D-ITET Analysis II FS 3 Prof. Horst Knörrer Musterlösung. a) Es gilt: dy d 3 + y 3 3y 3 y + y 3. Dies ist eine homogene Differentialgleichung, das heisst y hängt nur von y ab. Setze v : y y() v() y v + v. y 3 y + y 3 v + v 3 v + 3 v v 3 (v v) Die rechte Seite der letzten Gleichung verschwindet nur bei v. Die einzige konstante Lösung ist hier also v identisch, was zur Lösung y führt. Für nicht konstantes v rechnen wir weiter mit Separation der Variablen: 3v v v 3v v 3 dv d ln v 3 ln + c v 3 C (mit C ±e c ) v 3 C y 3 C y 3 C 3 3 C. Bemerkung: Für C ist dies genau die obige konstante Lösung y. b) Wir substituieren u() : + y(). Dann ist u () + y (). Wir setzen dies in die gegebene Gleichung ein und erhalten u () + u (). Diese Differentialgleichung können wir separieren: du d + u du + u d du + u d + c Somit ist arctan(u()) + c bzw. u() tan( + c). Die Rücksubstitution ergibt die allgemeine Lösung y() tan( + c). Bitte wenden!
. a) + ist für alle (, + ) stetig. d d (falls der Limes eistiert) + R + R + R + ln( + ) (nach Substitution u + R, du d) R + ln( + R ) ist nicht endlich. Das uneigentliche Integral konvergiert also nicht. b) e / ist für (, + ) stetig. e / d R + ε + R + ε + R e / ε e / R ε R + e /R ε + e /ε t + e t e t t e. d (falls der Limes eistiert) (nach Substitution u /, du d) Das uneigentliche Integral eistiert: e / d. Bemerkung: Mit Bernoulli de l Hospital kann man beweisen, dass die Funktion auch in den Randpunkt des Integrationsbereichs stetig fortsetzbar ist, darum ist das Integral dort ein gewöhnliches Riemann- Integral (aber das wird hier nicht benötigt): e / + +. e B. H. 3 + e + e B. H. + e c) Der Integrand ++ ist stetig auf dem Bereich (, + ), denn der Nenner + + ( + ) + ist strikt positiv. + + d R + R + R R ( + ) + arctan( + ) R R + R R + R + R + π ( π d (falls der Limes eistiert) [arctan(r + ) arctan( R + )] ) π. Das uneigentliche Integral eistiert: d π. + + Siehe nächstes Blatt!
d) Die Unstetigkeitsstelle der Funktion uneigentliches. liegt bei, das Integral ist also dort ein / d ε ε + / d + ε + ε / d falls beide Grenzwerte eistieren und endlich sind. ε (. Integral ε + / d ε + ε ) y / dy (Substitution y, d dy) ε + ε. Integral y / dy / d ε + ε ε + ε / d / d ε + / ε ε +( / ε / ) 4. Das uneigentliche Integral eistiert: / d 4. e) Die linearen Substitutionen y : a und z : b a y liefern b a d ( a)(b ) b a dy y(b a y) dz z( z). Durch quadratische Ergänzung erhalten wir z( z) (z ) + 4 4 ( (z ) ); Mit der weiteren linearen Substitution t : z folgt dz z( z) Wie aus der Vorlesung bekannt ist b a dz ( (z ) ) dt. t dt t arcsin t + const und damit d dt arcsin arcsin( ) π ( a)(b ) t. Bitte wenden!
3. a) Beh.: π sin ( ) d konvergiert. Bew.: Die Funktion sin( ) ist zwar unstetig in aber die Funktion ist beschränkt, sin( ). Damit folgt für jede Folge k, k >, dass sin( n )d sin( m m )d sin( m n )d d n n m n,m D.h. die Folge n sin( )d ist eine Cauchy-Folge und konvergiert daher. Bemerkung: Analog kann man zeigen, dass aus b a f d < (man nennt das Integral dann absolut konvergent) folgt, dass b a fd konvergiert. Das umgekehrte gilt jedoch nicht. (Vergleiche Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen). b) Beh.: ( sin ) d konvergiert. Bew.: Die Funktion ist offensichtlich stetig auf ], ]. Für gilt sin() sin() sin() ( 3 3! +...) ( 3 3! +...) ( 3! Also ist die Funktion stetig ergänzbar in, d.h. die Funktion { sin() f() >,,, 5! ). ist stetig und das Integral konvergiert, da stetige Funktionen über kompakte Intervalle R-integrierbar sind. + c) Beh.: d konvergiert. Bew.: Die Funktion ist stetig und positiv auf [, [ und wir müssen überprüfen ob R f()d für R beschränkt ist. Dazu schätzen wir den Integranden durch eine Funktion nach oben ab, die wir eplizit integrieren können: 4. Sei I Weil f() ( + )( + + ) ( + + ) 3/ d s konvergiert, so konvergiert auch das f()d., s >. Für s haben wir: Andererseits haben wir für s < : ( + + ). I R d [ ] R R log log R log R R }{{} + I R R [ ] d s+ R s R s + R s+ R s + +, da s + >. Siehe nächstes Blatt!
Nun können wir für ein beliebiges N IIN, N, folgende Zerlegung betrachten: N d N s Da der Integrand streng monoton fallend ist, erhalten wir folgende Abschätzung: N d N s k k k d (k ) s Damit folgt für alle s, dass gilt: k k s Das heisst, dass die Reihe N k k N N k k k k d s k (k ) s d k N k s N k k s divergiert. N k N (k ) s k s k N k s d N s + Bitte wenden!
Online-Abgabe 5. Frage Gegeben sei eine lineare und homogene Differentialgleichung, welche y() sin als Lösung besitzt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? y() sin + ist ebenfalls eine Lösung. y() sin ist ebenfalls eine Lösung. y() sin ist ebenfalls eine Lösung. Die Menge aller Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung bildet einen Vektorraum. Insbesondere ist für jede Lösung y und jedes λ R auch λy eine Lösung. Also ist (c) richtig. Dagegen sind (a) und (b) falsch, denn z.b. wird y + y von y() sin gelöst, aber weder von y() sin + oder von y() sin. Frage Die Differentialgleichung y y + y ist separierbar. ist homogen. ist linear. ist unlösbar. ist von der Ordnung. Die Gleichung ist äquivalent zu (y ) y und somit zu y ± y. Hier ist die rechte Seite eine Funktion von y, also ist die Gleichung homogen und die richtige Antwort lautet (b). Separierbar ist die Gleichung nicht, da man sie nicht so umformen kann, dass alle und d auf einer Seite und alle y und dy auf der anderen Seite stehen. Der Term y macht sie nicht-linear. Ihre Ordnung ist aber, weil die erste Ableitung y die höchste darin vorkommende Ableitung ist. Lösbar ist die Gleichung durchaus; auf dem Bereich { (, y) R y > > } sogar eindeutig, weil die Funktion (, y) ± y dort lokal Lipschitz-stetig ist. Siehe nächstes Blatt!
Frage 3 Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear? y + y + y + y + y + y y + y Eine lineare Differentialgleichung für eine Funktion y() muss linear in y und y notwendigerweise in. Also ist (c) die richtige Antwort. sein, aber nicht