1 Aufgabe 7.1 Bei einer digitalen Übertragung liege folgendes Modell vor: Q x q x akf digitale Übertrag. q y akf S y Quellensymboldauer T q = 1ms diskreter Kanal Q x sei eine stationäre Markov-Quelle nullter Ordnung mit q x (k) X = {x 1, x 2 } und x 1 = 0, x 2 = 1. Für die Symbolwahrscheinlichkeit gelte zunächst: P (x 1 ) = P (x 2 ) = 1 2. a) Sind Aussagen über das digitale Übertragungsverfahren möglich? Wenn ja, welche? b) Besitzt die Quelle Q x ein Gedächtnis? Was bedeutet ein Quellen- Gedächtnis im Hinblick auf die statistische Beschreibung? c) Berechnen Sie die Entropie H(X) und die Redundanz R(X) der Quelle Q x. Welche Übertragungsrate in bit/s muss das digitale Übertragungsverfahren bereitstellen? Es gelte nun: P (x 1 ) = 0,1 und P (x 2 ) = 0,9. d) Beantworten Sie die Fragen unter c) entsprechend. Wie kann man erreichen, dass das digitale Übertragungsverfahren wirklich nur die minimal notwendige Übertragungsrate bereitstellen muss? Betrachtet werde im Folgenden die Quelle Q y, die entsteht, wenn man die Quelle Q x mit dem digitalen Übertragungsverfahren zusammenfasst. Das digitale Übertragungsverfahren definiert einen diskreten Kanal, der als symmetrisch, stationär und ohne Gedächtnis angenommen werden soll. Für das Ausgangsalphabet gelte Y = X, und die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit sei P b = 0,1. e) Welcher spezielle diskrete Kanal ist hier als Modell passend? Ist Q y stationär und ohne Gedächtnis? f) Berechnen Sie die Entropie, Redundanz und Irrelevanz der Quelle Q y. Was bedeutet die Irrelevanz in q y (k)?
2 Aufgabe 7.2 Mit Hilfe einer bipolaren Übertragung sollen Quellensymbole q(k) {0, 1} übertragen werden. Auf der Empfangsseite sei bei der bipolaren Übertragung die Entscheidungsschwelle verstellt, so dass ungleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeiten resultieren: q(k) = x 1 = 0 P b1 = 10 2 q(k) = x 2 = 1 P b2 = 10 1. Der resultierende diskrete Kanal sei ohne Gedächtnis. a) Geben Sie die Kanalmatrix P (Y X) an. Welcher bekannte diskrete Kanal ist als Modell passend? Die Quelle am Eingang des Kanals sei eine stationäre Binärquelle ohne Gedächtnis mit P (x 1 ) = 0,2. b) Berechnen Sie die Entropie am Kanaleingang, sowie die Entropie, die Transinformation und die Irrelevanz am Ausgang des Kanals. c) Wie groß ist die Kanalkapazität C dieses Kanals? d) Welche Maßnahmen sind erforderlich, damit die vorgegebene Quelle die Kapazität des Kanals auch nutzen kann? Aufgabe 7.3 Gegeben sei ein BSC mit P b = 10 1. a) Wie viel bit/s könnte man prinzipiell über diesen Kanal fehlerfrei übertragen, wenn die Kanalzugriffe mit den kleinstmöglichen zeitlichen Abständen von T Kan = 1 µs erfolgen? b) Skizzieren Sie ein Blockbild der in a) angesprochenen Übertragung. c) Die Quelle sei binär und ohne Gedächtnis und es gelte P (x 1 ) = 0,4. Welche Redundanz muss der Quellencodierer entfernen und wie viel muss der Kanalcodierer wieder hinzufügen, wenn man optimale Codierungsvorschriften voraussetzt? Aufgabe 7.4 Folgende Kanalmatrix sei gegeben: ( ) 1 0 0 P (Y X) =. a) Handelt es sich um einen gestörten oder ungestörten Kanal? b) Berechnen Sie die Kanalkapazität und die zugehörige Quellenstatistik. 0 1 2 1 2
Aufgabe 7.5 Über einen bandbegrenzten AWGR-Kanal sollen Daten mit einer Rate von rü = 10 Mbit/s übertragen werden. Die Mittenfrequenz des BP-Kanals sei f 0 = 4 GHz und für die Bandbreite gelte f = 5 MHz. Als Übertragungsverfahren soll QAM mit einem Raised Cosine -Elementarsignal und α = 1 angenommen werden. a) Welche Bandbreiteausnutzung η in bit/(s Hz) ist mindestens erforderlich? b) Welche konkreten QAM-Verfahren könnte man einsetzen? c) Geben Sie das theoretisch für eine fehlerfreie Übertragung minimal notwendige SNR an. Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für das konkrete, unter b) von Ihnen vorgeschlagene Verfahren, wenn man das minimal notwendige SNR annimmt? Warum ist diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit ungleich Null? Aufgabe 7.6 Eine stationäre, gedächtnislose Quelle mit einem 4-wertigen Symbolalphabet x i, (i = 1,..., 4) und den Wahrscheinlichkeiten P (x 1 ) = 0,5 P (x 2 ) = 0,25 P (x 3 ) = 0,125 P (x 4 ) = 0,125 soll so codiert werden, dass möglichst viel Redundanz entfernt wird. a) Berechnen Sie Entropie und Redundanz der Quelle. b) Konstruieren Sie mit Hilfe des Huffman-Algorithmus einen passenden Code zur Entropiecodierung. c) Wie groß ist die verbleibende Redundanz nach der unter b) bestimmten Codierung? Wie viel bit/codesymbol ergeben sich nach der Codierung? Aufgabe 7.7 Gegeben seien zwei orthogonale Vektoren im R n, die eine Ebene aufspannen: c 1 = (1, 1,..., 1, 1,..., 1) c 2 = (1, 1,..., 1, 1,..., 1 }{{}}{{} n 2 mal 1 n 2 mal 1 ) a) Skizzieren Sie die Ebene mit den Basisvektoren c 1 und c 2. Wie groß ist die euklidische Distanz zwischen c 1 und c 2? Es gelte nun c 1e = c 1 +e (Addition im R n ). Mit dem Fehlervektor e bestehend aus n um den Mittelwert 0 gaußverteilten Komponenten. c 1 und c 2 sollen im Folgenden als Codevektoren aufgefasst werden, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit gesendet und von einem zeitdiskreten Kanal übertragen werden. Das Ausgangsalphabet des Kanals sei R. 3
4 b) Wie groß darf der Betrag des Vektors e maximal sein, wenn keine Fehlentscheidung vorkommen soll (ML-Entscheidung)? Ist bei größerem e immer eine falsche Entscheidung zu erwarten? Wo liegt die Entscheidungsgrenze in der unter a) skizzierten Ebene? Welchem Übertragungverfahren entspricht das hier betrachtete? Die Werte 1 in c 1 und c 2 sollen nun durch die Werte 0 ersetzt werden und c 1, c 2 und e seien Vektoren aus dem n-dimensionalen Vektorraum über dem Körper GF(2). c) Berechnen Sie die Hamming-Distanz zwischen c 1 und c 2. Was bedeutet die Orthogonalität jetzt? Der Fehlervektor e soll nun mit dem Fehlermuster identisch sein, das ein BSC in den empfangenen Codeworten erzeugt. d) Beantworten Sie die Fragen unter b) entsprechend. e) Wenn sämtliche weiteren n 2 orthogonalen Basisvektoren hinzugenommen werden, entsteht ein Orthogonalcode. Welchem Übertragungsverfahren entspricht die zugehörige Übertragung von Codeworten? f) Der Orthogonalcode spannt den gesamten Vektorraum auf. Wäre auch ein Code vorstellbar, der nur einen Unterraum aufspannt? Welche Vorteile hätte dieser Code? Aufgabe 7.8 Vorgegeben sei ein bereits realisiertes digitales Übertragungssystem, das zur Übertragung von Messdaten verwendet werden soll: q x akf k0,1p digitale Übertr. q y akf k0,1p Abb. 0.1. Zu Aufgabe 7.8: Modell des Übertragungssystems Für die digitale Übertragung gelte: 2 PSK, AWGR-Kanal P b = 10 2 rü = 10 Mbit/s Für die Messdaten ist eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von P brest = 10 4 gerade noch tragbar. Es soll nun untersucht werden, wie man dieses Ziel mittels Kanalcodierung erreichen kann. a) Welches Kanalmodell ist hier passend? Wie groß ist die Kanalkapazität?
In einem ersten Ansatz soll ein Bi Code mit n = 8 auf seine Brauchbarkeit untersucht werden. b) Welche Coderate r c besitzt der Code? Ist mit dieser Coderate prinzipiell ein P brest < P b zu erreichen ( Satz von Shannon)? c) Welcher wahrscheinlichst gesendete Codevektor c i ergibt sich, wenn der empfangene Vektor folgendermaßen lautet: c e = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1) Kann man sagen, ob die Entscheidung in jedem Fall richtig ist? d) Wie viele Fehler kann der Code sicher korrigieren? Wie groß ist die relative Korrekturfähigkeit t n? Warum treten trotz P b < t n Fehlentscheidungen auf? e) Welche Coderate r c, welche relative Korrekturfähigkeit t n und welche Restbitfehlerwahrscheinlichkeit P b Rest ergeben sich, wenn man einen Bi Code mit n = 16 in Betracht zieht? f) Suchen Sie aus den in diesem Kapitel angesprochenen Codes den aus, der das Ziel P b Rest 10 4 bei größter noch verbleibender Nutzdatenrate erreicht. Wie groß ist diese Datenrate? Aufgabe 7.9 Vorgegeben sei ein AWGR-Kanal mit der Rauschleistungsdichte N 0, über den Daten mittels 2 PSK übertragen werden sollen. Durch den Einsatz von Kanalcodierung soll die Sendeleistung verkleinert werden, die man für P b 10 6 benötigt. Vorausgesetzt werden soll, dass harte Entscheidungen ( Hard Decisions ) auf der Empfangsseite an die Decodierung weitergegeben werden. a) Welches diskrete Kanalmodell ist passend? b) Wie groß ist die Sendeleistung S uncod, die man bei uncodierter Übertragung benötigt (bei gegebenen N 0, P b = 10 6 )? c) Welches P b ist zulässig, wenn man einen (255, 131, 18)-BCH-Code verwendet um P b Rest = 10 6 zu erreichen? Wie viel db an Sendeleistung können damit auf Kosten der Datenrate eingespart werden? Welche Reduktion tritt bei der Datenrate auf? Aufgabe 7.10 Ein bereits realisiertes digitales Übertragungverfahren soll zur Übertragung von Daten über einen Kanal verwendet werden, für den das Verfahren eigentlich nicht vorgesehen war. Das Modell der Übertragung ist das gleiche wie in Abb. 0.1. Die Übertragungsrate ist rü = 10 Mbit/s. Umfangreiche Messungen bestätigen, dass zu hohe Fehlerhäufigkeiten resultieren, wobei die Fehler aber in Bündeln ( Bursts ) auftreten. Innerhalb der Bündel liegt eine vollständig gestörte Binärübertragung vor. Erste Vorüberlegungen führten zu dem Ergebnis, dass mit einer passenden 5
6 Kanalcodierung und dem Einsatz von Interleaving das Ziel einer quasi fehlerfreien Übertragung wahrscheinlich erreicht werden kann. Vorausgesetzt werden soll ein binärer Blockcode. Fehlerbündel L k max. Länge L B = 1024 bit min. Abstand (fehlerfreies Intervall) L Abst = 6 L B Welche mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b ist im ungünstigsten Fall zu erwarten? b) Die Matrix eines Blockinterleavers wird spaltenweise beschrieben. Wie viele Zeilen l max muss die Matrix des Blockinterleavers mindestens besitzen, wenn man die Fehlerbündel in jedem Fall in binäre Symbole zerstückeln will? Zeichnen Sie den ungünstigsten Fall bezüglich der Fehlerbündel in eine Deinterleaver-Matrix mit großer CW-Länge n ein. Für die Zahl der Zeilen soll l = l max gelten. c) Will man einen Code verwenden, der einen Fehler korrigieren kann, dann lässt sich die Interleavermatrix so dimensionieren, dass alle Fehler bei der Decodierung korrigiert werden können. Wie groß ist dabei die maximale Codewortlänge n 1? Welche Länge n ist maximal möglich, wenn man einen Code verwenden will, der t Fehler korrigieren kann? Wie groß ist die erforderliche relative Korrekturfähigkeit t n? d) Bestimmen Sie den BCH-Code, der die gewünschte Korrekturfähigkeit besitzt und bei dem die größte verbleibende Nutzdatenrate resultiert. Aufgabe 7.11 Mit der gleichen Aufgabenstellung wie in Aufgabe 7.10 soll nun ein RS-Code mit 8 bit/codesymbol betrachtet werden. RS-Codes erreichen das theoretische Optimum bezüglich der minimalen Hamming-Distanz d min = n k + 1. a) Welche Codewortlänge n (in 8 bit-symbolen!) ergibt sich? Wie groß ist die Korrekturfähigkeit? Nehmen Sie im Folgenden vereinfachend an, dass ein Fehlerburst immer am Beginn eines Codesymbols anfängt. b) Welche mittlere Symbolfehlerhäufigkeit P s resultiert im ungünstigsten Fall?
c) Ist Interleaving auf Bit- oder Symbolebene sinnvoller? d) Lösen Sie Punkte b) bis d) aus Aufgabe 7.10 für die hier vorausgesetzten RS-Codes. Ein verkürzter Code entsteht dadurch, dass man bei einem systematischen linearen Blockcode die ersten l Codesymbole zu Null setzt. Da diese Nullsymbole dem Decoder bekannt sind, braucht man sie nicht übertragen, womit der verkürzte Code die Parameter n = n l und k = k l besitzt. e) Bestimmen Sie den verkürzten RS-Code mit 8 bit/symbol, der bei kürzester Codewortlänge n in jedem Fall eine fehlerfreie Übertragung garantiert. Wie groß sind die Codewortlänge, die Coderate und die resultierende Nutzdatenrate? Welche Zeitverzögerung verursacht das Interleaving insgesamt bei der Übertragung? Aufgabe 7.12 Ein verketteter ( concatenated ) Code entsteht, wenn man eine Kanalcodierung doppelt anwendet. 7 innere Codierung COD KCA COD KCI Kanal I DEC KCI DEC KCA Kanal A äußere Codierung Der folgende verkettete Code soll auf seine Eigenschaften hin untersucht werden: Innerer Code: Bi, k Bi = 8 äußerer Code: RS, n RS = 64, k RS = 48. Die Verkettung soll derart sein, dass ein RS-Codesymbol über den inneren Kanal durch ein Bi Codewort übertragen wird. a) Betrachtet werde zunächst der innere Code. Wie groß ist die Codewortlänge n Bi-? Welche Coderate r c Bi- liegt vor? Wie viele Fehler t Bi- können mindestens korrigiert werden? b) Betrachtet werde nun der äußere Code. Wie viele bit/codesymbol müssen vorgesehen werden? Geben Sie die maximal mögliche Codewortlänge n RS max an. Um welche spezielle Variante von Code handelt es sich bei n RS = 64 (s. Aufgabe 7.11)? Wie viele Fehler t RS (in Symbolen) können mindestens korrigiert werden?
8 c) Schließlich werde der verkettete Code betrachtet. Welche Codewortlänge n ges in bit ergibt sich? Wie groß ist die resultierende Coderate r c ges? Wie viele Bitfehler t ges (vom Kanal I verursacht) kann der Code mindestens korrigieren? Welche maximale Länge L B und welcher minimale Abstand L Abst in bit dürfen bei Bündelfehlern vorliegen, ohne dass die Korrekturfähigkeit überfordert ist? Könnte man mit Interleaving die Korrekturfähigkeit bei Bündelfehlern verbessern? An welcher Stelle wäre Interleaving sinnvoll? Wie berechnet man die Gesamt-CW-Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn beim inneren und äußeren Code eine BD-Decodierung angenommen wird?