Rakete Entstehungsort der Photonen). Nach Dopplerformel ist ihre Frequenz im Erdsystem c v f E = f = f 79) c+v Damit ist der Impuls der Photonen im Erdsystem Impulssatz: Endgültig: c v dp E = cdm c+v 80) dp+dp E = 0 oder ṗ+ṗ E = 0 8) ṗ E = dp E c v = cṁ 8) dt c+v c v ṁγv +mg = cṁ c+v 83)

12 Umformen führt auf Aus 6) folgt C = lnm0) = lm 0 = ṁ = mg c 84) dm m = g c dt 85) dv dt = g ) 3 86) dm m = dv c ) = dβ 87) lnm = ln +C = ln +C 88) ln m m 0 = ln = m 0 m = = k 89).4 Treibstoffmasse bei Teilchenantrieb Einfachste Sichtweise im momentanen Ruhsystem Schwerpunktsystem) S der Rakete das Inertialsystem, in dem die Rakete momentan ruht, d.h v S S = vt)). Mit γ u = lautet der Energiesatz: u, β u = u c 90) γ u dm c + m+dm dv +m+dm)c = mc } {{} 0 woraus folgt S dm u dm v 0 = 0 m+dm p 0 = 0 dv m+dm γ u dm = dm 9) Damit wird der Impulssatz zu γ u dm u)+m+dm)dv = 0 9) dm u)+m+dm)dv = 0 93) udm+mdv +dmdv }{{} = 0 94) 0 = m dv dτ +udm dτ = 0 95) Die Eigenbeschleunigung der Rakete ist also wie im klassischen Fall a = g = u m dm dτ 96) dm m = g u dτ = ln m m 0 = g u τ 97)

13 Aus 7) folgt ln m = c ln m 0 u m 0 m = 98) ) c u c = k u 99).5 Näherungen Wegen c g = 4,58 05 m = 0,48LJ und gelten folgende Näherungen für x LJ bzw. t a: βt) = c g 3 07 s a 00) c + c g t 0) g t xt) ct 0) g βx) x g x +c 4 = c4 + c4 g x 03) g x γ = gt ) c gx c 04) k = γ 05) τx) c g.6 Ein Flug zu den Sternen gx x ln c = 0,97a ln 0,48 LJ 06) x Um am Ziel in der Entfernung x sicher zu landen, muss bei mit dem Bremsen begonnen werden. Die Eigenzeit für die ganze Reise ist dann x τ x) = τ ) c gx ln g c =,94a ln x 07) 0,97 LJ x β max = β ) c4 x ) g x, γ max = γ gx c, k max γ max = gx c 08) Um die Nutzlast m ans Ziel zu bringen, ist die Startmasse ) m 0 = m k c u gx )c u max m c 09) nötig u = c für die Photonenrakete). Mit chemischen Treibstoffen ist u = 6000 m s nicht zu überbieten. Sogar eine Reise zum Mond ist mit konstanter Beschleunigung damit nicht möglich, wie folgende Tabelle zeigt. Ziel x LJ τ a m 0 m u = c) m 0 m u = 6000 m s ) Mond km 3,5h,0004 7,7 0 8 α-centauri 4 3,46 6, Andromeda-Galaxie 0 6 8, 4,3 0, Rand des sichtbaren Universums ,6,3 0,4 0,