Es gibt Systeme mit planmäßig großen Verformungen. Berechnungen nach Theorie II. Ordnung liefern dann keine Ergebnisse. Wie können diese berechnet werden? Formaktive Systeme Beispiel eines seilverspannten Hallendaches: Tragseil (oben) und Abspannseil (unten) in verschiedenen Ebenen. [53]
Formaktives System Herzog und Partner, Hannover Messe, Halle 26 Preis des Deutschen Stahlbaus `98 Bauen mit Stahl [14]
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Stabilisierung der Stützlinie Aussteifung durch hohes Eigengewicht: Störlasten aus Wind oder Schnee wirken sich dadurch geringer aus. [14]
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u Variation der Theorie II. Ordnung (sog. Theorie III. Ordnung) nach Newton-Raphson F F u z. B. 10 mal F/10 Erweiterung gegenüber der nichtlinearen Berechnung nach Timoshenko: die Belastungen werden in Form von Inkrementen (=Zuwächsen) aufgebracht z. B. 10 mal F/10 Theorie II. Ordnung Theorie III. Ordnung
Zweck der Theorie III. Ordnung: Im Rahmen einer Iteration zum Berechnungsausstieg führende große Verformungen werden durch kleine Inkremente (Zuwächse) ersetzt. Herzog und Partner, Hannover Messe, Halle 26 Preis des Deutschen Stahlbaus `98 Bauen mit Stahl [14]
Variation der Theorie II. Ordnung (sog. Theorie III. Ordnung) nach Newton-Raphson Nach jeder Addition eines Inkrementes wird die Berechnung nach Theorie II. Ordnung komplett durchgeführt: 1. Inkrement: [M ; M ; M ; M ; M 1.1 1 1 1 2. 1. =. x. Inkrement:. [M ; M ; M ; M. ; M 1.X X X X 2. ]. =. letztes Inkrement:. [M ; M ; M ; M.; M 1.X X X X 2 ]. =. M2: Moment als Ergebnis der. nichtlinearen Berechnung. ] X u 10 mal F/10 Geometrische Reihe durch iterative Berechnung 10 mal F/10
Variation der Theorie II. Ordnung (sog. Theorie III. Ordnung) nach Newton-Raphson Nach jeder Addition eines Inkrementes wird die Berechnung nach Theorie II. Ordnung komplett durchgeführt: 10 mal F/10 10 mal F/10 Die Anzahl der Inkremente wird so gewählt, dass die Verformungszuwächse jeweils klein sind. Das System ist dann berechenbar. u Die Gesamtverformung kann dann groß sein: formaktive Systeme (Seiltragwerke u. Ä.)
Beispiel: biegeweicher Querschnitt mit horizontal beidseitig unverschieblicher Lagerung Der Seiltänzer (oder Stahlrundstabtänzer) q=1kn/m Heftig stößt die Bö. Schneidend zuckt ein Weh. Beifall lenkt ihn ab. Neid zieht ihn herab. 5m d=20mm S 235 Angst durchfährt ihn kalt. Trotz sucht falschen Halt. Doch sooft er glitt, rettet ihn ein Schritt. Stets, mit Haut und Haar, schwebt er in Gefahr. Dass er noch nicht fiel, macht: Er blickt aufs Ziel. Peter Gerloff [52]
Verformung zu aus linearer Berechnung uz=5040mm Ergebnis unbrauchbar falsch, da nur die Biegetragfähigkeit berücksichtigt wurde. Zum Vergleich: Verformung eines Einfeldträgers unter Gleichstreckenlast 4 5 q l u z = sehr kleines I sehr großes u 384 E I Die lineare Verformungsberechnung berücksichtigt nicht die erforderliche Längenänderung des Stabes der Stab kann sich so nicht längen, er würde vorher reißen.
Verformung zu aus nichtlinearer Berechnung (Theorie II. Ordnung) uz=5544mm Ergebnis ebenfalls falsch, da die geringe Biegetragfähigkeit in der ersten Berechnung bereits zu großen rechnerischen Verformungen führte: 4 5 q l u z = sehr kleines I, sehr großes u 384 E I Die lineare Verformungsberechnung L berücksichtigt nicht die Längenänderung des Stabes. Der Stab kann sich so nicht längen.
Theorie II. Ordnung nach Newton/Raphson (sog Th. III. Ordnung) TK 4 Nichtlineare Berechnungen Prof. Dr.-Ing. Michael Maas
Verformung zu aus nichtlinearer Berechnung (Theorie III. Ordnung) uz=5040mm uz=81mm Zugkräfte (Membrantragwirkung) Ergebnis realistisch! Die Zugkräfte des Seiles, also die Membrantragwirkung wird bereits nach kleiner Verformung aktiviert. Aus dem Biegeträger wird ein Seiltragwerk.