DRESDNER FORUM ZUR VERSICHERUNGSMATHEMATIK Multivariate Modelle in der Praxis 23. Juni 2006 Technische Universität Dresden Anja Schnaus A Berkshire Hathaway Company
Inhalt Multivariates Chain-Ladder für 2 und 3 K-Quoten Multivariates Chain-Ladder in einem NP Portefeuille Beobachtungen Multivariates additives Verfahren 2
Geeignete Portefeuilles Quoten für Kraftfahrthaftpflichtgeschäft Einzel- vs. Segmentanalyse Technische Voraussetzungen (Excel-Vorlage) mindestens 14 Jahre noch im Bestand Paare von Quoten 3
Paarweise Analyse Excel-Vorlage für multivariates Chain-Ladder für 2 Portefeuilles Suche geeignete Paare von K-Quoten erste Auswahl = Volltreffer Erfolg: 3. Dezimalstelle des ersten Faktors ändert sich meist nur geringer Effekt auf die Abwicklungsfaktoren, d.h. 4. Dezimalstelle des ersten Abwicklungsfaktors 4
2 Versicherungsvereine (1) Erster Abwicklungsfaktor B multi B uni (A+B) uni A multi A uni 1,2500 1,2600 1,2700 1,2800 1,2900 1,3000 1,3100 1,3200 5
2 Versicherungsvereine (2) Abwicklungsquoten 105% 100% 95% 90% 85% 80% A uni A multi (A+B) uni B uni B multi 75% 70% 65% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Abwicklungsjahr 6
2 Versicherungsvereine (3) Reserven in % der Prämie 30,0% 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% A uni A multi B uni B multi 5,0% 0,0% 11 12 13 Anfalljahr 7
2 Versicherungsvereine (4) Gesamtreserve in % der Prämie 4,70% 4,60% 4,50% 4,40% 4,30% 4,20% A uni A multi B uni B multi 4,10% 4,00% A uni A multi B uni B multi 8
Gute Paare 2 regionale Versicherer 2 Versicherer aus derselben Stadt 2x 2 mittelgroße VU 9
Analyse von 3 Portefeuilles Erweiterung der Excel-Vorlage Δ = i, k diag( Si, k ) F i,k CL F k Σ i,k 10
2 Versicherungsvereine und ein regionales VU (1) Erster Abwicklungsfaktor C multi C uni B multi B uni A multi A uni 1,2500 1,2600 1,2700 1,2800 1,2900 1,3000 1,3100 1,3200 Corr A B 63,4% Corr A C 60,6% Corr B C 21,3% 11
2 Versicherungsvereine und ein regionales VU (2) Abwicklungsquoten 105% 100% 95% 90% 85% 80% A uni A multi B uni B multi C uni C multi 75% 70% 65% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12
2 Versicherungsvereine und ein regionales VU (3) Reserven in % der Prämie 30,0% 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% A uni A multi B uni B multi C uni C multi 5,0% 0,0% 11 12 13 Anfalljahr 13
2 Versicherungsvereine und ein regionales VU (4) Gesamtreserve in % der Prämie 5,00% 4,50% 4,00% 3,50% 3,00% 2,50% 2,00% 1,50% 1,00% A uni A multi B uni B multi C uni C multi 0,50% 0,00% A uni A multi B uni B multi C uni C multi 14
Inhalt Multivariates Chain-Ladder für 2 und 3 K-Quoten Multivariates Chain-Ladder in einem NP Portefeuille Beobachtungen Multivariates additives Verfahren 15
NP Portefeuille (1) Arzt- und Krankenhaushaftpflicht separat Datenbereinigung eine negative Reserve auf 0 gesetzt (Wurzel) mehrere individuelle Abwicklungsfaktoren des Schadenaufwandes in der ersten und zweiten Spalte des Arzthaftpflichtdreieckes von 0/0 bzw. von A/0 auf 1 gesetzt 16
NP Portefeuille (2) Erster Abwicklungsfaktor B multi B uni A+B uni A multi? A uni 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 Corr -0,42 17
NP Portefeuille (3) Zweiter Abwicklungsfaktor B multi B uni A+B uni A multi A uni 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 Corr. 0,13 18
NP Portefeuille (4) Abwicklungsquoten 120% 100% 80% 60% 40% A uni A multi A+B uni B uni B multi 20% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Abwicklungsjahr 19
NP Portefeuille (5) Gesamtreserve in % der Prämie 300,00% 250,00% 200,00% 150,00% 100,00% A uni A multi B uni B multi 50,00% 0,00% A uni A multi B uni B multi 20
NP Portefeuille (6) Gesamtreserve 25.000 20.000 15.000 B A 10.000 5.000 0 uni multi (A+B) uni 21
Inhalt Multivariates Chain-Ladder für 2 und 3 K-Quoten Multivariates Chain-Ladder in einem NP Portefeuille Beobachtungen Multivariates additives Verfahren 22
Technische Schwierigkeiten K-Portefeuille 30jährige Historie mit ca. 80 Einzelverträgen unterschiedliche Laufzeiten unterschiedlicher Anteil pro Vertrag, pro AJ (Gewichtung) lösbar durch Hochrechnung auf 100% Voraussetzungen für multivariates Chain-Ladder Gleiche Anzahl von AJ Abwicklungsdreiecke, keine Trapeze 23
Das K-Portefeuille 24
Numerische Beobachtungen (1) Daten in den Abwicklungsdreiecken müssen nichtnegativ sein (Braun Korrelation) Daten müssen positiv sein (Division durch Null bei Berechnung der individuellen Abwicklungsfaktoren) Algorithmus ist numerisch sensibel Herausforderung der Excel-Genauigkeit Multiplikation sehr großer mit sehr kleinen Zahlen Komma gleitet hin und her 25
Numerische Beobachtungen (2) CL F 12 Im trivariaten Fall ist sehr verschieden von den univariaten Chain-Ladder Faktoren (Hess/Schmidt/Zocher) ist singulär n Größe des Dreiecks p Anzahl der Dreiecke Σ singulär für k n p + 2 k Σ 12 Einheitsmatrix (univariate Chain-Ladder Faktoren) 26
Beobachtungen Effekt ist natürlich im ersten (und größten) Abwicklungsfaktor am größten In trivariaten Beispielen weichen die multivariaten Abwicklungsfaktoren stärker von den univariaten ab in bivariaten Beispielen. Ansporn, größere Excel Vorlage zu erzeugen (Programm) Hilfe bei Segmentierung (NP Portefeuille) Anwendung auf Abwicklungfaktoren 1-5 reicht aus 27
Inhalt Multivariates Chain-Ladder für 2 und 3 K-Quoten Multivariates Chain-Ladder in einem NP Portefeuille Beobachtungen Multivariates additives Verfahren 28
29 Multivariates additives Verfahren Gleiche Struktur Prämienvolumen statt Schadenstände als Gewicht Individuelle Schadenquoten statt individueller Abwicklungsfaktoren Modifikation der Excel-Vorlage für trivariates Chain-Ladder = = = k n j k j k j k k j k n j k j k k j CL k 0, 2 1/ 1, 1 2 1/ 1, 1 0 2 1/ 1, 1 2 1/ 1, F Δ Σ Δ Δ Σ Δ F = = = k n j k j j k j k n j j k j AD k 0, 2 1/ 1 2 1/ 1 0 2 1/ 1 2 1/ ζ V Σ V V Σ V ζ
Testportefeuille Quoten für Kraftfahrthaftpflichtgeschäft 30
2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (1) Average Paid Claims Ratio - First Development Year (P1,P2,P3) uni P3 multi P3 uni P2 multi P2 uni P1 multi P1 uni 46% 48% 50% 52% 54% 56% 58% 60% 62% 1 Corr P1-P2 97,2% Corr P1-P3 24,6% Corr P2-P3 22,4% 31
2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (2) Average Paid Claims ratio - Second Development Year (P1,P2,P3) uni P3 multi P3 uni P2 multi P2 uni P1 multi P1 uni 2 Corr P1-P2 32,8% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% Corr P1-P3 67,1% Corr P2-P3 44,0% 32
2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (3) 29% Paid Claims Ratio Increase after the First Development Year 27% 25% 23% 21% 19% 17% 15% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 P1 uni P1 multi P2 uni P2 multi P3 uni P3 multi (P1,P2,P3) uni 1 2 3 4 5 6 Corr P1-P2 97,2% 32,8% 26,1% 26,4% 75,5% 30,0% Corr P1-P3 24,6% 67,1% 10,5% -38,1% 14,3% -11,9% Corr P2-P3 22,4% 44,0% -23,4% -9,2% -16,1% -64,1% 33
2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (4) 30% 25% 20% 15% Reserves in % of Ultimate Earned Premium P1 uni P1 multi P2 uni P2 multi P3 uni 10% P3 multi 5% 0% 2001 2002 2003 2004 (P1,P2,P3) uni 34
2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (5) Total Reserve in % of Ultimate Earned Premium 5,0% 4,5% 4,0% 3,5% 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% P1 uni P1 multi P2 uni P2 multi P3 uni P3 multi (P1,P2,P3) uni 35
Beobachtungen Effekt ist natürlich in den ersten Abwicklungsjahren am größten Negative Korrelationen der Schadenquotenzuwächsen sind häufig zu beobachten, während bei den Abwicklungsfaktoren meist nur positive Korrelationen beobachtet wurden. Höhere Korrelationen Höhere Effekte in der gemeinsamen Prognose 36
Ausblick Nützlich für Segmentierungsanalysen Sind die entstehenden neuen Teilsegmente korreliert? Sind zwei bestehende Segmente korreliert? Erklärung von Segmentierungseffekten Gemeinsame Prognose korrelierter Portefeuilles Beschränkung auf die ersten Abwicklungsjahre (1-5) 37
Literatur (1) Ajne, B. [1994]: Additivity of Chain-Ladder Projections. ASTIN Bulletin 24 (1994), 311-318. Braun, C. [2004]: The Prediction Error of the Chain Ladder Method Applied to Correlated Run-off Triangles. ASTIN Bulletin 34 (2004), 399-423. Kremer, E. [2005]: The correlated chain-ladder method for reserving in case of correlated claims developments. Blätter DGVFM XXVII (2), 315-322. Mack, T. [1993]: Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates. ASTIN Bulletin 23 (1993), 213-225. Mack, T. [1994]: Measuring the Variability of Chain-Ladder Reserves. Casualty Actuarial Society Forum Spring 1994, vol. 1, 101-182. Mack, T. [1997]: Schadenversicherungsmathematik. Karlsruhe: Verlag Versicherungswirtschaft. 38
Literatur (2) Mack, T. [1999]: The standard Error of Chain Ladder reserve Estimates: Recursive Calculation and Inclusion of a Tail Factor. ASTIN Bulletin 29 (1999), 361-366. Mack, T., Quarg, G. [2004]: Munich Chain Ladder. Blätter DGVFM XXVI (4), 597-630. Radtke, M., Schmidt, K.D. (eds.) [2004]: Handbuch zur Schadenreservierung. Karlsruhe: Verlag Versicherungswirtschaft. Pröhl, C., Schmidt, K.D. [2005]: Multivariate Chain-Ladder. Dresdner Schriften zur Versicherungsmathematik 3/2005. Hess, K.T., Schmidt, K.D., Zocher, M. [2006]: Multivariate loss prediction in the multivariate additive model. Insurance Math. Econom. (im Druck). 39