Friedhelm Padberg Didaktik der Arithmetik 2., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford
Inhaltsverzeichnis I Erarbeitung der ersten Zahlen 1 1 Die Zahlwortreihe Erwerb und Einsatz in der Vorschulzeit... 2 2 Vorkenntnisse von Schulanfängern 6 2.1 Aspekte des Zahlbegriffs 7 2.2 Zählzahlen / Kenntnis der Zahlwortreihe 10 2.3 Ziffernkenntnis 12 2.4 Kardinalzahlen 13 2.4.1 Umfang der Kenntnisse 13 2.4.2 Techniken bei der Anzahlbestimmung 15 2.4.3 Strategien bei der Anzahlbestimmung 16 2.4.4 Größenvergleich 17 2.5 Maßzahlen 18 2.5.1 Messen und Maßzahlrepräsentierung 18 2.5.2 Ordnen 19 2.5.3 Addition 20 2.5.4 Zusammenfassung 21 2.6 Wissen über den Gebrauch von Zahlen 21 3 Neue Mathematik ein typischer Einführungsweg 22 3.1 Skizze des Einführungsweges 23 3.2 Zur mathematischen und entwicklungspsychologischen Begründung dieses Weges 29 3.3 Kritische Anmerkungen 33
4 Der gegenwärtige Anfangsunterricht 36 4.1 Ursachen für die starken Veränderungen 37 4.2 Zum gegenwärtigen Anfangsunterricht 39 II Das dezimale Stellenwertsystem 51 1 Stellenwert Systeme 51 2 Ausbau des Zahlenraumes bis 100 58 3 Weiterer Ausbau des Zahlenraumes 68 III Nichtschriftliche Rechenverfahren 75 1 Addition 75 1.1 Vorkenntnisse von Schulanfängern 75 1.2 Additionsstrategien und häufige Fehler 76 1.3 Zur Behandlung des Kleinen 1 + 1 im Unterricht 79 1.4 Klassifikation von Additionssituationen 87 1.5 Bemerkungen zum Gebrauch des Gleichheitszeichens 88 1.6 Addition größerer" Zahlen 89 2 Subtraktion 94 2.1 Vorkenntnisse von Schulanfängern 94 2.2 Subtraktionsstrategien und häufige Fehler 95 2.3 Zur Behandlung des Kleinen 1 1 im Unterricht 101 2.4 Subtraktion größerer" Zahlen 106 3 Multiplikation 109 3.1 Zur Entwicklung des Verständnisses der Multiplikation.... 109 3.2 Grundmodelle zur Einführung der Multiplikation 111 3.2.1 Mengenvereinigung 111
3.2.2 Kartesisches Produkt 114 3.2.3 Operatoren 117 3.3 Zur Schreibweise von Produkten 118 3.4 Rechengesetze 119 3.4.1 Kommutativgesetz 120 3.4.2 Distributivgesetz 121 3.4.3 Assoziativgesetz 122 3.5 Zur Erarbeitung des Einmaleins 122 3.5.1 Zur globalen Abfolge der Einmaleinsreihen 124 3.5.2 Zum Erwerb der Einmaleinskenntnisse 125 3.5.3 Schwierige" Aufgaben und typische Schülerfehler beim Kleinen Einmaleins 129 3.6 Zur Multiplikation größerer Zahlen 131 3.6.1 Multiplikation von reinen Zehnerzahlen 132 3.6.2 Multiplikation von gemischten Zehnerzahlen 132 3.6.3 Multiplikation von gemischten Hunderterzahlen... 133 4 Division 133 4.1 Aufteilen 134 4.2 Verteilen 135 4.3 Vom Aufteilen und Verteilen zur Division 137 4.4 Weitere Modelle zur Einführung bzw. zur Behandlung der Division 138 4.4.1 Operatoren 139 4.4.2 Umkehroperation 139 4.4.3 Wiederholte Subtraktion / Rückwärtszählen 139
4.5 Zum Erwerb der Grundaufgaben der Division 141 4.6 Null als Dividend oder Divisor 142 4.7 Das Distributivgesetz / Division größerer Zahlen 143 4.8 Typische Schülerfehler 145 4.9 Division mit Rest 146 4.9.1 Restschreibweise 147 4.9.2 Zerlegungsschreibweise 148 4.9.3 Divisionsschreibweise 149 4.9.4 Abschließende Bemerkungen 150 IV Schriftliche Rechenverfahren 153 1 Sind schriftliche Rechenverfahren im Computerzeitalter überflüssig? 154 2 Normalverfahren 155 2.1 Zum Begriff 155 2.2 Vorteile 156 2.3 Nachteile und Gegenmaßnahmen 157 3 Addition 158 3.1 Das Normalverfahren 158 3.2 Addition in nichtdezimalen Stellenwertsystemen 159 3.3 Stufenfolge 161 3.4 Aufgaben zur Festigung des Additionskalküls 163 3.5 Typische Schülerfehler, mögliche Ursachen und Gegenmaßnahmen 165 4 Subtraktion 167 4.1 Überblick über verschiedene Subtraktionsverfahren / Typisierung 167
4.1.1 Das Abzieh-und das Ergänzungsverfahren 167 4.1.2 Verschiedene Übertragstechniken 169 4.1.2.1 Die Borgetechnik 170 4.1.2.2 Die Erweiterungstechnik 172 4.1.2.3 Die Auffülltechnik 174 4.1.3 Typisierung 176 4.2 Das Normalverfahren 176 4.3 Subtraktionsverfahren im Ausland 181 4.4 Subtraktion in nichtdezimalen Stellenwertsystemen 182 4.5 Methodische Stufenfolge I (Erweiterungstechnik) 183 4.5.1 Subtraktion ohne Übertrag 183 4.5.2 Das Gesetz von der Konstanz der Differenz 184 4.5.3 Subtraktion mit einem Übertrag 184 4.5.4 Weiterführende Aufgaben 187 4.5.5 Probe / Vertiefung 187 4.6 Methodische Stufenfolge II (Auffülltechnik) 188 4.6.1 Subtraktion ohne Übertrag 188 4.6.2 Auffüllen zum vollen Zehner 188 4.6.3 Subtraktion mit Übertrag 190 4.7 Vergleich verschiedener Subtraktionsverfahren 190 4.8 Typische Schülerfehler, mögliche Ursachen und Gegenmaßnahmen 194 4.8.1 Schwierigkeitsdimensionen / Diagnostischer Test... 195 4.8.2 Die wichtigsten systematischen Fehler 196 4.8.3 Fehlergruppen und Fehlerhäufigkeiten 197
4.8.4 Auswirkungen ausgewählter Faktoren auf die Rechenleistungen 199 4.8.4.1 Notation der Überträge 199 4.8.4.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme 199 4.8.5 Abschließende Bemerkungen 200 4.9 Computer-Subtraktion 202 5 Multiplikation 203 5.1 Das Normalverfahren 203 5.2 Methodische Stufenfolge 204 5.2.1 Multiplikation mit einstelligem Multiplikator 205 5.2.2 Multiplikation mit Vielfachen von 10 209 5.2.3 Multiplikation mit gemischten zwei- und mehrstelligen Multiplikatoren 211 5.2.4 Problembereiche 212 5.2.5 Überschlags- und Proberechnung 213 5.2.6 Aufgaben zur Festigung des Multiplikationskalküls.. 215 5.3 Multiplikationsverfahren im Ausland 216 5.4 Typische Schülerfehler, mögliche Ursachen und Gegenmaßnahmen 217 5.4.1 Schwierigkeitsdimensionen / Diagnostischer Test... 218 5.4.2 Die wichtigsten systematischen Fehler 218 5.4.3 Die häufigsten Fehler und mögliche Ursachen 220 5.4.4 Auswirkungen ausgewählter Faktoren auf die Rechenleistung 222 5.4.4.1 Behalteziffern 222 5.4.4.2 Endnullen 222
5.4.4.3 Nullzeilen 223 5.4.5 Schlußfolgerungen 223 5.5 Alternative - leichtere" - Multiplikationsverfahren 224 5.5.1 Das Verdoppelungs- / Halbierungsverfahren 224 5.5.2 Das Verdoppelungsverfahren 226 5.5.3 Die Neperschen Streifen/Die Gittermethode 227 5.5.4 Abschließende Bemerkungen 229 6 Division 230 6.1 Bemerkungen zum Normalverfahren 230 6.2 Zur Komplexität des Normalverfahrens 231 6.3 Methodische Stufenfolge 233 6.3.1 Division durch einen einstelligen Divisor 234 6.3.2 Division durch ein Vielfaches von 10 ( reine Zehnerzahl") 238 6.3.3 Division durch gemischte Zehnerzahlen 239 6.3.4 Problembereiche 240 6.3.5 Überschlags- und Proberechnung 242 6.4 Divisionsverfahren im Ausland 246 6.5 Typische Schülerfehler, mögliche Ursachen und Gegenmaßnahmen 247 6.5.1 Schwierigkeitsdimensionen / Diagnostischer Test... 247 6.5.2 Die wichtigsten systematischen Fehler 251 6.5.3 Die häufigsten Fehler und mögliche Ursachen 253 6.5.4 Schlußfolgerungen 254 6.6 Alternative - leichtere" - Divisionsverfahren 256
6.6.1 Das Subtraktionsverfahren 256 6.6.2 Das Verfahren zunehmender Schematisierung (Wiskobas) 257 6.6.3 Das Verdoppelungsverfahren 260 6.6.4 Die Neperschen Streifen 261 6.6.5 Das schwedische Divisionsverfahren 262 V Üben im Arithmetikunterricht 263 1 Übungsformen 263 1.1 Automatisierendes Üben 264 1.2 Operatives Üben 265 2 Übungsgrundsätze 266 3 Beispiele zum automatisierenden Üben 268 3.1 Spiele im Spielkreis 269 3.2 Wegespiele 269 3.3 Kartenspiele 271 3.4 Dominospiele 274 3.5 Würfelspiele 276 3.6 Puzzle 276 3.7 Bilder aus Punkten 278 3.8 Ausmalen 280 3.9 Geheimschrift 282 3.10 Kreuzzahlrätsel 284 4 Beispiele zum operativen Üben 284 4.1 Rechenpyramide 285 4.2 Zahlenfeld 287
4.3 Rechenspinne / Zauberquadrate 287 4.4 Hasenjagd 290 4.5 Kreiseltreiben 291 4.6 Zaunkönig 291 4.7 Zahlenfussball 292 4.8 Gleichungen raten 293 4.9 Kommissar Rechenfix 294 4.10 Sprengen der Bank 295 VI Taschenrechner und Computer im Arithmetikunterricht? 297 1 Taschenrechner 297 1.1 Einsatz im Arithmetikunterricht? 297 1.2 Kopfrechnen 299 1.3 Überschlagsrechnung/Schätzen 301 1.4 Resümee 303 2 Computer 304 2.1 Bewertungskriterien von Unterrichtssoftware 305 2.2 Ergebnisse 306 2.3 Resümee 307 Anhang 311 Diagnostische Tests 311 Verzeichnis der im Text genannten Literatur 315 Index 331