Mathematische Grundlagen für die Informatik

Mathematische Grundlagen für die Informatik

Kurt-Ulrich Witt Mathematische Grundlagen für die Informatik Mengen, Logik, Rekursion

Prof. Dr. Kurt-Ulrich Witt Hochschule Bonn-Rhein-Sieg St. Augustin, Deutschland kurt-ulrich.witt@h-brs.de ISBN 978-3-658-03078-0 DOI 10.1007/978-3-658-03079-7 ISBN 978-3-658-03079-7 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Barbara Gerlach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-vieweg.de

Vorwort v Vorwort Viele Studierende in Informatik-Studiengängen sind insbesondere am Anfang ihres Studiums überrascht über den Umfang und die Intensität der mathematischen Inhalte, mit denen sie sich auseinandersetzen müssen. Vorhandene Vorkenntnisse aus Schulen oder Berufsausbildungen helfen nicht unbedingt, da mathematische Begriffe, Methoden und Verfahren im Studium anders präsentiert und an die Studierenden andere Anforderungen für den Umgang damit gestellt werden. So werden z.b. in der Schule und in der Ausbildung die aussagenlogischen Verknüpfungen mithilfe von Wahrheitstafeln eingeführt und berechnet. In diesem Buch wird die Aussagenlogik nicht mehr oder weniger informell mit Wahrheitstafeln, sondern als formale Sprache eingeführt. Formale Sprachen wie Spezifikations-, Programmier-, Datenbank- und Formatierungssprachen sind von wesentlicher Bedeutung für die Informatik. Informatikerinnen und Informatiker müssen nicht nur solche Sprachen kennen und anwenden können, sondern sie müssen solche Sprachen auch selber entwerfen und implementieren können. Deshalb werden in diesem Buch schon direkt zu Beginn anhand der Sprache der Aussagenlogik die für die Definition formaler Sprachen wesentliche Begriffe wie Alphabet, Syntax und Semantik mathematisch präzise definiert und dabei Rekursion als Beschreibungsmethode verwendet. Dieses Prinzip wird in diesem Buch grundsätzlich verfolgt. Zum einen werden schrittweise elementare Begriffe aus der Logik und der Mengenlehre, zu Relationen und Funktionen, zu Rechenstrukturen und zur Berechenbarkeit formal eingeführt und analysiert. Zum anderen werden für die Informatik bedeutende Problembeschreibungs- und Problemlösemethoden wie formale Notationen, Abstraktion, Schlussfolgerungsmechanismen, Induktion und Rekursion erläutert und angewendet. Die erwähnten Begriffe und Methoden bilden eine wesentliche Basis für das weitere Studium. Sowohl in Mathematik-Kursen, wie z.b. Analysis, Stochastik und Statistik, Algebra und Zahlentheorie, als auch in Kursen zu allen Bereichen der Informatik, wie z.b. Automatentheorie, Formale Sprachen, Berechenbarkeit, Datenstrukturen und Algorithmen, Programmierung, Datenbanksysteme, Betriebssysteme und Rechnernetze, werden diese Begriffe und Methoden benötigt und weiterentwickelt. Das Buch richtet sich somit an Erstsemester-Studierende in Informatik- und Mathematik-Studiengängen. Es ist als Begleitlektüre zu entsprechenden Lehrveranstaltungen an Hochschulen aller Art und insbesondere zum Selbststudium geeignet. Jedes Kapitel beginnt mit einer seinen Inhalt motivierenden Einleitung und der Auflistung von Lernzielen, die durch das Studium des Kapitels erreicht werden sollen. Zusammenfassungen am Ende von Abschnitten oder am Ende von Kapiteln bieten Gelegenheit, den Stoff zu reflektieren. Die meisten Beweise sind vergleichsweise ausführlich und mit Querverweisen versehen, die die Zusammenhänge aufzeigen. Eingestreut sind viele Beispiele und über sechzig Aufgaben, deren Bearbeitung zur Festigung des Wissens und zum Üben der dar-

vi Vorwort gestellten Methoden und Verfahren dienen. Zu fast allen Aufgaben sind am Ende des Buches oder im Text Musterlösungen aufgeführt. Die Aufgaben und Lösungen sind als integraler Bestandteil des Buches konzipiert. Wichtige Begriffe sind als Marginalien aufgeführt; der Platz zwischen den Marginalien bietet Raum für eigene Notizen. Das Schreiben und das Publizieren eines solchen Buches ist nicht möglich ohne die Hilfe und ohne die Unterstützung von vielen Personen, von denen ich an dieser Stelle allerdings nur einige nennen kann: Als Erstes erwähne ich die Autoren der Publikationen, die ich im Literaturverzeichnis aufgeführt habe. Alle dort aufgeführten Werke habe ich für den einen oder anderen Aspekt verwendet. Ich kann sie allesamt für weitere ergänzende Studien empfehlen. Zu Dank verpflichtet bin ich auch vielen Studierenden, deren kritische Anmerkungen in meinen Lehrveranstaltungen zu Themen dieses Buches ich beim Schreiben berücksichtigt habe. Trotz dieser Hilfen wird das Buch Fehler und Unzulänglichkeiten enthalten. Diese verantworte ich allein für Hinweise zu deren Beseitigung bin ich dankbar. Die Publikation eines Buches ist nicht möglich ohne einen Verlag, der es herausgibt. Ich danke dem Springer-Verlag für die Bereitschaft zur Publikation und insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch für ihre Ermunterung zur und ihre Unterstützung bei der Publikation des Buches. Mein größter Dank gilt allerdings meiner Familie für den Freiraum, den sie mir für das Schreiben dieses Buches gegeben hat. Bedburg, im Juli 2013 K.-U. Witt

Inhaltsverzeichnis vii Inhaltsverzeichnis Vorwort v 1 Mengen und Logik 1 1.1 Definition und Darstellung von Mengen... 2 1.1.1 Ein Mengenbegriff... 3 1.1.2 Darstellung von Mengen... 5 1.1.3 Bezeichner für Zahlenmengen... 8 1.1.4 Russellsche Antinomie... 9 1.1.5 Zusammenfassung... 11 1.2 Aussagenlogik... 11 1.2.1 Alphabet der Aussagenlogik... 12 1.2.2 Syntax aussagenlogischer Formeln... 13 1.2.3 Semantik aussagenlogischer Formeln... 14 1.2.4 Zusammenfassung... 21 1.3 Logische Folgerungen und Implikationen... 22 1.3.1 Logische Folgerung... 22 1.3.2 Implikation... 25 1.3.3 Kalküle... 26 1.3.4 Theorien... 28 1.3.5 Zusammenfassung... 29 1.4 Äquivalenzen, Basen und Normalformen... 30 1.4.1 Aussagenlogische Äquivalenzen... 30 1.4.2 Aussagenlogische Basen... 34 1.4.3 Disjunktive und konjunktive Normalform... 37 1.4.4 Zusammenfassung... 43 1.5 Resolutionskalkül... 44 1.5.1 Klauselmengen... 44 1.5.2 Der Resolutionsoperator... 46 1.5.3 Das Resolutionsverfahren... 51 1.5.4 Zusammenfassung... 53 1.6 Hornlogik... 54 1.6.1 Hornformeln und Hornklauseln... 55 1.6.2 Erfüllbarkeit von Hornformeln... 56 1.6.3 Kleinste Modelle... 58 1.6.4 Zusammenfassung... 59 1.7 Prädikatenlogik... 59 1.7.1 Alphabet der Prädikatenlogik... 60 1.7.2 Syntax prädikatenlogischer Formeln... 60 1.7.3 Semantik prädikatenlogischer Formeln... 62 1.7.4 Weitere Logiken... 65 1.7.5 Zusammenfassung... 66 1.8 Beweismethoden... 66 1.8.1 Direkter Beweis... 67

viii Vorwort 1.8.2 Indirekter Beweis... 68 1.8.3 Beweis durch Widerspruch... 69 1.8.4 Ringschluss... 70 1.8.5 Zusammenfassung... 71 1.9 Operationen auf Mengen... 71 1.9.1 Teilmengen... 72 1.9.2 Potenzmengen... 74 1.9.3 Verknüpfung von Mengen... 75 1.9.4 Elementare Eigenschaften... 76 1.9.5 Zusammenfassung... 80 1.10 Boolesche Algebra... 80 1.10.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften... 80 1.10.2 Isomorphie Boolescher Algebren... 83 1.10.3 Zusammenfassung... 85 2 Relationen und Funktionen 87 2.1 Relationen... 88 2.1.1 Kartesisches Produkt... 89 2.1.2 Relationen: Definitionen und Eigenschaften... 90 2.1.3 Ordnungen... 94 2.1.4 Äquivalenzrelationen... 97 2.1.5 Umkehrrelationen... 101 2.1.6 Komposition von Relationen... 101 2.1.7 Reflexiv-transitive Hüllen... 103 2.1.8 Zusammenfassung... 104 2.2 Funktionen... 105 2.2.1 Begriffe und Eigenschaften... 105 2.2.2 Operationen und Prädikate... 108 2.2.3 Zusammenfassung... 109 2.3 Mächtigkeit von Mengen... 110 2.3.1 Definitionen und Beispiele... 110 2.3.2 Zusammenfassung... 116 3 Zahlenmengen 117 3.1 Die Menge der natürlichen Zahlen... 117 3.1.1 Einführung der Menge der natürlichen Zahlen... 117 3.1.2 Rechnen mit natürlichen Zahlen... 120 3.1.3 Rechenregeln in N 0... 121 3.1.4 Zusammenfassung... 123 3.2 Vollständige Induktion und verallgemeinertes Rekursionsschema... 124 3.2.1 Vollständige Induktion... 124 3.2.2 Verallgemeinertes Rekursionsschema... 128 3.2.3 Zusammenfassung... 130 3.3 Fibonacci-Zahlen... 131

Inhaltsverzeichnis ix 3.4 Ackermannfunktion... 134 3.5 Abzählbarkeit von Mengen... 137 3.5.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften... 138 3.5.2 Beispiele und Diagonalisierung... 138 3.5.3 Abschlusseigenschaften abzählbarer Mengen... 139 3.5.4 Zusammenfassung... 141 3.6 Die Menge der ganzen Zahlen... 141 3.6.1 Konstruktion der ganzen Zahlen... 141 3.6.2 Rechenregeln in Z... 144 3.6.3 Zusammenfassung... 145 3.7 Die Menge der rationalen Zahlen... 145 3.7.1 Konstruktion der rationalen Zahlen... 146 3.7.2 Rechenregeln in Q... 148 3.7.3 Zusammenfassung... 148 3.8 Rechenstrukturen... 149 3.8.1 Gruppen, Ringe, Körper... 149 3.8.2 Köpererweiterungen... 152 3.8.3 Zusammenfassung... 156 3.9 Die Mengen der reellen und der komplexen Zahlen... 156 3.9.1 Reelle Zahlen... 156 3.9.2 Komplexe Zahlen... 158 3.9.3 Algebraische und transzendente Zahlen... 163 3.9.4 Zusammenfassung... 164 4 Berechenbarkeit 165 4.1 Primitiv-rekursive Funktionen... 166 4.2 μ-rekursion... 172 4.3 Churchsche These... 177 4.4 utm- und smn-theorem... 179 4.4.1 Nummerierung der berechenbaren Funktionen... 180 4.4.2 Das utm-theorem... 185 4.4.3 Das smn-theorem... 186 4.4.4 Rekursionssatz und Selbstreproduktionssatz... 187 4.5 Aufzählbare und entscheidbare Mengen... 188 4.5.1 Entscheidbare und semi-entscheidbare Mengen... 189 4.5.2 Aufzählbare Mengen... 190 4.5.3 Reduzierbarkeit von Mengen... 192 4.6 Unentscheidbare Mengen... 193 4.6.1 Das Halteproblem... 193 4.6.2 Der Satz von Rice... 196 4.6.3 Das Korrektheitsproblem... 197 4.6.4 Das Äquivalenzproblem... 197 4.7 Zusammenfassung... 198

x Lösungen zu den Aufgaben 201 Literatur 215 Stichwortverzeichnis 217