Statistik zwischen Euphorie und Panik Jens Möhring Dipl.-Ing. Elektrotechnik Privatanleger Schwerpunkte: Indikatoren, Mathematische Marktmodellierung VTAD Award VTAD Frühjahrskonferenz März 29 in Frankfurt 1
Ausgangsüberlegungen Formeln der Finanzmathematik gehen von normalverteilten Märkten aus (Gaußsche Normalverteilung) Abb.1 Normalverteilung,14,12,1,8,6,4,2 Standardabweichung Standardabweichung Mittelwert 5 1 15 2 25 3 f ( x ) 1 x 1 μ = exp σ 2π 2 σ 2 zahlreiche Veröffentlichungen und Anomalien zeigen ein anderes Marktverhalten auf Benoit Mandelbrot, Richard L. Hudson: Fraktale und Finanzen Das Chaos regiert die Börse. 2
Marktverhalten und statistische Auswertung Auswertung des DAX 1987(rückgerechnet) - 26 Abb.3 Kursänderungen und Gaußverteilung Anz zahl 12 1 8 6 4 2-12,5% -11,% -9,5% -8,% -6,5% -5,% -3,5% -2,% -,5% 1,% 2,5% 4,% 5,5% 7,% Mittelwert =,41% Standardabweichung (Stabw) =1,43% leptokurtische Verteilung! Überhöhte Wölbung; Ränder werden durch die Funktion nicht beschrieben Abb.4 Kursänderungen, halblogarithmisch Anzahl 1 1,1,1 1E-5 1E-7 1E-9 1E-11 1E-13 1E-15-12,5% -11,% -9,5% -8,% -6,5% -5,% -3,5% -2,% -,5% 1,% 2,5% 4,% 5,5% 7,% 3
Marktverhalten und statistische Auswertung 4h Beispiel: Annahme von 3% Stabw Kursänderung von 38% 15.1.28 WKN 8277-38% gemäß Normalverteilung mit Wahrscheinlichkeit außerhalb des Erdzeitalters! Beispiel: Nutzung alternativer Verteilungsfunktionen Abb.5 Kursänderungen und Cauchy-Verteilung Anzahl 12 1 8 6 4 f ( x ) 1 = π s 2 + s ( x t) 2 2-12,5% -11,% -9,5% -8,% -6,5% -5,% -3,5% -2,% -,5% 1,% 2,5% 4,% 5,5% 7,% 4
Lineare Indikatoren in einem rauhen Markt Der fraktale Marktwürfel von Mandelbrot Fast alle Marktindikatoren sind Anstiegsmesser (Grundprinzipien der Differentialrechnung) Glättung notwendig Lineare Mathematik Preis y x Handelspreis Uhrzeit f ( x ) = Δy Δx Beispiel: Trendbestätigungsindikator TBI GD1 TBI = GD6 5
Statistische Glättung Gleitende Durchschnitte (lineare, gewichtete oder exponentielle GD) liefern zeitverzögerte Signale Alternativ: Zerlegung der statistischen Verteilung Panik,14,12 1,1 Abb.6 Einteilung in Glätte und Rauheit Euphori e,8,6 Rauheit Glätte Rauheit,4,2 5 1 15 2 25 3 Beispiel Grenze:,8% Kursänderung:,6% Rauheit: % Glätte:,6% Grenze:,8% Kursänderung: 1,1% Rauheit:,3% Glätte:,8% 6
Statistische Glättung Grenze der Zerlegung g in innere Glätte und äußere Rauheit kann beliebig verschoben werden Abb.7 Geringe Glätte Hohe Rauheit und Hohe Glätte Geringe Rauheit und 7
Statistische Glättung Abb.1 Trennung DAX (1 x Stabw) 12 1 8 6 4 2 2.1.1987 1,8 1,6 1,4 1,2,8 1,6,4,2 28.9.1989 24.6.1992 21.3.1995 15.12.1997 1.9.2 7.6.23 3.3.26 Abb.25 Trennung DAX (,1 x Stabw) 1,2 1,8,6,4,2 Glätte Rauheit 4,5 4 3,5 3 25 2,5 Glätte 2 Rauheit 1,5 1,5 Summe der beiden Indikatorlinien ergibt den Basiswert absolute Skalierung der Indikatorlinien nicht relevant (hier beginnend mit 1) 2.1.1987 28.9.1989 24.6.1992 21.3.1995 15.12.1997 1.9.2 7.6.23 3.3.26 8
2.1.5 2.1.7 1% 8% 6% 4% 2% % Handelsergebnisse Performancevergleich Handelssystem DAX m it Glätte,1xStabw Handelssystem im Basisw ert DAX 9 2.1.3 2.1.93 2.1.95 2.1.97 2.1.99 2.1.1 2.1.91 2.1.89 2.1.87
Handelsergebnisse Untersuchung in anderen Märkten: - im Nasdaq führt ein Handeln über die Indikatorlinie Rauheit mit,2xstabw zu verbesserten Ergebnissen (Rauheit zeigt übertriebenes Änderungsvermögen) g - im Gold führt ein Handeln über die Indikatorlinie Glätte mit,1xstabw zu verbesserten Ergebnissen Untersuchung mit variabler Grenze der Stabw (d.h. Berechnung über einen begrenzten Zeitraum): - keine Verbesserung festgestellt - Schlussfolgerung: jeder Markt für sich hat längerfristig unveränderbare Eigenschaften an Glätte und Rauheit 1
Aktualisierte Anwendung Vergleich Handel im Basiswert und über Indikatorlinie 25% 2% 15% 1% 5% DAX 23-29 Ausbildung einer Differenz in der letzten Aufschwung- phase 2.1 1.23 2.7 7.23 2.1 1.24 2.7 7.24 2.1 1.25 2.7 7.25 2.1 1.26 2.7 7.26 2.1 1.27 2.7 7.27 2.1 1.28 2.7 7.28 2.1 1.29 25% 2% 15% 1% 5% Gold 2-29 Ausbildung einer Differenz in der Rohstoff-Hausse 4.1.2 4.1.21 1 4.1.22 2 4.1.23 4.1.24 4 4.1.25 4.1.26 4.1.27 4.1.28 4.1.29 11
Aktualisierte Anwendung Vergleich Handel im Basiswert und über Indikatorlinie 4% 35% 3% 25% 2% 15% 1% 5% Nasdaq 1998-29 2 Crashmärkte nur geringe Differenzbildung 2.1 1.1998 2.1 1.1999 2.1 1.2 2.1 1.21 2.1 1.22 2.1 1.23 2.1 1.24 2.1 1.25 2.1 1.26 2.1 1.27 2.1 1.28 2.1 1.29 aber 4% 35% 3% 25% 2% 15% 1% 5% Nasdaq 199-1998 Differenzbildung in der Aufschwungphase 2.1.199 2.1.1991 2.1.1992 2.1.1993 2.1.1994 2.1.1995 2.1.1996 2.1.1997 12
Zusammenfassung Mathematische Beschreibungen des Marktverhaltens verbesserungswürdig. Alternative Glättungsverfahren zu gleitenden Durchschnitten möglich, z.b. statistische Glättung. Statistische Glättung kann zur Erzeugung von Indikatorlinien dienen: Parameter: - Berechnungsdauer der Stabw - Trennschwelle zwischen Glätte Glätte und Rauheit - Nutzung der Glätte oder Rauheit möglich Eine feste Trennschwelle e e bestätigt langfristiges ges Marktverhalten. a te Anwendung verschiedener Indikatoren auf die statistische Glättung möglich. Ergänzung durch andere Indikatoren empfehlenswert; z.b. Anzeigen der übergeordneten Trendrichtung zur Optimierung einer Handelssystematik 13