Mengentheoretische Topologie

Lydia Außenhofer SS 2005 Mengentheoretische Topologie 1 Metrische Räume Definition 1.1 Sei X eine Menge. Eine Metrik (metric) ist eine Abbildung d : X X R + 0, die die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) (M 1) (ii) (M 2) (iii) (M 3) d(x, y) = 0 x = y (Definitheit) d(x, y) = d(y, x) x, y X (Symmetrie) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X (Dreiecksungleichung) Das Paar (X, d) heißt metrischer Raum (metric space). Bemerkung 1.2 Es gilt d(x, y) d(y, z) d(x, z). Beispiel 1.3 (i) diskrete Metrik: d(x, y) = { 1 x y 0 x = y (ii) euklidische Metrik X = R n (n N); d(x, y) = n i=1 (x i y i ) 2. n = 1: d(x, y) = x y (iii) Sei (V, ) ein normierter Raum. Dann ist d : V V R + 0, (x, y) x y eine Metrik. (iv) Ist (X, d) ein metrischer Raum und Y X, so ist d Y : Y Y R + 0, (y 1, y 2 ) d(y 1, y 2 ) eine Metrik auf Y. Proposition 1.4 Seien (X 1, d 1 ),..., (X n, d n ) metrische Räume dann sind die folgenden Abbildungen Metriken auf dem Produkt X := X 1 X 2... X n : (i) d(x, y) := n i=1 d i(x i, y i ) 2, (ii) d(x, y) := max(d 1 (x 1, y 1 ),..., d n (x n, y n )) (Maximumsmetrik), (iii) d(x, y) := n i=1 d i(x i, y i ) (Summenmetrik). Beweis: Übungsaufgabe 1. 1

Bezeichnung 1.5 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für x X und ε > 0 sei B(x, ε) := {y X : d(x, y) < ε}. B(x, ε) heißt offene Kugel (open ball) um x mit Radius ε. Beispiel 1.6 Offenen Kugeln um 0 mit Radius 1 im R 2 versehen mit der euklidischen Metrik, der Summenmetrik, der Maximumsmetrik und der diskreten Metrik. Definition 1.7 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U X heißt offen (open), falls für jedes x U ein ε > 0 existiert, so daß B(x, ε) U gilt. Eine Teilmenge A X heißt abgeschlossen (closed), wenn ihr Komplement A c offen ist. Proposition 1.8 Jede offene Kugel ist offen. Beweis: Sei y B(x, ε). Setze δ := ε d(x, y) > 0. Wir wollen zeigen, daß B(y, δ) B(x, ε) gilt. Sei dazu z B(y, δ). Dann folgt: d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + δ = ε. Beispiel 1.9 Sind die folgenden Aussagen wahr (w) oder falsch (f)? Sei (X, d) ein metrischer Raum. (i) ist offen. (ii) X ist offen. (iii) ist abgeschlossen. (iv) X ist abgeschlossen. (v) Jede endliche Vereinigung offener Mengen ist offen. (vi) Jede abzählbare Vereinigung offener Mengen ist offen. (vii) Jede beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen. (viii) Jeder endliche Durchschnitt offener Mengen ist offen. (ix) Jeder abzählbare Durchschnitt offener Mengen ist offen. 2

(x) Jeder beliebige Durchschnitt offener Mengen ist offen. Definition 1.10 Sei X eine Menge und O eine Teilmenge der Potenzmenge von X, die die folgenden Eigenschaften erüllt: (i), X O, (ii) U i O (i I, I beliebige Indexmenge), so gilt i I U i O. (iii) Sind U 1, U 2 O, so gilt U 1 U 2 O. Dann heißt das Paar (X, O) ein topologischer Raum (topological space) und O heißt Topologie (topology) auf X. Eine (nicht notwendig offene) Menge U X heißt Umgebung (neighbo(u)rhood) des Punktes x, falls es eine offene Menge O gibt, die x O U erfüllt. Die Menge aller Umgebungen des Punktes x bezeichnen wir mit U(x). Proposition 1.11 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die Menge O := {U X : U ist offen } ist eine Topologie auf X, sie wird die von der Metrik d induzierte Topologie genannt. Beweis: 1.9. Definition 1.12 Eine Topologie O auf einer Menge X heißt metrisierbar (metrizable), wenn es eine Metrik auf X gibt, die die Topologie induziert. Induzieren zwei (verschiedene) Metriken dieselbe Topologie, so heißen die Metriken äquivalent (equivalent). Bemerkung 1.13 Auf der Menge der Metriken auf einer Menge X ist die Eigenschaft ïst äquivalent zuëine Äquivalenzrelation. Die Metriken aus 1.4 sind äquivalent. (Übung) Beispiel 1.14 O d := P(X) ist eine Topologie auf X, sie wird diskrete Topologie (discrete topology) genannt. Sie ist die von der diskreten Metrik induzierte Topologie. [B(x, 1) = {x}, daher sind alle Teilmengen von X versehen mit der diskreten Metrik offen.] Sei X eine Menge. O a := {, X} ist eine Topologie auf X, sie wird antidiskrete Topologie (antidiscrete topology) genannt. Wird die antidiskrete Topologie von einer Metrik induziert? Die nachfolgende Proposition zeigt, daß dies nicht der Fall ist, wenn X 2. Proposition 1.15 [Hausdorffsches Trennungsaxiom] Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für x y X existieren disjunkte Umgebungen von x und y. 3

Beweis: Wegen x y ist ε := d(x, y) > 0. Die offenen Kugeln U := B(x, ε/2) und V := B(y, ε/2) sind offen (1.8) und disjunkt: Angenommen es existiert z U V. Dann folgt ε = d(x, y) d(x, z)+d(z, y) < ε/2+ε/2 = ε. Offensichtlich gelten x U und y V. Widerspruch. Definition 1.16 Sei (x n ) eine Folge in dem metrischen Raum (X, d), also eine Abbildung x : N X, n x n. Wir sagen (x n ) konvergiert (converges to) gegen x X, wenn die reelle Folge (d(x n, x)) gegen 0 konvergiert, also: ε > 0 n 0 N : n n 0 d(x, x n ) < ε. Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig. [Seien x und x Grenzwerte der Folge (x n ). Da d(x, x ) d(x, x n ) + d(x, x n ) gilt und (d(x, x n ) + d(x, x n )) n N eine Nullfolge ist, muß d(x, x ) = 0 bzw. x = x gelten.] Proposition 1.17 Genau dann konvergiert eine Folge (x n ) gegen x, wenn für jede Umgebung U von x ein n 0 N existiert, so daß x n U für alle n n 0. Beweis: Es konvergiere (x n ) gegen x. Sei U eine Umgebung von x. Dann existiert ε > 0 mit B(x, ε) U. Für n 0, so daß d(x n, x) < ε für alle n n 0 gilt natürlich x n B(x, ε) U. Es gelte umgekehrt diese Bedingung. Sei ε > 0 gegeben. Dann ist B(x, ε) eine Umgebung von x, es existiert also n 0 mit x n B(x, ε) für alle n n 0, was gleichbedeutend ist mit d(x n, x) < ε für alle n n 0. Proposition 1.18 Genau dann ist eine Teilmenge C X eines metrischen Raumes X abgeschlossen, wenn für jede Folge (c n ) in C, welche gegen ein x X konvergiert, x C gilt. Beweis: Sei zunächst C abgeschlossen und (c n ) eine Folge in C, welche gegen x X konvergiert. Nehmen wir an, daß x / C. Da C abgeschlossen ist, ist X \ C offen, also eine Umgebung von x. Daher existiert n 0 N, so daß x n X \ C für alle n n 0. Dies widerspricht x n C für alle n N. Es gelte umgekehrt diese Bedingung. Angenommen C wäre nicht abgeschlossen, also X \ C nicht offen. Dann existiert ein x X \ C, so daß für jedes n N gilt: B(x, 1/n) * X \ C. Wählen wir daher x n B(x, 1/n) C. Dann ist offensichtlich, daß (x n ) in C liegt und gegen x konvergiert. Dies widerspricht der Bedingung. 4

Definition 1.19 Eine Folge (x n ) in einem metrischen Raum (X, d) heißt Cauchy Folge (Cauchy sequence), falls ε > 0 n 0 : n, m n 0 d(x n, x m ) < ε. Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig (complete), wenn jede Cauchy Folge konvergiert. Satz 1.20 R ist vollständig. Beweis: Siehe z.b. Hewitt, E. und Stromberg, K., Real and Abstract Analysis, Springer Verlag, Heidelberg, 1969. (Section 5) Bemerkung 1.21 (i) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy Folge: d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ). (ii) Sei 2 = k=0 a k10 k die Dezimaldarstellung. Dann ist ( n k=0 a k10 k ) n N eine Cauchy Folge in Q, welche (im metrischen Raum (Q, d Q ) nicht konvergiert, wobei d die euklidische Metrik auf R sei. Proposition 1.22 Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und sei Y ein Teilmenge von X. Genau dann ist (Y, d Y ) ebenfalls ein vollständiger metrischer Raum, wenn Y abgeschlossen ist. Beweis: Sei Y abgeschlossen und sei (y n ) eine Cauchy Folge in Y. Dann ist (y n ) auch eine Cauchy Folge in X und konvergiert daher gegen ein x X. Mit 1.18 folgt x Y, daher ist Y vollständig. Sei Y vollständig und sei (y n ) eine Folge in Y, welche gegen ein x X konvergiert. Als (in X) konvergente Folge ist (y n ) eine Cauchy Folge. Da Y vollständig ist, existiert y Y, gegen welches (y n ) konvergiert. Wegen der Eindeutigkeit des Limes gilt x = y und 1.18 impliziert die Abgeschlossenheit von Y. Definition 1.23 Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt stetig in (continuous at) x, falls für jede gegen x konvergierende Folge (x n ) die Folge (f(x n )) gegen f(x) konvergiert. f heißt stetig, falls f in jedem Punkt x X stetig ist. Proposition 1.24 Sei f : X Y eine Abbildung ((X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume) und sei x X. Dann sind äquivalent: (i) f ist stetig in x. 5

(ii) U U(f(x)) gilt f 1 (U) U(x). (iii) ε > 0 δ > 0 : x : d X (x, x ) < δ d Y (f(x), f(x )) < ε. }{{} f(b(x,δ)) B(f(x),ε) B(x,δ) f 1 (B(f(x)),ε) Beweis: (i) = (ii) Sei U U(f(x)). Angenommen f 1 (U) * U(x). Insbesondere gilt für jedes n N : B(x, 1/n) * f 1 (U). Wählen wir daher x n B(x, 1/n) mit f(x n ) / U. Dann konvergiert (x n ) gegen x, doch (f(x n )) kann nicht gegen f(x) konvergieren, da in dem Fall f(x n ) U für große n gelten müßte. (ii) = (iii) folgt sofort. (iii) = (i) Sei (x n ) eine gegen x konvergente Folge und sei ε > 0. Es ist zu zeigen, daß n 0 N existiert so, daß d Y (f(x n ), f(x)) < ε für alle n n 0 gilt. Nach Voraussetzung existiert δ > 0 so, daß f(b(x, δ)) B(f(x), ε) gilt. Auf Grund der Definition der Konvergenz einer Folge existiert n 0 N so, daß x n B(x, δ) für alle n n 0. Diese Folgenglieder erfüllen f(x n ) B(f(x), ε), woraus die Behauptung folgt. Proposition 1.25 Sei f : X Y eine Abbildung ((X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume). Genau dann ist f stetig, wenn für jede offene Menge U Y das Urbild f 1 (U) offen in X ist. Beweis: Sei f stetig und sei U Y offen. Um zu zeigen, daß f 1 (U) offen ist, fixieren wir x f 1 (U). Da U offen ist und f(x) enthält, ist f 1 (U) eine Umgebung von x, daher existiert δ > 0 so, daß B(x, δ) f 1 (U). Für den Beweis, daß diese Bedingung die Stetigkeit von f impliziert, fixieren wir x X und ε > 0. Nach Voraussetzung ist f 1 (B(f(x), ε)) offen und enthält x, daher existiert δ > 0 mit B(x, δ) f 1 (B(f(x), ε)). Es folgt die Behauptung. Korollar 1.26 Seien d 1 und d 2 Metriken auf X. Genau dann erzeugen sie dieselbe Topologie, wenn id : (X, d 1 ) (X, d 2 ) und id : (X, d 2 ) (X, d 1 ) stetig sind. Proposition 1.27 Seien X eine nichtleere Menge und B(X, R) := {f : X R : f ist beschränkt}. Dann wird durch d(f, g) := sup{ f(x) g(x) : x X} eine vollständige Metrik auf B(X, R) definiert. Beweis: Es ist klar, daß d eine Metrik ist. Sei (f n ) eine Cauchy Folge. Wegen f n (x) f m (x) d(f n, f m ) ist insbesondere (f n (x)) eine reelle Cauchy Folge für alle x X. Da R vollständig ist, existiert f(x) := lim f n (x). Es bleibt zu zeigen, daß f B(X, R) und d(f n, f) 0 gelten. 6

Nach Voraussetzung gilt: ε > 0 n ε N : n, m n ε d(f n, f m ) ε }{{} f n (x) f m (x) ε x X Insbesondere gilt f n (x) f n1 (x) + 1 für alle n n 1. Somit folgt f(x) f n1 (x) + 1 für alle x X. Da f n1 beschränkt ist, ist auch f beschränkt. Außerdem: f n (x) f(x) = lim f n(x) f m (x) lim sup d(f m }{{} n, f m ) ε, m d(f n,f m ) sofern n n ε. Diese Abschätzung ist unabhängig von x, woraus d(f, f n ) 0 folgt. Definition 1.28 Eine Abbildung f : (X, d X ) (Y, d Y ) heißt Isometrie (isometry), falls d(x, x ) = d(f(x), f(x )) für alle x, x X gilt. Bemerkung 1.29 Jede Isometrie ist stetig und injektiv. Satz 1.30 Für jeden metrischen Raum (X, d) existiert ein vollständiger metrischer Raum ( X, d) und eine Isometrie ι : (X, d) ( X, d). Beweis: Ist X =, so ist die Behauptung trivial. Andernfalls fixieren wir x 0 X und betrachten die Abbildung f : X B(X, R), x f x, wobei f x (y) = d(y, x) d(y, x 0 ). Offensichtlich gilt: f x (y) d(x, x 0 ), so daß f x eine beschränkte Funktion auf X ist. Berechnen wir d(f x, f z ) = sup{ f x (y) f z (y) : y X} = }{{} = d(y,x) d(y,x 0 ) (d(y,z) d(y,x 0 )) = sup{ d(y, x) d(z, y) : y X} = d(x, z). [ ist klar. folgt für y = x bzw. y = z.] Daher ist f eine Isometrie. In 1.27 wurde bewiesen, daß B(X, R) vollständig ist. Es folgt die Behauptung. (20.04.2005) 7

2 Topologische Räume Wiederholung: Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O), wobei X eine Menge und O P(X) eine Teilmenge der Potenzmenge ist, die abgeschlossen ist bzgl. der Bildung endlicher Durchschnitte und beliebiger Vereinigungen sowie X und enthält. Beachte i O i = und i O i = X. Eine uns stets interessierende Frage ist, ob die Topologie von einer Metrik induziert wird. Beispiel 2.1 Sei X eine Menge. O cf := {O X : X \ O ist endlich} { } ist eine Topologie, die sogenannte cofinite Topologie (cofinite topology). [Offensichtlich gelten, X O cf. X \(O 1 O 2 ) = (O 1 O 2 ) c = O c 1 O c 2 ist endlich, sofern O 1, O 2 O cf \. X \ i I O i X \O i0 für jedes i 0 I. Daher ist O cf auch abgeschlossen bezüglich der Bildung beliebiger Vereinigungen.] Ist X endlich, so ist O cf die diskrete Topologie. Ist X unendlich, so wird O cf nicht von einer Metrik induziert: [Angenommen es existieren disjunkte, offene Mengen U und V, die x bzw. y enthalten. Da X \ U endlich ist, denn U ist nicht leer, muß V endlich sein. Dies ist nur möglich, wenn V =, was aber y V widerspricht. Wegen 1.15 kann O cf nicht von einer Metrik induziert werden.] Bemerkung 2.2 Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes heißt abgeschlossen (closed), falls ihr Komplement offen ist. Beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Definition 2.3 Sei (X, O) ein topologischer Raum und sei Y Teilmenge. x X heißt X eine (i) innerer Punkt (inner point) von Y, falls es eine offene Menge O gibt mit x O Y. Die Menge der inneren Punkte von Y heißt Inneres (interior) von Y und wird mit Y bezeichnet. (ii) äußerer Punkt von Y, falls es eine offene Menge O gibt mit x O X \ Y. (iii) Berührungspunkt von Y, falls für jede Umgebung U U(x) U Y gilt. Die Menge aller Berührungspunkte von Y wird Abschluß (closure) von Y genannt und mit Y bezeichnet. 8

(iv) Randpunkt, falls für jede Umgebung U von x U Y U Y c gilt. Die Menge aller Randpunkte von Y heißt Rand (boundary) von Y und wird mit Y bezeichnet. Bemerkung 2.4 (i) Y = U. (ii) Es gilt Y = A Y abgeschlossen U O,U Y A. [X \ Y = {x X : U U(x) : U Y = } = (X \ Y ). Dies impliziert: Y = X \ (X \ Y ) = X \ U = A.] (iii) X \ (Y ) = X \ Y. (iv) A B = A B. (v) Y = Y \ Y. U O:U Y = Beispiel 2.5 Für Q R bestimme man Q, Q und Q. A Y abgeschlossen Definition 2.6 Sei (X, O) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge B O heißt Basis (base) der Topologie, wenn sich jede offene Menge als Vereinigung von Elementen aus B darstellen läßt. Eine Teilmenge S O heißt Subbasis (subbase) der Topologie, wenn die Menge aller endlichen Durchschnitte von Elementen aus S eine Basis der Topologie bilden. Beispiel 2.7 Die Menge der offenen Kugeln in einem metrischen Raum bilden eine Basis der Topologie. Beispiel 2.8 Gib eine (möglichst kleine) Basis für die antidiskrete und die diskrete Topologie an. Proposition 2.9 so gelten: (i) Sei B eine Basis des topologischen Raumes (X, O), (B 1) x X B B : x B. (Die Vereinigung aller Elemente aus B ist X.) (B 2) B, B B x B B B B : x B B B. (Der Durchschnitt zweier Mengen aus B läßt sich als Vereinigung von Elementen aus B schreiben.) 9

(ii) Ist umgekehrt B P(X) ein Mengensystem, das (B 1) und (B 2) erfüllt, so ist B Basis einer eindeutigen Topologie auf X, diese ist gegeben durch: O = {O X : x O B B : x B O}. Beweis: (i) (B 1) ist klar, da X O. Zu (B 2): Da B, B O, ist auch B B O, also als Vereinigung von Elementen aus B darstellbar. (ii) Wir zeigen zunächst, daß O eine Topologie ist: [ O ist klar und (B 1) impliziert, daß auch X O gilt. Ebenso ist klar, daß O abgeschlossen ist bezüglich der Bildung beliebiger Vereinigungen. Es bleibt also zu zeigen, daß, wenn O, O O, so auch O O O gilt. Dazu fixieren wir x O O. Nach Definition von O existieren B, B O so, daß x B O und x B O. Gemäß (B 2) existiert B B so, daß x B B B O O. Da x beliebig gewählt war, folgt O O O.] B ist Basis der Topologie: [Sei x O O. Nach Definition von O existiert B B mit x B O. Daher läßt sich O als Vereinigung von Elementen aus B darstellen. Es ist klar, daß B O gilt.] Ist B Basis einer Topologie O, so muß O = { B B 0 B : B 0 B} gelten. Daher ist O eindeutig. Beispiel 2.10 Die Menge B = {[a, b) : a < b, a, b } ist Basis einer Topologie O S auf R. (R, O S ) heißt Sorgenfrey Gerade (Sorgenfrey line). Beispiel 2.11 Zur Erinnerung: Eine Menge X heißt total geordnet (totally ordered), falls es eine reflexive (x x), transitive (x y y z = x z) und antisymmetrische (x y y x = x = y) Relation auf X gibt, so daß für alle (x, y) X 2 x y y x gilt. x < y hat die Bedeutung x y und x y. Sei (X, ) eine total geordnete Menge, die mindestens zwei Elemente enthält. Für a, b X definieren wir: (a, b) = {x X : a < x < b}, (, b) = {x X : x < b} und (a, ) = {x X : a < x}. B := {(a, b) : a < b, a, b X} {(, b) : b X} {(a, ) : a X} ist Basis der sogenannten Ordnungstopologie (order topology) auf X. [Da nach Voraussetzung a < b in X existieren, gilt X = (a, ) (, b), insbesondere gilt (B 1). 10

Weiter gelten: (, b ) = (, min(b, b )) (, b) (a, b ) = (a, min(b, b )) (a, ) = (a, b) (a, b) { (a, b ) = (max(a, a ), min(b, b )) (a, ) = (max(a, a ), b) (a, ) (a, ) = (max(a, a ), ) Proposition 2.12 Seien X eine Menge und S = {S j : j J} P(X). Dann existiert genau eine Topologie O auf X, so daß S Subbasis von O ist. O heißt die von S erzeugte Topologie (topology generated by), ist also die kleinste Topologie, die S umfaßt. Es gilt: O = { S j : F i J endlich, I einemenge}. i I j F i Sie wird die von S erzeugte Topologie (topology generated by...) genannt. Beweis: Zunächst wollen wir zeigen, daß O eine Topologie ist: [Seien i I α j F i S j Elemente aus O und α A. Dann ist S j = S j O. α A i I α j F i i S α A Iα j F i Für S j1, S j2 ist i 1 I 1 j 1 F i1 i 2 I 2 j 2 F i2 S j1 S j2 = S j1 j 1 F i1 j 2 F i2 j 1 F i1 i 1 I 1 i 2 I 2 i 1 I 1 i 2 I 2 j 2 F i2 S j2 }{{} = T j F i1 F i2 S j O. Es ist klar, daß X, O gelten.] Offensichtlich gilt S O. Jede Topologie auf X, welche S umfaßt, umfaßt auch O (nach Definition). Daher ist O die kleinste S umfassende Topologie auf X. Definition 2.13 Sei (X, O) ein topologischer Raum. U ist Umgebung eines Punktes x X, wenn es eine offene Menge O gibt, so daß x O U gilt. Die Menge aller Umgebungen von x bezeichnen wir mit U(x). U x U(x) heißt Umgebungsbasis (neighbo(u)rhood base), falls für jede Umgebung U U(x) ein V U x existiert mit V U. Eine Familie (U x ) x X heißt Umgebungsbasis von X, falls für jedes x X U x eine Umgebungsbasis von x ist. 11

Beispiel 2.14 Die Familie (U x ) x R, wobei U x = {[x 1, x + 1 ] : n N} ist n n Umgebungsbasis von R (mit der euklidischen Topologie). Bemerkung 2.15 Genau dann ist eine Menge offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte ist. Proposition 2.16 Sei (X, O) ein topologischer Raum. Sei (U x ) x X eine Umgebungsbasis von X Dann gelten: (i)(u 1) x X U x, x X U U x gilt x U. (U 2) x X U 1, U 2 U x U 3 U x mit x U 3 U 1 U 2. (U 3) x X U U x V U x : y V W U y mit W U. (ii) Ein System (U x ) x X, wobei U x P(X), und welches (U 1) bis (U 3) erfüllt, ist Umgebungsbasis auf X genau einer Topologie O, welche gegeben ist durch: O = {O X : x O U U x : U O}. Beweis: (i) Da X U(x) für alle x X, ist (U 1) klar. Zu (U 2): Seien U 1, U 2 U x. Dann existieren offene Mengen O 1, O 2 mit x O i U i (i {1, 2}), dann ist O 1 O 2 eine Umgebung von x, also existiert U 3 U x mit x U 3 O 1 O 2 U 1 U 2. Zu (U 3): Seien x X und U U x. Dann existieren O O mit x O U und V U x mit x V O U. Sei y V. Da O eine Umgebung von y ist, existiert W U y mit y W O U. (ii) Die Eindeutigkeit von O ist auf Grund der vorangegangenen Bemerkung klar. O ist eine Topologie: [Es ist klar, daß O. X O ist ein Konsequenz von (U 1). Seien O 1, O 2 O, x O 1 O 2. Gemäß Definition existieren U 1, U 2 U x mit x U i O i (i {1, 2}). (U 2) impliziert die Existenz von U 3 U x mit x U 3 U 1 U 2 O 1 O 2. Es ist klar, daß die Vereinigung von Mengen aus O wieder zu O gehört.] Es bleibt zu zeigen, daß (U x ) x X ist Umgebungsbasis von (X, O) ist. Zunächst weisen wir nach, daß die Elemente aus U x Umgebungen von x bzgl. 12

O sind. [Hierzu führen wir folgende Bezeichnung ein: Für Y X sei Y 0 := {x X : U U x : U Y }. Dann gelten: ( ) Y 0 Y und ( ) Y 0 O. [[Wegen (U 1) ist Y 0 Y klar. Zum Beweis, daß Y 0 offen ist, ist zu zeigen: x Y 0 U U x : U Y }{{} 0. y U W U y : W Y Für x Y 0 existiert U U x mit U Y. Nach (U 3) existiert V U x so, daß für alle y V W U y existiert mit W U( Y ). Somit ist Y 0 O.]] Sei also U U x. Da U U, gilt x U }{{} 0 ( U). Daher sind alle Elemente O aus U x Umgebungen von x bzgl. der Topologie O. Nun fehlt nur noch der Nachweis, daß es sich um eine Umgebungsbasis handelt, also für jedes O O und jedes x O ein U U x existiert mit x U O. Dies ist aber nach Definition von O erfüllt.] Definition 2.17 Seien O 1 und O 2 Topologien auf der Menge X. Wir sagen O 1 ist feiner (finer) als O 2 (bzw. O 2 ist gröber (coarser) als O 1 ), wenn O 2 O 1 gilt. Proposition 2.18 Seien O 1, O 2 Topologien auf der Menge X, seien B i Basen und (U i x) x X Umgebungsbasen von (X, O i ) (i {1, 2}). Dann sind äquivalent: (i) O 1 ist feiner als O 2. (ii) B 2 B 2, x B 2 B 1 B 1 mit x B 1 B 2. (iii) x X, U 2 U 2 x U 1 U 1 x : U 1 U 2. Beweis: Die Implikationen (i) = (ii) und (i) = (iii) sind klar. (ii) = (i): Die eindeutige von B 1 erzeugte Topologie ist feiner als die von B 2 erzeugte (2.9). (iii) = (i): Die eindeutige von (U 1 x) x X erzeugte Topologie ist feiner als die von (U 2 x) x X erzeugte (2.16). 13

Definition 2.19 Sei (X, O) ein topologischer Raum. Wir sagen, daß X (genauer: (X, O)) das 2. Abzählbarkeitsaxiom (second countable) erfüllt, wenn X eine abzählbare Basis besitzt. X erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom (first countable), wenn jeder Punkt aus X eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. (i) Jeder metrische Raum erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxi- Proposition 2.20 om. (ii) Erfüllt ein topologischer Raum das 2. Abzählbarkeitsaxiom, so auch das erste. Beweis: (i) (B(x, 1/m)) m N ist Umgebungsbasis des Punktes x. (ii) Sei B eine abzählbare Basis und sei x X fest. Wir wollen zeigen, daß U x := {B B : x B} eine (notwendigerweise abzählbare) Umgebungsbasis von x ist. Da alle Mengen offen sind und x umfassen, bleibt nur zu zeigen, daß für O O mit x O eine Menge U U x existiert mit x U O. Da B Basis ist, existiert B B mit x B O. Da B U x, folgt die Behauptung. Definition 2.21 Sei (X, O) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge D X heißt dicht (dense), falls D = X gilt. Der topologische Raum (X, O) heißt separabel (separable), falls er eine abzählbare, dichte Teilmenge besitzt. Beispiel 2.22 Q liegt dicht in R, daher ist R separabel. Proposition 2.23 Jeder topologische Raum, der das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, ist separabel. Beweis: Sei B eine abzählbare Basis von X. Für jedes B B \ wählen wir x B B. Dann ist D := {x B : B B \ } eine abzählbare Menge. Sei U eine offene Menge. Da B Basis ist, existiert B B mit B U. Somit gilt x B U, also D U. Beispiel 2.24 Die Sorgenfrey Gerade ist separabel, erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom, doch nicht das zweite. [Übungsaufgabe 11] Proposition 2.25 Jeder separable metrische Raum erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom. Beweis: Übungsaufgabe 10. (21.04.2005) 14

3 Stetigkeit und Konvergenz Definition 3.1 Eine Abbildung f : (X 1, O 1 ) (X 2, O 2 ) zwischen topologischen Räumen heißt stetig in x 1 X 1, falls für jede Umgebung U 2 U(f(x 1 )) das Urbild f 1 (U 2 ) eine Umgebung von x 1 ist. f heißt stetig, falls f in jedem Punkt x 1 X 1 stetig ist. Proposition 3.2 Sei f : (X 1, O 1 ) (X 2, O 2 ) eine Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann sind äquivalent: (i) f ist stetig. (ii) Für jede offene Menge O 2 O 2 gilt f 1 (O 2 ) O 1. (iii) Für jede abgeschlossene Teilmenge A 2 X 2 ist f 1 (A 2 ) eine abgeschlossene Teilmenge von X 1. (iv) Für jede Teilmenge B X 1 gilt: f(b) f(b). Beweis: (i) = (ii) Sei O 2 O 2 und x 1 f 1 (O 2 ). (i) impliziert, daß f 1 (O 2 ) Umgebung von x 1 ist. Da x 1 beliebig war, ist f 1 (O 2 ) Umgebung aller seiner Punkte, also offen. (ii) (iii) Komplementbildung: f 1 (A c 2) = (f 1 (A 2 )) c. (iii) = (iv) Offensichtlich gilt B f 1 (f(b)). Da nach (iii) f 1 (f(b)) abgeschlossen ist, folgt B f 1 (f(b)). (iv) = (i) Sei x 1 X 1 und U 2 U(f(x 1 )). O.B.d.A. sei U 2 offen. Es ist zu zeigen, daß f 1 (U 2 ) U(x 1 ) gilt. Angenommen, dies wäre nicht der Fall, also: O 1 O 1 : O 1 f 1 (U 2 ) gilt x 1 O 1. Durch Komplementbildung erhalten wir die dazu äquivalente Aussage A X 1 abgeschlossen, A f 1 (U c 2) gilt x 1 A, was äquivalent ist zu x 1 f 1 (U c 2). Es folgt f(x 1 ) f(f 1 (U c 2)) (iv) f(f 1 (U c 2)) U c 2 = U c 2, was offensichtlich ein Widerspruch ist. Korollar 3.3 Ist S 2 Subbasis von O 2 und gilt f 1 (S) O 1 für alle S S 2, so ist f stetig. Beweis: Eine offene Teilmenge in X 2 läßt sich darstellen: O 2 = i I j F i S j (I Menge, F i endliche Mengen). Es folgt f 1 (O 2 ) = f 1 ( i I j F i S j ) = i I j F i f 1 (S j ) O }{{} 1. O 1 15

Bemerkung 3.4 (i) Seien (X 1, O 1 ) f 1 (X 2, O 2 ) f 2 (X 3, O 3 ) Abbildungen. Wenn f 1 in x 1 stetig ist und f 2 in f 1 (x 1 ), so ist f 2 f 1 stetig in x 1. Sind f 1 und f 2 stetig, so auch f 2 f 1. (ii) Genau dann ist id : (X, O 1 ) (X, O 2 ) stetig, wenn O 1 feiner ist als O 2. Definition 3.5 Eine Abbildung f : (X 1, O 1 ) (X 2, O 2 ) zwischen topologischen Räumen heißt Homöomorphismus (homeomorphism), falls f bijektiv ist und f und f 1 stetig sind. In diesem Fall heißen (X 1, O 1 ) und (X 2, O 2 ) homöomorph (homeomorphic). Es stellt sich die Frage, ob sich die Stetigkeit auch mit Hilfe von Folgen charakterisieren läßt. Dazu das folgende Beispiel 3.6 Sei X eine überabzählbare Menge. O := {O X : X \ O ist abzählbar} { } ist eine Topologie auf X, welche nicht die diskrete Topologie ist, also ist id : (X, O) (X, O d ) nicht stetig. Sei (x n ) eine konvergente Folge in X mit Grenzwert x, d.h. für jede Umgebung U U(x) existiert n 0 N mit x n U für alle n n 0. Da N := {x n : x n x} abzählbar ist (und x nicht enthält), ist X \ N eine Umbgebung von x. D.h. es existiert n 0 N mit x n X \ N für alle n n 0, was äquivalent ist zu: x n = x für alle n n 0. D.h. die konvergenten Folgen bzgl. der Topologie O und der diskreten Topologie stimmen überein; daher ist id : (X, O) (X, O d ) folgenstetig. Wir müssen also den Folgenbegriff verallgemeinern. Dies geschieht dadurch, daß gößere Indexmengen I an Stelle von N zugelassen werden. Dazu müssen wir eine Ordnung auf I erklären: Definition 3.7 Eine Relation auf einer Menge I, welche reflexiv und transitiv ist sowie die Bedingung i 1, i 2 I i 3 I : i 1 i 3 i 2 i 3 erfüllt, 16

heißt gerichtete Menge (directed set). Sei (I, ) eine gerichtete Menge und I. Eine Abbildung x : I X heißt Netz (net) in X. Wir schreiben: x = (x i ) i I (oder kurz: (x i )). Beispiel 3.8 Sei X eine Menge mit mindestens zwei Elementen. Dann ist (P(X) \ {X}, ) keine gerichtete Menge. [Zwar ist reflexiv und transitiv, doch für x 1 x 2 X existiert kein Element Y P(X)\{X} mit Y X\{x 1 } und Y X\{x 2 }. Zudem können zwei verschiedene Mengen, z.b. X \ {x 1 } und X \ {x 2 } nicht miteinander verglichen werden!] Sei (X, O) ein topologischer Raum und x X. Dann bildet (U(x), ) eine gerichtete Menge. (D.h. U 1 U 2 : U 1 U 2.) Definition 3.9 Sei (X, O) ein topologischer Raum. Wir sagen, daß ein Netz (x i ) i I in X gegen x X konvergiert, wenn (In Zeichen: x i x) U U(x) i U I : i i U x i U. Beispiel 3.10 Sei (X, O) ein topologischer Raum, x 0 X. Wir betrachten das Netz x : U(x 0 ) X, U x U, wobei x U U gelte. Dann konvergiert (x U ) U U(x0 ) gegen x 0. [Sei nämlich U 0 U(x 0 ). Wir müssen einen Index U 1 U(x 0 ) so finden, daß für alle U U 1 x U U 0 gilt. Offensichtlich ist dies für U 1 = U 0 erfüllt.] Proposition 3.11 Sei f : (X 1, O 1 ) (X 2, O 2 ) eine Abbildung zwischen topologischen Räumen. Für x 1 X 1 sind äquivalent: (i) f ist stetig in x 1. (ii) Für jedes gegen x 1 konvergente Netz (x i ) i I konvergiert das Netz (f(x i )) i I gegen f(x 1 ). Beweis: (i) = (ii): Sei also (x i ) i I ein Netz mit Grenzwert x 1. Wir fixieren eine Umgebung U 2 U(f(x 1 )). Da f 1 (U 2 ) U(x 1 ), existiert i 0 so, daß x i f 1 (U 2 ) für alle i i 0 gilt. Dies ist äquivalent zu f(x i ) U 2 für alle i i 0. Es folgt (ii). (ii) = (i): Angenommen f wäre nicht stetig in x 1. Dann existiert U 2 U(f(x 1 )) so, daß f 1 (U 2 ) / U(x 1 ). D.h. für jedes U U(x 1 ) gilt U * f 1 (U 2 ). Wählen wir daher x U U mit f(x U ) / U 2. Wie oben erklärt, konvergiert das Netz (x U ) U U(x1 ) gegen x 1, doch (f(x U )) U U(x1 ) kann nicht gegen f(x 1 ) konvergieren, da f(x U ) / U 2 für alle U U(x 1 ) gilt. 17

Proposition 3.12 Sei (X, O) ein topologischer Raum. Genau dann ist Y X abgeschlossen, wenn für jedes Netz (y i ) in Y, welches gegen x X konvergiert, x Y gilt. Beweis: Analog dem Beweis von 1.18. Definition 3.13 Seien (I, ) und (J, ) gerichtete Mengen, (x i ) i I ein Netz in X und ϕ : J I eine Abbildung mit der folgenden Eigenschaft: i 0 I j 0 J : j j 0 ϕ(j) i 0. Dann heißt (x ϕ(j) ) j J Teilnetz (subnet) des Netzes (x i ) i I. Bemerkung 3.14 (i) Jedes Teilnetz eines Teilnetzes ist ein Teilnetz. (ii) Konvergiert ein Netz (x i ) gegen x X, so auch jedes Teilnetz von (x i ). Definition 3.15 Sei (x i ) i I ein Netz in einem topologischen Raum X. Ein Punkt x X heißt Häufungspunkt (accumulation point) von (x i ), falls U U(x) i I i i : x i U. Proposition 3.16 Sei (x i ) i I ein Netz in einem topologischen Raum (X, O). Dann sind äquivalent: (i) x ist Häufungspunkt von (x i ) i I. (ii) Es existiert ein Teilnetz (x ϕ(j) ) j J, welches gegen x konvergiert. Beweis: (ii) = (i): Es konvergiere (x ϕ(j) ) j J gegen x. Seien U U(x) und i 0 I fest. Dann gelten: j 0 J : j j 0 ϕ(j) i 0 und j 1 J : j j 1 x ϕ(j) U. Da (J, ) eine gerichtete Menge ist, existiert j 2 J mit j 2 j 1 und j 2 j 0, welches x ϕ(j2 ) U und ϕ(j 2 ) i 0 erfüllt. (i) = (ii): Sei J := {(i, U) I U(x) : x i U}. Nun soll eine Ordnung auf J definiert werden durch: (i 1, U 1 ) (i 2, U 2 ) : i 1 i 2 U 2 U 1 Dann ist J eine gerichtete Menge: [Es ist klar, daß J und reflexiv und transitiv ist. Seien (i 1, U 1 ), (i 2, U 2 ) J. Es ist U 3 := U 1 U 2 U(x). Außerdem existiert ĩ 3 I mit i 1, i 2 ĩ 3. 18

Da x Häufungspunkt von (x i ) ist, existiert i 3 ĩ 3 mit x i3 U 3. Somit gilt (i 1, U 1 ), (i 2, U 2 ) (i 3, U 3 ).] Wir defnieren ϕ : J I, (i, U) i. Dann ist (x ϕ(j) ) j J ein Teilnetz von (x i ). [Sei i 0 I. Dann ist j 0 := (i 0, X) J und für jedes j = (i, U) j 0 gilt ϕ(j) = i i 0.] Es bleibt zu zeigen, daß (x ϕ(j) ) j J gegen x konvergiert. [Dazu fixieren wir eine Umgebung U 0 U(x). Es existiert i 0 I mit x i0 U 0. Für j 0 := (i 0, U 0 ) und j = (i, U) j 0 gilt: x ϕ(j) = x i U U 0.] Definition 3.17 Sei X eine Menge. Eine Teilmenge F P(X) heißt Filter (filter), wenn (i) / F, (ii) F 1, F 2 F = F 1 F 2 F und (iii) F F und F F, so folgt F F gelten. Beispiel 3.18 Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann ist die Menge aller Umgebungen U(x) des Punktes x X ein Filter, der sogenannte Umgebungsfilter (neighbo(u)rhood filter). Definition 3.19 Sei (X, O) ein topologischer Raum. Ein Filter F in X konvergiert gegen x X, falls U(x) F. (In Zeichen: F x.) Bezeichnung 3.20 Sei B P(X) eine Teilmenge der Potenzmenge, die (i) / B und (ii) B 1, B 2 B B 3 B mit B 3 B 1 B 2. Dann heißt B eine Filterbasis (filter base). Die Menge F := F(B) := {F X : B B : B F } ist ein Filter. Er heißt der von B erzeugte (generated) Filter. Man sagt auch B ist Basis des Filters F. Beispiel 3.21 (i) Seien A R und F = {B X : B A}. Ist F ein Filter? Konvergiert er? 19

(ii) Zeige: {], a[: a R} ist Basis eines Filters. Konvergiert der Filter? (iii) Sei X eine unendliche Menge. Ist F := {F c : F X endlich} ein Filter? Konvergiert er in der cofiniten Topologie? Proposition 3.22 (i) Sei (x i ) i I ein Netz in X. Dann ist B := {{x j : j i} : i I} eine Filterbasis. Genau dann konvergiert }{{} =:B i (x i ) gegen x, wenn der von B erzeugte Filter gegen x konvergiert. (ii) Sei F ein Filter. Wählt man x F F für alle F F und konvergiert F gegen x X, so folgt x F x. Beweis: (i) Da I eine gerichtete Menge ist, erfüllt B die Eigenschaften einer Filterbasis. Genau dann konvergiert (x i ) gegen x, wenn U U(x) i U I : x i U i i }{{ U} B iu U F(B) x (ii) Offensichtlich wird durch F 1 F 2 : F 1 F 2 (F, ) zu einer gerichteten Menge. Da nach Voraussetzung F x, ist jedes U U(x) im Filter enthalten. Sei nun U 0 U(x) fest. Für F U 0 gilt x F F U 0, also konvergiert das Netz (x F ) F F gegen x. Proposition 3.23 (i) Sei f : X Y eine Abbildung und sei F ein Filter auf X. Dann ist {f(f ) : F F} Basis eines Filters auf Y, welchen wir mit f(f) bezeichnen. (ii) Sind (X, O X ) und (Y, O Y ) topologische Räume und ist f : X Y eine Abbildung, so ist f genau dann stetig in x X, wenn für jeden gegen x konvergenten Filter F der Filter f(f) gegen f(x) konvergiert. Beweis: (i) Für jedes F F ist f(f ). Für F 1, F 2 F gilt f(f 1 F }{{} 2 ) F f(f 1 ) f(f 2 ). (ii) Sei f stetig in x und sei F ein gegen x konvergenter Filter. Wir fixieren V U(f(x)) und wissen, daß f 1 (V ) U(x) F gilt. Es folgt V f(f 1 (V )) f(f), also V f(f). Umgekehrt gelte diese Bedingung. Als Filter F wählen wir U(x). Dann folgt f(u(x)) f(x). Für jedes V U(f(x)) gilt also V f(u(x)), was bedeutet: Es existiert U U(x) mit f(u) V. Daher ist f stetig in x. 20

Definition 3.24 Ein Filter U heißt Ultrafilter (ultrafilter), falls für jeden Filter F mit F U schon F = U gilt. Bemerkung 3.25 Genau dann ist ein Filter U ein Ultrafilter, wenn für jede Teilmenge A X mit A U für alle U U bereits A U gilt. [{A U : U U} ist Basis eines U umfassenden Filters.] Proposition 3.26 Sei U ein Filter auf X. Dann sind äquivalent: (i) U ist Ultrafilter. (ii) A X gilt A U oder X \ A U. (iii) Gilt für A, B X A B U, so folgt A U oder B U. Beweis: (i) = (iii): Sei A B U, doch A / U und B / U. Wegen obiger Bemerkung existieren U A, U B U mit A U A = B U B =. Wegen U (U A U B ) (A B) = ((A U A ) U }{{} B ) ((B U B ) U }{{} A ) =, ein = = Widerspruch. (iii) = (ii): Setze B := X \ A. (ii) = (i): Sei F U ein Filter. Nehmen wir an, es existiert A F \U. Dann impliziert (ii), daß X \A U F. Dies impliziert = A (X \A) F, ein Widerspruch. Satz 3.27 Zu jedem Filter F auf einer Menge X existiert ein Ultrafilter U, welcher F umfaßt, also F U. Der Beweis basiert auf dem Zornschen Lemma. Dazu ein kurzer Exkurs: Das Zornsche Lemma Definition 3.28 Sei (M, ) eine geordnete Menge ( is reflexiv, antisymmetrisch und transitiv). m 0 M heißt maximales Element, falls für jedes m M mit m m 0 bereits m = m 0 gilt. Eine obere Schranke einer Teilmenge M 0 von M ist ein Element m M, so daß für alle y M 0 y m gilt. Eine Teilmenge M 0 M heißt Kette, wenn die Ordnung auf M 0 eine Totalordnung induziert (d.h. für alle x, y M 0 gilt x y oder y x). 21

Satz 3.29 (Lemma von Zorn) Sei M eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, daß jede Kette M 0 in M eine obere Schranke in M besitzt. Dann besitzt M ein maximales Element. Beweis: Halmos, P.R., Naive Mengenlehre Zum Beweis von 3.27 Sei F 0 ein Filter auf X. Wir betrachten die Menge M := {F : F F 0 ist Filter} mit der Inklusion als Ordnung. Wir wollen zeigen, daß jede Kette (F i ) i I in M eine obere Schranke F M besitzt. Ist I = so setzen wir F := F 0 ; andernfalls F := i I F i. Dann gilt: / F, da / F i für alle i I gilt. Seien F 1, F 2 F. Dann existieren i 1, i 2 I mit F 1 F i1 und F 2 F i2. Wir dürfen o.b.d.a. annehmen, daß F 1 F 2 gilt. Dann sind F 1, F 2 F 2 und damit F 1 F 2 F 2 F. Sei F F und F F. Dann existiert i I mit f F i, also auch F F i F. Somit ist F also ein Filter, welcher, da I, F 0 umfaßt. Das Lemma von Zorn impliziert nun, daß M ein maximales Element U besitzt. Es bleibt der (einfache) Nachweis, daß U ein Ultrafilter ist. Wegen U M ist U ein Filter, welcher F 0 umfaßt. Sei U U ein Filter. Offensichtlich gilt U M. Wegen der Maximalität von U folgt U = U. (12.05.2005) 22

4 Initial und Finaltopologien Beispiel 4.1 Sei (X, O) ein topologischer Raum und sei Y X eine Teilmenge. Dann ist O Y := {Y O : O O} eine Topologie auf Y, die sogenannte Spurtopologie (subspace topology oder induced topology). Der topologische Raum (Y, O Y ) heißt topologischer Unterraum oder topoologischer Teilraum (topological subspace) von (X, O). Proposition 4.2 Sei (X, O) ein topologischer Raum mit topologischem Teilraum (Y, O Y ). Dann gelten: (i) Genau dann ist B Y offen (abgeschlossen), wenn es eine offene (abgeschlossene) Menge A X gibt mit A Y = B. (ii) Ist B eine Basis von (X, O), so ist B Y := {B Y : B B} Basis von (Y, O Y ). (iii) Ist (U x ) x X Umgebungsbasis von X, so ist (Uy Y ) y Y, wobei Uy Y Y : U U y } für y Y, eine Umgebungsbasis von Y. := {U (iv) Ist Z Y so gilt: (O Y ) Z = O Z. Beweis: (i) Ist B Y offen, so folgt dies sofort aus der Definition. Ist B Y abgeschlossen, also Y \ B O Y, existiert eine offene Menge O O mit Y \ B = Y O. Es folgt B = Y \ (Y \ B) = Y \ (Y O) = Y O c. (ii) Klar. (iii) Es ist zu zeigen, daß für jedes y Y die Familie Uy Y eine Umgebungsbasis von y ist. Sei also U Y Uy Y. Dann existiert O O mit y O U, also y O Y U Y. Daher sind die Elemente von Uy Y tatsächlich Umgebungen. Sei nun U Y Umgebung von y in (Y, O Y ). Dann existiert O O mit y O Y U Y und weiter ein Element U U y mit y U O. Es folgt: y U Y U Y. (iv) Klar. Korollar 4.3 Erfüllt (X, O) das erste bzw. zweite Abzählbarkeitsaxiom, so auch jeder Teilraum. Bemerkung 4.4 Teilräume separabler Räume sind nicht notwendig separabel. Die Niemitzky Ebene ist separabel [{(x, y) X : x, y Q} liegt dicht], doch die auf Y := {R} {0} induzierte Topologie ist die diskrete Topologie, also nicht separabel. 23

Definition 4.5 Seien X eine Menge, (X i, O i ) i I topologische Räume (I eine Menge) und f i : X X i Abbildungen. Die von der Subbasis S := {f 1 i (O i ) : i I, O i O i } erzeugte Topologie heißt die von der Familie (f i ) i I erzeugte Initialtopologie (initial topology) auf X. Beispiel 4.6 Sei Y X, (X, O) ein topologischer Raum. Dann ist O Y die Initialtopologie, die von ι : Y X, y y erzeugt wird. Bemerkung 4.7 Seien O und f i : X X i wie in 4.5. Dann sind die Funktionen f i stetig und O ist die gröbste Topologie auf X mit dieser Eigenschaft. Proposition 4.8 Seien (X, O) und f i wie in 4.5 und sei g : ( X, Õ) (X, O) eine Abbildung. Genau dann ist g stetig, wenn f i g für alle i I stetig ist. Beweis: = : Klar, Verknüpfungen stetiger Funktionen sind wieder stetig. = : Es genügt zu zeigen, daß g 1 1 (O) Õ für alle O S := {fi (O i ) : i I, O i O i } gilt (3.3). Wegen g 1 (f 1 i (O i )) = (f i g) 1 (O i ) und der Stetigkeit von f i g folgt die Behauptung. Proposition 4.9 Seien (X, O) und f i wie in 4.5 und sei F ein Filter in X. Genau dann gilt F x, wenn für alle i I der Filter f i (F) gegen f i (x) konvergiert. Beweis: = : Klar, da die f i stetig sind (3.23). = : Sei U U(x). Da die Menge der endlichen Durchschnitte der Elemente einer Subbasis eine Basis bilden, gilt: Es existieren i 1,..., i n I und O ij O ij (j {1,..., n}) mit x n j=1 f 1 i j (O ij ) U. Für alle j gilt daher: f ij (x) O ij f ij (F). Daher existieren F ij F mit f ij (F ij ) O ij. Es n n folgt F F ij f 1 i j (O ij ) U, woraus U F folgt. j=1 j=1 Definition 4.10 Seien (X i, O i ) topologische Räume. Sei X := i I X i und für i 0 I bezeichne π i0 : X X i0, (x i ) x i0, die Projektion auf die i 0 te Koordinate. Die von der Familie (π i ) i I erzeugte Topologie auf X heißt Produkttopologie (product topology). Proposition 4.11 Sei X = i I X i mit der Produkttopologie versehen. Dann gelten: 24

(i) Die Mengen der Form { : O i O i i I, F I endlich : i I\F : O i = X i } O i i I }{{} Q i F O i Q i I\F X i bilden eine Basis der Produkttopologie. (ii) Sei (x i ) i I X. Dann bildet die Familie U x = { i I U i : U i U(x i ), F I endlich, U i = X i i I \ F } eine Umgebungsbasis von x. Beweis: (i) S := {p 1 i (O i ) : i I, O i O i } ist Subbasis der Topologie. Wegen p 1 i (O i ) = O i X j ist B := { O i X i : F j I\{i} i F i I\F I endlich, O i O i } eine Basis der Produkttopologie. (ii) Es ist klar, daß jedes Element der Familie eine Umgebung ist. Daher folgt die Behauptung leicht mit (i). Beispiel 4.12 (i) Sei O die Produkttopologie auf R n. Eine Umgegungsbasis des Punktes x R n ist gegeben durch: n i=1 ]x i ε i, x i + ε i [ n i=1 ]x i ε, x i + ε[= B dmax (x, ε), wobei ε := min(ε 1,..., ε n ). D.h. die Produkttopologie auf R n ist die euklidische Topologie. [Übungsaufgabe 1] (ii) Sei x = (x n ) R N. Eine Umgebungsbasis von x in der Produkttopologie bilden die Mengen { n k=1 ]x k 1/m, x k +1/m[ R N\{1,...,n} : n, m N}. Insbesondere erfüllt R N das erste Abzählbarkeitsaxiom. Proposition 4.13 Sei A := i I A i i I X i. Dann gilt: A = i I A i. Insbesondere ist A genau dann abgeschlossen, wenn alle A i abgeschlossen sind. Beweis: : Sei x = (x i ) A. Es ist x i A i für alle i I zu zeigen. Sei daher U i U(x i ). Da U = U i j i X j U(x), folgt U A = (U i A i ) j i A i, also U i A i. Da U i U(x i ) beliebig gewählt war, folgt x i A i. : Sei x = (x i) i I A i. Es ist zu zeigen, daß für jedes U U(x) U A gilt. Dazu dürfen wir U = i F U i i I\F X i (U i U(x i ), F I endlich) annehmen. Es folgt U A = i F (U i A i ) i I\F A i. Da x i A i, sind die Mengen U i A i (i F ) nicht leer, also gilt U A. Die restliche Beheuptung folgt sofort. 25

Proposition 4.14 Sei ((x i,j ) i I ) j J ein Netz in X = X i. Dann konvergiert ((x i,j ) i I ) j J genau dann gegen (x i ), wenn für alle i I das Netz (x i,j ) j J gegen x i konvergiert. Beweis: Übungsaufgabe. Definition 4.15 Eine Abbildung f : (X 1, O 1 ) (X 2, O 2 ) heißt offen (open) bzw. abgeschlossen (closed) falls die Bilder aller offenen bzw. abgeschlossenen Mengen offen bzw. abgeschlossen sind. Proposition 4.16 Die Projektionen p i : X X i sind offen, doch i.a. nicht abgeschlossen. Beweis: Wegen f( B j ) = f(b j ) genügt es zu zeigen, daß die Bilder der Elemente einer Basis offen sind, in unserem Fall also p i0 ( O i { Oi0 falls i X i ) = 0 F X i0 falls i 0 / F i F i I\F Daher sind die Projektionen offen. Als Gegenbeispiel betrachten wir den R 2 und die Teilmenge A := {(x, y) : x y = 1}. Dann ist A abgeschlossen. [Sei (x n, y n ) eine Folge in A mit Limes (x, y) R 2.Wegen 4.14 gelten: x n x und y n y. Es folgt 1 = x n y n xy, also xy A. Mit 1.18 folgt, daß A abgeschlossen ist.] Doch p 1 (A) = R \ {0}, was nicht abgeschlossen ist. Wir wollen nun die Finaltopologie definieren. Hierzu benötigen wird die folgende Proposition 4.17 Seien (X i, O i ) (i I) topologische Räume und seien g i : X i X (X eine Menge) Abbildungen. Dann ist O := i I {O X : g 1 i (O) O i } eine Topologie auf X. Weiter gelten: (i) O ist die feinste Topologie auf X mit der Eigenschaft, daß alle Abbildungen g i stetig sind. (ii) Genau dann ist A X abgeschlossen, wenn für alle i I eine abgeschlossene Teilmenge von X i ist. g 1 i (A) 26

(iii) Eine Abbildung ϕ : (X, O) ( X, Õ) ist genau dann stetig, wenn ϕ g i für alle i I stetig ist. O. Beweis: Wegen g 1 i ( ) = und g 1 (X) = X i für alle i I gelten, X i Seien O 1, O 2 O. Dann folgt g 1 i (O 1 O 2 ) = g 1 i (O 1 ) g 1 i (O 2 ) O i, daher ist O abgeschlossen bzgl. der Bildung endlicher Durchschnitte. Seien O j O. Wegen g 1 i ( j J O j) = j J g 1 i (O j ) O i, sind auch beliebige Vereinigungen von Elementen aus O wieder in O. (i) Wegen g 1 i (O) O i für alle i I sind alle g i stetig. Sei nun O eine weitere Topologie auf X, bezüglich der alle g i stetig sind. Es gilt also (O ) O i für alle i I, was O O impliziert. Daher ist O gröber als O. (ii) g 1 i (O c ) = g 1 i (O) c. (iii) Es ist klar, daß, wenn ϕ stetig ist, auch die Kompositionen ϕ g i g 1 i stetig sind. Es gelte umgekehrt, daß ϕ g i für alle i I stetig ist. Sei Õ Õ. Nach Voraussetzung gilt g 1 i (ϕ 1 (Õ)) = (ϕ g i) 1 (Õ) O i für alle i I. 1 Die Definition von O sagt aber gerade, daß dann ϕ (Õ) O gilt, also ist ϕ stetig. Definition 4.18 Die in obiger Proposition konstruierte Topologie O heißt die von der Familie g i erzeugte Finaltopologie (final topology) auf X. Beispiel 4.19 Sei X := i I X i (disjunkte Vereinigung der X i ), wobei (X i, O i ) topologische Räume seien. Es bezeichne g i : X i X die Inklusion. Die von der Familie (g i ) erzeugte Finaltopologie O auf X heißt Summentopologie. In diesem Fall schreibt man X = i I X i. Es gelten: O O g 1 i (O) O i i O X i O i i I. A X ist abgeschlossen A X i ist abgeschlossen in X i. Insbesondere sind alle X i offen und abgeschlossen in X i. ϕ : (X, O) ( X, Õ) ist stetig ϕ g i = ϕ Xi ist stetig für alle i I. Beispiel 4.20 (i) Sei (X, O) ein diskreter topologischer Raum. Dann gilt: X = x X {x}. (ii) Für die Sorgenfrey Gerade (R, O S ) gilt R = [k, k + 1), wobei k Z [k, k + 1) mit der von O S induzierten Topologie versehen ist. Definition 4.21 (i) Sei (X, O) ein topologischer Raum und f : X Y eine surjektive Abbildung. Die von f auf Y induzierte Finaltopologie heißt Quotiententopologie (quotient topology). 27

(ii) Eine surjektive Abbildung f : (X 1, O 1 ) (X 2, O 2 ) heißt Quotientenabbildung (quotient mapping), falls O 2 die von f auf X 2 induzierte Quotiententopologie ist. Bemerkung 4.22 Eine stetige, surjektive Abbildung f : X 1 X 2 ist genau dann eine Quotientenabbildung, wenn eine Teilmenge A 2 X 2 genau dann abgeschlossen ist, wenn ihr Urbild f 1 (A 2 ) abgeschlossen ist. Proposition 4.23 Die Verknüpfung von Quotientenabbildungen ist wieder eine Quotientenabbildung. f 1 Beweis: Seien (X 1, O 1 ) (X2, O 2 ) (X3, O 3 ) Quotientenabbildungen. Dann ist f 2 f 1 surjektiv und es gelten: O 3 O 3 f2 1 (O 3 ) O 2 f1 1 (f2 1 (O 3 )) O }{{} 1. (f 2 f 1 ) 1 (O 3 ) Proposition 4.24 Jede Abbildung f : (X 1, O 1 ) (X 2, O 2 ), welche stetig, offen und surjektiv ist, ist eine Quotientenabbildung. Beweis: Es ist zu zeigen: Für Y X 2 sind äquivalent: Y O 2 f 1 (Y ) O 1. gilt, da f stetig ist. f surjektiv : Da f surjektiv und offen ist, gelten: Y = f(f 1 f offen (Y ) O }{{} 2. f 2 O 1 ) Um konkrete Beispiele von Quotientenabbildungen kennen zu lernen, wollen wir zwei bekannte Resultate aus der Analysis über kompakte Teilmengen des R n verwenden, nämlich, daß eine Teilmenge einer kompakten Menge genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen ist sowie daß stetige Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind. (Dies wird ohne Rückgriff auf die nachfolgenden Resultate in einem späteren Kapitel bewiesen.) Proposition 4.25 Seien K R n und S R m kompakte Teilmengen. Eine stetige und surjektive Abbildung ϕ : K S ist eine Quotientenabbildung. Beweis: Es ist zu zeigen, daß A S genau dann abgeschlossen ist, wenn ϕ 1 (A) eine abgeschlossene Teilmenge von K ist (4.22). Ist A S abgeschlossen, so ist wegen der Stetigkeit von ϕ das Urbild ϕ 1 (A) abgeschlossen in K. Ist umgekehrt ϕ 1 (A) abgeschlossen in der kompakten Menge K, so ist ϕ 1 (A) kompakt. Wegen der Surjektivität von ϕ gilt: A = ϕ(ϕ 1 (A)). Als stetiges Bild der kompakten Menge ϕ 1 (A) ist A daher kompakt und damit abgeschlossen in S. 28

Proposition 4.26 Sei f : (X 1, O 1 ) (X 2, O 2 ) eine Quotientenabbildung. Durch x 1 x 1 : f(x 1 ) = f(x 1) wird eine Äquivalenzrelation definiert. Es bezeichne X 1 := X 1 / die Menge der Äquivalenzklassen und π : X 1 X 1, x 1 [x 1 ] die kanonische Abbildung. Wir versehen X 1 mit der von π induzierten Quotiententopologie Õ1. Dann ist f : ( X1, Õ1) (X 2, O 2 ), [x 1 ] f(x 1 ) ein wohldefinierter Homöomorphismus. (X 1, O 1 ) π ( X 1, Õ1) f (X 2, O 2 ) ef Beweis: Es ist klar, daß durch eine Äquivalenzrelation definiert wird. Es bleibt daher zu zeigen, daß f ein wohldefinierter Homöomorphismus ist. Nach Konstruktion ist f wohldefiniert und bijektiv. f ist stetig: [Sei O 2 O 2. Es ist zu zeigen, daß f 1 (O 2 ) offen in X 1 ist. Dies ist äquivalent dazu, daß π 1 ( f 1 (O 2 )) offen in X }{{} 1 ist. Dies gilt aber, da =( f π) 1 (O 2 ) }{{} =f 1 (O 2 ) f stetig ist.] f ist offen: [ Sei Õ1 Õ1. Es ist zu zeigen, daß f(õ1) O 2 gilt. Da O 2 die von f induzierte Quotiententopologie ist, ist dies äquivalent dazu, daß f 1 ( f(õ1)) O 1. Wegen f = f π ist dies äquivalent zu ( f π) 1 ( f(õ1)) = π 1 ( f 1 ( }{{ f(õ1)) ) = π 1 (Õ1) O } 1 (da f bijektiv ist). = O f 1 Daher ist f offen.] Beispiel 4.27 Betrachten wir die Abbildung π : [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1]/, x [x], wobei (i) (s 1, t 1 ) (s 2, t 2 ) : s 1 = s 2 t 1 = t 2 oder s 1 = 0, s 2 = 1 t 1 = t 2 oder s 1 = 1, s 2 = 0 t 1 = y 2 Dafür schreiben wir kurz: (0, t) (1, t). Dann ist [0, 1] [0, 1]/ homöomorph zum Zylinder Z = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 1, 0 z 1}. 29

[Betrachte: f : [0, 1] [0, 1] Z, (s, t) (cos(2πs), sin(2πs), t). Genau dann gilt f(s 1, t 1 ) = f(s 2, t 2 ), wenn (s 1, t 1 ) (s 2, t 2 ). Somit folgt die Behauptung aus 4.26 und 4.25.] (ii) (0, y) (1, 1 y). Dann ist [0, 1] [0, 1]/ homöomorph zum Möbiusband M := {(cos t (1+s cos t 2 ), sin t (1+s cos t 2 ), s sin t 2 ) : s 1 2, 0 t 2π}. [Übungsaufgabe] (iii) (0, y) (1, y) ((x, 0) (1 x, 1). Der Quotientenraum wird Keinsche Flasche genannt. 30

5 Trennungsaxiome Definition 5.1 Sei (X, O) ein topologischer Raum. (i) X heißt T 1 Raum, wenn alle einpunktigen Mengen {x} (x X) abgeschlossen sind. (ii) X heißt Hausdorff Raum oder T 2 Raum (Hausdorff space oder T 2 space), wenn zu je zwei verschiedenen Punkten x, y X disjunkte Umgebungen U U(x) und V U(y) existieren, man also Punkte durch Umgebungen trennen kann. (iii) X heißt regulär (regular), wenn X ein T 1 Raum ist und für jede abgeschlossene Menge A X und jedes x / A disjunkte offene Mengen U und V existieren mit x U und A V. (Punkte sind abgeschlossen und können von abgeschlossenen Mengen durch offene Mengen getrennt werden.) (iv) X heißt vollständig regulär (completely regular), falls X ein T 1 Raum ist und für jede abgeschlossene Menge A und jeden Punkt x / A eine stetige Funktion f : X [0, 1] existiert, die f(a) {0} und f(x) = 1 erfüllt. (v) X heißt normal (normal), falls X ein T 1 Raum ist und zu zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen A und B offene Mengen O 1, O 2 O existieren mit A O 1, B O 2 und O 1 O 2 =, also Punkte abgeschlossen sind und disjunkte abgeschlossene Mengen durch offene Mengen getrennt werden können. Proposition 5.2 (i) Jeder metrische Raum ist normal. (ii) Jeder vollständig reguläre Raum ist regulär. (iii) Jeder reguläre Raum ist ein Hausdorff Raum. (iv) Jeder Hausdorff Raum ist ein T 1 Raum. Bemerkung 5.3 Das Lemma von Urysohn, das wir später zeigen werden, sagt aus, daß jeder normale Raum vollständig regulär ist. Beweis: (i) Seien A und B disjunkte abgeschlossene Mengen. O.B.d.A. d(x, A) seien A, B. Dann ist die Abbildung: X [0, 1], x d(x, A) + d(x, B) 31

(wohldefiniert) und stetig. Zur Erinnerung: d(x, A) := inf{d(x, a) : a A} ist stetig (Übungsaufgabe 7). Wegen X \ {x} = y X\{x} B(y, d(x, y)) ist {x} abgeschlossen. (ii) Seien A X abgeschlossen und x / A. Nach Voraussetzung existiert eine stetige Funktion f : X [0, 1] mit f(a) {0} und f(x) = 1. Dann efüllen U := f 1 (]1/2, 1]) und V := f 1 ([0, 1/2[) das Gewünschte. (iii) klar. (iv) Sei x X. Für jedes y X \ {x} existiert eine offene Umgebung U y von y, die x nicht enthält. Daher ist X \ {x} = U y offen. y X\{x} Proposition 5.4 Seien (X i, O i ) toplogische Räume. Sind alle X i T 1 / T 2 Räume, regulär oder vollständig regulär, so auch (i) jeder Teilraum von X i0, (ii) die Summe X i und (iii) das Produkt X i. Beweis: Machen wir uns zuerst klar, daß obige Neubildungen topologischer Räume verträglich mit der Trennungseigenschaft T 1 sind: Für Teilräume ist dies sofort klar (4.2 (i)), für Summen ebenso, da die X i0 Teilräume in X i sind, und für Produkte folgt es aus 4.13. Nun zu T 2 : (i) Sei Y ein Teilraum von X i0. Sind U, V disjunkte Umgebungen in X i0, so sind U Y und V Y disjunkte Umgebungen in Y. (ii) Seien x y X i. Existiert ein i 0 mit x, y X i0, so existieren, da X i0 ein Hausdorff Raum ist, disjunkte offene Umgebungen U bzw. V in X i0 von x bzw. y. Diese sind, da X i0 offen in X i ist, auch im Gesamtraum offen. Liegen x, y in verschiedenen Mengen, also x X i und y X j (i j), so sind X i und X j die gesuchten disjunkten Umgebungen. (iii) Seien (x i ) (y i ) i I X i. Dann existiert i 0 I mit x i0 y i0 und, da X i0 ein Hausdorff Raum ist, disjunkte Umgebungen U i0 von x i0 und V i0 von y i0. Dann sind Umgebungen U := U i0 i i 0 X i und V := V i0 i i 0 X i disjunkte Umgebungen von (x i ) bzw. (y i ). Zur Regularität und zur vollständigen Regularität: (i) Seien Y X i0, B Y abgeschlossen in Y und y Y \ B. Gemäß 4.2 (i) existiert eine abgeschlossene Menge A X i, die A Y = B erfüllt. Da X i (vollständig) regulär ist, existieren offene Mengen (eine stetige Funktion f), 32