H.V\I. Schüßler Digitale Systeme zur Signalverarbeitung Mit Beiträgen von D. Achilles, O. Herrmann, W. Winkelnkernper Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1973
o. Professor Dr.-Ing. HANS-WILHELM SCHOßLER Univ.-Doz. Dr.-Ing. DIETMAR ACHILLES Priv.-Doz. Dr.-Ing. OTTO HERRMANN Or.-Ing. WOLFGANG WINKELNKEMPER Institut für Nachrichtentechnik der Universität Erlangen-Nürnberg Mit 153 Abbildungen ISBN 978-3-662-06746-8 DOI 10.1007/978-3-662-06745-1 ISBN 978-3-662-06745-1 (ebook) Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der übersetzung. des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen. der Funksendung. der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfaltigungen für gewerbliche Zwecke ist gemäß 54 UrhG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen. deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. (j"o) by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1973 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin. Heidelberg. New York 1973 Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1973 Library of Congress Catalog Card Number 72-97199 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buche berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daf5 solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Vorwort Die Theorie kontinuierlicher Systeme, die sowohl in der Analyse als auch in der Synthese von Netzwerken mit vorgeschriebenen Eigenschaften so außerordentlich wertvolle Ergebnisse brachte, hat eine gewisse Konsolidierung erreicht. Neben ihr hat sich in den letzten Jahren eine Theorie von diskreten Systemen entwickelt, die wegen der digitalen Realisierungsmöglichkeiten schnell Interesse fand. Ihre Ausarbeitung wurde sehr dadurch begünstigt, daß Fragestellungen und zum Teil auch Verfahren bei zweckmäßiger Abwandlung aus der Theorie kontinuierlicher Systeme übernommen werden konnten. Das gilt vor allem für den Bereich, in dem ein lineares Modellsystem den Betrachtungen zugrunde gelegt wird. Es gilt im allgemeinen nicht mehr, wenn die mit der digitalen Realisierung zusammenhängenden Probleme behandelt werden müssen. Die für diskrete Systeme gewonnenen Ergebnisse finden sich in einer sehr schnell wachsenden Zahl von verstreuten Publikationen. Mit dem vorliegenden Buch wird eine zusammenfassende Darstellung für die sogenannten eindimensionalen Systeme angestrebt. Dabei wird das Ziel verfolgt, neben der schon weit entwickelten Analyse auch den Entwurf solcher Systeme mit vorgeschriebenen Eigenschaften bis zum praktischen Aufbau zu behandeln. Es wird zunächst ein durch lineare Differenzengleichungen beschriebenes Modellsystem eingeführt, das dem realen System nur approximativ entspricht. Nach einer Beschreibung der allgemeinen Eigenschaften wird das System im Zustandsraum behandelt. Mit Hilfe der Z-Transformation wird die Ubertragungsfunktion zu seiner Kennzeichnung eingeführt und damit eine Darstellung im Frequenzbereich gegeben. Von den behandelten speziellen Systemen seien die mit streng linearer Phase besonders erwähnt. Abschnitte über Frequenztransformationen und über mögliche Strukturen schließen sich an. Ein weiterer Abschnitt ist dem Entwurf von Systemen gewidmet, die Vorschriften im Frequenzbereich genügen. Dabei bestehen bei rekursiven Systemen enge Beziehungen zur Synthese kontinuierlicher Filter. Neue Verfahren waren für nicht-
VI Vorwort rekursive Systeme zu entwickeln. Unter Berücksichtigung neuer Arbeiten werden der derzeitige Stand der Theorie dargestellt und Hilfsmittel für den praktischen Entwurf angegeben. Die diskrete Fouriertransformation hat seit der Einführung schneller Algorithmen zu ihrer numerischen Durchführung ein außerordentlich rasch wachsendes Interesse gefunden. Der diesem Verfahren gewidmete Abschnitt behandelt zunächst die Eigenschaften der Transformation, leitet die Methode zu ihrer schnellen Durchführung her und beschreibt die Anwendung sowohl für die Spektralanalyse als auch für die Realisierung nichtrekursiver und rekursiver Systeme durch schnelle Faltung. Während bis hierher der Darstellung stets ein lineares Modellsystem zugrunde lag, werden im 5. und 6. Abschnitt die sich aus der digitalen Realisierung ergebenden Probleme behandelt. Die notwendig begrenzte Wortlänge der Parameter und der Zustandsvariablen führt unter Umständen zu erheblichen Abweichungen vorn Verhalten des Modells. Diese Fehler können zwar durch Vergrößerung der Wortlänge beliebig klein gemacht werden, jedoch interessieren Verfahren, mit denen im Einzelfall eine Lösung minimalen Aufwandes gefunden werden kann. Dabei sind dann allerdings weitere Gesichtspunkte zu berücksichtigen, die sehr stark durch den praktischen Aufbau bestimmt sind. Es erschien daher wesentlich, in einem abschließenden Abschnitt auf diese Probleme einzugehen. Dabei werden insbesondere Fragen der Codiürung, der Rechenwerke und Speicher sowie die Multiplextechnik behandelt. Die Darstellung beruht auf praktischen Erfahrungen, die beim Bau von variablen digitalen Filtern gesammelt werden konnten. Wir danken den Mitarbeitern des Instituts für Nachrichtentechnik der Universität Erlangen-Nürnberg, die in vielen Diskussionen, bei der Durchrechnung von Beispielen, bei praktischen Versuchen und durch ihre Hilfe bei m Lesen der Korrektur am Entstehen des Buches Anteil genommen haben. Die Deutsche Forschungsgemeinschaft hat die Arbeiten an digitalen Systemen in dankenswerter Weise unterstützt. Unser besonderer Dank gilt Frau R. Frizlen, Frau U. Gorille und Frau E. Felske für die sorgfältige Reinschrift des Manuskriptes und die Anfertigung der zahlreichen Zeichnungen. Weiterhin danken wir dem Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit. Februar 1973 Die Verfasser
Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2. Diskrete lineare Systeme. 2.1. System eigenschaften 2.2. Struktur und Systemgleichung 2.3. Die Lösung der Systemgleichung. 2.4. Die Z-Transformation... 2.4.1. Definition und Eigenschaften 2.4.2. Rücktransformation... 2.4.3. Zweiseitige Z-Transformation. 2.5. Behandlung von Differenzengleichungen 2.5.1. Differenzengleichung zweiter Ordnung 2.5.2. Behandlung des allgemeinen Falles 7 7 12 16 19 19 24 27 29 29 31 2.6. Eigenschaften der Ubertragungsfunktion. 2.6. 1. Allgemeines..... 2.6.2. Kausalität und Stabilität 2. 6. 3. Frequenzgang...... 33 33 35 39 2.6.4. Beziehungen zwischen den Komponenten des Frequenzganges... 45 2.6.5. Spezielle Systeme. 49 2.6.5.1. Allpässe 49 2.6.5.2. Minimalphasige Systeme. 52 2.6.5.3. Nichtrekursive Systeme 53 2.6.5.4. Systeme linearer Phase 55 2.6.6. Frequenztransformationen... 58 2.7. Strukturen diskreter linearer Systeme 61 2.7.1. Einführung......... 61 2.7.2. Kanonische Strukturen. 62 2.7.3. Nichtkanonische Strukturen. 69 2.8. Literatur................. 73
VIII Inhal tsverzeichnis 3. Entwurf diskreter Systeme 3.1. Allgemeines... 75 3.2. Entwurf von Systemen bei Vorschriften im Zeitbereich 82 3.2.1. Systeme mit vorgeschriebener Impulsantwort 82 3.2.2. Spezielle Systeme mit vorgeschriebenem ZeitverhaI ten 84 3.3. Entwurf nichtrekursiver diskreter Systeme mit linearer Phase bei Vorschriften im Frequenzbereich von Otto Herrmann 92 3.3.1. Aufgabenstellung............. 92 3.3.2. Frequenztransformationen für nichtrekursive Systeme 97 3.:3. :3. Einige Beziehungen zwischen Polynomen und trigonometrischen Summen... 99 3.3.4. Fourier-Approximation...... 102 3.3.5. Modifizierte Fourier-Approximation 105 3.3.6. Frequenzabtastverfahren.... 109 3.3.7. A pproxi mation auf PotenzverhaI ten 110 3. 3.8. Tschebyscheff -A pproxi mation 114 3.3.9. Abschließende Bemerkungen 127 3.3.9.1. Vergleich verschiedener Entwurfsmethoden für nichtrekursive Filter.... 127 3.3.9.2. Vergleich mit rekursiven Systemen... 129 3.4. Entwurf rekursiver Systeme bei Vorschriften im Frequenzbereich 132 3.4.1. Einleitung............ 132 3.4.2. Entwurf digitaler Filter mit Hilfe einer Transformation kontinuierlicher Systeme.......... 133 3.4.2.1. Die bilineare Transformation. 133 3.4.2.2. Wahl des Abtastintervalls T.. 136 3.4.2.3. Allgemeines zum Entwurf kontinuierlicher Systeme................. 137 3.4.2.4. Standardlösungen für den Entwurf normierter Tiefpässe... 141 3.4.2.5. Entwurfsablauf..... 151 3.4.3. Entwurf digitaler Filter im z-bereich 154 3.4.3.1. Allgemeines... 154 3. 4. 3.2. Allpaßtransformation 156 3.4.3.3. Entwurf eines Tiefpasses mit Potenzverhalten. 159 3.4.3.4. Abschließende Bemerkungen 160 75 3.5. Literatur... 161 4. Die diskrete Fourier-Transformation und ihre Anwendungen von Dietmar Achilles.... 4.1. Einleitung und Ubersicht...... 4.2. Die diskrete Fourier-Transformation 165 165 167
Inhaltsverzeichnis IX 4.2.1. Definition... 167 4.2.2. Abbildungsgesetze. 170 4.2.3. Trigonometrische Interpolation 178 4.2.4. Beziehungen zur Fourier-Transformation stetiger Funktionen..................... 180 4.2.5. Uberlagerungssatz und Abtasttheorem...... 188 4.3. Numerische Ausführung der diskreten Fourier-Transformation 192 4.3.1. Kurzer Uberblick............... 192 4.3.2. Prinzip der schnellen Fourier-Transformation. 194 4.3.3. Anwendung des Uberlagerungssatzes. 199 4.4. Schnelle Faltung...... 4.4.1. Prinzipielle Wirkungsweise 4.4.2. Segmentierung bei nichtrekursiven Systemen. 207 4.4.3. Segmentierung bei rekursiven Systemen. 217 4.5. Literatur.................... 222 203 203 5. Verhalten realer digitaler Systeme.. 226 5.1. Einführung........... 226 5.2. Begrenzte Wortlänge der Koeffizienten 228 5.2.1. Problemstellung.......... 228 5.2.2. Auswahl einer günstigen Struktur.. 232 5.2.3. Ermittlung der erforderlichen Wortlänge bei Rundung der Koeffizienten............. 233 5.2.4. Optimierung mit diskreten Parametern.......... 237 5.3. Stabilitätsprobleme bei begrenzter Wortlänge der Zustandsvariablen................. 241 5.3.1. Problemstellung und Stabilitätsdefinition..... 241 5.3.2. Stabilitätsprobleme in Folge einer Ubersteuerung... 245 5.3.3. Stabilitätsprobleme durch Rundung oder Abschneiden. 251 5.4. Rauschartige Fehler....................... 263 5.4.1. Analyse... 263 5.4.2. Entwurf eines digitalen Systems mit günstigem Signal- Störverhältnis............ 271 5.5. Verlauf des Entwurfs eines digitalen Systems.... 276 5.6. Literatur........................ 277 6. Realisierung digitaler Filter von Wolfgang Winkelnkemper. 6.1. Einleitung... 6.2. Zur Auswahl der ZahlendarsteIlung und der Arithmetik 280 280 281
x Inhal tsverzeichnis 6.3. Die Komponenten eines digitalen Filters bei serieller Verarbeitung, Festkommaarithmetik und Zweierkomplement-Codierung. 283 6.3. 1. Allgemeine Entwurfsbetrachtungen.. 6.3.2. Multiplizierer...... 6.3.3. Addierer, Rundungsschaltung, Komplementer, Zustandsvariablenspeicher................ 295 6.3.4. Realisierung einer stabilen Uberlaufkennlinie 297 283 284 6.4. Multiplextechnik... 6.4.1. Grundgedanke. 6.4.2. Einige Entwurfsüberlegungen und Beispiele 6.5. Nichtrekursive Filter. 6.5.1. Allgemeines. 6.5.2. Die zweite kanonische oder direkte Form 6.6. Eigenschaften der Wandler... 6.7. Literatur...... 302 302 303 307 307 307 310 313 Sachverzeichnis............ 314