Vorlesung Elektrische Maschinen Kapitel 0 (Grundlagen) Fachhochschule Dortmund FB 3 Dr. Bernd Aschendorf SS 03, WS 03/04
0. Grundlagen Die Beschreibung und Berechnung Elektrischer Maschinen baut intensiv auf Begriffen und Formeln der Theoretischen Elektrotechnik und der allgemeinen Elektrotechnik auf. Daher sollen im folgenden einige Grundlagen aus der Theoretischen Elektrotechnik wiederholt werden, auf die im Laufe der Vorlesung zurückgegriffen wird. 0.1 Spannungen Spannungen können Klemmenspannungen, Gleichspannungen oder Wechselspannungen sein. Im Bereich der Elektrischen Maschinen werden hierüberhinaus induzierte Spannungen, Transformationsspannungen, Selbstinduktionsspannungen und Bewegungsspannungen auf. 0.1.1 Induzierte Spannung Faraday entdeckte 1831 das Induktionsgesetz. Auf der Basis von folgendem Bild lautet es Die induzierte Spannung ist proportional der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses, der mit dem zeitlich veränderlichen Magnetfeld verkettet ist (nicht alle Feldlinien des magnetischen Feld durchsetzen die betrachteten Spulen), und der Anzahl der Windungen der Spule. Die induzierte Spannung wird Quellenspannung genannt. Belastet man die Spulenenden mit einem Widerstand R, so wird u q zur Klemmenspannung und es entsteht ein Stromfluß nach folgendem Bild
Dieser Strom i wiederum erzeugt ein eigenes Magnetfeld B i und damit einen mit der Spule verketteten Fluß Φ i, der nach der Lenzschen Regel dem Fluß Φ entgegengesetzt ist. 0.1.2 Transformationsspannung Die zeitliche Änderung des Flusses Φ kann verschiedenste Ursachen haben. Ruht die Spule bei pulsierendem, also zeitlich veränderlichem Magnetfeld B, so spricht man von Transformationsspannung. Die Form der Spannungsinduktion kommt bei Transformatoren zur Anwendung, bei der 2 oder mehrere Spulen mit möglicherweise verschiedenen Windungszahlen gegenseitig für Spannungsinduktion sorgen. 0.1.3 Selbstinduktionsspannung Die Selbstinduktionsspannung tritt auf, wenn eine Spule vom eigenen Strom i durchflossen wird, ein Magnetfeld aufbaut und mit dem mit derselben Spule verketteten Fluß eine Selbstinduktionsspannung erzeugt. Man führt die Induktivität ein, die bei einer einzelnen Spule als Selbstinduktivität L auftritt. Ist der Spannungsverlauf sinusförmig und sind keine ferromagnetischen Stoffe in der Nähe der Spule, so kann obige Gleichung anders geschrieben werden und man erhält:
Dies kann über folgendes Bild verdeutlicht werden: 0.1.4 Bewegungsspannung Bewegt sich die Spule, z.b. rotierend in einem konstanten magnetischen Feld, so tritt Bewegungsspannung auf. Das magnetische Feld kann hierbei abhängig vom Ort unterschiedlichste Verläufe aufweisen. Die Bewegungsspannung erhält man grundlegend über die Differentiation des verketteten Flusses nach der Zeit. Da der Fluß infolge des örtlich abhängigen magnetischen Feldes jedoch vom Ort abhängig ist, muß zunächst nach dem Ort differenziert und anschließend die örtliche Abhängigkeit nach der Zeit differenziert werden. Der verkettete Fluß ergibt sich über die Integration des magnetischen Feldes über den Ort x. Damit ist: Zur Berechnung der Bewegungsspannung sind die örtliche Differentiation des Flusses nach der Zeit und die zeitliche Differentiation des Ortes nach der Zeit zu bestimmen.
Aus der Bestimmung des magnetischen Flusses kann durch Differentiation wiederum das gewünschte Ergebnis bestimmt werden. Die zeitliche Differentiation des Ortes nach der Zeit ist bei konstanter Relativbewegung wiederum die Geschwindigkeit der Anordnung. Zusätzlich muß berücksichtigt werden, daß der Fluß von beiden Seiten eine Spule durchsetzen kann. Damit ist im Falle einer rotierenden Spule im zeitlich konstanten Magnetfeld: u B = 2 N B x l v 0.2 Kraftwirkung, Drehmoment Fließt ein Strom über einen Leiter in einem magnetischen Feld, so wird auf den Leiter eine Kraft ausgeübt. Dieses Prinzip wird in allen Elektrischen Maschinen angewandt. Zugrundegelegt wird folgendes Bild, wobei das magnetische Feld senkrecht auf dem stromführenden Leiter steht. Es kommt zu einer Kraftwirkung, die in dem Bild angegeben ist: Stehen Richtung des magnetischen Feldes und Leiter im rechten Winkel zueinander, so ergibt sich: F = B l I Neben der Kraftwirkung ist für Elektrische Maschinen das Drehmoment wesentlich interessanter. Das Drehmoment ergibt sich über Multiplikation der Kraft mit einem Hebelarm, der z.b. gleich dem Halbmesser einer Anordnung ist. Summiert man alle Einzeldrehmomente einer Anordnung auf, so ergibt sich das Gesamtdrehmoment. 0.3 Magnetisches Feld 0.3.1 Grundlegende Größen, formelmäßiger Zusammenhang Das magnetische Feld wird durch die Größen
elektrische Stromstärke I (Einheit A) elektrische Durchflutung Θ (Einheit A) elektrischer Strombelag A (Einheit A/m) elektrische Stromdichte J (Einheit A/m 2 ) magnetische Feldstärke H (Einheit A/m) magnetische Feldkonstante μ 0 (Einheit Vs/Am) relative Permeabilität μ r (Einheit 1) magnetische Flußdichte B (Einheit T = Vs/m 2 ) magnetischer Fluß Φ (Einheit Vs) verketteter Fluß Ψ (Einheit Vs) Induktivität L, M (Einheit H = Vs/A) elektrische Spannung (Einheit V) magnetisches Vektorpotential A (Einheit Vs/m) (Vektor) magnetische Spannung V (Einheit A) hervorgerufen, bzw. beschrieben. Bei der Herleitung von Ersatzschaltbildern, bzw. Ersatzgrößen Elektrischer Maschinen ergibt sich fast grundsätzlich folgende Abfolge der Anwendung von physikalischen Formeln mit folgenden Größen. Grundlage für ein magnetisches Feld ist der elektrische Strom I. Da in elektrischen Maschinen der Strom meist in Spulen mit mehreren Windungen geführt wird, ergibt sich durch Multiplikation des elektrischen Stromes mit der Windungszahl N die elektrische Durchflutung Θ. In einigen Fällen tritt der Strom auch als Strombelag A auf, wenn ein konstanter Strom über eine bestimmte Weglänge auftritt. Eine weitere wichtige Größe ist die Stromdichte J, die sich als Division des elektrischen Stromes durch die wirksame Fläche ergibt, in der der elektrische Strom fließt, z.b. in einem massiven Leiter. Über das Durchflutungsgesetz H dl = Θ (H und dl sind vektorielle Größen), das z.b. beim magnetischen Kreis zur Anwendung kommt, kann an bestimmten Stellen in einem magnetischen Kreis die magnetische Feldstärke H bestimmt werden. Die Berechnung kann über Abschätzungen, analytische Rechnungen oder numerische Feldberechnungen erfolgen. Multipliziert man im nicht-ferromagnetischen Raum die magnetische Feldstärke H mit der magnetischen Feldkonstante μ 0, so erhält man die magnetische Flußdichte B, auch magnetische Induktion genannt. Ist der Ort, in dem die magnetische Flußdichte B bestimmt werden soll, mit ferromagnetischem Material ausgekleidet, so muß die magnetische Feldstärke H zusätzlich mit der relativen Permeabilität μ r, die an dem Ort wirksam ist, multipliziert werden. Die relative Permeablität kann bei Sättigung im Eisen stark schwanken.
Integriert man die magnetische Flußdichte B über eine wirksame Fläche, z.b. die Fläche, welche von einer Spule aufgespannt wird, so erhält man den durch die Spule tretenden magnetischen Fluß Φ. Tritt der Fluß gleichzeitig durch mehrere in Serie geschaltete Windungen, so ergibt sich der verkettete Fluß Ψ durch Multiplikation des magnetischen Flusses mit der Windungszahl einer Spule. Denkbar sind für den verketteten Fluß auch andere Aufsummationen. Aus dem verketteten Fluß kann bei Division durch den eigenen oder einen fremden Strom auf die Induktivität L (bei einem Spulensystem), auf die Selbstinduktivität L (bei Bezug des mit dem eigenen Strom verketteten Flusses auf den eigenen Strom) oder auf die Gegeninduktivität M geschlossen werden. Neben dem Schluß auf die Induktivität kann der magnetische Fluß zur Berechnung der induzierten elektrischen Spannung U herangezogen werden (siehe Kapitel 0.1). Zur Berechnung elektromagnetischer Größen aus numerischen Feldberechnungen werden die magnetischen Hilfsgrößen magnetisches Vektorpotential A (ein Vektor) und die magnetische Spannung V eingeführt, die im folgende Kapitel erklärt werden. Die hauptsächlichste Aufgabe bei der Berechnung Elektrischen Maschinen, die Bestimmung der induzierten Spannung tritt folgender Rechenweg auf: I Θ H B Φ Ψ U 0.3.2 Numerische Feldberechnung Fast grundsätzlich besteht eine Elektrische Maschine aus Gebieten, in denen ferromagnetisches Material (Eisen, Stahl) und nicht ferromagnetisches Material (z.b. Luft, Kunststoff, Holz, Alumuminium) zur Anwendung kommt. In folgendem Bild (abgewickelter Ausschnitt aus einer Elektrischen Maschine, Hauptpol über abgewickeltem Rotor mit Luftraum dazwischen, z.b. aus einer Gleichstrommaschine) ist die Anordnung wie folgt dargestellt worden: Der abgerundete magnetische Pol (oberster Eisenbereich) liegt im linken Bereich im Abstand δ über einem weiteren Eisenbereich, der z.b. eine abgewickelte Mantelfläche eines Zylinders sein könnte. Der obere und untere Bereich bestehen aus Eisen, der Raum dazwischen aus Luft. Die Anordnung ist aufgrund von Symmetriegründen zweidimensional dargestellt. Um die magnetischen Verhältnisse berechnen zu können, wird als Rechengröße eine magnetische Spannung V = Θ an der äußersten oberen Eisenkontur angenommen, an der äußersten unteren Eisenkontur die magnetische Spannung
V = 0 angenommen. Zwischen diesen beiden Potentiallinien, auch Niveaulinien genannt, die durch die Außenkontur der Eisenbereich vorgegeben ist, können weitere Niveaulinien mit anderen konstanten magnetischen Spannungen, z.b. V 1, V 2, und V 3 konstruiert werden. Dies ist in folgendem Bild geschehen. Als Senkrechten zu den Niveaulinien ergeben sich die Feldlinien, dies sind Linien konstanten Vektorpotentials. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die magnetische Feldstärke. Bereiche dichter Feldlinien sind Bereiche hoher magnetischer Feldstärke. Die Konstruktion des Feldbildes kann von Hand erfolgen, indem zunächst Niveaulinien auf Verdacht eingezeichnet werden. Durch Einzeichnen von Feldlinien, wobei sich möglichst gute Quadrate ergeben, ergibt sich ein erstes grobes Feldbild. Dieses wird verfeinert, indem die Niveaulinien und Feldlinien teilweise ausradiert werden und mit dem Ziel der Erreichung von möglichst guten Quadraten neu eingezeichnet werden. Zwischen zwei Feldlinien ergibt sich eine Flußröhre, in der der Fluß Δφ fließt. Durch Multiplikation der Anzahl Flußröhren mit dem Fluß Δφ kann der gesamte wirksame Fluß φ berechnet werden. Aus einem derartigen Feldbild kann z.b. auf den Betrag des magnetischen Feldes über einer Kontur, z.b. über der abgewickelten Rotorkontur geschlossen werden. Über numerische Feldrechenprogramme ist dies wesentlich einfacher. Nach Eingabe der Konturen und der Vorgabe der festen Potentiale berechnet ein Computer die Linien gleicher magnetischer Spannung oder den magnetischen Fluß φ. Weitere Anordnungen, die jedoch nur über numerische Feldrechenprogramme berechnet werden können, sind in folgendem Bild dargestellt, welches den Ausschnitt aus einem Feldbild einer kompletten Elektrischen Maschine darstellt. Diskretisiert ist eine Nut, welche teilweise mit Kupfer ausgekleidet ist (rautiert
gestreift), die beidseitig von Eisen umgeben ist und im oberen Bereich an den Luftspalt der Maschine angrenzt. Das linke Bild a) ist der Leerlauffall einer Maschine, der Kupferleiter führt keinen Strom. Die Feldlinien verlaufen fast vollständig im Eisen und Luftbereich, ohne in den Kupferbereich einzudringen. Im rechten Bild b) führt der Kupferleiter einen Gesamtstrom I. Hierdurch tritt eine Feldveränderung auf, die zu der Kraftentwicklung F s führt. Über diese Feldrechenprogramme können ganze Elektrische Maschinen, zum Teil auch in dreidimensionaler Darstellung, berechnet werden, um hierdurch Rückschlüsse auf magnetisches Feld, magnetischen Fluß, etc. ziehen zu können. 0.3.3 Magnetischer Kreis Der Magnetische Kreis beschreibt den Weg einer magnetischen Feldlinie. Bei einer Gleichstrommaschine führt dieser Weg durch den Hauptpol der Maschine über den Luftspalt, durch den Rotor, wiederum durch den Luftspalt, den zweiten Hauptpol der Maschine und das magnetisch wirksame Joch (Teil des Gehäuses). Im folgenden Bild ist ein derartiger Magnetischer Kreis durch eine Asynchronmaschine dargestellt. Die Hauptpole des Ständers sind jedoch nicht ausgeprägt, sondern werden durch eine Drehstromwicklung gebildet. Für die Beschreibung des allgemeinen Magnetischen Kreises ist dies jedoch ohne Belang.
Im vorliegenden Fall wird der Magnetische Kreis durch die Punkte 0 bis 5 gebildet, wobei sich der halbe Magnetische Kreis ergibt, der zweite Teil ergibt sich spiegelbildlich. Der Weg von 0 bis 1 verläuft im Joch des Läufers, auch Rotor genannt. Der Weg von 1 bis 2 verläuft durch einen Läuferzahn, d.h. dem Eisenmaterial um die Läufernuten. Der Weg von 2 bis 3 verläuft durch den Luftspalt zwischen Ständer und Läufer. Der Weg von 3 bis 4 verläuft durch einen Ständerzahn. Der Weg von 4 bis 5 verläuft im Joch des Ständers. In allen betrachteten Abschnitten kann eine unterschiedliche magnetische Permeabilität vorliegen. Insbesondere ist zu unterscheiden zwischen Luft und Eisen. Aber auch das Eisen kann in Ständer und Läufer unterschiedliche Permeabilitäten haben. Kommt Sättigung ins Spiel, ist die Permeabilität zusätzlich vom Ort abhängig. Im einfachsten Falle wird die Permeabilität im Eisen als unendlich angenommen, hierdurch wird die Rechnung wesentlich erleichtert und verkürzt. Weist das Eisen eine von abweichende Permeabilität auf, so treten die Eisenamperewindungen in Erscheinung. Die Berechnung des Magnetischen Kreis dient der Bestimmung der Durchflutung z.b. in den Ständerwindungen, um ein bestimmtes magnetisches Feld im Luftspalt zu erzielen. Zur Berechnung des Magnetischen Kreises dient das Durchflutungsgesetz H dl = Θ
Das Umlaufintegral bedeutet hierbei Integration über einen geschlossenen, also vollständigen Weg. Dieser wird im vorliegenden Falle von 0 bis 5, sowie die Spiegelung des Weges an der Linie von 0 bis 5. Das Umlaufintegral wird ersetzt durch die Aufsummation aller ortsabhängigen Termen H i l i, wobei vereinfacht die Richtung des Vektors H i der Richtung des Wegelementes dl i entspricht. H dl = H i l i = H 1 l 1 + H 2 l 2 + H 3 l 3 +... = Θ Im vorliegenden Falle müssen 5 magnetische Spannungsabfälle berücksichtigt werden und verdoppelt werden, um die erforderliche Durchflutung zu ermitteln. Direkt verbunden mit der magnetischen Feldstärke H ist die magnetische Induktion B über die magnetische Feldkonstante magnetische Feldkonstante μ 0 und die relative Permeabilität μ r. Folgende Richtwerte werden in Elektrischen Maschinen (Drehstrommaschinen) angestrebt Luftspalt B L = 0.6 T bis 1.1 T (Bereich 2-3) Zähne B Z = 1.5 T bis 2.1 T (Bereiche 1-2 und 3-4) Joch B J = 1.2 T bis 1.6 T (Bereiche 0-1 und 4-5) Die unterschiedlichen magnetischen Induktionen in Zähnen und Luftspalt sind auf die wirksamen Breiten von Luftspalt und Ständer- oder Läuferzahn zurückzuführen. Der gesamte über den Luftspalt von z.b. Ständer in den Rotor geführte magnetische Fluß kann bezogen auf eine Nutteilung im Bereich des Luftspalts über die gesamte Nutteilung geführt werden, während dieser Fluß im Bereich der Nut nur über die Zähne geführt wird (in bestimmten Betriebsarten ist der Nutbereich fast feldfrei). An Grenzflächen von zwei unterschiedlichen magnetischen Permeabilitäten ändert sich die Normalkomponente der magnetischen Feldstärke H infolge der unterschiedlichen relativen Permeabilität, während die Normalkomponente der magnetischen Flußdichte B konstant ist. 0.4 Leistung, Drehmoment, Wirkungsgrad Die Elektrische Maschine ist ein Energiewandler. Bis auf spezielle und ruhende Anwendungen von Elektrischen Maschinen findet eine Umwandlung von mechanischer in elektrische, bzw. umgekehrt statt. Bei der Umwandlung treten Verluste auf, die als Verlustleistung bezeichnet werden. Je nach Energieflußrichtung unterscheidet man aufgenommene und abgegebene Leistung. Man unterscheidet
mechanische Leistung elektrische Leistung Verlustleistung abgegebene Leistung aufgenommene Leistung P m P el P V P ab P auf Je nach Richtung des Energieflusses ergibt sich folgende Leistungsbilanz P m = P el ± P V Die mechanische Leistung wird im allgemeinen an einer Welle abgegeben. Über die folgende Beziehung kann auf das Drehmoment geschlossen werden P m = 2 π n M Verlustleistungen können sein: Wärmeverluste, Zusatzverluste, Reibungsverluste, etc.. Das Verhältnis von abgegebener zu aufgenommener Leistung wird Wirkungsgrad genannt. η = P ab : P auf Der Einsatz der Elektrischen Maschine als Energiewandler kann gut an folgendem Bild verdeutlicht werden 0.5 Zählpfeilsysteme In Ersatzschaltbildern kann der Stromfluß vom Anfang des Pfeils der Spannungsquelle weg und zum Pfeil der Spannungsquelle hin gepfeilt werden. Dies ist in den folgenden zwei Bildern wiedergegeben. Im Falle von Bild a) spricht man vom Verbraucherzählpfeilsystem (VZS). Die Leistung wird an den Verbraucher (die
Elektrische Maschine) abgegeben. Für Verbraucher ist diese Pfeilung sinnvoll, da U, I und P positive Werte annehmen. Wird die Leistung von der Elektrischen Maschine an einen Verbraucher abgegeben, im Falle von Bild b) ist nur eine Spannungsquelle eingezeichnet, an die ein Verbraucher angeschlossen werden kann, so bietet sich das Erzeugerzählpfeilsystem (EZS) an. Der Strom fließt von der von der Elektrischen Maschine erzeugten Spannung zur Klemme des Verbrauchers. Ebenso ist der Leistungsfluß in Richtung Klemmenspannung gepfeilt. Auch hierbei ergeben sich (bezogen auf den Erzeuger) positive Werte für U, I und P. Besser kann man dies an nachfolgendem Bild verdeutlichen Auf der linken Seite ist der Erzeuger angeordnet (dargestellt durch einen Generator). Der Generator liefert die Quellenspannung U q. Der Generator hat einen Innenwiderstand R i. Wird ein Verbraucher an die mit + und - gekennzeich-neten Klemmen angeschlossen, so kommt es zum Stromfluß I, der von der Quellen- zur Klemmenspannung gepfeilt ist. Der Generator liefert Leistung an den Verbraucher. Die Anwendung des Erzeugerzählpfeilsystems erscheint auf den Generator (Erzeuger) bezogen sinnvoll und liefert positive Werte für U, I und P. Auf der rechten Seite ist der Verbraucher angeordnet und ist in diesem Falle ein Widerstand R. Der Stromfluß zeigt von der +-Klemme nach rechts zum Widerstand. Der Widerstand verbraucht Leistung. Daher ist das Verbraucherzählpfeilsystem gut angewandt, da alle Größen U, I und P positiv sind. Sinnvollerweise sollte man sich jedoch auf ein Zählpfeilsystem zu beziehen, da es sonst zu Komplikationen kommen kann. Im folgenden wird bei allen Maschinen das
Verbraucherzählpfeilsystem angewandt. Sollte eine Elektrische Maschine Leistung abgeben, so sind I und P negativ. Besonders wichtig ist eine exakte Anwendung der Zählpfeilsysteme bei Elektrischen Maschinen, die sowohl Wirkleistung auf- und abgeben können, als auch Blindleistung aufnehmen und an das Netz abgeben könen. Dies ist in folgendem Bild dargestellt. Je nach Stellung des Spannungszeigers zum Stromzeiger sind unterschiedlichste Wirk- und Blindleistungsbilanzen möglich. Zur Vereinfachung werden nur Vielfache von 90 als Winkel zwischen Spannungs- und Stromzeiger betrachtet. Im Prinzip sind alle möglichen Winkel von 0 bis 360 möglich. Die einfachsten Betriebsfälle sind ein Phasenwinkel von 0 und 180. Bei 0 nimmt die Elektrische Maschine nach dem Verbraucherzählpfeilsystem Leistung aus dem Netz auf und verhält sich daher wie ein Widerstand. Bei einem Phasenwinkel von 180 erzeugt die Elektrische Maschine Energie, die an das Netz abgegeben wird, die Wirkleistung ist negativ. Eilt der Stromzeiger dem Spannungszeiger 90 hinterher, so verhält sich die Elektrische Maschine wie eine Drossel. Die Elektrische Maschine nimmt positive induktive Blindleistung aus dem Netz auf. Eilt der Stromzeiger dem Spannungszeiger 90 vor, so verhält sich die Elektrische Maschine wie ein Kondensator. Die Elektrische Maschine gibt positive induktive Blindleistung an das Netz ab. Der Begriff der kapazitiven und induktiven Blindleistung ist verwirrend und sollte daher nicht zur Anwendung kommen.