Die interaktive Konstruktion von Durchdringungsobjekten mit Cabri 3D

Heinz Schumann Die interaktive Konstruktion von Durchdringungsobjekten mit Cabri 3D 1. Einleitung Die Konstruktion neuer geometrischer Raumobjekte aus gegebenen räumlichen Objekten ist eine herausfordernde Aufgabe im Rahmen der der physischen und virtuellen Objektgeometrie. Der Vorteil der physischen Konstruktion beruht auf der ganzheitlichen Wahrnehmung, der Vorteil der virtuellen Konstruktion u. a. in der Möglichkeit des Probehandelns, der größeren Objektkomplexität und besseren Verwaltung der Objekte. Im folgenden beschränken wir uns, dem Thema entsprechend, auf die virtuelle Konstruktion von Durchschnitt- bzw. Durchdringungsobjekte. Dabei besteht ein Durchdringungsobjekten aus den Punkten, die zugleich zu beiden Objekten gehören, aus denen sie gebildet werden. Durchdringungsobjekte von Körpern sind Körper, von räumlichen Flächen Raumkurven (bei ebenen Flächen auch: Kanten- bzw. Streckenzüge). An Beispielen der klassischen Darstellenden Geometrie soll gezeigt werden, wie man mit Cabri 3D Durchdringungsobjekte konstruieren kann. Für nicht polyedrische Objekte, die einander durchdringen, geht das im Allgemeinen nur durch Approximation mittels Polyedern aus polygonalen Flächennetzen bzw. Streckenzügen. Insofern wird in diesem Beitrag auch ein wenig in die computergeometrische Approximation von räumlichen Objekten eingeführt. Durchdringungspolyeder können wir uns durch Ausdrucken ihrer Netze als physische Flächenmodelle verfügbar machen. Die Beispiele im Überblick Dynamische Polyederdurchdringungen: Für je zwei Polyeder lassen sich in Cabri 3D dynamische, stets konvexe Durchschnittkörper folgendermaßen mit der Schnittkörperbildung konstruieren. Man schneidet mittels aller Seitenflächenbenen des durchdringenden Polyeders, die nicht zu beiden Polyedern gehörenden Teile des durchdrungenen Polyeders ab. Das so konstruierte Polyeder ist dann das Durchschnittpolyeder, das sich bei dynamischer Form- und Lageänderung der gegebenen Polyeder erwartungsgemäß verhält. Das ist an den Beispielen 1 und 5 ausgeführt. Anmerkung: Im virtuellen Raum gestatten CAD-Systeme, die Surface bzw. Solid Modeller genannt werden, die Ausführung der so genannten Booleschen Operationen für Körper als Flächen- bzw. Vollkörpermodelle. Dabei ist unter den Booleschen Operationen, die auf der Definition der Vereinigungsmenge, der Schnittmenge und der Restmenge basieren, folgendes zu verstehen: Zu zwei Körpern kann gebildet werden - der Vereinigungskörper, der aus allen Punktpixeln besteht, die zu mindestens einem der Körper gehören. - der Durchschnittkörper bzw. Durchdringungskörper, der aus den Punktpixeln besteht, die beiden Körpern gemein sind. - der Restkörper eines der Körper bezüglich eines anderen, der aus den Punktpixeln besteht, die zum ersten Körper aber nicht zum anderen gehören. Cabri 3D ist aber kein solcher Modeller; es kann aus zwei gegebenen Körpern nicht den Vereinigungskörper, den Durchschnittkörper und den Restkörper als neues refernzierbares Objekt automatisch generieren, d. h. es kann die sogenannten

50 Booleschen Operationen nicht ausführen. Nach der Philosophie der dynamischen Geometrie müsste dann jede Lage- und Formänderung der Körper auch unmittelbar eine dynamische Veränderung des Vereinigungskörpers, des Durchschnittkörpers und des Restkörpers nach sich ziehen. Statische Polyederdurchdringungen kann man gewinnen, indem man die Ecken des Durchdringungspolyeders als Schnittpunkte von Kanten mit Kanten bzw. als Punkte, die Seitenflächen gemein sind, konstruiert. Solche Durchdringungspolyeder werden in den Beispielen 2 und 3 behandelt. Ist einer der Körper kein Polyeder, so kann der Durchdringungskörper mit Cabri 3D nicht exakt konstruiert werden, sondern nur durch ein Polyeder, das diesen Körper näherungsweise beschreibt. Solche Konstruktionen sind in den Beispielen 4, 6 und 7 ausgeführt. In den Beispielen 8 bis 10 werden (algebraische) Durchdringungskurven von entsprechenden Körperflächen, also Kurven, in denen diese einander schneiden, durch Streckenzüge angenähert. In einem Exkurs behandeln wir abschließend ein klassisches Selbstdurchdringungsproblem, das auf konstruktiv-experimentelle Weise gelöst wird. 2. Durchdringungskörper und -kurven Beispiel 1 (Dynamische Durchdringung eines Würfels mit einem Tetraeder) Verschiebt man ein Tetraeder in einen Würfel derselben Standfläche (Abb. 1/2), so entsteht ein konvexes Durdringungspolyeder, das höchstens so viele Seitenflächen haben kann, wie das Tetraeder. Diese Polyeder ist aber noch nicht als referenzierbarer Körper verfügbar. Um es als Schnittpolyeder zu erhalten, konstruieren wir zu jeder der Seitenflächen des Tetraeders ihre Trägerebene (Abb. 3, von oben gesehen) und schneiden den jeweiligen Teil des Würfels ab, der nicht zu dem Durchschnittpolyeder gehört bzw. der keine inneren Punkte des Tetraeders enthält (Abb. 4, ein erster Schritt). Die Abbildung 5 zeigt das Ergebnis des Abschneidens von oben, mit dem Durchschnittpolyeder ohne Tetraeder. Im Kantenmodell des Tetraeders ist der Durchschnitt deutlich zu erkennen, dessen Form sich beim Bewegen des Tetraeders verändert (Abb. 6). Eine dynamische Variation des Durchdringungspolyeders erhalten wir auch bei Formvariation des Tetraeders (Abb. 7). Abb. 1 Abb. 2

51 Abb. 3 Abb. 4 Abb. 5 Abb. 6

52 Abb. 7 Beispiel 2 (Durchdringung von vier Würfeln) Rotiert man einen Ausgangswürfel nacheinander um die drei Achsen durch die Mitten seiner Gegenflächen jeweils mit einem halben rechten Winkel, so erhält man einen Körper wie in Abbildung 8. Als Durchschnittpolyeder bekommt man mittels der konvexen Hülle von Schnittpunkten jeweils dreier Flächen ein so genanntes Rhombenkuboktaeder (Abb. 9). Abb. 8 Abb. 9 Beispiel 3 (Durchdringung dreier quadratischer Säulen) Rotiert man eine quadratische Säule um jeweils eine Diagonale eines Querschnittquadrats mit 90, so entsteht eine Konfiguration wie in Abbildung 10. Der allen drei Säulen gemeinsame Körper muss 12 Ecken haben. Entweder führt man Ebenenschnitte wie in Beispiel 1, um das Durchdringungspolyeder zu erhalten, oder man erzeugt es als konvexe Hülle aus seinen Eckpunkten, die aus Kantenschnittpunkten bzw. aus den Seitenflächen der drei Säulen gemeinsamen Punkten konstruiert wird (Abb. 11/12, Konstruktion von Eckpunkten und Durchdringungspolyeder). In Abbildung 13 ist nach Ausblendung aller ursprünglichen Objekte und allen Hilfsobjekten das Durchschnittpolyeder zu sehen; es ist ein Rautenzwölfflach (Rhombendodekaeder). Auf vielfältige Weise könnte man nun zu ähnlichen Körperkonfigurationen aus kongruenten Polyedern ihre Durchschnittkörper generieren, wie z. B. in Abbildung 14 für sechsseitige Prismen.

53 Abb. 10 Abb. 11 Abb. 12 Abb. 13 Abb. 14 Beispiel 4 (Durchdringung einer Kugel mit einem dreiseitigen Prisma) Den betreffenden Schnittkörper, ein Kugelteil (Abb. 15), können wir nur näherungsweise als Polyeder konstruieren. Dazu legen wir vertikale und äquidistante Ebenen-

54 schnitte in die Kugel, deren Schnittpunkte erzeugen auf ihr ein Netz aus Dreiecken im Inneren des Prismas (Abb. 16); außerdem ersetzen wir die Schnittkreise der Kugel mit den Prismenseitenflächen durch Schnittpolygone, deren Eckpunkte aus horizontal und äquidistant liegenden Ebenen und diesen Schnittkreisen gebildet werden (Abb. 17). Als konvexe Hülle aus diesen Polygonen und den Kugelpunkten des Dreiecksnetzes erzeugen wir schließlich das Durchdringungspolyeder, das den betreffenden Kugelteil approximiert (Abb. 18). Abb. 15 Abb. 16 Abb. 17 Abb. 18 Beispiel 5 (Dynamisches Modellierung des Bleistiftspitzens als Durchdringung) Das Bleistiftspitzen lässt sich modellieren, indem man den Durchdringungskörper einer sechskantigen Säule von regelmäßiger Grundfläche als noch nicht angespitzter

55 Bleistift mit einem Kegel konstruiert. Die Abbildung 19 zeigt die betreffende Ausgangskonfiguration. Die Ebenen der Seitenflächen des Prismas schneiden den Kegel in Hyperbeln, deren Bögen durch Streckenzüge approximiert werden (Abb. 20, für eine Seitenfläche) man konstruiert nun eine der Seitenflächen des Durchdringungskörpers näherungsweise als Polygon und bildet dieses duplizierend mittels Drehungen auf die restlichen Prismenseitenflächen ab. Jetzt generiert man aus diesen sechs Polygonen und der Kegelspitze ein Näherungspolyeder (Abb. 21). Um schließlich den Näherungskörper, der Kegel und Prisma gemein ist, zu erhalten, muss noch die Polyederspitze abgeschnitten werden (Abb. 22/23). Durch entsprechendes weiteres Ausblenden von Objekten und die Wahl geeigneter Objektdarstellungen erhalten wir in Abbildung 24 einen teilangespitzten Bleistift und in Abbildung 25 durch Verziehen einen völlig angespitzten Bleistift. Abb. 19 Abb. 20 Abb. 21 Abb. 22

56 Abb. 23 Abb. 24 Abb. 25 Beispiel 6 (Durchdringungskörper von Kreiszylindern) Zwei kongruente Kreiszylinder mit orthogonal stehenden Achsen haben als gemeinsame Schnittlinien kongruente orthogonal stehende Ellipsen, die die Grate ihres Durchdringungskörpers bilden (Abb. 26). Dieser Körper besteht aus vier kongruenten Teilen, die durch Polyeder approximiert werden sollen. Die Eckpunkte eines dieser Teilpolyeder erhält man als Schnittpunkte von Zylindermantel-Linien mit den Ellipsen (Abb. 27). Die gewölbte Oberfläche des Teilpolyeders wird aus gleichschenkligen Trapezen gebildet (Abb. 28), aus denen wir es als konvexe Hülle konstruieren (Abb. 29). Durch entsprechende Drehungen dieses Teilkörpers wird der gesamte Durchschnittpolyeder erzeugt (Abb. 30). Nach Ausblendung der Polygonecken und -seiten bzw. Polyederecken und -kanten erhält man einen Körper wie in Abbildung 31. Durch Hinznehmen eines dritten kongruenten Kreiszylinders, dessen Achse senkrecht auf den beiden anderen Zylinderachsen steht, bekommt man eine Konfiguration wie in Abbildung 32. Ein zu allen drei Zylindern gehörendes Durchschnittpolyeder könnte man erhalten, indem man den Durchschnitt des Polyeders in Abbildung 30/31 z. B. mit einem Prisma regelmäßiger 24-seitiger Grundfläche bildet, das dem zusätzlichen Kreiszylinder einbeschrieben ist. Wir können aber auch den näherungsweisen Durchschnitt direkt konstruieren; das ist einfacher. Er besteht aus aus einem Würfel und sechs kongruenten Körpern, mit Graten aus Ellipsenbögen, die einem Würfel aufgesetzt sind (Abb. 33/34). Einen der sechs Körper erzeugen wir als konvexe Hülle gleichschenkliger Trapezflächen wie in Abbildung 28/29. Nach Ausblendung entsprechender Objekte drehen wir diese Kappe um Zylinderachsen, um das Durchdringungspolyeder zu komplettieren (Abb. 35/36).

57 Abb. 26 Abb. 27 Abb. 28 Abb. 29 Abb. 30 Abb. 31

58 Abb. 32 Abb. 33 Abb. 34 Abb. 35 Abb. 36 Beispiel 7 (Klostergewölbe als Teiloberfäche eines Durchdringungskörpers) Als Teiloberfäche des Durchschnittkörpers zweier im rechten Winkel stehender Halbzylinder entsteht das sogenannte Klostergewölbe über einem Quadrat (Abb. 37). Um die Gewölbefläche näherungsweise aus Polygonen zu generieren, beschreiben wir den Ellipsenbögen wie schon vorher beschrieben gleichschenklige Trapeze ein (Abb. 38). Durch Rotation der Teilflächen approximiert man nun das Gewölbe als nicht referenzierbares Objekt (Abb. 39), das nach Ausblendungen von Hilfsobjekten wie in Abbildung 40 aussieht.

59 Abb. 37 Abb. 38 Abb. 39 Abb. 40

60 Das (abgeschlossenene) Komplement dieses Gewölbes bezüglich der beiden Halbzylinderfächen ist das so genannte Kreuzgewölbe. Die Grate des Klostergewölbes werden zu Kehlen. Eine entsprechende polygonale Approximation eines solchen Gewölbes zeigt die Abbildung 41 und nach Ausblendung der Polygonecken und -seiten die Abbildung 42. Ähnlich könnte man Kloster- und Kreuzgewölbe auch über anderen konvexen regelmäßigen Vielecken erzeugen. Abb. 41 Abb. 42 Beispiel 8 (Durchdringungskurve zweier Zylinderflächen) In einen Zylinder wird ein anderer hineingesteckt (Abb. 43/44). Aus den Durchstoßpunkten von Mantel-Linien eines der Zylinder mit dem anderen (Abb. 45) konstruieren wir die (algebraische) Durchdringungskurve 4. Ordnung näherungsweise als geschlossenen Streckenzug (Abb. 46). Das ist ein erster Schritt bei der Modellierung eines Rohrstutzens aus kreiszylindischen Rohren, der mittels polygonaler Netz approximiert werden kann (Abb. 47).

61 Abb. 43 Abb. 44 Abb. 45 Abb. 46 Abb. 47 Beispiel 9 (Durchdringungskurve von Kugel- und Zylinderfläche) Wir schieben einen Kugel in einen Zylinder (Abb. 48). Die Schnittpunkte entsprechender Mantel-Linien mit der Kugel werden mittels Strecken zu Streckenzügen verbunden (Abb. 49). Nach Ausblenden der Körper und der Hilfsobjekte erhalten wir näherungsweise eine algebraische Raumkurve der Ordnung 4 (Abb. 50). Ist eine der Mantel-Linien Kugeltangente (Abb. 51), so erhalten wir eine Kurve mit einem Doppelpunkt (Abb. 52) usw. Abb. 48

62 Abb. 49 Abb. 50 Abb. 51 Abb. 52 Beispiel 10 (Durchdringungskurve von Kegel- und Kugelfläche) Wir legen eine Kugel in einen Kreiskegel (Abb. 53) und konstruieren die entsprechenden Schnittpunkte der Mantellinie des Kegels mit der Kugel (Abb. 54). Der Verbindungsstreckenzug approximiert die betreffende algebraische Raumkurve der Ordnung 4. Berührt eine der Mantel-Linien die Kugel (Abb. 55), so erhalten wir eine Raumkurve mit einem Doppelpunkt (Abb. 56), deren Projektion in die Ebene eine Kardioide darstellt (Abb. 57).

63 Abb. 53 Abb. 54 Abb. 55 Abb. 56 Abb. 57

64 3. Exkurs: Durchdringung zweier kongruenter Würfel Eine reizvolle Durchdringungsaufgabe besteht in der Konstruktion der Durchdringung eines Würfels durch einen kongruenten so, dass der symmetrische Restkörper noch zusammenhängend ist (vgl. Abb. 58, eine Aufgabe aus Graf/Barner Darstellende Geometrie, S. 88/89). Der durchzuschiebende Würfel bildet mit dem zu ihm kongruenten Würfel einen Durchschnitt, der nicht eingezeichnet ist. Abb. 58 Führt man die etwas knifflige Konstruktion im virtuellen Raum aus, so stellt man fest, dass die in Abbildung 58 angegebene Durchschiebung nicht in Richtung einer Würfelraumdiagonale geführt werden kann, denn in diesem Fall bekommt man eine Verletzung der Durchdringungsbedingung (Abb. 59/60).

65 Abb. 59 Abb. 60 Die Durchschiebrichtung hat mit der Standebene einen größeren Winkel; es muss in etwa wie in Abbildung 61 durchgeschoben werden. Das Durchschieben bei experimenteller Lösung zeigt die Abbildung 62. Diese Lösung lässt sich noch verallgemeinern (Abb. 63-65, verschiedene Phasen beim Durchschieben); der Restkörper ist dann punktsymme-trisch und nicht mehr ebenensymmetrisch. Abb. 61 Abb. 62 Abb. 63 Abb. 64

66 Abb. 65 Gibt es auch noch andere kongruente platonische Körper, die einander durchdringen, ohne dass der durchdrungene Körper zerfällt? 4. Literatur Bainville, E., Laborde, J.-M. (2004): Cabri 3D 1.0. (Software). Grenoble: Cabrilog. Deutsche Version (Bearbeitung von H. Schumann) zu beziehen von www.cotec.de Graf, U. (1961): Darstellende Geometrie. Bearbeitet von M. Barner. Heidelberg: Quelle & Meyer Schumann, H. (2005a): Dynamische Raumgeometrie. In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2005. Hildesheim: Franzbecker Schumann, H. (2005b): Interaktives geometrisches Modellieren im virtuellen Raum mit Cabri 3D. In: LOG IN Informatische Bildung und Computer in der Schule, Heft 133, S. 55-61 Schumann, H. (2005c): Parallelprojektive Schattenbilder von Körpern mit Cabri 3D. In: Beiträge zum Computereinsatz in der Schule, Jg. 19, Heft 1. Schumann, H. (2005d): Zentralprojektion im virtuellen Raum eine Einführung. In: Beiträge zum Computereinsatz in der Schule, Jg. 19, Heft 2